一类二维线性动力系统实用稳定域估计研究

一类二维线性动力系统实用稳定域估计研究

肖倩，杨玉华，崔侃，卢占会

华北电力大学数理系，河北保定 (071003)

Email: xiaoxiao_xq168@163.com

摘 要: 利用V函数讨论了一类二维线性动力系统的实用稳定性及实用稳定域估计，给出了二维线性动力系统的实用稳定性及实用稳定域估计的具体表达式，所得结果简单实用，改进了已有文献的结果。

关键词：V函数；实用稳定；实用稳定域；实用稳定域的估计 中图分类号：O175.21

1．引言

随着现代科学技术的飞速发展，数学模型广泛应用于描述各种现实个体，而实际问题研究的中心问题就是研究动力系统所具有的性质、系统能稳定工作的条件。李雅谱诺夫意义下的稳定性在很大程度上解决了这个问题。但是在实际工程中李雅谱诺夫稳定可能会因其瞬态运动超越实际所允许的界限而失去实际意义。而一个围绕李雅谱诺夫不稳定的运动状态作小幅振动的系统其性能却能被实际所接受。因为从应用的观点来看，如果在一定限度范围内的初始扰动作用下，系统的受扰运动能够保持在实际允许的范围内，则系统即认为是稳定的，如飞行器的飞行、机器人的运动等都是如此。对于这类情况，实用稳定(文献[1]，[2],[3])概念能给予恰当的描述,其特点就是直接利用所给的各种允许误差定量地评估系统受扰的轨线行为。因此实用稳定性的研究引起了广大学者的兴趣。近年来，对常微系统、不连续系统以及时滞系统的实用稳定性研究已有不少成果[1，3-6]，他们主要借助于比较方法或构造李雅谱诺夫函数给出系统实用稳定的条件。文献[7]构造了两个李雅谱诺夫函数，再结合比较判别法给出了系统最终实用稳定的判别条件。但关于实用稳定域及实用稳定域估计理论的相应研究，还不多见。本文利用数学分析理论和构造V函数的方法，讨论了一类二维线性动力系统的实用稳定域估计，给出二维线性动力系统实用稳定的稳定域估计，改进了已有文献的结果，所得条件简单实用。

2．预备知识

考虑非线性动力系统

dX

=f(t,x)dt

称系统（1）关于{τ,χOA,χA}是实用稳定的。

f(t,x):R×Rn→Rn （1）

定义1（实用稳定） 系统（1）如果对每个(t,x0)∈Rτ×χoA，有x(t;x0)∈χA，则

定义2（实用稳定域） 如果系统（1）满足当x0∈Dps(τ,χA)时，对每个t∈Rτ，有

x(t;x0)∈χA且Dps(τ,χA)的内部Dps(τ,χA)非空，则称Dps(τ,χA)是系统（1）关于{τ,χOA,χA}的实用稳定域。

定义3（实用稳定域的估计） 如果集合S满足：S的内部S非空且S是Dps(τ,χA)的连通子集，则称集合S=εps(τ,χA)是系统（2）关于{τ,χA}实用稳定域的估计。

- 1 -o

o

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3．主要结果

定理1 [8] 系统（1）有广义解x(t;x0)∈Ct(Rτ×χA)，如果

1) 2)

有内部非空的连通集合S,S⊆

χA，

有集合S的至多有限子集Z和V函数：Rτ×χA→(R∪{−∞})

a)V(t,x)∈C[Rτ×(χA−Z)]； b)VMS≤V

∂MA

−tVMAS,∀t∈Rτ

•

则集合S是系统（1）关于{τ,χA}的实用稳定域Dps(τ,χA)的估计εps(τ,χA)，即

S=εps(τ,χA)。

对二维常系数线性系统

dX⎛a11

=⎜dt⎝a21

其中aij(i=1,2;

a12⎞⎛x1⎞⎛a11x1+a12x2⎞

⎟⎟⎜⎟=⎜

a22⎠⎝x2⎠⎝a21x1+a22x2⎠ （2）

j=1,2)为常数。

T

构造集合：χA={x:b|x|=(b1

其中b=(b1

⎛|x|⎞

b2)⎜1⎟=b1|x1|+b2|x2|≤α},α∈R+,b>0 , ⎝|x2|⎠

b2)。

ee

tmax{1,2}≤1−ζ,∀t∈Rτ

b1b2

T

定理2 系统（2）有广义解x(t;x0)∈Ct(Rτ×χA)，如果

其中e=Ab，并且A=⎜

T

⎛a11⎝a21a12⎞T

则集合S={x:b|x|≤ζα},ζ∈(0,1]是系统（2）关于⎟a22⎠

{τ,χA}的实用稳定域Dps(τ,χA)的估计εps(τ,χA)，即S=εps(τ,χA)。

T

证明：由定理的条件知，定理1的条件2a)满足。令V(x)=b|x|，则

∂

VMS=sup[V(t,x):x∈χS]=β=αζ,VMA=sup[V(t,x):x∈∂χA]=α，并且对任意

x∈χA有

D+V(t,x)=bTD+|x|=(b1

⎛dx1⎞

signx⎛•⎞1⎜dt⎟|x1|⎟⎜b2)•=(b1b2)⎜⎟

⎜⎟dx⎜2signx⎟

⎜⎝|x2|⎠2⎟⎝dt⎠

=b1(a11x1+a12x2)signx1+b2(a21x1+a22x2)signx2

≤b1(a11|x1|+a12|x2|)+b2(a21|x1|+a22|x2|)

=bTA|x|=eT|x|=e1|x1|+e2|x2| =

e1eeeeeb1|x1|+2b2|x2|≤max{1,2}(b1|x1|+b2|x2|)≤max{1,2}α

b1b2b1b2b1b2

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故

ee

VMAS=sup[D+V(t,x):(t,x)∈Rτ×χA]=max{1,2}αb1b2

•

。，

从

由而

ee

tmax{1,2}≤1−ζ,∀t∈Rτb1b2VMS≤V

∂MA

得

ζα≤α−tmax{1,2}αeeb1b2

−tVMAS,∀t∈Rτ。

•

又因为ζα∈R+，b>0，则集合S={x:bT|x|≤ζα},ζ∈(0,1]是连通的，并且具有非空的内部，因此定理1的所有条件都满足，由定理1知，集合

S={x:bT|x|≤ζα},ζ∈(0,1]是系统（2）关于{τ,χA}的实用稳定域Dps(τ,χA)的估计

εps(τ,χA)，即S=εps(τ,χA)，定理证毕。

•e1e2ee

注 （1）若max{,}<0时，即Vb1b2b1b2

•e1e2ee

即Vb1b2b1b2

意义下是全局渐近稳定的。

4. 结论

本文给出了二维线性动力系统的实用稳定性及实用稳定域估计的具体表达式，以上定理改进了已有文献的结果，所得条件简单实用。

参考文献

[1]阿·阿·玛尔德纽克，孙振奇 著 实用稳定性及应用[M]科学出版社，2005 。

[2]王照林. 运动稳定及其应用[M]北京高等教育出版社,1992.

[3]Lakshmikantham V. Leela S, Martynyuk A A. Practical Stability of Nonlinear Systems [M].Singapore:World Scientific,1990.

[4]A.A.Soliman On practical stability of perturbed differential systems[J], Applied Mathematics and Computation 163(2005)1055-1060.

[5]V.Lakshmikantham, Y.Zhang Strict practical stability of delay differential equation[J], Applied Mathematics and Computation 118(2001)275-285.

[6]D.Lj.Debeljkovic, M.P.Lazarevic,Dj.Koruga, Further results on the stability of linear nonautonomous systems with delayed state defined over finite time interval[J], proceeding of the American Control Conference ,Chicago,lllinois.June 2000.

[7]Yu Zhang, Jitao Sun, Eventual practical stability of impulsive differential equations with time delay in terms of two measurements[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics 176(2005)223-229.

[8]L.Gruyitch,J-P.Richard,P.Borne, J-C.Gentina, Stability Domains[M], Boca Raton London New York Washington.D.C.

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Study on estimations of practical stability domains of a kind

of two-dimension linear dynamical system

Xiao Qian, Yang Yuhua, Cui Kan, Lu Zhanhui

Department of Mathematics and Physics, North China Electric Power University,

Baoding（071003）

Abstract

The estimates of practical stability domains of a kind of two-dimension linear dynamical system is discussed by employing Lyapunov approach, some concrete functions of the practical stability and the estimates of practical stability domain are given, which are in regard to two-dimension linear dynamical system. The result is simple and practical, which improved the result in the proceeding literature.

Keywords: V function; practical stability; practical stability domains; estimates of practical stability domains

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