图形的相似与位似

一、选择题

1. （2011浙江金华，9，3分）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直.如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（ ）

A.600m B.500m C.400m D.300m

环城路300m南京路400m八一街书店曙400m 光 路西安路北

2.（2011安徽，9，4分）如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=22，CD=2，

3

点P在四边形ABCD的边上．若P到BD的距离为 ，则点P的个数为（ ）

2A．1

B．2

C．3

D．4

3. （2011广东东莞，31,3分）将左下图中的箭头缩小到原来的

1，得到的图形是（ ） 2

4. （2011浙江省，6，3分）如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于（ ）

1

A. 2：5 B.14:25 C.16:25 D. 4:21

5. （2011浙江台州，5,4分）若两个相似三角形的面积之比为1:4，则它们的周长之比为（ ） A. 1:2 B. 1:4 C. 1:5 D. 1:16

6. （2011浙江省嘉兴，7，4分）如图，边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为（ ） （A）23

（B）33

（C）43

（D）63

ADBEC（第7题）

9. （2011甘肃兰州，13，4分）现给出下列四个命题：①无公共点的两圆必外离；②位似三角形是相似三角形；③菱形的面积等于两条对角线的积；④对角线相等的四边形是矩形。其中真命题的个数是 A．1

B．2

C．3

D．4

10．（2011山东聊城，11，3分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，

边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的

1，那么点B′的坐标是（ ） 4

A．（3，2）

B．（－2，－3） D．（3，2）或（－3，－2）

C．（2，3）或（－2，－3）

2

11. （2011广东汕头，31,3分）将左下图中的箭头缩小到原来的

1，得到的图形是（ ） 2

12. （2011四川广安，7，3分）下列命题中，正确的是（ ） A．过一点作已知直线的平行线有一条且只有一条 B．对角线相等的四边形是矩形

C．两条边及一个角对应相等的两个三角形全等 D．位似图形一定是相似图形

13. （ 2011重庆江津， 8，4分）已知如图(1)、(2)中各有两个三角形,其边长和角的度数已在图上标注,图(2)中AB、CD交于O点,对于各图中的两个的两个三角形而言,下列说法正确的是( )

A.都相似 B.都不相似 C.只有(1)相似 D.只有(2)相似

A D

4 3

14. (2011重庆綦江，4，4分)若相似△ABC与△DEF的相似比为1 ：3，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）

A．1 ：3 B．1 ：9 C．3 ：1 D． 1 ：3

15. （2011山东泰安，15 ，3分）如图，点F是□ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是 ．．

EDDFDEEF

A.= B.= EAABBCFB C.

3

75° 35° (1)

O 70° 75° C

第8题图

8 (2)

6 B

BCBFBFBC= D.= DEBEBEAE

16. （2011山东潍坊，3，3分）如图，△ABC中，BC = 2，DE是它的中位线，下面三个结论：⑴DE=1；⑵△ADE∽△ABC；⑶△ADE的面积与△ABC的面积之比为 1 : 4。其中正确的有（ ）

A . 0 个 B.1个 C . 2 个 D.3个

17. （2011湖南怀化，6，3分）如图3所示：△ABC中，DE∥BC，AD=5，BD=10，AE=3， 则CE的值为

A.9 B.6 C.3 D.4

18. （2011江苏无锡，7，3分）如图，四边形ABCD的对

角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA∶OC = OB∶OD，则下列结论中一定正确的是 ( )

A B ① ②④O D

③

A．①和②相似 B．①和 ③相似 C．①和④相似 D．②和④相似

（第7题）

C

19. （2011广东肇庆，5，3分）如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n 与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC ＝ 4，CE ＝ 6，BD ＝ 3，则BF ＝

m A C E A． 7

B． 7.5

n

B a D

b F c

C． 8

D． 8.5

20．（2011湖南永州，12，3分）下列说法正确的是（ ） A．等腰梯形的对角线互相平分．

B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．

4

C．线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． D．两边对应成比例且有一个角对应相等的两个三角形相似．

21. （2011山东东营，11，3分）如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是（ ） 1A．a

2

1B．(a1)

21C．(a1)

2

1D．(a3)

2

A B y 1 C -1 O -1 1 B′ x 第11题 A′

22. （2011重庆市潼南,5,4分）若△ABC～△DEF，它们的面积比为4：1，则△ABC与△DEF的相似比为 A．2：1

B．1 ：2 C．4：1 D．1：4

23. （2011广东中山，3,3分）将左下图中的箭头缩小到原来的

1，得到的图形是（ ） 2

24. （2011湖北荆州，7，3分）如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于F，AD交PC于G，则图中相似三角形有 A．1对 B．2对 C．3对 D．4对

DCGAEFPB

5

二、填空题

1. （2011广东广州市，14，3分）如图3，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是 ．

AO ′ EA ′ E BB ′DD C 图

C

′

′

2. （2011四川重庆，12，4分）如图，△ABC中，DE∥BC，DE分别交边AB、AC于D、E两点，若AD：AB＝1：3，则△ADE与△ABC的面积比为 ．

3. （2011江苏苏州，17,3分）如图，已知△ABC的面积是3的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于__________（结果保留根号）.

三、解答题

1. （2011江西，25，10分）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：

设∠BAC=（0°＜＜90°）.现把小棒依次摆放在两射线AB，AC之间，并使小棒两端分别落在两射线上. 活动一：

如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在两端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒. 数学思考：

（1）小棒能无限摆下去吗？答： .（填“能”或“不能”） （2）设AA1=A1A2=A2A3=1. ①= 度；

6

②若记小棒A2n-1A2n的长度为an（n为正整数，如A1A2=a1,A3A4=a2,）,求此时a2，a3的值，并直接写出an（用含n的式子表示）.

活动二：

如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2= AA1.

数学思考：（3）若已经向右摆放了3根小棒，则1= ，2= ，（用含的式子表示） 3= ；（4）若只能摆放4根小棒，求的范围. ．．

2. （2011江苏宿迁,28,12分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝1，BC＝

1，以点2C为圆心，CB为半径的弧交CA于点D；以点A为圆心，AD为半径的弧交AB于点E． （1）求AE的长度；

（2）分别以点A、E为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点F（F与C在AB两侧），连接AF、EF，设EF交弧DE所在的圆于点G，连接AG，试猜想∠EAG的大小，并说明理由．

3. （2011广东汕头，21，9分）如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=EF=9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△EFD绕点A 顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF

（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G、H点，如图（2）. （1）问：始终与△AGC相似的三角形有 及 ；

（2）设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式（只要求根据2的情况说明理由）； （3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形？

7

4. （2011湖南怀化，21，10分）如图8，△ABC,是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=40cm,AD=30cm,从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M. (1) (2)

求证：

AMHG; ADBC求这个矩形EFGH的周长.

6. 已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，D是腰AC上的一个动点，过C作CE垂直于BD或BD的延长线，垂足为E,如图1.

BD

(1)若BD是AC的中线，如图2，求的值；

CEBD

(2)若BD是∠ABC的角平分线，如图3，求的值；

CE

BDBD

(3)结合（1)、（2)，请你推断的值的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探究

CECE4

的值能小于吗？若能，求出满足条件的D点的位置；若不能，请说明理由.

3

ADEAAEDDEBC

BCBC

7. （1）如图1，在△ABC中，AQ交DE于点P．求证：．

DPPEBQQC点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，

（2） 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．

①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长； ②如图3，求证MN2=DM·EN．

8