空间向量知识点归纳总结

知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。

2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

u u r uuuuuuruuuruuurrvuuuruuur urrrrOBOAABab;BAOAOBab;OPa(R)

运算律：⑴加法交换律：abba

⑵加法结合律：(ab)ca(bc)

⑶数乘分配律：(ab)ab

3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线

向量或平行向量，a平行于b，记作a//b。

当我们说向量a、b共线（或abababb0abab共面向量

（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。

rrrrr（2）共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的条件是存在实数

rrrx,y使pxayb。

rrrr5. 空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个rrrr唯一的有序实数组x,y,z，使pxaybzc。

rrrrrrrrr若三向量a,b,c不共面，我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量，空

间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数

uuuruuuruuuruuurx,y,z，使OPxOAyOBzOC。

6. 空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标：

在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(x,y,z)，使

OAxiyizk，有序实数组(x,y,z)叫作向量A在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，

记作A(x,y,z)，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。

（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用

rrr{i,j,k}表示。

（3）空间向量的直角坐标运算律：

rrrr①若a(a1,a2,a3)，b(b1,b2,b3)，则ab(a1b1,a2b2,a3b3)， rrrab(a1b1,a2b2,a3b3)，a(a1,a2,a3)(R)， rraba1b1a2b2a3b3， rra//ba1b1,a2b2,a3b3(R)， rraba1b1a2b2a3b30。

uuur②若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则AB(x2x1,y2y1,z2z1)。

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

rr（4）模长公式：若a(a1,a2,a3)，b(b1,b2,b3)，

rrrrrr222222则|a|aaa1a2a3，|b|bbb1b2b3 rrrra1b1a2b2a3b3abr（5）夹角公式：cosabr。

222222|a||b|a1a2a3b1b2b3（6）两点间的距离公式：若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，

uuuruuur2222则|AB|AB(x2x1)(y2y1)(z2z1)，

或dA,B(x2x1)(y2y1)(z2z1)

222rr（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作uuurruuurrrrrrrrOAa,OBb，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作a,b；且规定0a,b，rrrrrrrrrr显然有a,bb,a；若a,b，则称a与b互相垂直，记作：ab。

2uuurruuurrr（2）向量的模：设OAa，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作： |a|。rrrrrrrr（3）向量的数量积：已知向量a,b，则|a||b|cosa,b叫做a,b的数量积，记rrrrrrrr作ab，即ab|a||b|cosa,b。

（4）空间向量数量积的性质：

7. 空间向量的数量积。

rrrrr2rrrrrrr①ae|a|cosa,e。②abab0。③|a|aa。

（5）空间向量数量积运算律：

rrrrrrrrrr①(a)b(ab)a(b)。②abba（交换律）。 rrrrrrr③a(bc)abac（分配律）。

（6）：空间向量的坐标运算： 1.向量的直角坐标运算

rr设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)则

rrrr(1) a＋b＝(a1b1,a2b2,a3b3)； (2) a－b＝(a1b1,a2b2,a3b3)； rrr(a,a,a)(3)λa＝123 (λ∈R)； (4) a·b＝a1b1a2b2a3b3；

uuuruuuruuur2.设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则ABOBOA= (x2x1,y2y1,z2z1).

rr3、设a(x1,y1,z1)，b(x2,y2,z2)，则

rrrrrrrrrraPbab(b0)； abab0x1x2y1y2z1z20.

rrrrb＝(b1,b2,b3)，4.夹角公式 设a＝(a1,a2,a3)，则cosa,ba1b1a2b2a3b3aaa212223bbb212223.

5．异面直线所成角

rrrr|ab|cos|cosa,b|=rr|a||b||x1x2y1y2z1z2|xyzx2y2z2212121222.

6．平面外一点p到平面的距离

r 已知AB为平面的一条斜线，n为平面的一个法

uuurr|AB•n|r向量，A到平面的距离为：d |n|

【典型例题】

例1. 已知平行六面体ABCD－ABCD，化简下列向量表达式，标出化简结果的向量。

uuuruuuruuuruuuruuur⑴ABBC； ⑵ABADAA；

uuuruuur1uuuurruuuruuur1uuu⑶ABADCC； ⑷(ABADAA)。

23

A'D'B'GCBC'MDA

例2. 对空间任一点O和不共线的三点A,B,C，问满足向量式：

uuuruuuruuuruuurOPxOAyOBzOC（其中xyz1）的四点P,A,B,C是否共面？

例3. 已知空间四边形OABC，其对角线OB,AC，M,N分别是对边OA,BC的中点，

uuuruuuruuurOA,OB,OC点G在线段MN上，且MG2GN，用基底向量表示

uuur向量OG。

o例4. 如图，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，

OAB60o，求OA与BC的夹角的余弦值。

O A B C uuuruuuruuuruuuroo说明：由图形知向量的夹角易出错，如OA,AC135易错写成OA,AC45，

切记！

例5. 长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC4，E为ACF为BC111与B1D1的交点，与B1C的交点，又AFBE，求长方体的高BB1。

空间向量与立体几何练习题

一、选择题

1.如图，棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1在空间直角坐标

uuur系中，若E,F分别是BC,DD1中点，则EF的坐标为（ ）

A.(1,2,1) B.(1,2,1) C.(1,2,1) D.(1,2,1) 2．如图，ABCD—A1B1C1D1是正方体，B1E1＝D1F1＝

所成角的余弦值是（ ）

A1B1，则BE1与DF1

4 A．

15 178 17B．

1 23 2图 C．D．

3.在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若

uuurruuurruuurruuurPAa，PBb，PCc，则BE（ ）

1r1r1r1r1r1rA.abc B.abc 222222图 1r3r1r1r1r3rC.abc D.abc 222222

二、填空题

uuuruuurr4.若点A(1,2,3),B(3,2,7),且ACBC0,则点C的坐标为______.

5．在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线AD与平面A1BC1夹角的余弦值为_____. 三、解答题

1、在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, AB1与底面ABCD所成的角为

， 4（1）求证BD1面AB1C（2）求二面角B1ACB的正切值

2．在三棱锥PABC中，ABAC3

AP4,PA面ABC,BAC90, D是PA中点,点E在BC上,且BE2CE,(1)

求证：ACBD；(2)求直线DE与PC夹角的余弦值；(3)求点A到平面BDE的距离d的值.

3．在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角． （1）若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD； （2）求异面直线AE与CD所成角的余弦值．

4、已知棱长为1的正方体AC1，E、F分别是B1C1、C1D的中点．（1）求证：E、F、D、B共面；（2）求点A1到平面的BDEF的距离；（3）求直线A1D与平面BDEF所成的角．

5、已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AB的中点，求： （Ⅰ）D1E与平面BC1D所成角的大小；（Ⅱ）二面角D－BC1－C的大小；

【模拟试题】

1. 已知空间四边形ABCD，连结AC,BD，设M,G分别是BC,CD的中点，化简下列

uuuruuuruuuruuur1uuuruuur各表达式，并标出化简结果向量：（1）ABBCCD； （2）AB(BDBC)；

2uuur1uuuruuur （3）AG(ABAC)。

2

2. 已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量。

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurOEkOA,OFkOB,OGkOC,OHkOD。（1）求证：四点E,F,G,H共面；

（2）平面AC//平面EG。

3. 如图正方体ABCDA1B1C1D1中，B1E1D1F1求BE1与DF1所成角的余弦。

4. 已知空间三点A（0，2，3），B（－2，1，6），C（1，－1，5）。

1A1B1， 4uuuruuur⑴求以向量AB,AC为一组邻边的平行四边形的面积S；

uuuruuurrrr⑵若向量a分别与向量AB,AC垂直，且|a|＝3，求向量a的坐标。

5.已知平行六面体ABCDABCD中，AB4,AD3,AA5,BAD90，

oBAADAA60o，求AC的长。

[参考答案]

1. 解：如图，

uuuruuuruuuruuuruuuruuur（1）ABBCCDACCDAD；

uuur1uuuruuuruuur1uuur1uuur（2）AB(BDBC)ABBCBD。

222uuuruuuuruuuuruuurABBMMGAG；

uuur1uuuruuuruuuruuuuruuuur（3）AG(ABAC)AGAMMG。

2uuuruuuruuur2. 解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ACABAD，

uuuruuuruuur∵EGOGOE，

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurkOCkOAk(OCOA)kACk(ABAD)uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuuruuurk(OBOAODOA)OFOEOHOE uuuruuurEFEH∴E,F,G,H共面；

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur（2）解：∵EFOFOEk(OBOA)kAB，又∵EGkAC，

∴EF//AB,EG//AC。 所以，平面AC//平面EG。 3.

解：不妨设正方体棱长为1，建立空间直角坐标系Oxyz， 则B(1,1,0)，E1(1,,1)，D(0,0,0)， F1(0,,1)，

3414uuuuruuuur11∴BE1(0,,1)，DF1(0,,1)，

44uuuuruuuur17∴BE1DF1，

4uuuuruuuur1115BE1DF100()11。

441615uuuuruuuur1516 cosBE1,DF1。

17171744uuuruuuruuuruuurABAC1ruuur 4. 分析：⑴QAB(2,1,3),AC(1,3,2),cosBACuuu|AB||AC|2uuuruuuro∴∠BAC＝60°，S|AB||AC|sin6073

rruuur⑵设a＝（x，y，z），则aAB2xy3z0,

rruuuraACx3y2z0,|a|3x2y2z23

rr解得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1，∴a＝（1，1，1）或a＝（－1，－1，－1）。

uuuur2uuuruuuruuur25. 解：|AC|(ABADAA)

uuur2uuur2uuur2uuuruuuruuuruuuruuuruuur|AB||AD||AA|2ABAD2ABAA2ADAA

423252243cos90o245cos60o235cos60o169250201585

uuuur所以，|AC|85。