专项突破一 新高考·新题型专练
一、多项选择题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
1.已知集合M={0,1,2},N={x||x - 1|≤1},则
A.M=N
B.N⊆M C.M∩N=M
D.(∁RM)∪N=R
( ) ( )
2.已知i为虚数单位,则下列结论正确的是
A.复数z=B.复数z=
1+2i3
的虚部为 1-i2-2+5i
的共轭复数𝑧= - 5 - 2i -i
C.复数z= − i在复平面内对应的点位于第二象限 D.若复数z满足∈R,则z∈R
1z
1212
3.采购经理指数(简称PMI)是国际上通行的宏观经济监测指标体系之一,对国家经济活动的监测和预测具有重要作用.制造业
PMI在50%以上,通常反映制造业总体扩张,低于50%,通常反映制造业总体衰退.如图1 - 1是2018年10月到2019年10月我国制造业PMI的统计图,下列说法正确的是
( )
图1 - 1
A.大部分月份制造业总体衰退 B.2019年3月制造业总体扩张最大
C.2018年11月到2019年10月中有3个月的PMI比上月增长 D.2019年10月的PMI为49.3%,比上月下降0.5个百分点
2,𝑥≤0,
4.已知函数f (x)={𝑥2则下列结论中正确的是
-𝑥,𝑥>0,
( )
A.f ( - 2)=4
B.若f (m)=9,则m=±3 C.f (x)是偶函数 D.f (x)在R上单调递减
1n5.已知(ax2+√)(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,且展开式中各项系数之和为1 024,则下列说法正确的是
𝑥
A.展开式中奇数项的二项式系数之和为256 B.展开式中第6项的系数最大
( )
C.展开式中存在常数项
D.展开式中含x15项的系数为45
6.已知向量a=(1,2),b=(m,1)(m<0),且满足b·(a+b)=3,则
A.|b|=√2 B.(2a+b)∥(a+2b)
C.向量2a - b与a - 2b的夹角为 D.向量a在b方向上的投影为
5
√5( )
π4
7.已知函数f (x)=sin(2x - π),下列结论正确的是
6
A.f (x)的最小正周期是π B.f (x)=是x=的充分不必要条件 C.函数f (x)在区间(,)上单调递增
D.函数y=|f (x)|的图象向左平移个单位长度后所得图象的对称轴方程为x=π(k∈Z)
π12
𝑘4
π5π3612π2( )
8.同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1,2,3,4的正四面体一次,记事件A={第一个四面体向下的一面出现偶数},事件B={第二
个四面体向下的一面出现奇数},事件C={两个四面体向下的一面同时出现奇数,或者同时出现偶数}.则下列说法正确的是 ( ) A.P(A)=P(B)=P(C) B.P(AB)=P(AC)=P(BC) C.P(ABC)= D.P(A)P(B)P(C)= 18
18
9.已知函数f (x)是定义在R上的奇函数,且x>0时,f (x)=(x - 2)ex,则下列结论正确的是
A.f (x)>0的解集为( - 2,0)∪(2,+∞) B.当x<0时,f (x)=(x+2)e - x C.f (x)有且只有两个零点 D.∀x1,x2∈[1,2],|f (x1) - f (x2)|≤e
( )
10.设圆A:x2+y2 - 2x - 3=0,则下列说法正确的是
A.圆A的半径为2
B.圆A截y轴所得的弦长为2√3 C.圆A上的点到直线3x - 4y+12=0的最小距离为1 D.圆A与圆B:x2+y2 - 8x - 8y+23=0相离
( )
11.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,C为钝角,且c - b=2bcos A,则下列结论中正确的是
A.a2=b(b+c)
B.A=2B C.0 212.设f ' (x)是函数f (x)的导函数,若f ' (x)>0,且∀x1,x2∈R(x1≠x2),f (x1)+f (x2)<2f (𝑥1+𝑥),则下列各项中正确的是 2 ( ) A.f (2) ( ) A.a5=b5 B.a5 14.[2020山东省统考]如图1 - 2,正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为1,E,F ,G分别为BC,CC1,BB1的中点,则 ( ) 图1 - 2 A.直线D1D与直线AF垂直 B.直线A1G与平面AEF平行 C.平面AEF 截正方体所得的截面面积为 D.点C与点G到平面AEF的距离相等 98 15.已知矩形ABCD,AB=1,BC=√3,将△ADC沿对角线AC进行翻折,得到三棱锥D - ABC,则在翻折的过程中,下列结论正确的是 A.三棱锥D - ABC的体积的最大值为 B.三棱锥D - ABC的外接球的体积不变 C.三棱锥D - ABC的体积最大时,二面角D - AC - B的大小是60° D.异面直线AB与CD所成角的最大值为90° 2 2 ( ) 13 16.已知椭圆𝑥3+𝑦6=1上有A,B,C三点,其中B(1,2),C( - 1, - 2),tan∠BAC=9,则下列说法正确的是 2 A.直线BC的方程为2x - y=0 B.kAC=或4 C.点A的坐标为( - ,) D.点A到直线BC的距离为 4√5 9 1229912 ( ) 17.在数列{an}中,a1=1,a2=2,a3=3,an+3+( - 1)nan+1=1(n∈N*),数列{an}的前n项和为Sn,则下列结论正确的是 A.数列{an}为等差数列 B.a18=10 C.a17=3 D.S31=146 ( ) 18.过抛物线y2=3x的焦点f 的直线与抛物线交于A(x1,y1)(y1>0),B(x2,y2)两点,点A,B在抛物线准线上的射影分别为A1,B1,直线 AO交准线于点M(O为坐标原点),则下列说法正确的是 A.⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴·⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐵=0 二、双空题. B.∠A1F B1=90° C.直线MB∥x轴 D.|AF|·|BF |的最小值是 9 4( ) 19.已知函数g(x)=2sin[ω(x+12)](ω>0)的图象是由函数f (x)的图象先向左平移6个单位长度,再将所得图象上所有点的纵坐标变 为原来的2倍(横坐标不变)得到的.若f (x)的最小正周期为π,则f (x)= ;若函数f (x)在区间[0,]上单调递增,在区间[,]上单调递减,则实数ω的值为 . ππ63 π6 ππ 20.如图1 - 3,在平面四边形ABCD中,E,F分别为边CD,AD上的点,△DEf 为等边三角形,CE=Ef ,且∠ABC=π,AE=√13,AF=3,则 3 AC= ,△ABC面积的最大值为 . 图1 - 3 1 2 21.[2020长春市第一次质量监测]已知数列{an}的前n项和为Sn,满足a1= - 2,且an+an+1=𝑛2+2𝑛(n∈N*),则S2n= , an= . 22.[2019北京市顺义区第二次统考]已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点和双曲线x2 - 3=1的右焦点F2重合,则抛物线的方程 为 ;P为抛物线和双曲线的一个公共点,则点P与双曲线左焦点F 1之间的距离为 . 𝑦2 23.设函数f (x)(x∈R)的导函数为f ' (x),f (0)=2 020,且f ' (x)=f (x) - 2,则f (x)= ,f (x)+4 034>2f ' (x)的解集是 . 24.如图1 - 4,在棱长均为3的正四棱锥P - ABCD中,E,F ,G,H分别是PA,PB,PC,PD上异于端点的点,且平面EF GH与平面 ABCD平行,S为AC和BD的交点,当四棱锥S - EFGH的体积最大时,𝑃𝐴= ,此时四棱锥S - EFGH外接球的表面积 为 . 𝑃𝐸 图1 - 4 专项突破二 提素养·数学文化 1.[干支纪年法]干支纪年法源于中国,中国自古便有十天干与十二地支.十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸;十 二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.干支纪年法是按顺序将一个天干和一个地支相配,排列起来,天干在前,地支在后,天干由“甲”起,地支由“子”起.例如,第一年为“甲子”,第二年为“乙丑”,第三年为“丙寅”,…,排列到“癸酉”后,天干回到“甲”重新开始,即“甲戌”,“乙亥”,然后地支回到“子”重新开始,即“丙子”,以此类推.已知1949年为“己丑”年,那么到中华人民共和国成立80周年时为 A.丙酉年 B.戊申年 C.己亥年 D.己酉年 ( ) 2.[高斯算法]德国数学家高斯在年幼时进行的1+2+3+…+100的求和运算中体现了倒序相加法的原理,该原理基于所给数据前后 对应项的和呈现一定的规律而产生,此方法也称为高斯算法.现有函数f (x)=于 A.𝑚+2 018 32𝑥 (m>0),则 3𝑚+6 057 f (1)+f (2)+f (3)+…+f (m+2 018)等 ( ) B.2𝑚+4 036𝑚+4 036 C.6 3D.2𝑚+4 037 63.[2020贵阳四校联考]中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题:“今有七人差等均钱,甲乙均七十七文,戊己庚均七十五文.”意 思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七个人分钱,他们所分钱数构成等差数列,甲、乙两人共分77文,戊、己、庚三人共分75文.问:丙、丁两人各分多少文钱? A.丙分34文,丁分31文 B.丙分37文,丁分40文 ( ) C.丙分40文,丁分37文 D.丙分31文,丁分34文 4.[2020湖北八校第一次联考]鲁班锁是中国古代传统的土木建筑固定结合器,也是广泛流传于中国民间的智力玩具,它起源于中 国古代建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合,外观则是严丝合缝的十字几何体,十分巧妙.鲁班锁的种类各式各样,其中,六根和九根的鲁班锁最为著名.某种九根的鲁班锁由如图2 - 1所示的九根木榫拼成,每根木榫都是由一根正四棱柱状的木条挖出一些凹槽制成的.若九根正四棱柱的底面边长均为1,六根短条的高均为3,三根长条的高均为5,现将拼好的鲁班锁(如图2 - 2)放进一个圆柱形容器内,使其最高的一个正四棱柱形木榫的上、下底面分别在圆柱的两个底面内,则该圆柱形容器的体积(容器壁的厚度忽略不计)的最小值为 ( ) 图2 - 1 图2 - 2 A. 135 π 4B.π 652C.135π D. 125 π 45.[幻方]我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方(如图2 - 3(1)所示).将1,2,…,9填入3×3的方格内(如图2 - 3(2) 所示),使三行、三列及两条对角线上的三个数字之和都等于15,这个方阵叫作3阶幻方.一般地,将连续的正整数1,2,3,…,n2填入 n×n的方格中,使得每行、每列及两条对角线上的数字之和都相等,这个方阵叫作n(n≥3)阶幻方.记n阶幻方的对角线上的数的和 为Nn,如N3=15,那么N9= ( ) (1) (2) 图2 - 3 A.41 B.45 C.369 D.321 6.[刍童]“刍童”是中国古代的一个数学名词,关于“刍童”体积计算的描述,《九章算术》注曰:“倍上袤,下袤从之.亦倍下袤,上袤从之.各以其广乘之,并,以高若深乘之,皆六而一.”其计算方法是:将上底面的长乘二,与下底面的长相加,再与上底面的宽相乘;将下底面的长乘二,与上底面的长相加,再与下底面的宽相乘;把这两个数值相加,与高相乘,再取其六分之一.已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形,上底面矩形的长为3,宽为2,“刍童”的高为3,则该“刍童”的体积的最大值为 A. 392 ( ) B. 752 C.39 D. 601 8 7.[割圆术]刘徽(约公元225年—295年)是魏晋期间伟大的数学家,是中国古典数学理论的奠基人之一.他提出的“割之弥细,所失 弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”(即割圆术)蕴含了极限思想.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形(图2 - 4为n=9时的情形),当n变得很大时,这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想,得到sin 2°的近似值为 ( ) 图2 - 4 A. π90 B. π 180 C. π 270 D. π 360 专项突破三 析情境·数学应用 1.[2019郑州国际马拉松赛]“郑州银行杯”2019郑州国际马拉松赛于10月13日上午鸣枪开赛.马拉松是一项历史悠久的长跑运 动,全程约42千米.跑马拉松对运动员的身体素质和耐力是极大的考验,专业的马拉松运动员经过长期的训练,跑步时的步幅(一步的距离)一般略低于自身的身高,若某运动员跑完一次全程马拉松用了 2.5时,则他平均每分的步数可能为 ( ) A.60 B.120 C.180 D.240 2.[中国高铁]2008年8月,我国第一条高速铁路——京津城际铁路开通运营.近年来,中国高铁成为中国铁路旅客运输的主渠道, 中国高铁的安全可靠性和运输效率世界领先.图3 - 1是2013—2018年全国高铁旅客运输量及增速的统计图.则下面结论中不正确的是 ( ) 图3 - 1 A.2016年旅客运输量增速超过14% B.旅客运输量增速最大的是2014年 C.2016—2018年旅客运输量减少 D.2016—2018年旅客运输量逐年增长 3.[垃圾分类]垃圾分类,一般指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运,从而转变成公共资源的一系列活动的总 称.分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值,力争物尽其用.为响应国家号召,各地区采取多种措施推行此项活动.某商家设计了一种新式分类垃圾桶,它是长方体状,高为0.5米,长和宽之和为2.4米,现用铁皮制作该垃圾桶,要使得这个垃圾桶的容量最大(不考虑损耗),若不考虑桶盖,则需要耗费铁皮的面积为 A.2.4平方米 B.3平方米 C.3.84平方米 D.5.28平方米 ( ) 4. [黄金三角形]17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过:“几何学里有两件宝,一件是勾股定理,另一件是黄金分割.如果 把勾股定理比作黄金矿的话,那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种,其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形,它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如,如图3 - 2所示的五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成, 图 3 - 2 在其中一个黄金三角形ABC中,A. 1-2√5 4 𝐵𝐶 𝐴𝐶 = √5-1 2 .根据这些信息,可得sin 234°= 4+√5 8 ( ) B. - 3+√5 8 C. - √5+14 D. - 5.2019年3月10日,长征三号乙运载火箭托举“中星6C”卫星成功发射升空.这一刻,中国长征系列运载火箭的发射次数刷新为 “300”.长征系列运载火箭实现第一个“百发”用了37年,第二个“百发”用了不到8年,第三个“百发”用时仅4年多.已知在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v(单位:米/秒)和燃料的质量M(单位:千克)、火箭(除燃料外)的质量m(单位:千克)的函数关系式是 v=2 000·ln(1+𝑚).当燃料质量是火箭质量的 倍时,火箭的最大速度可达12 000米/秒. 𝑀 6.[爱国主义教育活动]某学校开展爱国主义教育活动,要在6名男生和3名女生中选出5名学生参加关于庆祝新中国成立70周 年阅兵式知识的初赛,要求每人回答一个问题,答对得2分,答错得0分.已知6名男生中有2人所有题目都不会答,只能得0分,其余4人可保证得2分;3名女生每人得2分的概率均为.现选择2名男生和3名女生,每人答一题,则所选队员得分之和为6分的概率为 . 23 7.[2020洛阳市第一次联考]水车在古代是进行灌溉引水的工具,是中国古代劳动人民的发明,也是人类利用自然和改造自然的象 征,图3 - 3是一个半径为R的水车的示意图,一个水斗从点A(3√3, - 3)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时60秒,经过t秒后,水斗旋转到点P,设点P的坐标为(x,y),其纵坐标满足y=f (t)=Rsin(ωt+φ)(t≥0,ω>0,|φ|<),则下列叙述正确的是 .(填序号) π2 图 3 - 3 ①R=6,ω=,φ= - ; ②当t∈[35,55]时,点P到x轴的距离的最大值为6; ③当t∈[10,25]时,函数y=f (t)单调递减; ④当t=20时,|PA|=6√3. π30π6 专项突破四 提能力·数学探究 1.[数列与全(特)称命题交汇]已知数列{an}满足:a1=a,an+1=𝑎2𝑛+𝑎1(n∈N*),则下列判断正确的是 𝑛 ( ) A.∀a>0,∃n≥2,使得an<√2 B.∃a>0,∃n≥2,使得an 2.[三角函数与二次函数交汇]如图4 - 1所示,函数f (x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<2)的图象与二次函数y= - 2x2+2x+1的图象交于点 A(x1,0)和B(x2,1),则f (x)的解析式为 ( ) π31 图4 - 1 A.f (x)=sin(x+) B.f (x)=sin(x+) C.f (x)=sin(x+) D.f (x)=sin(x+) 1 3.[导数与三角函数交汇]已知函数f (x)的定义域为R,f (1)= - ,对任意的x∈R,满足f ' (x)>4x.当α∈[0,2π]时,不等式f (sin α)+ 22π 2 π3 π2 π6 16π312π3 cos 2α>0的解集为 A.(, 7π11π ) 66 ( ) 4π5π33 π2π33 B.(,) C.(,) D.(,) π5π66 4.[函数、极值与数列交汇]定义在[0,+∞)上的函数f (x)满足:当0≤x<2时,f (x)=2x - x2;当x≥2时,f (x)=3f (x - 2).若函数f (x)的极大 值点从小到大依次记为a1,a2,…,an,…,并记相应的极大值为b1,b2,…,bn,…,则a1b1+a2b2+…+a20b20的值为 A.19×320+1 C.20×319+1 B.19×319+1 D.20×320+1 ( ) 图4 - 2 5.[立体几何与函数交汇]如图4 - 2所示,在长方体ABCD - A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为3的正方形,侧棱AA1=t,P为矩形 CDD1C1上及内部的动点,M为BC的中点,∠APD=∠CPM,三棱锥A1 - PCD的体积的最大值记为V(t),则下列关于函数V(t)的结论 正确的是 A.V(t)为奇函数 C.V(2)=3 B.V(t)在(0,+∞)上单调递增 D.V(3)= 3√3 2 ( ) 6.[2020山东省统考]半径为2的球面上有A,B,C,D四点,且AB,AC,AD两两垂直,则△ABC,△ACD与△ADB面积之和的最大值 为 . 𝑛 7.[数列与双曲线交汇]已知一族双曲线En:x2 - y2=2 019(n∈N*,n≤2 019),设直线x=2与En在第一象限内的交点为An,点An在En的两条渐近线上的射影分别为Bn,Cn,记△AnBnCn的面积为an,则a1+a2+a3+…+a2 019= . 8.[新定义题]对于实数x,[x]表示不超过x的最大整数,已知正项数列{an}满足Sn=2(an+𝑎),n∈N*,其中Sn为数列{an}的前n项和,则 𝑛 11 [ 1𝑆1 + 11+…+]= 𝑆2𝑆121 . 9.[2020山东省统考]在①b1+b3=a2,②a4=b4,③S5= - 25这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的k存在,求出k的 值;若k不存在,说明理由. 设等差数列{an}的前n项和为Sn,{bn}是等比数列, ,b1=a5,b2=3,b5= - 81,是否存在k,使得Sk>Sk+1且Sk+1 个,补充在下面的问题中.若问题中的正实数a存在,求出a的值;若a不存在,说明理由. 已知函数f (x)=4sin(ωx+)+a(ω∈N*)的最小正周期不小于,且 ,是否存在正实数a,使得函数f (x)在[0,]上有最大值3? π 6 π3 π12 5π5πππ 11.[开放题]已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, ,若b=√13, . 请从下面的三个条件中任选一个,两个结论中任选一个,组成一个完整的问题,并给出解答. 条件:①asin 𝐴+𝐶 =bsin A, 2 π6 ②bsin A=acos(B - ), ③a2+c2 - b2=abcos A+a2cos B. 结论:①求△ABC的周长的取值范围, ②求△ABC的面积的最大值. 12.为了推进产业转型升级,加强自主创新,发展高端制造、智能制造,把我国制造业和实体经济搞上去,推动我国经济由量大转向 质强,许多企业致力于提升信息化管理水平.一些中小型工厂的规模不大,在选择管理软件时需进行调查统计.某一小型工厂自己没有管理软件,也没有相应的高级技术员,欲购买管理软件服务公司的管理软件,并让其提供服务,某一管理软件服务公司有如下两种收费方案. 方案一:管理软件服务公司每月收取工厂4 800元,对于提供的软件服务,每次另外收费200元. 方案二:管理软件服务公司每月收取工厂7 600元,若每月提供的软件服务不超过15次,不另外收费,若超过15次,超过部分的软件服务每次另外收费500元. (1)设管理软件服务公司月收费为y元,每月提供的软件服务的次数为x,试写出两种方案中y与x的函数关系式. (2)该工厂对该管理软件服务公司为另一个工厂过去20个月提供的软件服务的次数进行了统计,得到如图4 - 3所示的条形统计图.该工厂要调查服务质量,现从服务次数为13次和14次的月份中任选3个月,求这3个月恰好是1个13次服务、2个14次服务的概率. (3)依据条形统计图中的数据,把频率视为概率,从节约成本的角度考虑该工厂选择哪种方案更合适,并说明理由. 图4 - 3 专项突破五 重应用·数学建模 1. [解三角形模型]如图5 - 1, 图5 - 1 为了测量A,B两点间的距离,观察者找到在同一直线上的三点C,D,E.从D点测得∠ADC=67.5°,从C点测得∠ACD=45°, ∠BCE=75°,从E点测得∠BEC=60°.若测得DC=2√3 km,CE=√2 km,则A,B两点间的距离为 A.√6 km B.2√2 km C.3 km D.2√3 km ( ) 2.[古典概型]古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了“完全数”(完全数,即它所有的真因子的和恰好等于它本身)6和28, 后人进一步研究发现后续3个“完全数”分别为496,8 128,33 550 336.现将这5个“完全数”随机分为两组,一组2个,另一组3个,则6和28恰好在同一组的概率为 A. 15 ( ) B. 25 C. 35 D. 110 3.[构建长方体模型]已知m,n是两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,有下列四个命题: ①若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β;②若m∥α,n∥β,m⊥n,则α∥β;③若m⊥α,n∥β,m⊥n,则α∥β;④若m⊥α,n∥β,α∥β,则m⊥n. 其中正确的命题是 A.①④ B.②④ C.①③ D.④ ( ) ( ) 4.[多选题]在正四面体ABCD中,已知E,F分别是AB,CD上的动点(不含端点),则下列说法不正确的是 A.不存在点E,F ,使得EF⊥CD B.存在点E,使得DE⊥CD C.存在点E,使得DE⊥平面ABC D.存在点E,使得平面CDE⊥平面ABC 5.某中学的劳动技能课上,老师要求学生将一个直三棱柱ABC - A1B1C1形状的物体(如图5 - 2)雕刻成上部分为半球、下部分为 圆柱的物体(如图5 - 3),其中AC=4,BC=3,∠ACB=90°,AA1=3,则原材料的最大利用率是 .(π取3.14,结果精确到0.1%) 图5 - 2 图5 - 3 6.[2020大同市调研测试]下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(单位:吨)与相应的生产能耗y(单 位:吨标准煤)的几组对照数据. x y (1)请画出上表数据的散点图; 3 2.5 4 3 5 4 ＾ 6 4.5 ＾ (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法,求出y关于x的线性回归方程𝑦=𝑏x+𝑎; (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤,试根据(2)中求出的线性回归方程预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤. 参考数据:𝑏=𝑖=1𝑛 ^ 𝑛 𝑛 ^ ∑(𝑥𝑖-𝑥)(𝑦𝑖-𝑦)𝑖=1 ∑(𝑥𝑖-𝑥)2 =𝑖=1𝑛∑𝑥𝑖𝑦𝑖-𝑛𝑥 𝑦＾ 𝑖=12 ∑𝑥2𝑖-𝑛𝑥,𝑎=𝑦 − 𝑏𝑥. ^ 7.[函数模型]受多种因素影响,2019年7月以来猪肉价格节节攀升.某地方政府为落实“迅速采取有力措施稳定恢复生猪生产,确 保猪肉供应和市场价格基本稳定”这一重要指示,决定对本地区宰杀生猪的定点厂家提供政府补贴,平衡猪肉的市场价格.设猪肉的市场价格为x(单位:元/千克),政府补贴为a(单位:元/千克),根据市场调查,当16≤x≤36时,猪肉市场日供应量p(单位:万千克)与日需求量q(单位:万千克)近似地满足关系:p=x+6a - 8(16≤x≤36,a≥0),q=m+ 3 10 2 880(𝑥+4)2(16≤x≤36,m∈R).已知猪肉的市场价格为26元/千 克时,日需求量为13.2万千克,定义猪肉市场日供应量与日需求量相等时的市场价格为猪肉市场的平衡价格. (1)将政府补贴a表示为市场平衡价格x的函数,并求出函数的值域; (2)为使市场平衡价格不高于28元/千克,政府补贴至少为每千克多少元? 8.[2020湖北八校第一次联考][生活消费]“双十一”期间,某电商店铺A的活动为:全场商品每满60元返5元的优惠券(例如:买 130元的商品,可用两张优惠券,只需付130 - 5×[ 130 ]=130 - 5×2=120(元).其中[x]表示不大于60 x的最大整数).此外,在店铺优惠后, 电商平台全场还提供每满400元减40元的优惠(例如:店铺A原价880元的一单,最终价格是880 - 5×14 - 40×2=730(元)),店铺优惠后不满400元则不能享受全场每满400元减40元的优惠活动. (1)小明打算在“双十一”期间在店铺A买一款250元的耳机和一款650元的音箱,是下两单(即耳机、音箱分两次购买)划算?还是下一单(即耳机、音箱一起购买)划算? (2)小明打算趁“双十一”囤积某生活日用品若干,预算不超过700元,该生活日用品在店铺A的售价为30元/件,试计算购买多少件该生活日用品才能使平均价格最低,最低平均价格是多少? 第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 第一讲 集 合 1.[2020湖南长郡中学测试]已知集合A={x∈N|1 B.k≥8 C.k>16 D.k≥16 ( ) ( ) ( ) 2.[2020湖南衡阳八中模拟]已知集合P={x∈R|0≤x≤4},Q={x∈R||x|<3},则P∪Q= A.[3,4] B.(-3,+∞) C.(-∞,4] A.{x| - 1 D.(-3,4] C.{x|x< - 1或x>2} D.{x|x≤ - 1或x≥2} 3.[2020武汉市部分学校质量监测]已知集合A={x|x2 - x - 2<0},则∁RA= 4.[2020江淮十校联考]已知集合A={y|y=x+1,x≠0},集合B={x|x2 - 4≤0},若A∩B=P,则集合P的子集个数为 𝑥A.2 B.4 C.8 D.16 ( ) 5.[新角度题]已知全集U={ - 2,0,1},集合A={x|x2+x - 2=0},B={x| - x2+x=0},则A∪(∁UB)= A.{-1,0} B.{0,1} C.{-2,1} D.{-2,0,1} ( ) ( ) 6.[2020贵阳市高三摸底测试]已知函数f (x)=lg(1 - x)的定义域为M,函数g(x)=𝑥的定义域为N,则M∩N= A.{x|x≤1} C.{x|x>1} B.{x|x≤1且x≠0} D.{x|x<1且x≠0} 1 7.[2020山东省统考]设集合A={(x,y)|x+y=2},B={(x,y)|y=x2},则A∩B= A.{(1,1)} B.{( - 2,4)} C.{(1,1),( - 2,4)} D.∅ ( ) 8.[2020河南周口第一次质检]已知全集U为实数集R,集合M={x|𝑥+3<0},N={x||x|≤1},则如图1 - 1 - 1所示的阴影部分表示的集 𝑥-1 合是 ( ) 图1 - 1 - 1 A.(-1,1) B.(-3,1) C.(-∞,-3)∪(-1,+∞) D.(-3,-1) 9.[2019太原二模]已知集合A={1,2,4,8},B={y|y=log2x,x∈A},则A∩B= A.{1,2} B.{0,1,2,3} C.{1,2,3} D.{0,3} ( ) 10.[多选题]已知A⊆B,A⊆C,B={2,0,1,8},C={1,9,3,8},则A可以是 A.{1,8} B.{2,3} C.{1} A.M∩N=M C.M∩(∁RN)=∅ D.{2} ( ) ( ) 11.[多选题]设集合M={x|(x - 3)(x+2)<0},N={x|x<3},则 B.M∪N=N D.M∪N=R 12.[2020四川模拟]已知集合A={x|x是1~20以内的所有素数},B={x||x|≤8},则A∩B= A.{3,5,7} B.{2,3,5,7} C.{1,2,3,5,7} D.{0,1,2,3,5,7} ( ) 13.[2020洛阳市第一次联考][易错题]全集U=R,集合A={x|y=log2 019(x - 1)},集合B={y|y=√𝑥2+4𝑥+8},则A∩(∁UB)= A.[1,2] B.[1,2) C.(1,2] D.(1,2) ( ) 14.[2020天津实验中学模拟]设A={x|x2 - 8x+15=0},B={x|ax - 1=0},若A∩B=B,则由实数a的取值组成的集合的子集的个数为 A.2 B.3 C.4 D.8 ( ) ( ) ( ) D. (-1,0) D.[3,+∞) ( ) 15.[2020山东师大附中二模]已知集合M={x|x2 - x<0},N={x|2x2 - ax - 1<0},且M⊆N,则实数a的取值范围是 A.(-∞,1] B. [1,+∞) C. (0,1) A.( - ∞,1] B.(1,3) C.[1,3] 16.[2019湖南重点高中联考]已知集合A={x|a - 2 A.[-√2,√2] B.[0,2] C.[0,√2] D.(√2,2] 18.[新定义题]对于非空数集A={a1,a2,a3,…,an}(n∈N*),其所有元素的算术平均数记为E(A),即E(A)= 𝑎1+𝑎2+𝑎3+…+𝑎𝑛 .若非空数集 𝑛 B满足下列两个条件,①B⊆A,②E(B)=E(A),则称B为A的一个“保均值子集”.据此,集合M={1,2,3,4,5}的“保均值子集”有 A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 ( ) 第二讲 常用逻辑用语 1.[2020山东省统考]设命题p:所有正方形都是平行四边形,则¬p为 A.所有正方形都不是平行四边形 B.有的平行四边形不是正方形 C.有的正方形不是平行四边形 D.不是正方形的四边形不是平行四边形 ( ) 2.[2020广东省台山市华侨中学模考]已知i是虚数单位,p:复数a - 1+bi(a,b∈R)是纯虚数,q:a=1,则p是q的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ( ) 3.[2020西安五校联考]“ln(x+1)<0”是“x2+2x<0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 ( ) D.既不充分也不必要条件 4.[2020武汉市部分学校质量监测]已知α,β是两个不重合的平面,直线a⊂α,p:a∥β,q:α∥β,则p是q的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ( ) 5.[2020贵阳市高三摸底测试]“k=√3”是“直线l:y=k(x+2)与圆x2+y2=1相切”的 3( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.[2020大同市高三调研测试]已知命题p:∀x∈R,ex+e - x≥2,命题q:∃x0∈(0,+∞),2𝑥0=1 2,则命题p,q的真假判断正确的是 ( A.p真q假 B.p真q真 C.p假q真 D.p假q假 7.[2019北京高考改编]已知函数f (x)=sin(2x - φ),则“φ= - π 2”是“函数f (x)是偶函数”的 ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.[2019湖北、山东部分重点中学联考]设x∈R,若“log2(x - 1)<1”是“x>2m2 - 1”的充分不必要条件,则实数m的取值范围是 ( A.[ - √2,√2] B.( - 1,1) C.( - √2,√2) D.[ - 1,1] 9.[2019湖南邵阳高三大联考]若命题“∃x0∈R,𝑥2 0+2mx0+m+2<0”为假命题,则m的取值范围是 ( A.( - ∞, - 1)∪[2,+∞) B.( - ∞, - 1)∪(2,+∞) C.[ - 1,2] D.( - 1,2) 10.[原创题]“a<2”是“∀x>0,a≤x+1 𝑥”的 ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 11.[多选题]已知a,b为实数,则下列是ln a>ln b的必要不充分条件的是 ( A.√𝑎>√𝑏 B.ac2>bc2 C.a2>b2 D.1 <1𝑎 𝑏 12.[新角度题]已知正项等比数列{an},则“1 D.既不充分也不必要条件 13.[多选题]下列说法正确的是 ( A.“x>2”是“x2 - 3x+2≥0”的充分不必要条件 B.命题“∀x∈(0,+∞),2x<3x”是假命题 C.命题p:∃x0∈R,𝑥20+x0+1<0,则¬p:∀x∈R,x2+x+1≥0 D.若f (x)是定义在R上的函数,则“f (0)=0”是“f (x)是奇函数”的必要不充分条件 14.[2019浙江高考]设a>0,b>0,则“a+b≤4”是“ab≤4”的 ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ) ) ) ) ) ) ) ) ) C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 15.[2019河北衡水联考]已知a是实数,p:∃x0∈[1,2],x0 - 1 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ( ) 第三讲 不等关系与一元二次不等式 1.[2020长春市第一次质量监测]已知集合A={x||x|≥2},B={x|x2 - 3x>0},则A∩B= A.∅ B.{x|x>3或x≤ - 2} C.{x|x≥2或x<0} D.{x|x>3或x<0} ( ) 2.[2020四省八校联考]已知f (x)是定义在R上的奇函数,且在R上是减函数,f (1)= - 2,则满足f (3 - x2)<2的实数x的取值范围 是 A.( - 1,1) B.( - 2,0) C.( - 2,2) D.(0,2) ( ) ( ) 3.[2020陕西师大附中开学考试]若0 A.()a<1 B. 𝑏𝑐 𝑐-𝑎𝑏-𝑎 > C.ca - 1 1𝑏𝑐𝑏 1 4.[多选题]若1<<0,则下列结论正确的是 𝑎𝑏 A. 1 𝑎+𝑏< 1 𝑎𝑏B.|a|+b>0 C.a - >b - D.ln a2>ln b2 1 1 1𝑎5.[2019天津模拟]x>y>0是𝑥-𝑦>𝑥成立的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 11 6.[2019蓉城名校高三联考]已知a=4cos1,b=3sin ,c=3cos,则a,b,c的大小关系是 433 ( ) ( ) A.c 是 . 8.使不等式x2+(a - 6)x+9 - 3a>0(|a|≤1)恒成立的x的取值范围为 . π 9.已知角α,β满足 - π<α - β<,0<α+β<π,则3α - β的取值范围是 . 22 10.[2020浙江省七校期初联考]若a+b>0,则 A.ln a+ln b>0 B.a3+b3>0 C.tan a+tan b>0 D.|a|>|b| ( ) 11.[2019浙江全真模拟(二)]设0 A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,3) D.(3,5) 12.[2019湖北八校联考]已知函数f (x)=x2 - ax+a+3,g(x)=ax - 2a,若∃x0∈R,使f (x0)<0和g(x0)<0同时成立,则实数a的取值范围 为 A.(7,+∞) B.(-∞,-2)∪(6,+∞) C.(-∞,-2) D.(-∞,-2)∪(7,+∞) ( ) 13.[2019广东百校联考]已知函数f (x)=ax+ex - xln a(a>0,a≠1),对任意的x1,x2∈[0,1],不等式|f (x2) - f (x1)|≤a - 2恒成立,则a的取 值范围为 A.[,e2] B.[ee,+∞) C.[,+∞) 12 12 ( ) D.[e2,ee] 14.[2019河南南阳模拟]不等式x(sin θ - cos2θ+1)≥ - 3对任意的θ∈R恒成立,则实数x的取值范围是 . 15.已知函数f (x)=(ex - e - x)x(e为自然对数的底数),f (log3x)+f (log1x)≤2f (1),则x的取值范围是 . 3第四讲 基本不等式 1.[2020四省八校联考]若a>0,b>0,ab=2,则a+2b的最小值为 A.2√2 B.4 C.4√2 D.6 𝑎 的最大值是 1𝑥2 ( ) 2.已知关于x的不等式x2 - 4ax+3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2),则x1+x2+𝑥 A. 3 √6( ) B. 2√34√3 C. 33 D.- 4√3 3 𝑦 1 2 3.[2020惠州市二调][双空题]设x,y为正数,若x+2=1,则𝑥+𝑦的最小值是 ,此时x= . 1 4.[2020惠州市一调]已知x>5,则函数y=4x+的最小值为 . 44𝑥-5+2𝑦 5.[2020江苏扬州中学阶段检测]已知正数x,y,z满足(x+2y)(y+z)=4yz,且z≤3x,则3𝑥3𝑥𝑦的取值范围是 . 2 2 6.[多选题]已知a>1,b>1且ab - (a+b)=1,那么下列结论正确的是 A.a+b有最小值2+2√2 B.a+b有最大值2+2√2 C.ab有最大值1+√2 D.ab有最小值3+2√2 17.[2020合肥市调研检测]若直线l:ax - by+2=0(a>0,b>0)经过圆x2+y2+2x - 4y+1=0的圆心,则1+的最小值为 𝑎𝑏 ( ) ( ) A.2√2 B.√2 C.2√2+1 D.√2+ ( ) ( ) 3 28.[2019福建宁德市、福鼎市三校联考]已知正数a,b,c满足4a - 2b+25c=0,则lg a+lg c - 2lg b的最大值为 A. - 2 B.2 C. - 1 D.1 9.直线ax+by+1=0与圆x2+y2=1相切,则a+b+ab的最大值为 A.1 B.-1 C.√2+ D.√2+1 12192 10.[2020湖南师大附中高三摸底测试]已知正项等比数列{an}满足a7=a6+2a5,若存在两项am,an,使得am·an=16𝑎1,则+的最小 𝑚𝑛 值为 . 11.[2020四川天府名校第一轮联考]已知实数a>b>c>0,若不等式𝑎-𝑏+𝑏-𝑐+𝑐-𝑎≥0恒成立,则k的最大值是 . 12.[2019湖南湘潭模拟]某单位有员工1 000名,平均每人每年创造利润10万元,为了增加企业竞争力,该单位决定优化产业结构, 调整出x(x∈N*)名员工从事第三产业,调整后从事第三产业的员工平均每人每年创造的利润为10(a - 0.8x%)(a>0)万元,剩余员工平均每人每年创造的利润可以提高0.4x%. (1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润,则最多调整出多少名员工从事第三产业? (2)在保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润的条件下,若要求调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润,求a的取值范围. 11𝑘 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第一讲 函数及其表示 1.[2020陕西省安康市第一次联考]函数f (x)=√3-3-𝑥+ln|x|的定义域为 A.[ - 1,+∞) C.( - ∞, - 1) B.[ - 1,0)∪(0,+∞) D.( - 1,0)∪(0,+∞) ( ) 2.[2020湖北省荆州中学、宜昌一中、龙泉中学三校联考]下列函数中,其定义域和值域与函数y=eln x的定义域和值域相同的是 A.y=x B.y=ln x C.y= D.y=10x (1-2𝑎)𝑥+3𝑎(𝑥<1), 的值域为R,则实数a的取值范围是 121√𝑥( ) 3.[2020山东师大附中二模]函数f (x)={ln𝑥(𝑥≥1) A.( - ∞, - 1) B.[,1] C.[ - 1,) 1212( ) D.(0,) 且f (a)= - 3,则f (6 - a)= -log2(𝑥+1),𝑥>1 ( ) 𝑥-1 4.[2020福建龙海初调]已知函数f (x)={2-2,𝑥≤1, A.- 74 B.- 54 C.- 34 D.- 𝑥+2,𝑥≤2, ( ) 14 5.[2019皖中名校联考]若函数f (x)={1+log𝑥,𝑥>2(a>0,a≠1)的最大值是4,则a的取值范围是 𝑎 A.(0,1)∪(1,2] B.(0,1)∪(1,√2] C.(0,1) D.(0,1)∪(1,√2] 3 𝑥2+𝑥-2(𝑥≤1), 6.[2020惠州市二调]设函数f (x)={则f (f ( - 4))= . 1-lg𝑥(𝑥>1), 7.[双空题]已知a>0且a≠1,函数f (x)={ 𝑓(𝑥+2),𝑥<0, 若f (2)=8,则实数a的值为 ,f ( - 3)= . 𝑎𝑥 - 1,𝑥≥0, 2-e,𝑥≤1, 1,𝑥>1,则使1 函数”的是 A.y=x2 B.y= 1 C.y=ln(2x+3) 𝑥-1( ) D.y=2x+3 ( ) 2-𝑥,𝑥<1, 10.[2020武汉市模拟]设函数f (x)={𝑥则满足2f (f (a))=f (a)的a的取值范围是 ,𝑥≥1, 2 A.( - ∞,0] B.[0,2] C.[2,+∞) D.( - ∞,0]∪[2,+∞) 𝑓(2𝑥) y=𝑥 - 3的的定义域为 11.[2020宁夏长庆模拟]若函数f (x)的定义域为[1,8],则函数 A.(0,3) B.[1,3)∪(3,8] C.[1,3) D.[0,3) ( ) 𝑎𝑥,𝑥<0,1 12.[交汇题]设a=sin390°,函数f (x)={log𝑥,𝑥≥0,则f (1)+f (log2)的值等于 88𝑎A.9 B.10 C.11 D.12 22-𝑥,𝑥<2, 13.[易错题]已知函数f (x)={32 若不等式a≤f (x)≤b的解集恰好为[a,b],则b - a= . 𝑥-3𝑥+4,𝑥≥2, 4 ( ) 14.[2019郑州市第三次质量预测]设函数h(x)的定义域为D,若满足条件:存在[m,n]⊆D,使h(x)在[m,n]上的值域为[2m,2n],则称 h(x)为“倍胀函数”.若函数f (x)=ax(a>1)为“倍胀函数”,则实数a的取值范围是 . 第二讲 函数的基本性质 1.[多选题]下列函数中,既是偶函数,又在(0,+∞)上单调递增的是 A.y=ln(√1+9𝑥2 - 3x) B.y=ex+e – x C.y=x2+1 D.y=cos x+3 ( ) 2.[原创题]已知函数f (x)=x(x - a)+b,若函数y=f (x+1)为偶函数,且f (1)=0,则b的值为 A.-2 B.-1 C.1 D.2 (𝑎-3)𝑥+5,𝑥≤1, 𝑥 ( ) 3.[2020湖北华师一附中月考]已知函数f (x)={2𝑎 A.(0,3) B.(0,3] C.(0,2) D.(0,2] ,𝑥>1, f (x)是R上的减函数,则a的取值范围是 ( ) 4.[2020宁夏银川一中模拟]已知f (x)=x3+ln1-𝑥,且f (3a - 2)+f (a - 1)<0,则实数a的取值范围是 A.(,) 1334 1+𝑥 ( ) B.( - ∞,) C.( - ∞,) D.(,1] 143413 5.[2020陕西省百校第一次联考]函数f (x)在[0,+∞)上单调递增,且f (x+2)的图象关于直线x= - 2对称,若f ( - 2)=1,则满足f (x - 2)≤1的x的取值范围是 A.[-2,2] B.(-∞,-2]∪[2,+∞) C.(-∞,0]∪[4,+∞) D.[0,4] ( ) 6.[2020惠州市一调]已知函数f (x)=|ln(√𝑥2+1 - x)|,设a=f (log30.2),b=f (3 - 0.2),c=f ( - 31.1),则 A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b 示,则f (2 018)+f (2 019)= D.c>b>a ( ) 7.[2019江西红色七校第一次联考]设f (x)是定义在R上的周期为3的周期函数,该函数在区间( - 2,1]上的图象如图2 - 2 - 1所 ( ) 图2 - 2 - 1 A.2 B.1 C.-1 D.0 8.[2020南昌市测试]已知定义在R上的偶函数f (x)满足f (2 - x)+f (x)=0,f (0)=√3,则 f (10)= . 9.[2020江苏苏州初调]若y=f (x)是定义在R上的偶函数,当x∈[0,+∞)时,f (x)=𝑓 则f ( - 6 - 5)= . π 10.[多选题]已知函数y=f (x)是R上的奇函数,对任意x∈R,都有f (2 - x)=f (x)+f (2)成立,当x1,x2∈[0,1],且x1≠x2时,都有 f(x1)f(x2)0,则下列结论正确的有 x1x2A.f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2 019)=0 B.直线x= - 5是函数y=f (x)图象的一条对称轴 C.函数y=f (x)在[ - 7,7]上有5个零点 D.函数y=f (x)在[ - 7, - 5]上为减函数 ( ) 11.[2020长春市第一次质量监测]已知函数y=f (x)是定义在R上的奇函数,且满足f (2+x)+f (x)=0,当x∈[ - 2,0]时,f (x)= - x2 - 2x, 则当x∈[4,6]时,y=f (x)的最小值为 A. - 8 B. - 1 C.0 D.1 ( ) 12.[2020广东七校联考]已知定义在R上的偶函数y=f (x+2),其图象是连续的,当x>2时,函数y=f (x)是单调函数,则满足f (x)=f (1 - A.3 1 )的所有𝑥+4 x之积为 ( ) C. - 39 D.39 ln𝑥,𝑥>1, 13.[原创题]设增函数f (x)={-1+𝑎𝑥的值域为R,若不等式f (x)≥x+b的解集为{x|c≤x≤e},则实数c的值为 ,0<𝑥≤1 𝑥 B. - 3 ( ) A. e-√e2-4e+√e2-4 B. 22 C. e±√e2-4 2D. 1214.[2019郑州市第三次质量预测]已知定义在R上的函数f (x)满足f ( - x)=f (x),且函数f (x)在( - ∞,0)上是减函数,若a= f ( - 1),b=f (log24),c=f (20.3),则a,b,c的大小关系为 A.c ( ) 15.[2019武汉市模拟]函数f (x)=x3 - 3x2+5x - 1图象的对称中心为 . 16.[2019广东百校联考]已知f (x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,且g(0)=0,当x≥0时,f (x) - g(x)=x2+2x+2x+b(b为 常数),则f ( - 1)+g( - 1)= . 17.[2019广东六校第一次联考]已知函数f (x)=x3+ax2+bx满足f (1+x)+f (1 - x)+22=0,则f (x)的单调递减区间是 . 第三讲 二次函数与幂函数 1.[2020浙江联考]在同一直角坐标系中,函数y=ax2+bx,y=ax - b(a>0且a≠1)的图象可能是 ( ) 2. [2020南阳一中模拟]“函数f (x)= - x2+2mx在区间[1,3]上不单调”的一个必要不充分条件是 A.1 A.c ( ) D.c 4.[2020湖南长沙雅礼中学模拟]如果f (x)=ax2 - (2 - a)x+1在区间( - ∞,2]上为减函数,则a的取值范围是 A.(0,1] B.[0,1) C.[0,1] D.(0,1) ( ) 5.[2020山西省吕梁市高三阶段测试]已知函数f (x)=x2 - 2x+3在区间[m,m+2]上的最大值为6,则m的取值集合为 A.{ - 1,3} B.{ - 1,1} C.{ - 3,1} A.( - ∞,0] B.[0,+∞) C.[0,√2] D.{ - 3,3} D.[√2,+∞) ( ) 6.[2020沈阳市东北育才学校模拟]已知函数y=f (x)为偶函数,且在[0,+∞)上单调递减,则y=f (2 - x2)的一个单调递增区间为 ( ) 7.[2019皖中名校第二次联考]设a∈R,若函数f (x)在区间(0,+∞)上是增函数,则 A.f (a2+a+2)>f () B.f (a2+a+2) 4 74 74 74 ( ) 8.[易错题]函数f (x)=ax2+3x - a(a∈R) A.没有零点 B.有一个零点 C.有两个零点 D.有一个零点或有两个零点 135( ) 9.[2019衡水模拟]已知函数f (x)=(m+2)𝑥𝑚 A.f (a) 是幂函数,设a=log54,b=log1,c=0.5 - 0.2,则f (a),f (b),f (c)的大小关系是 ( ) 10.[2019湖北、山东部分重点中学第一次联考]已知函数y=4x - 3·2x+3,若其值域为[1,7],则x可能的取值范围是 A.[2,4] B.( - ∞,0] C.(0,1]∪[2,4] D.( - ∞,0]∪[1,2] 𝑥2+3𝑥(𝑥≥0), 则f ( - 3)= . 𝑓(𝑥+2)(𝑥<0), ( ) 11.[2020河南周口一检]函数y=loga(x - 1)+4的图象恒过定点P,点P在幂函数f (x)的图象上,则f (3)= . 12.[2020惠州市一调]设函数f (x)={ 13.[2020南阳市第一中学第三次月考]已知幂函数f (x)=(m2 - 3m+3)·xm+1为奇函数,则不等式f (2x - 3)+f (x)>0的解集 为 . 14.[2019蓉城名校高三第一次联考]若∀x∈R,2x2 - mx+3≥0恒成立,则实数m的取值范围为 . 15.[2019湖南省邵阳市高三大联考]若对任意的x∈[a,a+2],均有(3x+a)3≤8x3,则a的取值范围是 . 16.[交汇题]已知函数f (x)=x2+(a+8)x+a2+a - 12(a<0),且f (a2 - 4)=f (2a - 8),则 A. 374𝑓(𝑛) - 4𝑎 (n∈N*)的最小值为 𝑛+1 ( ) B. 358C. 283D. 27417.[2020江苏镇江一中模拟]已知函数f (x)是定义在[2 - a,3]上的偶函数,在[0,3]上单调递减,且f ( - m2 - 𝑎)>f ( - m2+2m - 2),则 5 实数m的取值范围是 . 18.[2019广东省茂名市五校联考]已知函数f (x)=x2+bx+c(b,c∈R)的值域为[0,+∞),若关于x的不等式f (x) 12 𝑓(𝑏) - 𝑓(𝑎) ,则称函数𝑏 - 𝑎 f (x)是 [a,b]上的“中值函数”.已知函数f (x) =x3−x2+m是[0,m]上的“中值函数”,则实数m的取值范围是 . 第四讲 指数与指数函数 1.[2020大同市高三调研]设a=20.5,b=log0.50.6,c=tan4π,则 5A.a 2.[2020四川绵阳一诊]若a=(1)0.6,b=3 - 0.8,c=ln 3,则a,b,c的大小关系为 3 A.b>c>a B.c>a>b C.c>b>a D.a>c>b ( ) 3.[原创题]已知函数f (x)=2x+x - 5,则不等式 - 2≤f (4x - 1)≤6的解集为 A.[-1,-] B.[-,] C.[,1] 12 1122 12 ( ) D.[1,] ( ) 32 4.[2019安徽省第二次联考]若函数f (x)=(1)x - a的图象经过第一、二、四象限,则f (a)的取值范围为 2 A.(0,1) B.( - ,1) C.( - 1,1) 12 D.( - ,+∞) ( ) ( ) 12 5.已知定义在R上的函数f (x)=2|x - m| - 1为偶函数,记a=f (log0.53),b=f (log25),c=f (2m),则 A.a C.0 C.c 8.[2019济南市质检]已知定义在R上的奇函数f (x)的周期为4,当x∈( - 2,0)时,f (x)=2x+1,则f (5)= . 9.[2019昆明市高考模拟]能说明“已知f (x)=2|x - 1|,若f (x)≥g(x)对任意的x∈[0,2]恒成立,则在[0,2]上,f (x)min≥g(x)max”为假命题的 一个函数g(x)= .(填出一个函数即可) 5 10.[2019湖南四校联考]已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (x+5)+f (x)=0,当 - ≤x≤0时,f (x)=2x+a,则f (16)= . 24 9 11.[2020山西大学附中诊断]已知函数f (x)=x - 4+𝑥+1,x∈(0,4),当x=a时,f (x)取得最小值b,则函数g(x)=a|x+b|的图象为 ( ) 12.[多选题]已知函数f (x)=ex - e - x,g(x)=ex+e - x,则下列结论错误的是 A.任意的x1,x2∈R且x1≠x2,都有 𝑓(𝑥1)-𝑓(𝑥2) <0 𝑥1-𝑥2 ( ) B.任意的x1,x2∈R且x1≠x2,都有C.f (x)有最小值,无最大值 D.g(x)有最小值,无最大值 𝑔(𝑥1)-𝑔(𝑥2) <0 𝑥1-𝑥2 13.[2020长春市第一次质量监测]已知函数f (x)={ 是 e-𝑥-1(𝑥≤0), 若存在x0∈R使得f (x0)≤m(x0 - 1) - 1成立,则实数m的取值范围 √𝑥(𝑥>0), ( ) D.( - ∞, - 1]∪(0,+∞) ( ) A.(0,+∞) B.[ - 1,0)∪(0,+∞) C.( - ∞, - 1]∪[1,+∞) 2-𝑥,𝑥≤1, 14.[2019武汉市模拟]设函数f (x)={𝑥则y=2f (f (x)) - f (x)的取值范围为 ,𝑥>1, 2A.( - ∞,0] B.[0, 2√2-12√2-1 ] C.[,+∞) 22 D.( - ∞,0]∪[ 2√2-1 ,+∞) 2 1-𝑥 15.已知函数f (x)={2,𝑥≤0, 若|f (a)|≥2,则实数a的取值范围是 . 1-log2𝑥,𝑥>0, 2 16.已知点P(a,b)在函数y=e𝑥的图象上,且a>1,b>1,则aln b的最大值为 . 17.已知函数f (x)=ex,若关于x的不等式[f (x)]2 - 2f (x) - a≥0在[0,1]上有解,则实数a的取值范围为 . 第五讲 对数与对数函数 1.[多选题]对于函数f (x)的定义域内的任意x1,x2(x1≠x2),当f (x)=lg x时,下列结论正确的是 A.f (0)=1 B.f (x1x2)=f (x1)+f (x2) C. 𝑓(𝑥1)-𝑓(𝑥2)𝑥1-𝑥2 ( ) > 0 D.f ( 𝑥1+𝑥2𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2) )< 22 2.[2020唐山市摸底考试]已知a=ln 3,b=log310,c=lg 3,则a,b,c的大小关系为 A.c 3.[2020武汉市部分学校质量监测]已知a=4ln 3π,b=3ln 4π,c=4ln π3,则a,b,c的大小关系是 D.a 区间为 A.( - ∞, - 1) B.( - ∞,1) C.(1,+∞) D.(3,+∞) ( ) 3( ) 5.[2019河北廊坊省级示范高中联考]若函数f (x)=log1(x2+2a - 1)的值域为R,则a的取值范围为 A.( - ∞,] B.( - ∞,) C.[,+∞) 1 21212D.(,+∞) ( ) 126.[2019武汉市模拟]在同一直角坐标系中,函数f (x)=xa(x>0)与g(x)=logax的图象可能是 A B C D 7.[2020合肥市调研检测]求值:lg1 - lg 25+164= . 4 2 0192 8.[2019石家庄二模]已知函数f (x)={𝑓(𝑥 则f ()= . 2- 1),𝑥>1, 1 log𝑥,0<𝑥≤1, 9.[多选题]已知奇函数f (x)在( - ∞,+∞)上单调递增,f (1)=2,若0 1 ( ) 10.[2020陕西省部分学校摸底测试]已知a>b>0,且a+b=1,x=(𝑎)b,y=logab(𝑎+𝑏),z=logb𝑎,则x,y,z的大小关系是 1111 ( ) A.x>z>y B.x>y>z C.z>y>x D.z>x>y 11.[2020河南三门峡市模拟]已知a>0且a≠1,函数f (x)=loga(x+√𝑥2+𝑏)在区间( - ∞,+∞)上既是奇函数又是增函数,则函数 g(x)=loga||x| - b|的图象是 ( A B C D 12.[2020山东省统考]若a>b>c>1且ac D.logba>logcb>logac 13.[2020南昌市测试][新角度题]已知正实数a,b,c满足:(11 2)a=log2a,(3)b=log2b,c=log1c,则 ( 2A.a ∈(n,n+1),n∈N,则n的值是 ( A.2 B.3 C.4 D.5 15.[2019安徽省池州中学第二次质量检测]已知函数f (x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若实数a满足 f (log2a)+f (log1a)≤2f (1),则a的取值范围是 ( 2A.[1,2] B.(0,1] C.[122,2] D.(0,2] 16.[2019广东省广州市高三测试]已知函数f (x)=loga(x2+x - 1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大2,则a的值为 ( A.2 B.√5 C.√55 D.√5或√55 第六讲 函数的图象 ) ) ) ) ) ) 1.[2020惠州市二调]函数f (x)=𝑥-ln𝑥-1的图象大致是 1 ( ) A B C D 2.[2020大同市高三调研测试]函数f (x)=2x - tan x在( - 2,2)上的图象大致为 ππ ( ) A B C D 3.[2019湖北、山东部分重点中学第一次联考]已知二次函数f (x)的图象如图2 - 6 - 1所示,则函数g(x)=f (x)·ex的图象为 ( ) 图2 - 6 - 1 4.[2019辽宁五校联考]已知函数f (x)={1 𝑥 𝑥2,𝑥≥0,,𝑥<0, g(x)= - f ( - x),则函数g(x)的图象是 ( ) 5.[2019湖北、山东部分重点中学联考]已知函数y=f (x)(x∈R)满足f (x+2)=f ( - x),若函数y=e|x - 1|的图象与函数y=f (x)的图象的 交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),则x1+x2+…+xn= A.0 B.n C.2n D.4n ( ) 6.[2020西安交大附中四诊]现有四个函数:①y=x·sin x,②y=x·cos x,③y=x·|cos x|,④y=x·2x的部分图象如图2 - 6 - 2,但顺序已被 打乱,则按照图象从左到右的顺序,对应的函数序号正确的一组是 ( ) 图2 - 6 - 2 A.①④②③ C.④①②③ B.①④③② D.③④②① 4𝑥(1-𝑥),0≤𝑥≤1, 若a,b,c互不相等,且f (a)=f (b)=f (c),则a+b+c的取值范围是 2 019𝑥,𝑥>1, ( ) 7.[2020四省八校联考]已知函数f (x)={log A.(1,2 020) B.(1,2 019) C.(2,2 020) D.(2,2 019) sinπ𝑥,𝑥∈[0,2], 8.[多选题]对于函数f (x)={1下列结论正确的是 𝑓(𝑥 - 2),𝑥∈(2,+∞), 2( ) A.任取x1,x2∈[2,+∞),都有|f (x1) - f (x2)|≤1 B.函数y=f (x)在[4,5]上单调递增 C.函数y=f (x) - ln(x - 1)有3个零点 D.若关于x的方程f (x)=m(m<0)恰有3个不同的实根x1,x2,x3,则x1+x2+x3= 132 9.[2019安庆十中模拟]如图2 - 6 - 3, 图2 - 6 - 3 已知l1⊥l2,圆心在l1上、半径为1 m的圆O,在t=0 s时与l2相切于点A,圆O沿l1以1 m/s的速度匀速向上移动,圆被直线l2所截上方圆弧长记为x(单位:m),令y=cos x,则y与时间t(0≤t≤1,单位:s)的函数y=f (t)的图象大致为 ( ) A B C D 第七讲 函数与方程 1.[2020山西省实验中学模拟]方程log4x+x=7的解所在的区间是 A.(1,2) B.(3,4) C.(5,6) D.(6,7) ( ) |2𝑥-1|,𝑥<2, 2.[2020洛阳市第一次联考]已知函数f (x)={3若方程f (x) - a=0有三个不同的实数根,则实数a的取值范围是 ( ) ,𝑥≥2, 𝑥-1A.(1,3) B.(0,3) C.(0,2) D.(0,1) 3.[2020武汉市部分学校质量监测]已知函数f (x)=e𝑥 - a.若f (x)没有零点,则实数a的取值范围是 A.[0,e) B.(0,1) C.(0,e) D.[0,1) 𝑥 ( ) 4.[2020江淮十校联考]对任意实数x,恒有ex - ax - 1≥0成立,关于x的方程(x - a)ln x - x - 1=0有两根,为x1,x2(x1 B.x1·x2=1 C.1=2 𝑥𝑥2 ( ) D.x2=e𝑥1 5.[2020江西红色七校第一次联考]若函数f (x)=x - √𝑥 - aln x在区间(1,+∞)上存在零点,则实数a的取值范围为 A.(0,) B.(,e) C.(0,+∞) D.(,+∞) 12 12 12 ( ) 6.[2020洛阳市第一次联考]已知函数f (x)=|x2 - 4x+3|,若方程[f (x)]2+bf (x)+c=0恰有7个不相同的实数根,则实数b的取值范围 是 A.(-2,0) B.(-2,-1) C.(0,1) A.4 B.5 C.6 D.7 𝑎𝑥+3𝑎-2,𝑥≤0 D.(0,2) ( ) ( ) 7.[2019陕西西安三模]若定义在R上的函数f (x)满足f (x+2)=f (x),且当x∈[ - 1,1]时,f (x)=|x|,则方程f (x)=log3|x|的根的个数是 2𝑥 8.[2019河北廊坊省级示范高中联考]若函数f (x)={e-2𝑥+𝑎,𝑥>0,在( - ∞,+∞)上是单调函数,且f (x)存在负的零点,则a的取值 范围是 A.(,1] B.(,] 23 2332 ( ) C.(0,] D.(,+∞) 32 23 9.[新角度题]函数f (x)=x2 - 2x - 1 - |x - 1|的所有零点之和等于 . 10.[2019合肥市高三调研检测]已知f (x)={𝑥𝑥-4,𝑥≤𝑎,(其中a<0,e为自然对数的底数),若g(x)=f (f (x))在R上有三个不同的零点, e-1,𝑥>𝑎 则a的取值范围是 . 2 11.[2020合肥市调研检测]设函数f (x)={ 围为 A.[2,e2) B.[1,e2) C.[e,e2) D.[1,e2] e𝑥,𝑥∈[0,1), 若函数y=f (x) - k存在两个零点x1,x2(x1 ( ) 12.[2020大同市高三调研]已知f (x)=ln𝑥,方程f 2(x)+(2a - 3)f (x)+a2 - 3a=0有三个不等实根,则a的取值范围为 A.{-e}∪(3-e,+∞) B.{-e}∪(0,3-e) C.(-∞,0) D.{-e}∪[3-e,+∞) 𝑥 ( ) 𝑥𝑥2,-1≤𝑥<0, 13.[2019太原市二模]已知函数f (x)={1-且满足f (x+1) - f (x - 1)=0,g(x)=,则方程f (x)=g(x)在[ - 3,5]上所有实2𝑥-1 𝑥+1,0≤𝑥<1, 根的和为 A.3 B.4 C.5 D.6 e𝑥,𝑥<0, 14.[2019皖中名校联考]已知函数f (x)={32则函数g(x)=2[f (x)]2 - 3f (x) - 2的零点个数为 4𝑥-6𝑥+1,𝑥≥0,A.2 B.3 C.4 D.5 ( ) ( ) 15.[2019蓉城名校高三第一次联考]高斯是德国著名的数学家,享有“数学王子”的美誉,以他的名字“高斯”命名的成果达110个,其 中的一个成果是:设x∈R,则y=[x]称为高斯函数,[x]表示不超过x的最大整数,如[1.7]=1,[ - 1.2]= - 2,并用{x}表示x的非负纯小数,即{x}=x - [x].若方程{x}=1 - kx有且仅有4个实数根,则正实数k的取值范围为 A.[,) 1154 ( ) B.(,] 1154 C.[,) D.(,] 11431143 16.[2020陕西省百校第一次联考]已知函数f (x)=|x2+3x|,x∈R.若方程f (x) - a|x - 1|=0恰有3个互异的实数根,则实数a的取值 集合为 . 第八讲 函数模型及其应用 1.[2020湖北省荆州中学、宜昌一中、龙泉中学三校联考]2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策,新政策的主要内 容包括:①个税起征点为5 000元.②每月应纳税所得额(含税)=月收入 - 个税起征点 - 专项附加扣除.③专项附加扣除包括赡养老人、子女教育、继续教育、大病医疗等.其中赡养老人的扣除标准为:独生子女每月扣除2 000元,非独生子女与其兄弟姐妹按照 每月2 000元的标准分摊扣除,但每个人分摊的额度不能超过1 000元.子女教育的扣除标准为:每个子女每月扣除1 000元(可由父母中的一方扣除,或父母双方各扣除500元).给出下列税率表: 级数 1 2 3 … 每月应纳税所得额(含税) 不超过3 000元的部分 超过12 000元至25 000元的部 分 … 税率 3% 超过3 000元至12 000元的部分 10% 20% … 李某为独生子,他的月收入为18 000元,膝下有两名子女(子女教育的费用由李某一人扣除),需要赡养老人(除此之外,无其他专项附加扣除),则李某每月应缴纳的个税金额为 A.590元 B.690元 C.790元 D.890元 ( ) 2.[2020四川绵阳中学模拟]某数学小组进行社会实践调查,了解到鑫鑫桶装水经营部在为如何定价而发愁.通过进一步调研了解 到如下信息:该经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元,销售单价与日均销售量的关系如下表: 销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240 根据以上信息,你认为定价为多少时才能获得最大利润? A.每桶8.5元 B.每桶9.5元 C.每桶10.5元 D.每桶11.5元 ( ) 3.[2020重庆一中摸底考试]某工厂产生的废气经过过滤后排放,规定排放时污染物的残留含量不得超过1%.已知在过滤过程中 的污染物的残留量P(单位:毫克/升)与过滤时间t(单位:时)之间的函数关系为:P=P0·e - kt(k为正的常数,P0为原污染物数量).若前5个小时废气中的污染物被过滤掉了90%,则要能够按规定排放废气,至少还需要过滤 A.小时 B.小时 C.5小时 1259 ( ) D.小时 524.[2020武汉市部分学校质量监测] 武汉是一座美丽的城市,这里湖泊众多,风景如画.图2 - 8 - 1是武汉某景区中一个半径为100 米的圆形湖泊的示意图, 图2 - 8 - 1 为了方便游客观赏,决定在湖中搭建一个“工”字形栈道,其中AB=CD,M,N分别为AB,CD的中点,则栈道最长为 米. 5.[2020山西省实验中学模拟]已知某公司生产某产品的年固定成本为100万元,每生产1千件需另投入27万元,设该公司一年 内生产该产品x千件(0 108-𝑥2(0<𝑥≤10),-𝑥 13175+𝑥 +57(10<𝑥≤25). 6.某品牌手机销售商今年1,2,3月份的销售量分别是1万部,1.2万部,1.3万部,为估计以后每个月的销售量,以这三个月的销售量 为依据,用一个函数模拟该品牌手机的销售量y(单位:万部)与月份x之间的关系,现从二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)或函数 y=abx+c(b>0,b≠1)中选用一个效果好的函数进行模拟,如果4月份的销售量为1.37万部,则5月份的销售量为 万部. 7.[2019皖中名校第二次联考]某公司计划投资开发一种新能源产品,预计能获得10万元~1 000万元的收益.现准备制定一个对 开发科研小组的奖励方案:资金y(单位:万元)随收益x(单位:万元)的增加而增加,且资金总数不超过9万元,同时资金总数不超过收益的20%. (1)若建立奖励方案的函数模型为y=f (x),试研究这个函数的定义域、值域和的取值范围; (2)现有两个奖励方案的函数模型:①y= 𝑥 +2;②y=4lg x - 3.试分析这两个函数模型是否符合公司的要求,并说明理由. 150 𝑦𝑥8.[2019武汉市部分高中联考]某市一家商场的新年最高促销奖设立了三种领奖方式,这三种领奖方式如下.方式一:每天到该商场 领取奖品,价值为40元.方式二:第一天领取的奖品的价值为10元,以后每天比前一天多10元.方式三:第一天领取的奖品的价值为0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番.若三种领奖方式对应的奖品总价值均不超过1 200元,则促销奖的领奖活动最长设置为几天?在领奖活动最长的情况下,你认为哪种领奖方式让领奖者受益最多? 9.[2019山东三校联考]某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召,因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”.调研过程中发 现:某珍稀水果树的单株产量W(单位:千克)与肥料费用10x(单位:元)满足如下关系:W(x)={50𝑥 5(𝑥2+2),0≤𝑥≤2, 1+𝑥 ,2<𝑥≤5, 其他成本投入(如 培育管理、施肥等人工费)20x元.已知这种水果的市场价大约为15元/千克,且销路畅通供不应求.记该珍稀水果树的单株利润为 f (x)(单位:元). (1)求f (x)的函数关系式; (2)当投入的肥料费用为多少时,该珍稀水果树的单株利润最大?最大利润是多少? 第三章 一元函数导数及其应用 第一讲 导数的概念及运算 1.[2020成都市高三摸底测试]设函数f (x)的导函数为f ' (x),若f (x)=exln x+1 - 1,则f ' (1)= 𝑥A.e-3 A. - 2 B.e-2 B.0 C.e-1 C. - 4 D.e ( ) 2.[易错题]已知函数f (x)=f ' (1)x2+2x+2f (1),则f ' (2)的值为 D. - 6 ( ) 3.[2020陕西省百校第一次联考]若f (x)=x3+a是定义在R上的奇函数,则曲线y=f (x)在点(1,f (1))处的切线方程是 A.y=3x - 3 C.y= - 3x - 3 B.y=3x - 2 D.y= - 3x - 2 ( ) 4.[2020广东七校联考]已知函数f (x)=xln x+a的图象在点(1,f (1))处的切线经过原点,则实数a= A.1 B.0 C. 1e( ) D. - 1 5.[2020洛阳市第一次联考]已知f (x)为偶函数,当x>0时,f (x)=ln x - 3x,则曲线y=f (x)在点( - 1, - 3)处的切线与两坐标轴围成的 图形的面积等于 A.1 B. 34 ( ) C. 14 D. 12 7 6.[2020洛阳市第一次联考]已知f (x)=ln x,g(x)=1x2+mx+2(m<0),直线l与函数f (x),g(x)的图象都相切,且与f (x)图象的切点为(1, 2 f (1)),则m的值为 A.-1 B.-3 C.-4 D.-2 ( ) 7.[2020江西五校联考]已知曲线C:y=xex过点A(a,0)的切线有且仅有两条,则实数a的取值范围是 A.( - ∞, - 4)∪(0,+∞) B.(0,+∞) C.( - ∞, - 1)∪(1,+∞) D.( - ∞, - 1) ( ) 8.[2019安徽示范高中高三测试]设f (x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,f ' (x),g' (x)为其导函数,当x<0时,f ' (x)g(x)+ f (x)g' (x)>0且g( - 3)=0,则不等式f (x)g(x)<0的解集是 A.( - 3,0)∪(3,+∞) B.( - 3,0)∪(0,3) C.( - ∞, - 3)∪(3,+∞) D.( - ∞, - 3)∪(0,3) ln(-𝑥+1),𝑥<0, 若f (x) - (m+2)x≥0,则实数m的取值范围是 𝑥2+3𝑥,𝑥≥0, ( ) 9.[2019福建五校第二次联考]已知函数f (x)={ A.(-∞,1] B.[-2,1] C.[0,3] D.[3,+∞) ( ) 10.[2020四川五校联考]已知函数f (x)=ex+ax. (1)若曲线y=f (x)在x=1处的切线与直线x+(e - 1)y - 1=0垂直,求实数a的值; (2)若对于任意实数x≥0,f (x)>0恒成立,求实数a的取值范围. 11.[2020洛阳市第一次联考]已知函数f (x)是定义在R上的偶函数,设函数f (x)的导函数为f ' (x),若对任意x>0都有2f (x)+ xf ' (x)>0成立,则 A.4f ( - 2)<9f (3) B.4f ( - 2)>9f (3) C.2f (3)>3f ( - 2) D.3f ( - 3)<2f ( - 2) ( ) 12.[2019开封市高三模拟]已知函数f (x)=(k+𝑘)ln x+ M,N两点处的切线互相平行,则x1+x2的取值范围为 A.(,+∞) B.(,+∞) C.[,+∞) 85 165 85 4 4-𝑥2 ,k∈[4,+∞),曲线𝑥 y=f (x)上总存在两点M(x1,y1),N(x2,y2),使曲线y=f (x)在 ( ) D.[,+∞) 165 13.[2019辽宁五校联考]设函数f (x)=e2x - t的图象与g(x)=aex+a2x(a>0)的图象有公共点,且在公共点处的切线相同,则实数t的 最大值是 A.e-2 1 ( ) 1 B.e2 C. 12eD. 2e14.[2020武汉市部分学校质量监测]若直线y=kx+b是曲线y=ln x的切线,也是曲线y=ex - 2的切线,则k= . ππ 15.[2020唐山市摸底考试]已知函数f (x)=axsin x+bcos x,且曲线y=f (x)与直线y=π相切于点(,). 222 (1)求f (x); (2)若f (x)≤mx2+1,求实数m的取值范围. 16.[2019江西红色七校第一次联考]已知函数f (x)=ex(x2 - 2x+a)(其中a∈R,a为常数,e为自然对数的底数). (1)讨论函数f (x)的单调性; (2)设曲线y=f (x)在(a,f (a))处的切线为l,当a∈[1,3]时,求直线l在y轴上的截距的取值范围. 17.[2020陕西省百校第一次联考][新角度题]已知函数f (x)=ln x,g(x)=2 - 𝑥(x>0). (1)试判断f (x)与g(x)的大小关系. (2)试判断曲线y=f (x)和y=g(x)是否存在公切线,若存在,求出公切线的方程;若不存在,说明理由. 3 第二讲 导数的简单应用 1.[2020安徽六校测试]若函数f (x)=2x3 - 3mx2+6x在区间(1,+∞)上为增函数,则实数m的取值范围是 A.(-∞,1] B.(-∞,1) C.(-∞,2] D.( - ∞,2) ( ) 2.[原创题]函数f (x)=(2x - 1)ex+2x的极值点的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 11 ( ) 3.[2020南昌市测试]若函数f (x)=(x - 1)ex - ax(e为自然对数的底数)有两个极值点,则实数a的取值范围是 A.( - ,0) B.( - ∞,0) C.( - ,+∞) 1 e 1e ( ) D.(0,+∞) 4.[2020洛阳市第一次联考]定义在R上的函数f (x)的导函数为f ' (x),若对任意实数x,都有f (x)>f ' (x),且f (x)+2 019为奇函数,则不等式f (x)+2 019ex<0的解集为 A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(-∞,) D.(,+∞) 1e 1e ( ) 5.[2019昆明市高考模拟]函数y=f (x)的导函数y=f ' (x)的图象如图3 - 2 - 1所示, 图3-2-1 则函数y=f (x)的图象可能是 ( ) A B C D 6.[2019济南市质检]已知函数f (x)=ln(x - 1),g(x)=e,若f (x1)=g(x2),则x1 - x2的取值范围是 A.[,+∞) B.[1,+∞) C.[2,+∞) 1e𝑥 ( ) D.[e,+∞) 7.[2019皖中名校第二次联考]已知函数f (x)=(x2 - mx - m)ex+2m(m> - 2,e是自然对数的底数)有极小值0,则其极大值是 ( ) A.4e - 2或(4+ln 2)e - 2+2ln 2 B.4e - 2或(4+ln 2)e2+2ln 2 C.4e - 2或(4+ln 2)e - 2 - 2ln 2 D.4e - 2或(4+ln 2)e2 - 2ln 2 8.[多选题]定义在R上的函数f (x)的图象是连续不断的曲线,且f (x)=f ( - x)e2x,当x>0时,f ' (x)>f (x)恒成立,则下列判断正确的 是 A.e5f (2) 9.[2020天津模拟]函数f (x)=2x2+x - 2ln x的最小值为 . 𝑘 10.[2020石家庄市重点高中高三摸底测试]已知函数f (x)=1+ln𝑥 − . 𝑥-1𝑥 1 (1)当k=0时,求函数f (x)的单调区间; (2)若f (x)>0对任意的x∈(1,+∞)恒成立,求整数k的最大值. 11.[2020陕科大附中模拟]已知函数f (x)=xln(x+a)+1(a<0). (1)若函数f (x)在定义域上为增函数,求a的取值范围. (2)证明:f (x) A. - 1 B.0 C.1 D.2 ( ) 13.[2019郑州第三次质量预测]设函数f (x)在R上存在导函数f ' (x),∀x∈R,有f (x) - f ( - x)=x3,在(0,+∞)上恒有2f ' (x) - 3x2>0, 若f (m - 2) - f (m)≥ - 3m2+6m - 4,则实数m的取值范围为 ( ) A.[ - 1,1] B.( - ∞,1] C.[1,+∞) A.f (a2+1)≥f (2a) B.f (a2+1)≤f (2a) C.f (a2+1)≥f (a+1) D.f (a2+1)≤f (a) D.( - ∞, - 1]∪[1,+∞) ( ) 14.[2019合肥市高三调研]已知函数f (x)=ex+e - x+2cos x,其中e为自然对数的底数,则对任意a∈R,下列不等式一定成立的是 15.[2019福建五校第二次联考]设函数f ' (x)是奇函数f (x)(x∈R)的导函数,当x>0时,f ' (x)ln x< - 1f (x).则使得(x2 - 4)f (x)>0成 𝑥立的x的取值范围是 A.(-2,0)∪(0,2) C.(-2,0)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(0,2) ( ) 16.[2020江西红色七校第一次联考]若函数f (x)与g(x)满足“存在实数t,使得f (t)=g' (t)”,则称函数g(x)为f (x)的“友导”函数.已知 函数g(x)= - x3 - 3x+1为函数f (x)=2xln x - ax的“友导”函数,则a的取值范围是 . 13 17.[2020四省八校联考]已知函数f (x)=3x3 - 2ax2,a∈R. (1)当a=2时,求曲线y=f (x)在点(3,f (3))处的切线方程; (2)设函数g(x)=f (x)+(x - a)cos x - sin x,讨论g(x)的单调性并判断g(x)有无极值,有极值时求出极值. 11 18.[2019全国卷Ⅰ,20,12分][理]已知函数f (x)=sin x - ln(1+x),f ' (x)为f (x)的导数,证明: (1)f ' (x)在区间( - 1,)上存在唯一极大值点; (2)f (x)有且仅有2个零点. π219.[2020四省八校联考][新角度题]直线x=a(a>0)分别与直线y=2x+1,曲线y=x+ln x相交于A,B两点,则|AB|的最小值为 ( ) A.1 B.2 C.√2 D.√3 ( ) 2 20.[2020惠州市二调][交汇题]设函数f (x)=√3sinπ𝑥,若存在f (x)的极值点x0满足𝑥0+[f (x0)]2 21.[2020湖北部分重点中学高三测试]已知函数f (x)=ax2 - x+ln x(a>0). (1)若曲线y=f (x)在点(1,f (1))处的切线与直线x+2y=0垂直,求a的值及函数g(x)=f (x) - 2ln x的单调区间. (2)若f (x)的极大值和极小值分别为m,n,证明:m+n<2ln 2 - 3. 第三讲 导数的综合应用 1.[2020四川五校联考]已知函数f (x)=ln x - (a+1)x,若关于x的不等式f (x)>0恰有3个整数解,则这3个整数解为 A.1,2,3 B.2,3,4 C.3,4,5 D.4,5,6 1𝑓(𝑥) 2.[2020广东七校第二次联考]设定义在R上的函数y =f (x)满足∀x∈R,f (x+2) =𝑓(𝑥),且x∈(0,4]时,f '(x)>,则6f (2 017), 𝑥 ( ) 3f (2 018),2f (2 019)的大小关系是 A.6f (2 017)<3f (2 018)<2f (2 019) B.3f (2 018)<6f (2 017)<2f (2 019) C.2f (2 019)<3f (2 018)<6f (2 017) D.2f (2 019)<6f (2 017)<3f (2 018) ( ) 3.[2019江西红色七校第一次联考]已知函数y =f (x)是R上的可导函数,当x≠0时,有f ' (x)+ 个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 𝑓(𝑥) >0,则函数𝑥 F (x) =xf (x)−𝑥的零点 ( ) 1 4.[2020唐山市摸底考试]已知函数f (x)=(ex - ax)(ln x - ax),若f (x)<0恒成立,则a的取值范围是 . 5.[2019郑州市第三次质量预测]已知函数f (x)=(a - 1)x2+ln x,若函数f (x)在区间(1,+∞)上的图象恒在直线y=2ax的下方,则实数 2a的取值范围是 . 6.[2020唐山市摸底考试]已知函数f (x)=xsin x,x∈(0,π),f ' (x)为f (x)的导数,且g(x)=f ' (x).证明: (1)g(x)在(2,)内有唯一零点t; (2)f (x)<2. 参考数据:sin 2≈0.909 3,cos 2≈ - 0.416 1,tan 2≈ - 2.185 0,√3≈1.732 1,π≈3.14. 2π3 7.[2020贵阳市高三摸底测试][交汇题]已知f (x)=ex,g(x)=x+1(e为自然对数的底数). (1)求证:f (x)≥g(x)恒成立. (2)设m是正整数,对任意的正整数n,(1+)(1+2)·…·(1+𝑛) 13 8.[2020成都市高三摸底测试]若关于x的不等式xln x - kx+2k+1>0在(2,+∞)上恒成立,则满足条件的整数k的最大值为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 ( ) 9.[多选题]关于函数f (x)=2+ln x,下列结论正确的是 𝑥 A.x=2是f (x)的极大值点 B.函数y=f (x) - x有且只有1个零点 C.存在正实数k,使得f (x)>kx恒成立 D.对任意两个正实数x1,x2,且x1>x2,若f (x1)=f (x2),则x1+x2>4 π𝑛 10.[2019石家庄市二模]已知当m,n∈[ - 1,1]时,sinπ𝑚 - sin ( ) A.m>n B.|m|<|n| C.m (𝑥+1)(1+ln𝑥) - 3m,g(x)= - mx+ln x(m∈R). 𝑥(1)求函数g(x)的单调区间与极值. (2)当m>0时,是否存在x1,x2∈[1,2],使得f (x1)>g(x2)成立?若存在,求实数m的取值范围;若不存在,请说明理由. 12.[2019武汉市部分学校调研测试]已知a∈R,函数f (x)=x - aex+1有两个零点x1,x2(x1 𝑥 13.[2020甘肃天水一中模拟]设函数f (x)=1+𝑥 - aln(1+x),g(x)=ln(1+x) - bx. (1)若函数f (x)在x=0处有极值,求函数f (x)的最大值. (2)是否存在实数b,使得关于x的不等式g(x)<0对任意的x∈(0,+∞)恒成立?若存在,求出b的取值范围;若不存在,说明理由. 14.[2020洛阳市第一次联考]已知函数f (x)=aex+x2 - bx(a,b∈R),其导函数为y=f ' (x). (1)当b=2时,若函数y=f ' (x)在R上有且只有一个零点,求实数a的取值范围; (2)设a≠0,点P(m,n)(m,n∈R)是曲线y=f (x)上的一个定点,是否存在实数x0(x0≠m),使得f (x0) - n=f ' (的结论. 𝑥0+𝑚 )(x0 - m)成立?并证明你2 素养提升1 高考中函数与导数解答题的提 分策略 1.[12分]已知函数f (x)=ln𝑥+2. 𝑥(1)求函数f (x)在[1,+∞)上的值域; (2)若∀x∈[1,+∞),ln x(ln x+4)≤2ax+4恒成立,求实数a的取值范围. 2.[2020江西红色七校第一次联考,12分]已知 f (x)=1x(x+2) - a(x+ln x)(a∈R). 2 (1)讨论f (x) 的单调性; (2)若f (x1)=f (x2)(x1≠x2),证明:x1+x2>2a. 3.[2020洛阳市第一次联考,12分]已知函数f (x)=aln x - x2+(2a - 1)x,其中a∈R. (1)当a=1时,求函数f (x)的单调区间; (2)求函数f (x)的极值; (3)若函数f (x)有两个不同的零点,求a的取值范围. 4.[12分]已知函数f (x)=ex - 1bx2+ax(a,b∈R). 2(1)当a> - 1且b=1时,试判断函数f (x)的单调性. (2)若a<1 - e且b=1,求证:函数f (x)在[1,+∞)上的最小值小于. (3)若f (x)在R上是单调函数,求ab的最小值. 12 第四章 三角函数、解三角形 第一讲 三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱 导公式 π 1.若sin(π+θ)<0,cos( - θ)>0,则θ是 22 ( ) A.第一象限角 C.第三象限角 B.第二象限角 D.第四象限角 3 4 2.[2020贵阳市高三摸底测试]已知角α的顶点与原点 O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P( - 5, - 5),则sin(π - α)= A. - 45 ( ) B. 45 C. - 35 D. ( ) 35 π3π 3.[2020惠州市二调]若sin(π - α)=1,且≤α≤,则sin 2α的值为 322A. - 4√2 9B. - 2√2 9C. 2√2 9D. 4√2 94.[2020四川五校联考]已知sin α+√3cos α=2,则tan α= A. 3 √3( ) B.√3 C.- 3 √3D. - √3 5.[2020洛阳市第一次联考]已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,终边在直线y=3x上,且sin α<0, 又P(m,n)是角α终边上一点,且|OP|=√10(O为坐标原点),则m - n等于 A.2 B.-2 C.4 D.-4 ( ) ( ) π 6.[2019合肥市高三调研]已知tan α=3,则sin(π - α)·cos(+α)的值为 22A. 3 10 B. - 310 C. 35 D. - 35 𝛼1 7.[2020长春市第一次质量监测]已知sin 𝛼 - cos =,则sin α= . 225 8.[2020大同市高三调研]已知sin(θ - 6)=2,且θ∈(0,2),则cos(θ - 3)= . 9.[2019蓉城名校高三联考]sin( - 390°)= . 2π 10.[2019湖南省邵阳市高三大联考]已知tan(α - π)=,则cos2(α - )= . 333 π1ππ 11.[2020长春市第一次质量监测]中国传统扇文化有着极其深厚的文化底蕴.一般情况下,折扇可看作是从一个圆面中沿圆的半 径剪下的扇形面制作而成的, 设扇形面的面积为S1,圆面中剩余部分的面积为S2,当S1与S2的比值为的弧度数为 A.(3 - √5)π B.(√5 - 1)π C.(√5+1)π D.(√5 - 2)π ( ) √5-1 2 时,扇面看上去形状较为美观,那么此时扇面的圆心角 ( ) 1+cos𝛼 12.[2019湖北武汉调研]若角α满足1sin𝛼=5,则= -cos𝛼sin𝛼 A. 1 5 B. 52 C.5或 D.5 ( ) 15 13.[2019河南八市重点高中联考]已知点(3,a)和点(2a,4)分别在角β和角β - 45°的终边上,则实数a的值是 A.-1 B.6 C.6或-1 D.6或1 2 2 3在点(1,f (1))处的切线的倾斜角为α,则sin𝛼-cos𝛼= 14.[2019陕西宝鸡二模]已知曲线f (x)=2x32sin𝛼cos𝛼+cos2𝛼 ( ) A. 1 2 B.2 C. 35 D.- π 4 7π 38 15.[2019安徽省池州中学第二次质量检测]已知cos(α - 3)=5,则sin(α+6)的值是 . 16.[2019百校联考]已知cos(α+8)=√,α为锐角,则cos(2α - )= . 104 π 2π 第二讲 三角恒等变换 π 1.[2020唐山市摸底考试]已知sin(α - π)= - 3cos(α - ),则tan 2α= 36( ) A.-4√3 B.- 2√3C.4√3 D. 2√33 2.[2020湖北部分重点中学高三测试]已知sin(π - 2x)=,则sin 4x的值为 45 ( ) A. 7 25 B.± 725 C. 1825 D.± ( ) 1825 π 3.[2020广东七校联考]已知cos(π+α)=2cos(π - α),则tan(+α)= 24 A.3 B. - 3 C. - 1 3D. 134.[2020江西红色七校第一次联考]已知角θ以x轴的非负半轴为始边,且终边经过点(2, - 3),将角θ的终边顺时针旋转π后得到角4β,则tan β= A. - 15 ( ) C. 15 B.5 D. - 5 ( ) 4 5.[2020陕西省百校第一次联考]已知cos(π - α)=,则sin 2α= 45 A. 15 B.- 15 C. 725 D.- ( ) 725 π 6.[2019山东三校联考]已知sin 2α=1,则cos2(α - )= 34 A. 1 3 B. 16 C. 23 D. ( ) 89 7.[2019河北六校联考]已知α∈(0,π),且tan α=2,则cos 2α+cos α= A. 2√5-3 5 B. √5-3 5 C. √5+35 D. 2√5+3 5 π 4√3,则5 8.[2020山东省统考]已知cos(α+6) - sin α= sin(α+ 11π )= 6 . 3π 9.[2020江淮十校联考]函数f (x)=sin x+cos x - 1cos(2x - )的最小值为 . 22 10.[2019江西景德镇二检]公元前5世纪,古希腊的毕达哥拉斯提出了黄金分割,黄金分割值约为0.618,这一数值也可以表示为 m=2sin 18°.若m2+n=4,则sin63°= . 3 11.[2020广东广州天河区一模]已知函数f (x)=sin(2x - π),x∈(0,π),若方程f (x)=的解为x1,x2(0 𝑚+√𝑛A.- 4 5 B.- 35 C.- 3 √2D.- 3π π √312.[2019太原市二模]已知α∈(0,2),β∈(0,2),且sin 2α(1+sin β)=cos β(1 - cos 2α),则下列结论正确的是 A.2α - β= π2 ( ) B.2α+β= C.α+β= π2π2 D.α - β= ( ) π2 13.[2019唐山市高三摸底考试]已知函数f (x)=sin x - sin 3x,x∈[0,2π],则f (x)的所有零点之和等于 A.5π B.6π C.7π D.8π 1 14.[2020湖南衡阳测试]已知tan(α - β)=1,tan β= - ,且α,β∈(0,π),则2α - β= . 27ππ1𝛽π√315.[2019江西红色七校第一次联考]若0<α<π, - <β<0,cos(α+)=,sin(+)=,则cos(2α+β)= . 224324316.[2019三湘名校联考]函数f (x)=sin 2x+2cos x在区间[0,π]上的值域为 . π 17.[2019合肥三检]已知函数f (x)=2cos(x+π)cos(x - )+sin x,若对任意的实数x,恒有f (α1)≤f (x)≤f (α2),则cos(α1 - 44 α2)= . 18.[2020唐山市摸底考试]若sin 78°=m,则sin 6°= A.√ 𝑚+1 2 ( ) B. √1-𝑚2 C. √𝑚+12 D.√ 1-𝑚 2 19.[2019绵阳市三诊][交汇题]已知向量a=(sin 2α,1),b=(cos α,1),若a∥b,0<α<π,则α= . 2 第三讲 三角函数的图象与性质 1.[2020武汉市部分学校质量监测]已知曲线C1:y=√2sin 2x,C2:y=sin 2x+cos 2x,则下面结论正确的是 A.把曲线C1向右平移个单位长度,得到曲线C2 B.把曲线C1向左平移个单位长度,得到曲线C2 C.把曲线C2向左平移个单位长度,得到曲线C1 D.把曲线C2向右平移个单位长度,得到曲线C1 π8π4π4π8 ( ) 2.[2020长春市第一次质量监测]把函数y=f (x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,得到y=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<2)的图象 (部分图象如图4 - 3 - 1所示),则y=f (x)的解析式为 ( ) π 图4 - 3 - 1 π6π6A.f (x)=2sin(2x+) B.f (x)=2sin(x+) C.f (x)=2sin(4x+) D.f (x)=2sin(x - ) π6π63.[2020惠州市调考]函数f (x)=2cos2ωx - sin2ωx+2(ω>0)的最小正周期为π,则ω= A. 32 ( ) B.2 C.1 D. 5π 12 4.[2020四省八校联考]图4 - 3 - 2是函数f (x)=√3sin(ωx+6)(ω>0)的部分图象, 图4 - 3 - 2 若|AB|=4,则f ( - 1)= A. - 1 ( ) 3 B.1 C. - 2 D.2 3 π 5.[2020成都市高三摸底测试]将函数f (x)=sin(ωx+π)(ω>0)的图象向右平移个单位长度,得到的图象关于y轴对称,则ω的最小 36 值为 A.7 B.6 C.5 D.4 ( ) π 6.[2020惠州市二调]已知直线x=π是函数f (x)=2sin(2x+φ)(|φ|<)图象的一条对称轴,则 32 ( ) A.φ= B.f (x)在[0,]上单调递增 C.f (x)的图象向左平移个单位长度可得到y=2sin 2x的图象 D.f (x)的图象向左平移个单位长度可得到y=2sin 2x的图象 π12π6 π2 π6 7.[2020广东四校联考]已知函数f (x)=sin(x - π),若x1x2>0,且f (x1)+f (x2)=0,则|x1+x2|的最小值为 3A. π6 ( ) B. π3 C. π2 D. π π 2π3 8.[2019江西红色七校第一次联考]函数y=sin(2x - 6)的图象与函数y=cos(x - 3)的图象 A.有相同的对称轴但无相同的对称中心 B.有相同的对称中心但无相同的对称轴 C.既有相同的对称轴也有相同的对称中心 D.既无相同的对称中心也无相同的对称轴 √π2+64( ) 9.[多选题]已知函数f (x)=√3sin ωx+cos(π+ωx)(ω>0)的图象上的最高点与最低点之间距离的最小值为 的是 A.函数f (x)的极大值为√3+1 B.[,]为函数f (x)的一个单调递减区间 C.函数f (x)的图象关于点( - ,0)对称 D.将函数f (x)的图象向右平移个单位长度后,所得函数图象关于原点对称 ππ 10.[2020河北模拟]若函数f (x)=3sin(x+10) - 2在区间[,a]上单调,则实数a的最大值是 . 2 π125π12 π5π36 2 ,则下列说法正确 ( ) 11.[2019浙江高考]设函数f (x)=sin x,x∈R. (1)已知θ∈[0,2π),函数f (x+θ)是偶函数,求θ的值; (2)求函数y=[f (x+)]2+[f (x+)]2的值域. π 12.[2020江西红色七校第一次联考]若函数f (x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,|φ|<π)图象的一个对称中心为点(,0),与该对称中心 23 π 12 π4 相邻的一条对称轴方程为x=,该对称轴处所对应的函数值为 - 1,为了得到g(x)=cos 2x的图象,则只需将f (x)的图象( ) A.向右平移个单位长度 π6 7π12B.向左平移个单位长度 π12 C.向左平移个单位长度 π6 D.向右平移个单位长度 π12 π 13.[2020安徽省示范高中名校联考]将函数y=sin(2x - π)的图象向左平移个单位长度,所得图象对应的函数在区间( - m,m)上无 44 极值点,则m的最大值为 A. π 8( ) D. π2B. π4C. 3π8ππ 14.[2020武汉市部分学校质量监测]已知函数f (x)=2sin(ωx+φ)+1(ω>0,|φ|<π),f ()=1且f ()= - 1,当ω取最小值时,函数f (x)的 234单调递减区间为 A.[ π𝑘ππ𝑘πππ +,+],k∈Z B.[+2kπ,+2kπ],k∈Z 12343124π𝑘ππ𝑘πππ +,+],k∈Z D.[ - +2kπ,+2kπ],k∈Z 123123124( ) C.[ - 15.[2020陕西省百校第一次联考]将函数f (x)=cos 2x的图象向右平移π个单位长度后得到函数g(x)的图象,则g(x)具有的性质为 4 A.最大值为1,图象关于直线x=对称 B.为奇函数,在(0,)上单调递增 C.为偶函数,在( - ,)上单调递增 D.最小正周期为π,图象关于点(,0)对称 3π8 3ππ88π4 π2( ) 16.[2019安徽示范高中高三测试]已知函数f (x)=Asin(2x+θ)(A>0,|θ|<π)的部分图象如图4 - 3 - 3所示, 2 图4 - 3 - 3 f (a)=f (b)=0,f (a+b)=√3,则 A.f (x)在( - ,)上是减函数 B.f (x)在( - ,)上是增函数 C.f (x)在(,)上是减函数 D.f (x)在(,)上是增函数 π5π36 π5π36 5ππ12125ππ1212( ) 17.[2019武汉市部分学校高三调研测试]已知函数f (x)=asin ωx+cos(ωx - π)(a>0,ω>0),对于任意的x1,x2∈R,都有f (x1)+f (x2) - 6 2√3≤0,若f (x)在[0,π]上的值域为[,√3],则实数ω的取值范围为 2A.[,] 1132 √3( ) B.[,] C.[,] D.[,] 123312431142 18.[2019新疆乌鲁木齐二检]若关于x的方程(sin x+cos x)2+cos 2x=m在区间(0,π]上有两个不同的实数根x1,x2,且|x1 - x2|≥4,则 实数m的取值范围是 A.[0,2) B.[0,2] C.[1,√2+1] D.[1,√2+1) ( ) π 19.[2019安师大附中最后一卷]如图4 - 3 - 4, 图4 - 3 - 4 π212已知函数f (x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的图象与坐标轴交于点A,B,C,点C的坐标为( - ,0),直线BC交f (x)的图象于另一点D,O是△ABD的重心.则△ACD的外接圆的半径为 A.2 B. √57( ) 6 C. √573 D.8 π 20.[双空题]函数f (x)=√3cos(x+π)的图象向右平移个单位长度,可得到函数g(x)的图象,则函数g(x)的解析式为 ,函数 44 h(x)=sin2x+g(x)的值域是 . π 21.[2020安徽省示范高中名校联考]已知函数f (x)=asin 2x - √3cos 2x的图象关于直线x= - 12对称,若f (x1)·f (x2)= - 4,则|x1 - x2|的最小值为 . 22.[2020唐山市摸底考试]已知函数f (x)=sin(ωx+π)(ω>0),若f (x)在[0,2π]上恰有3个极值点,则ω的取值范围是 . 4 ππ 23.[2019四省八校联考]若f (x)=2sin(ωx+φ) - 3(ω>0)对任意x∈R都有f (x+π)=f ( - x)成立,则f ()= . 634 24.[2020合肥市调研检测]已知函数f (x)=cos 2x+sin(2x - π). 6 (1)求函数f (x)的最小正周期; (2)当x∈[0,π]时,求函数f (x)的单调递增区间. π 25.[2019湖南重点高中联考]已知函数f (x)=cos(πx+π)cos(πx - ). 33(1)求f (x)的单调递增区间; (2)若f (x)在区间[,a]上的值域为[ - , - ],求a的取值范围. 1 33412 26.[多选题]已知函数f (x)=2√3sin ωxcos ωx+2cos2ωx(ω>0),则下列结论正确的是 A.f (x)的最大值为2 B.若f (x)的最小正周期为π,则ω=1 C.方程f (x)= - 2有无数个解 D.若函数f (x)的图象在区间(,π)内不存在对称轴,则ω的最大值为 π2 23 ( ) ππ 27.[2020洛阳市第一次联考][开放题]设定义在R上的函数f (x)=sin(ωx+φ)(ω>0, - 12<φ<).给出以下四个论断:①f (x)的最小正 2 周期为π;②f (x)在区间( - ,0)上是增函数;③f (x)的图象关于点(,0)对称;④f (x)的图象关于直线x=对称.以其中两个论断作为条件,另两个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题(写成“p⇒q”的形式) .(用到的论断都用序号表示) π6π3π12 28. [2019山东省八所重点中学联考]如图4 - 3 - 5,点A,点B分别是圆心在坐标原点,半径为1和2的圆上的动点. 图4-3-5 动点A从初始位置A0(cos ,sin )开始,按逆时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动,同时点B从初始位置B0(2,0)开始,按顺时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动.记t时刻,点A,点B的纵坐标分别为y1,y2. (1)求t=时,A,B两点间的距离; (2)若y=y1+y2,求y关于时间t(t>0)的函数关系式,并求当t∈(0,]时,y的取值范围. π2 π4π3 π3 第四讲 正、余弦定理及解三角形 1.[2020广东七校联考]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=√3+1,b=2,A=π,则B= 3( ) A. 3π4 B. π6 C. π4 D.或 π43π4 cos𝐵sin𝐶8 2.[2020湖北部分重点中学高三测试]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且cos𝐴+=,若b2+c2 - a2=bc,则tan B𝑎𝑏𝑐5 的值为 A.- 1 3 ( ) B. 13 C.-3 D.3 2𝐴+sin2𝐵-sin2𝐶 3.[2019湖北部分重点中学高三测试]已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且sin 𝑐 = sin𝐴sin𝐵 ,若 𝑎cos𝐵+𝑏cos𝐴 a+b=4,则 c的取值范围为 A.(0,4) B.[2,4) C.[1,4) D.(2,4] 4.[2020大同市高三调研]在△ABC中,B=π1 4,BC边上的高等于3 BC,则sin∠BAC= . 5.[2019安徽示范高中高三测试]在△ABC中,∠ABC=90°,延长AC到D,使得CD=AB=1,若∠CBD=30°,则AC= . 6.[2020长春市第一次质量监测]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btan A,a>b. (1)求证:△ABC是直角三角形; (2)若c=10,求△ABC的周长的取值范围. 7.[2020惠州市一调]已知△ABC的内角A,B,C满足sin𝐴-sin𝐵+sin𝐶sin𝐵 sin𝐶=sin𝐴+sin𝐵-sin𝐶 . (1)求角A; (2)若△ABC的外接圆的半径为1,求△ABC的面积S的最大值. 8.[2019辽宁五校联考]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin(A+C)=2sin Acos(A+B),且sin2A+sin2B - sin2C+√2sin Asin B=0. (1)求证:a,b,2a成等比数列; (2)若△ABC的面积是2,求c. 9.[2020合肥市调研检测]已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且sin𝐴-sin𝐵𝑐-𝑏 sin𝐶≥𝑎+𝑏 ,则 A.A的最大值为π B.A的最小值为π66 ( ) ( ) C.A的最大值为 D.A的最小值为 π3π3 10.[2020四川五校联考]在△ABC中,角A的平分线交BC于点D,BD=2CD=2,则△ABC面积的最大值为 A.3√2 B.2√2 C.3 D.4 π 2𝑎+3𝑐-𝑏 ( ) 11.[2019广东百校联考]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若C=4,a=4,S△ABC=2,则2sin𝐴+3sin𝐶-sin𝐵= A.√5 B.2√5 C.2√7 D.2√13 ( ) 12.[2020长春市第一次质量监测][双空题]已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若m=(b - c,a - b),n=(sin C,sin A+ sin B),且m⊥n,则A= ;若△ABC的面积为√3,则△ABC的周长的最小值为 . 13.[2019河北六校联考]已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=b2+c2 - bc,且△ABC的面积为 为 . 3√3,则4a的最小值 14.[2019福建宁德质检]海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,我国拥有世界上已 知最深的海洋蓝洞.若要测量如图4 - 4 - 1所示的海洋蓝洞的口径(即A,B两点间的距离),现取两点C,D,测得CD=80 m,∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,则图4 - 4 - 1中海洋蓝洞的口径为 m. 图4 - 4 - 1 15.[2020大同市高三调研]△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a,b,c成等比数列,且cos B=4. (1)求 11 +的值; tan𝐴tan𝐶 3 3(2)设⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐴·⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐶=,求a+c的值. 2 16.[2020山东省统考]在△ABC中,A=90°,点D在BC边上.在平面ABC内,过D作DF⊥BC且DF=AC. (1)若D为BC的中点,且△CDF的面积等于△ABC的面积,求∠ABC; (2)若∠ABC=45°,且BD=3CD,求cos∠CFB. 17.[多选题]在△ABC中,D在线段AB上,且AD=5,BD=3,若CB=2CD,cos∠CDB= - 5,则 A.sin∠BCD= B.△ABC的面积为8 C.△ABC的周长为8+4√5 D.△ABC为钝角三角形 618.[2020陕西省百校第一次联考][双空题]在△ABC中,D为AC的中点,若AB=4√,BC=2,BD=√5,则cos∠ABC= , 3 310 √5( ) sin C= . 19.[2020洛阳市第一次联考]已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C的对边,且满足(a+b+c)(sin B+sin C - sin A)=bsin C. (1)求角A的大小; (2)设a=√3,S为△ABC的面积,求S+√3cos Bcos C的最大值. 素养提升2 高考中三角函数、解三角形解 答题的提分策略 1 1.[2020四省八校联考,12分]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知tan A=4,tan B=,a=5. 33 (1)求tan C; (2)求△ABC的最长边. 2.[2020湖北八校第一次联考,12分]在△ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,且 (1)求 sin𝐶 的值; sin𝐴sin𝐵 14cos𝐴cos𝐵 +𝑎𝑏 = sin𝐶 . 𝑐 (2)若△ABC的面积S=,△ABC的外接圆的直径为1,求△ABC的周长L. 2𝑏3𝑐𝑎 3.[12分]在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且cos𝐵==,a2+λbc=b2+c2. cos𝐶sin𝐴(1)求实数λ的值; (2)若a=√2,求△ABC的面积. 4.[交汇题,12分]△ABC中,角A,B,C所对应的边分别记为a,b,c,m=(cos B,2a - b),n=(cos C,c),且m∥n. (1)求角C的大小; (2)若c=1,当△ABC的面积取得最大值时,求△ABC内切圆的半径r. ⏜上异于A,B5.[2019南昌三模,12分]如图2 - 1所示,在平面直角坐标系xOy中,扇形OAB的半径为2,圆心角为3,点M是弧𝐴𝐵的点. 2π 图2 - 1 (1)若点C(1,0),且CM=√2,求点M的横坐标; (2)求△MAB面积的最大值. 6.[新角度题,12分]在△ABC中,AB=2√3,AC=√3,AD为△ABC的内角平分线,点D在BC边上,AD=2. (1)求 𝐵𝐷 的值; 𝐷𝐶(2)求∠BAC的大小. 7.[开放题,10分]在①(2a+b)sin A+(2b+a)sin B=2csin C,②𝑎=√3𝑐sin𝐴-𝑎cos𝐶,③三角形𝐴𝐵𝐶的面积𝑆△𝐴𝐵𝐶=√4(𝑎2+𝑏2-𝑐2)这三 个条件中任选一个,补充在下面的问题中,作为问题的条件,再解答这个问题. 在三角形𝐴𝐵𝐶中,角𝐴,𝐵,𝐶的对边分别是𝑎,𝑏,𝑐,若c=√3,且 ,探究三角形𝐴𝐵𝐶的周长𝑙是否存在最大值.若存在,求出𝑙的最大值;若不存在,说明理由. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 3第五章 数 列 第一讲 数列的概念与简单表示法 1.[2020唐山市摸底考试]已知Sn为数列{an}的前n项和,3Sn=an+2,则数列{Sn} A.有最大项也有最小项 C.无最大项有最小项 B.有最大项无最小项 D.无最大项也无最小项 ( ) 2 2.[2020安徽六校第一次联考改编]已知正项数列{an}的前n项和Sn满足2Sn=𝑎𝑛+an - 2,则数列{an}的通项公式为 . 3.[2020陕西省部分学校摸底检测][双空题]已知数列{an}的前n项和Sn=10n - n2,数列{bn}的每一项都有bn=|an|,设数列{bn}的前 n项和为Tn,则T4= ,T30= . 4.[2019长郡中学、衡阳八中等十四校第二次联考]已知Sn是数列{an}的前n项和,且log3(Sn+1)=n+1(n∈N*),则数列{an}的通项公 式为 . 1𝑛+15.[2020惠州市二调]在数列{an}中,a1=1,a2=8,an+1=(1+)an+𝑛,其中n∈N*,λ为常数. 3𝑛𝜆 (1)求λ的值; (2)设bn=𝑛,求数列{bn}的通项公式. 𝑎 𝑛 6.[2020惠州市二调]已知数列{an}的各项均为正数,a1=2,an+1 - an=𝑎 A.119 B.120 C.121 D.122 41 ,若数列{}的前 𝑎𝑛+1+𝑎𝑛𝑛+1+𝑎𝑛 n项和为5,则n= ( ) 7.[2019广东六校第一次联考]已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=(2n - 1)·3n.设bn=4𝑛,Sn为数列{bn}的前n项和,若Sn<λ(λ𝑎𝑛 为常数,n∈N*),则λ的最小值是 ( ) A. 32 B. 94 C. 3112 D. ( ) 3118 8.[2019四川考前联考]在数列{an}中,已知a1=1,且对于任意的m,n∈N*,都有am+n=am+an+mn,则数列{an}的通项公式为 A.an=n B.an=n+1 C.an= 𝑛(𝑛-1) 2 D.an= 𝑛(𝑛+1) 2 2 9.[2019辽宁五校联考]若数列{an}满足a1= - 1,an+an+1=2,则a10= . 2𝑛+2𝑛 10.[2020合肥市调研检测]已知等差数列{an},a2=12,a5=24,数列{bn}满足b1=4,bn+1 - bn=an(n∈N*). (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)求使得 1 𝑏1 + 1𝑏2 + 11+…+𝑏3𝑏𝑛 > 8 成立的最小正整数17n的值. 11.[多选题]已知数列{an}的前n项和为Sn,且有(a1+a2+…+an)an=(a1+a2+…+an - 1)an+1(n≥2,n∈N*),a1=a2=1.数列{log 的前n项和为Tn,则以下结论正确的是 A.an=1 B.Sn=2n – 1 C.Tn= 𝑛+1 𝑛+3 1 } 2𝑆𝑛+1·log2𝑆𝑛+2 ( ) D.{Tn}为递增数列 第二讲 等差数列及其前n项和 1.[2020唐山市摸底考试]已知Sn为等差数列{an}的前n项和,a5= - 2,S15=150,则公差d= A.6 A.3 A.a6 B.5 B.5 B.a7 C.4 C.7 C.a8 D.3 ( ) ( ) ( ) 2.[2020江西红色七校第一次联考]已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S8 - S3=45,则a6的值是 D.9 D.a9 10 3.[2020湖北部分重点中学高三测试]已知等差数列{an}满足4a3=3a2,则{an}中一定为零的项是 11 4.[2020大同市高三调研]若等差数列{an}的前n项和Sn有最大值,且𝑎< - 1,则Sn取正值时项数n的最大值为 𝑎 ( ) A.15 B.17 C.19 D.21 5.[2020安徽省示范高中名校联考][数学文化题]《周髀算经》中有这样一个问题:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、 惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列,冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,前九个节气日影长之和为85.5尺,则芒种日影长为 A.1.5尺 B.2.5尺 C.3.5尺 D.4.5尺 ( ) ( ) 6.[2019唐山市高三摸底考试]等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3+a11=4,则S13= A.13 B.26 C.39 D.52 3 57.[2019广东百校联考]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1≠0,S2=a4,则𝑎= 𝑆 ( ) A.1 B. 23C. 53D. 798.[2019福建福州华侨中学期中]已知{an}是等差数列,Sn是其前n项和,且a1=9,S5=S9,那么使Sn最大的n是 A.6 B.7 C.8 D.9 𝑛 9.[2020长春市第一次质量监测]已知数列{an}中,a1=2,an+1=2an+2n+1,设bn=𝑎. 2𝑛( ) (1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)求数列{ 1 }的前𝑏𝑛𝑏𝑛+1 n项和Sn. 10.[2020唐山市摸底考试]已知等差数列{an}的公差不为0,其前n项和为Sn,若S3,S9,S27成等比数列,则𝑆9= 3 𝑆 ( ) A.3 B.6 C.9 D.12 π 11.[2019江西红色七校第一次联考]已知数列{an}为等差数列,若a2+a6+a10=2,则tan(a3+a9)的值为 A.0 B. 3 √3( ) C.1 D.√3 12.[2019山东三校联考][数学文化题]“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年,英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不 知数”问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个求解同余式组的问题,现有这样一个问题:将1到2 018这2 018个数中,能被3除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{an},则此数列共有 A.98项 B.97项 C.96项 D.95项 ( ) 13.[2020成都市测试]已知等差数列{an}前三项的和为 - 9,前三项的积为 - 15. (1)求等差数列{an}的通项公式; (2)若{an}为递增数列,求数列{|an|}的前n项和Sn. 14.[多选题]已知数列{an}是等差数列,其前n 项和为Sn,且满足a1+5a3=S8 ,则下列结论正确的是 A.a10=0 B.S10最小 C.S7=S12 D.S20=0 ( ) 15. [2020南昌市测试]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a2=1,Sn+Sn - 2=2Sn - 1+2(n≥3),则a3的值为 . 第三讲 等比数列及其前n项和 1.[2020陕西省部分学校摸底检测]等比数列{an}中,若an>0,a2a4=1,a1+a2+a3=7,则公比q= A. 14( ) B. 12C.2 D.4 ( ) ( ) 2.[2020南昌市测试]公比不为1的等比数列{an}中,若a1a5=aman,则mn不可能为 A.5 B.6 C.8 D.9 3.[2020惠州市一调]等比数列{an}的前n项和为Sn,公比为q,若S6=9S3,S5=62,则a1= A.√2 B.2 C.√5 D.3 ( ) 4.[2020成都市高三摸底测试]已知等比数列{an}的各项均为正数,若log3a1+log3a2+…+log3a12=12,则a6a7= A.1 B.3 C.6 D.9 5.[2020大同市高三调研]已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6= . 6.[2019长春市高三质量监测]各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S6=30,S9=70,则S3=7.[2020河北邢台模拟]已知等比数列{an}的前n项和Sn=3n - 1 - m,m∈R. (1)求m及an; (2)记bn=an+log3an,求数列{bn}的前n项和Tn. . 8.[多选题]已知等比数列{an}的各项均为正数,公比为q,且a1>1,a6+a7>a6a7+1>2,记{an}的前n项积为Tn,则下列选项中正确的是 A.0 1 ( ) 9.[2020石家庄市重点高中高三摸底测试]已知等比数列{an}满足:a1=4,Sn=pan+1+m(p>0),则p - 𝑚取最小值时,数列{an}的通项公 式为 A.an=4×3n - 1 B.an=3×4n – 1 C.an=2n+1 D.an=4n 6 ( ) 3+𝑎5 10.[2019长春市高三第一次质量监测]已知Sn是等比数列{an}的前n项和,若公比q=2,则𝑎1+𝑎= 𝑆( ) A. 13 B. 17 C. 23 D. 37 11.[2020安徽省示范高中名校联考]设Sn是各项均为正数的等比数列{an}的前n项和,a1=3,若 - a4,a3,a5成等差数列,则Sn与an的关系式为 . 12.[2019河南新乡一模]设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=1,(n+1)an+1=(n - 1)Sn,则Sn= . 2 13.已知公比q>1的等比数列{an}满足𝑎5=a10,2(an+an+2)=5an+1.若bn=(n - λ)an(n∈N*),且数列{bn}是递增数列,则实数λ的取值范 围是 . 14.[2020湖北部分重点中学高三测试]已知数列{an}是等比数列,Sn为数列{an}的前n项和,且a3=3,S3=9. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=log2 4(𝑛+1)𝑛+115.[2019河北廊坊省级示范高中联考]在数列{an}中,a1=1,𝑎𝑛+1=,设bn=·an. 𝑎𝑛(𝑛+2)𝑛 𝑛 2 3 𝑎2𝑛+3 ,且{bn}为递增数列,若cn= 4 ,求证:c1+c2+c3+…+cn<1. 𝑏𝑛𝑏𝑛+1 (1)证明数列{bn}是等比数列; (2)求{an}的前n项积Tn. 第四讲 数列求和及数列的综合应用 +𝑎2 1.[2020石家庄市重点高中高三摸底测试]已知1,a1,a2,3成等差数列,1,b1,b2,b3,4成等比数列,则𝑎1𝑏的值为 2 ( ) A.2 B. - 2 C.±2 D. 5 4 2.[2020江西红色七校第一次联考]在正项数列{an}中,a1=2,且点P(ln an,ln an+1)(n∈N*)在直线x - y+ln 2=0上.若数列{an}的前n项和Sn满足Sn>200,则n的最小值为 A.2 B.5 C.6 D.7 ∑𝑢𝑖 ( ) 1 3.[2020贵阳市高三摸底测试]定义𝑛n为n个正数u1,u2,u3,…,un的“快乐数”.若已知正项数列{an}的前n项的“快乐数”为3n+1,则 𝑖=1 数列{A. 36 }的前 (𝑎𝑛+2)(𝑎n+1+2) 2 019项和为 D. 2 019 1 010 ( ) 2 018 2 019 B. 2 019 2 020 C. 2 019 2 018 11 4.[2019广东百校联考]设数列{an}的前n项和为Sn,an=𝑛(𝑛+1)+,若对任意的正整数n都满足Sn 是 . 5.[2020南昌市模拟]已知数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,a1=1,b1=2,a2+b2=7,a3+b3=13. (1)求{an}和{bn}的通项公式; 𝑎𝑛,𝑛为奇数, (2)若cn={求数列{cn}的前2n项和S2n. 𝑏𝑛,𝑛为偶数, 6.[2020大同市高三调研]在数列{an}中,a1=3,an=2an - 1+n - 2(n≥2,且n∈N*). (1)求a2和a3的值; (2)证明:数列{an+n}是等比数列,并求{an}的通项公式; (3)求数列{an}的前n项和Sn. 7.[2019河南省八市重点高中联盟第五次测评]已知等差数列{an}中,a3=3,a2+2,a4,a6 - 2成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)记bn= (-1)𝑛𝑎2𝑛+1 ,数列{bn}的前 𝑎𝑛𝑎𝑛+1 n项和为Sn,求S2n. 𝑏𝑛 8.[2020洛阳市第一次联考]已知数列{an}的首项a1=3,前n项和为Sn,an+1=2Sn+3,n∈N*.设bn=log3an,则数列{𝑎}的前n项和Tn的 𝑛 取值范围为 A.[,2] B.[,2) C.[,) D.(,] 1 31313341344( ) 9.[2020南昌市测试]已知数列{an}的前n项和为Sn,an=3Sn - 3,若对任意的m,n∈N*,|Sm - Sn|≤M恒成立,则实数M的最小值 为 . 10.[2019山东泰安考前模拟]意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8,13,….其中从第 三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数所组成的数列{an}称为斐波那契数列.那么斐波那契数列中的第 项. 222𝑎21+𝑎2+𝑎3+…+𝑎2 019是 𝑎2 019 11.[2020皖豫第一次联考]已知等差数列{an}满足a5=4,2a6+a9=18,数列{bn}的前n项和为Sn,满足Sn=2bn - 1. (1)求{an}与{bn}的通项公式; (2)若∀n∈N*,a1b1+a2b2+…+anbn≥(n - 2)t+2恒成立,求实数t的取值范围. (sin𝑥+cos𝑥)2-1cos2𝑥-sin2𝑥 12.[2019广东江门模拟]已知函数f (x)= (1)求数列{an}的通项公式; ,方程f (x)=√3在(0,+∞)上的解按从小到大的顺序排列,构成数列{an}(n∈N*). (2)设bn=sin an,求数列{bn}的前n项和Sn. ⃗⃗⃗⃗⃗ ,En(n∈N*)为AC上一列点,且满⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2𝐷𝐶13. [2019湖北八市联考][交汇题]如图5 - 4 - 1,点D为△ABC的边BC上一点,𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 1足:⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸𝑛𝐴=(3an - 3)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸𝑛𝐷+( - n2 - n+1)⃗⃗𝐸𝑛𝐵,则+ 𝑎1 1 𝑎2 + 11+…+= 𝑎3𝑎𝑛 . 图5 - 4 - 1 -sin𝐶sin𝐴+sin𝐵 14.[2019安徽安庆联考][交汇题]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且√3sin𝐵=. 𝑏-𝑎𝑐 (1)求角A的大小. (2)若等差数列{an}的公差不为零,a1sin A=1,且a2,a4,a8成等比数列,bn= 1 ,求数列{bn}的前𝑎𝑛𝑎𝑛+1 n项和Sn. 素养提升3 高考中数列解答题的提分策略 1.[2020皖北五校联考,12分]设Sn为等比数列{an}的前n项和,且S3 - S2=2a4. (1)若a1=1,求an; (2)若a4<0,求使得8Sn≥15a1成立的n的取值范围. 1 2.[2020山西大学附属中学校诊断,12分]已知等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*), - 2S2,S3,4S4成等差数列,且a2+2a3+a4=16. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若bn= - (n+2)log2|an|,求数列{}的前n项和Tn. 2=𝑎2 - λS3.[原创题,12分]已知正项数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,𝑆𝑛n+1,其中λ为常数. 𝑛+1 1 𝑏𝑛 (1)证明:Sn+1=2Sn+λ. (2)是否存在实数λ,使得数列{an}为等比数列?若存在,求出λ;若不存在,请说明理由. 4.[12分]已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且满足Sn=an+1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{nan}的前n项和Tn. 2 5.[12分]已知数列{an}的各项均为正数,且𝑎𝑛 - 2nan - (2n+1)=0,n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若bn=( - 1)n - 1an,求数列{bn}的前n项和Tn. 6.[原创题,10分]已知数列{an}的前n 项和Sn=2an - 2,设bn=(2n - 1)an(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式及数列{bn}的前n 项和Bn; (2)设cn= − 说明理由. 1 𝑎𝑛 1 ,数列{cn}的前𝑛(𝑛+1) n 项和为Tn,是否存在正整数k,使得对任意的n均有Tk≥Tn?若存在,求出k的值;若不存在,请 7.[开放题,10分]在①b4=a3+a5;②b4+b6=3a3+3a5;③a2+a3=b4这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,若问题中的k存在,求 出k的值;若k不存在,说明理由. 已知{an}是等差数列,其前n项和为Sn,{bn}是公比大于0的等比数列,b1=1,b3=b2+2,b5=a4+2a6,且 ,设cn=2,是否存在k,使得对任意的n∈N*,都有ck≤cn? 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 𝑏𝑆𝑛 第六章 平面向量 第一讲 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐 标运算 ⃗⃗⃗ = 1.[2020惠州市一调]正方形ABCD中,点E,F 分别是DC,BC的中点,那么⃗⃗𝐸𝐹 1⃗⃗⃗⃗⃗ 1⃗⃗⃗⃗⃗ A.𝐴𝐵+𝐴𝐷 221⃗⃗⃗⃗⃗ 1⃗⃗⃗⃗⃗ 1⃗⃗⃗⃗⃗ 1⃗⃗⃗⃗⃗ B.−𝐴𝐵−𝐴𝐷 C.𝐴𝐵−𝐴𝐷 22221⃗⃗⃗⃗⃗ 1⃗⃗⃗⃗⃗ D.−𝐴𝐵+𝐴𝐷 22( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ,点O在线段CD上(与点C,D不重合).若𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗ =x𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2𝐷𝐶2.[2019洛阳市第二次联考]在△ABC中,点D在线段BC上,且𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗ ,则x的取值范围是 x)⃗𝐴𝐶 ( ) A.(0,1) B.(,1) C.(0,) D.(,) 23131233 3.[2019辽宁丹东模拟]设平面向量a,b不共线,若⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 =a+5b,⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐶 =-2a+8b,⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐷 =3(a-b),则 A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线 C.B,C,D三点共线 D.A,C,D三点共线 ( ) 4.[2019江西红色七校联考]已知平面向量a =(-1,2),b =(2,m),且a∥b,则3a+2b = A.( - 1,2) B.(1,2) C.(1, - 2) D.( - 1, - 2) ( ) ( ) 5.[2019广东省广州市高三测试]若向量a =(cos θ,sin θ),b =(1,-1),则|2a-b|的取值范围是 A.[2−√2,2+√2] B.[0,√2] C.[0,2] D.[1,3] 6.[2020唐山市摸底考试]已知|a| =5,b =(2,1),且a∥b,则向量a的坐标是 . 7.[2019武汉市部分学校高三调研测试]已知向量a =(1,-1),与a方向相同的单位向量为 . ⃗⃗⃗⃗⃗ 8.[2019安徽示范高中高三测试]如图6-1-1,在平行四边形ABCD中,E,F 分别为边AB,BC的中点,连接CE,DF ,交于点G.若𝐶𝐺 𝜆=λ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐷+μ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐵(λ,μ∈R),则 = . 𝜇 图6-1-1 9.[多选题]设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是 11⃗⃗⃗⃗ A.若⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑀=⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵+⃗𝐴𝐶,则点M是边BC的中点 2 2 ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则点M在边BC的延长线上 B.若⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑀=2⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 − 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = - 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则点M是△ABC的重心 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝐶𝑀C.若𝐴𝑀 ⃗⃗⃗⃗ ,且x+y=1,则△MBC的面积是△ABC面积的1 D.若⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑀=x⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵+y⃗𝐴𝐶 2 2 10.已知圆心为O,半径为1的圆上有不同的三个点A,B,C,其中⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴·⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐵 =0,存在实数λ,μ满足⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐶+λ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴+μ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐵 =0,则实数λ,μ的关系 为 A.λ2+μ2 =1 B.+ =1 C.λμ =1 1 𝜆 1𝜇 ( ) D.λ+μ =1 𝑆 11⃗⃗⃗⃗ △𝐵𝐶𝐷 11.在△ABC中,D为△ABC所在平面内一点,且⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷 =⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵+⃗𝐴𝐶,则 = ( ) 32𝑆 △𝐴𝐵𝐷 A. 1 6B. 13C. 12D. ( ) 23𝑥𝑦 12.[2020四省八校二检]已知a =(1,x),b =(y,1),x>0,y>0.若a∥b,则𝑥+𝑦的最大值为 A. 12 B.1 C.√2 D.2 13.[2020百校联考]如图6-1-2所示的平面直角坐标系中,网格中小正方形的边长为1,若向量a,b,c满足c =xa+yb,且(ka-b)·c =0, 则 𝑥+𝑦 = 𝑘 . 图6-1-2 14.[2019江淮十校联考]已知在△ABC中,|⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐶| =|⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵−⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐵|,⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 =(1,2),若边AB的中点D的坐标为(3,1),点C的坐标为(t,2),则t = . ⃗⃗⃗⃗⃗ | =|𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ | =|𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ |,M为劣弧BC上一动点,且𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =p𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +q𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ,则 p+q的15.[2019河南模拟]在△ABC中,∠A =3,O为平面内一点,且|𝑂𝐴取值范围为 . π 第二讲 平面向量的数量积及应用 1.[2020陕西省部分学校摸底检测]已知向量a,b的夹角为60°,|a| =2,|b| =4,则(a-b)·b =( ) A.-16 B.-13 B.2 C.-12 C.-2 D.-10 ( ) D.-3 ( ) 2.[2020山东省统考]设向量 a =(1,1),b =(-1,3),c =(2,1),且( a-λb)⊥c,则λ = A.3 ⃗⃗⃗⃗ | =|⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ |,AB =4,AC =3,则⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影是 3.[2020江西红色七校第一次联考]在△ABC中,|⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵+⃗𝐴𝐶𝐴𝐵−⃗𝐴𝐶𝐵𝐶在⃗𝐶𝐴A.4 B.3 C. - 4 D. - 3 4.[新角度题]已知向量 a =(-1,m), b =(2,-4),c =(m,6),若 a∥b,则b+c与 a的夹角为 A. π6 ( ) B. π4 C. π2 D. π3 5.[2020惠州市二调]已知 a,b为互相垂直的单位向量,若c = a-b,则cos A. − B. 2 2 √2√2C. − D. 3 3 √3√36.[2020广东七校联考]已知向量 a,b的夹角为60°,| a| =2,|b| =1,则| a-b| = A.√3 B.√5 C.2√3 D.√7 ( ) 7.[2019云贵川渝四省名校第二次联考]若向量 a =(1,2),b =(1,m),且 a-b与b的夹角为钝角,则实数m的取值范围是 A.(0,2) B.(-∞,2) C.(-2,2) D.(-∞,0)∪(2,+∞) ( ) 8.[多选题]已知向量 a,b满足| a| =1,|b| =2,| a+b| =√3,则下列说法正确的是 A. a·b =-1 B.( a+b)⊥( a-b) C. a与b的夹角为 π3 ( ) D.| a-b| =√7 9.[2020四省八校联考]设向量 a =(x,1),b =(-1,2), a ⊥b,则| a -2b| = . 1 ⃗⃗⃗⃗ ),则⃗⃗⃗⃗⃗ 10.[2020长春市第一次质量监测]边长为2的正三角形ABC中,点P满足⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑃 =(⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵+⃗𝐴𝐶𝐵𝑃·⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐶 = . 3 ⃗⃗⃗⃗ |,则△ABC的形状为 11.[2020山东威海模拟]若P为△ABC所在平面内一点,且|⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝐴−⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝐵| =|⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝐴+⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝐵−2⃗𝑃𝐶A.等边三角形 C.直角三角形 B.等腰三角形 D.等腰直角三角形 ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ =2⃗⃗⃗⃗⃗ 12.[2020大同市高三调研]在直角三角形ABC中,∠C =π,AC =3,在△ABC所在的平面内取点D,E,使⃗𝐵𝐷𝐷𝐴,⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 =3⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐸,那么 2⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐷( ) A. - 6 B.6 C. - 3 D.3 13.[2020洛阳市第一次联考]若向量 a,b,c满足| a| =|b| =1, a·b =−1 π 2,< a-c,b-c> =3,则|c|的最大值为( ) A.√21 2 B.2 C.1 D.2 14.[2020唐山市模拟]已知e1,e2是两个单位向量,λ∈R时,|e1+λe2|的最小值为√32,则|e1+e2| = ( A.1 B.√3 C.1或√3 D.2 15.[2020武汉市部分学校质量监测]已知平面向量 a,b,e满足|e| =1, a·e =1,b·e =-1,| a-b| =4,则 a·b的最小值为 . 16.[2019济南市质检]已知锐角△ABC外接圆的半径为1,内角A,B,C所对的边分别为 a,b,c,B =π4,则⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐴·𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 . 17.[2019唐山市高三摸底考试]已知e1,e2是两个单位向量,且|e1+e2| =√3,则|e1-e2| = . 18.[2019南昌市重点中学高三段考]已知△ABC中,AB =4,AC =5,点O为△ABC所在平面内一点,满足|⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴| =|𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ | =|𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ |,则|⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴·⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐵𝐶| = . 19.[2019南昌市三模]已知非零向量 a =(1,1-x),b =(0,x-4),则“向量 a,b的夹角为锐角”是“x∈(2,4)”的 ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 20.[新角度题]如图6-2-1,在圆O中,弦AB的长为√3,圆上的点C满足⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴 +𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =0,那么𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 在𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为( ) 图6-2-1 A.1 B. − 12 C.√322 D.−32 21.[双空题]已知平面向量 a,b,c满足| a| =|b| =|c| =1,若 a·b =12 ,则( a+b)·(2b-c)的最小值是 ,最大值是 . 第七章 复 数 ) ) 11.[2020合肥市调研检测]已知i是虚数单位,则复数z=√3+i在复平面内对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.[多选题]设复数z满足𝑧+1=i,则下列说法错误的是 ( ) 𝑧 A.z为纯虚数 B.z的虚部为 - 12i C.在复平面内,z对应的点位于第二象限 D.|z|=√22 3.[2019长春市高三第一次质检] ( - 1+3i)(3 - i)= ( A.10 B. - 10 C.10i D. - 10i 4.[2019福建五校第二次联考]设i是虚数单位,若复数z=i 1+i,则复数z的共轭复数𝑧= ( A.1 − 1i 11112 2 B.1+2i C.1 - 2 i D.2+2 i 5.[2019蓉城名校高三第一次联考]设复数z=x+yi(x,y∈R)满足z=3+2i2+i5,则𝑦+2 𝑥+1的值为 ( A.3212 B.3 C.1 D.3 6.[2019四省八校联考]已知(2+i)y=x+yi,x,y∈R,则|𝑥 𝑦+i|= ( A.√2 B.√3 C.2 D.√5 7.[2019河北省保定市模拟]若(a - 2i)i=b+i(a,b∈R),则𝑏 𝑎= ( A.2 B.1 2 C.1 D. - 1 8.[2020江苏省高三百校大联考]已知复数z=2 1+i+2i,i为虚数单位,则z的虚部为 . 9.[2020南昌市重点中学模拟]已知复数1+i是关于x的方程x2+mx+2=0的一个根,则实数m的值为 ( A. - 2 B.2 C. - 4 D.4 10.[2020河北衡水中学全国高三第一次联考]已知i为虚数单位,z=2+i6-8i,设 𝑧是z的共轭复数,则在复平面内 𝑧对应的点位于 ( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 11.[2020广东七校联考]已知复数z1,z2在复平面内对应的点关于虚轴对称,若z1=1 - 2i,则𝑧1𝑧 2 = ( A.3 − 4i B. - 3+4i C. - 3 − 434555555 i D.5+5 i 12.[2019江西名校高三第一次质检]若在复平面内,复数z=3+𝑚i6-i (m∈R)所对应的点落在直线y=x上,则m=( ) A.15 7157B.15 C. - D. - 7715 ) ) ) ) ) ) ) ) 13.[2019河北六校联考]已知复数z1,z2在复平面内对应的点分别为(2, - 1),(0, - 1),则𝑧1+|z2|= 2 𝑧 ( ) A.2+2i B.2-2i C.-2+i D.-2-i 14.[多选题]已知不相等的复数z1,z2,则下列说法正确的是 A.若z1+z2是实数,则z1与𝑧2不一定相等 22 B.若|z1|=|z2|,则𝑧1=𝑧2 ( ) C.若z1=𝑧2,则z1,z2在复平面内对应的点关于实轴对称 2222D.若𝑧1+𝑧2>0,则𝑧1>𝑧2 15.[交汇题]若复数z=cos x - 1+(sin x+2)i为纯虚数(x∈R,i是虚数单位),则|z|等于 A.2 C.4 B.3 D.与x的取值有关 1-i ( ) 16.[2020江西红色七校第一次联考][交汇题]设复数z=1+i(i为虚数单位),f (x)=x2 - x+1,则f (z)= A.i B.-i C.-1+i D.1+i ( ) 17.[2020湖南师大附中高三摸底考试] [新角度题]在复平面内,满足条件|z+4i|=2|z+i|的复数z对应的点的轨迹是 A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线 ( ) 18.[双空题]已知复数z满足(z - 2)i=7 - i,其中i为虚数单位,则|z|= ,复数z的共轭复数𝑧在复平面内对应的点位于第 象限. 第八章 立体几何 第一讲 空间几何体的结构、表面积和体积 1.[2020哈尔滨模拟]如图8 - 1 - 1,一个直三棱柱形容器中盛有水,且侧棱AA1=8.若侧面AA1B1B水平放置时,液面恰好过 AC,BC,A1C1,B1C1的中点,当底面ABC水平放置时,液面高为 ( ) 图8 - 1 - 1 A.7 B.6 C.4 D.2 2.[2020山东省统考]已知三棱锥S - ABC中,∠SAB=∠ABC=π,SB=4,SC=2√13,AB=2,BC=6,则三棱锥S - ABC的体积是 ( ) 2 A.4 B.6 C.4√3 D.6√3 3.[2020广东七校联考]已知一圆锥的底面直径与母线长相等,一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切,则球与圆锥的表面积之 比为 ( ) A. 23 B. 49 C.2√6 9 D. 827 4.[2020大同市高三调研]《九章算术》中,将如图8 - 1 - 2所示的几何体称为刍甍,底面ABCD为矩形,EF ∥底面ABCD,EF 到底 面ABCD的距离为h,BC=a,AB=b,EF =c,则 𝑉𝐵 − 𝐶𝐷𝐸𝐹 =2 𝑉𝐸 − 𝐴𝐵𝐷 时,= 𝑏𝑐 ( ) 图8 - 1 - 2 12 32 23 A. B. C. D.1 5.[2020武汉市部分学校质量监测]已知三棱锥P - ABC的四个顶点均在球O的球面上,PA=PB=PC=2,且PA,PB,PC两两互相 垂直,则球O的体积为 A.16√3π B.8√3π C.4√3π D.2√3π ( ) 6.[2020成都市高三摸底测试]若矩形ABCD的对角线交点为O' ,周长为4√10,四个顶点都在球O的表面上,且OO' =√3,则球O的表面积的最小值为 A. 32√2π 3( ) B. 64√2π 3C.32π D.48π 7.[2020安徽省示范高中名校联考]在正方体ABCD - A1B1C1D1中,E,F 是线段AC1上的点,且AE=EF =F C1,分别过点E,F 作与 直线AC1垂直的平面α,β,则正方体夹在平面α与β之间的部分的体积占整个正方体体积的 A. 13 ( ) B. 12 C. 23 D. 34 8.[2019安徽省江南十校二模]已知圆台上、下两底面与侧面都与球O相切,已知圆台的侧面面积为16π,则该圆台上、下两底面 圆的周长之和为 A.4π B.6π C.8π D.10π ( ) 9.[2019福州市质检]如图8-1-3,以棱长为1的正方体的顶点A为球心,以√2为半径作一个球面,则该正方体的表面被球面所截得 的所有弧的长之和为 ( ) 图8-1-3 A. 3π4 B.√2π C. 3π2 D. 9π4 10.[2019绵阳市三诊]已知一个封闭的长方体容器中装有两个大小相同的铁球,若该长方体容器的三个相邻侧面的面积分别为 6,8,12,则铁球的直径最大只能为 A.√3 B.2 C.√5 D.4 ( ) 11.[2020南昌市测试]已知一个圆锥的轴截面是斜边长为2的等腰直角三角形,则该圆锥的侧面面积为 . 12.[2019广东广州模拟]如图8 - 1 - 4所示,在三棱锥A - PBC中,AP,AB,AC两两垂直,AP=AB=AC=√2.若点D,E分别在棱 PB,PC上运动(都不与端点重合),则AD+DE+EA的最小值为 . 图8 - 1 - 4 13.[2020安徽省示范高中名校联考]如图8 - 1 - 5,已知四面体ABCD为正四面体,AB=1,E,F 分别是AD,BC的中点.若用一个与 直线EF 垂直,且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体,由此得到一个多边形截面,则该多边形截面面积的最大值为 ( ) 图8 - 1 - 5 A. 14 B. 4 √2C. 4 √3D.1 14.[2020陕西省百校第一次联考]四棱锥P - ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,PA⊥底面ABCD,异面直线AC与PD所成的角的余弦值为 √105 ,则四棱锥的外接球的表面积为 ( ) A.48π B.12π C.36π D.9π 15.[2020洛阳市第一次联考]已知三棱锥P - ABC的四个顶点均在同一个球面上,底面△ABC满足BA=BC=√6,∠ABC=π,若该三 2棱锥体积的最大值为3,则其外接球的体积为 A.8π B.16π C.π 163 ( ) D.π 323 16.[2020陕西省百校第一次联考]在三棱柱ABC - A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,记△ABC和四边形ACC1A1的外接圆圆心分别为 O1,O2,若AC=2,且三棱柱外接球的体积为 A. √1032π ,则3O1A+O2A的最大值为 ( ) 2 B.√5 C.√10 D.2√5 17.[2019合肥市三检]若圆锥SO1,SO2的顶点和底面圆周都在半径为4的同一个球的球面上,两个圆锥的母线长分别为4,4√2, 则这两个圆锥重合部分的体积为 A.π 83 ( ) B.8π C.π 563 D.56+16√3π 3 18. [2020河北九校第二次联考]如图8 - 1 - 6, 图8 - 1 - 6 正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为a,E,F ,G分别是DD1,AB,BC的中点,过点E,F ,G的截面将正方体分割成两部分,则较大几何体的体积为 . 19.[2020西安五校联考]如图8 - 1 - 7,平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的,将它沿虚线折起来,可以得 到如图8 - 1 - 8所示的六面体,则该六面体的表面积为 ;若该六面体内有一个小球,则小球的最大体积为 . 图8 - 1 - 7 图8 - 1 - 8 20.[2020惠州市二调][双空题]已知底面边长为a的正三棱柱ABC - A1B1C1的六个顶点均在球O1上,又知球O2与此正三棱柱 的5个面都相切,则球O1与球O2的半径之比为 ,表面积之比为 . 21.[2020南昌市测试]已知正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为3,垂直于棱AA1的截面分别与面对角线A1D,A1B,C1B,C1D相交 于点E,F ,G,H,则四棱锥A1 - EF GH的体积的最大值为 . 22.[2019济南市质检]已知等边△ABC的边长为4√3,M,N分别为AB,AC的中点,将△AMN沿MN折起,连接AB,AC,得到四棱锥 A - MNCB.点P为四棱锥A - MNCB的外接球球面上任意一点,当四棱锥A - MNCB的体积最大时,点P到平面MNCB的距离的 最大值为 . 23.[新定义题]过圆锥的轴作截面,如果截面三角形为正三角形,则称圆锥为等边圆锥.已知一等边圆锥中,过顶点P的截面与底面 交于CD,O为底面圆的圆心,若∠COD=90°,且S△PCD=,那么这个等边圆锥的体积为 2√7( ) A. 2√3π 3 B.π 3 √3C.2π D.√3π 24.[2020四川五校联考]在棱长为6的正方体ABCD - A1B1C1D1中,点E,F 分别是棱C1D1,B1C1的中点,过A,E,F 三点作该正方 体的截面,则截面的周长为 . 25.[双空题]在棱长为8的正方体空盒内,有四个半径为r的小球在盒底四角,分别与正方体的三个面(三个面交于一点)相切,另有 一个半径为R的大球放在四个小球之上,与四个小球均相切,并与正方体盒盖相切,无论怎样翻转盒子,五个球相切不松动,则小球的半径r的最大值为 ,大球的半径R的最小值为 . 26.[原创题]在日常生活中,石子是我们经常见到的材料,比如在各种建筑工地或者建材市场上常常能看到堆积如山的石子.某雕刻 师计划在底面边长为2 m,高为4 m的正四棱柱形的石料ABCD - A1B1C1D1中雕出一个四棱锥O - ABCD和球M的组合体(如图8 - 1 - 9所示), 图8 - 1 - 9 其中O为正四棱柱的中心,当球的半径r取最大值时,该雕刻师需去除的石料约重 kg.(其中π≈3.14,石料的密度ρ=2.4 g/cm3,质量m=ρV,V为体积) 第二讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 1.[2020石家庄市重点高中高三摸底测试]如图8 - 2 - 1,在直三棱柱ABC - A1B1C1中,AB=AC=AA1=√2,BC=2,点D为BC的中 点,则异面直线AD与A1C所成的角为( ) 图8 - 2 - 1 π2 π3 π4 π6 A. B. C. D. 2.[2019广东省汕头市联考]给出下列命题: (1)若直线a与平面α不平行,则a与平面α内的所有直线都不平行; (2)若直线a与平面α不垂直,则a与平面α内的所有直线都不垂直; (3)若异面直线a,b不垂直,则过a的任何平面与b都不垂直; (4)若直线a和b共面,直线b和c共面,则a和c共面. 其中错误命题的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 ( ) D.l⊥m ( ) 3.[2019昆明市高考模拟]已知直线l⊥平面α,直线m∥平面β,若α⊥β,则下列结论正确的是 A.l∥β或l⊂β B.l∥m C.m⊥α 4.[2019贵州贵阳适应性考试]设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下面四个命题: ①若α⊥β,β⊥γ,则α∥γ;②若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n;③若m∥α,n⊂α,则m∥n;④若α∥β,γ∩α=m,γ∩β=n,则m∥n. 其中是真命题的序号为 A.①④ B.①② C.②③④ ( ) D.④ 5.[2019湖南重点中学联考]正四面体SABC中,D是AB的中点,E是SB的中点,则异面直线AE与CD所成角的余弦值是 ( ) A. 16 B. 14 C. 13 D. 12 6.[2020陕西省部分学校摸底检测]将正方形ABCD中的△ACD沿对角线AC折起,使得平面ABC垂直于平面ACD,则异面直线 AB与CD所成的角为 A.90° B.60° C.45° D.30° ( ) ( ) 7.[多选题]如图8 - 2 - 2,正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为1,P,Q分别是线段AD1和B1C上的动点,且满足AP=B1Q,则下列命 题正确的是 A.存在P,Q运动到某一位置,使AB∥PQ B.△BPQ的面积为定值 C.当点P不与点A重合时,直线PB1与AQ是异面直线 D.无论P,Q运动到什么位置,均有BC⊥PQ 图8 - 2 – 2 图8 - 2 - 3 8.[多选题]图8 - 2 - 3是一几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F 分别为P4A,P1D的中点,在此几何体中,下面结 论正确的是 A.直线BE与直线CF 异面 B.直线BE与直线AF 异面 C.直线EF ∥平面PBC D.平面BCE⊥平面PAD ( ) 9.[2019福建五校第二次联考]已知正方体ABCD - A1B1C1D1的体积为1,点M在线段BC上(点M异于B,C两点),点N为线段 CC1的中点.若平面AMN截正方体ABCD - A1B1C1D1所得的截面为四边形,则线段BM长度的取值范围为 A.(0,] B.(0,] C.[,1) D.[,1) 13 12 23 12 ( ) 10.[交汇题]设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且直线m⊂平面α,直线n⊂平面β,给出下列说法:①“m⊥n”是“n⊥α”的 必要条件;②“m∥n”是“m∥β”的必要条件;③“m∥n”是“α∥β”的充要条件;④“m⊥n”是“α⊥β”的充分条件.其中所有正确说法的序号是 . 11.[2019安徽蚌埠模拟]已知正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为2,E,F 分别为AA1,AB的中点,点M是正方形ABB1A1内的动点, 若C1M∥平面CD1EF ,则点M的轨迹长度为 . 第三讲 直线、平面平行的判定及性质 1.[2020惠州市一调]设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则α∥β的一个充分条件是 A.存在一条直线a,a∥α,a∥β B.存在一条直线a,a⊂α,a∥β C.存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α D.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α ( ) 2.[多选题]如图8 - 3 - 1,在棱长均相等的四棱锥P - ABCD中,O为底面正方形的中心,M,N分别为侧棱PA,PB的中点, 图8 - 3 - 1 则下列结论中正确的有 A.PD∥平面OMN B.平面PCD∥平面OMN C.直线PD与直线MN所成角的大小为90° D.ON⊥PB ( ) 3. [2019广东广州三模]如图8 - 3 - 2,在三棱锥A - BCD中,AB=CD=a,M,N,P,Q分别在棱AC,BC,BD,AD(不包含端点)上,AB,CD均平行于平面MNPQ, 图8 - 3 - 2 则四边形MNPQ的周长是 A.4a B.2a C. D.周长与截面的位置有关 3𝑎2 ( ) 4.[2019沈阳市第三次质量监测][新角度题]下列三个命题在“( )”处都缺少同一个条件,补上这个条件可使这三个命题均为真命 题(其中l,m为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面),则此条件是 . 𝑙∥𝑚 𝑚⊂𝛼 𝑙⊥𝑚 ① 𝑚∥𝛼⇒l∥α;② 𝑙∥𝑚⇒l∥α;③ 𝑚⊥𝛼⇒l∥α. ( )}( )}( )} 5.[2020江西红色七校第一次联考]如图8 - 3 - 3,在正三棱柱ABC - A1B1C1中,AB=AA1=2,E,F 分别为AB,B1C1的中点. 图8 - 3 - 3 (1)求证:B1E∥平面ACF ; (2)求三棱锥B1 - ACF 的体积. 6.[2020成都市高三摸底测试]如图8 - 3 - 4,在四棱锥P - ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA=PD,AB=AD,PA⊥PD,AD⊥CD, ∠BAD=60°,M,N分别为AD,PA的中点. (1)证明:平面BMN∥平面PCD. (2)若AD=6,求三棱锥P - BMN的体积. 图8 - 3 - 4 7.[2019江西名校高三质检(一)]如图8 - 3 - 5,在四棱锥S - ABCD中,∠SDA=2∠SAD=90°,∠BAD+∠ADC=180°,AB=2CD,点F 是 线段SA上靠近点A的三等分点,AC与BD相交于点E. (1)在线段SB上作出点G,使得平面EF G∥平面SCD,请指明点G的具体位置,并用阴影部分表示平面EF G,不必说明平面EF 1 G∥平面SCD的理由; (2)若SA=SB=2,AB=AD=BD=√2,求点F 到平面SCD的距离. 图8 - 3 - 5 8.[新角度题]如图8 - 3 - 6,在四棱锥S - ABCD中,四边形ABCD是边长为2的菱形,∠ADC=120°,△SAD是等边三角形,平面 SAD⊥平面ABCD,E,F 分别是SC,AB上的一点. (1)若E,F 分别是SC,AB的中点,求证:BE∥平面SF D. (2)当为多少时,三棱锥S - BDE的体积为? 𝑆𝐸𝐸𝐶 16 图8 - 3 - 6 9.[2019惠州市一调]如图8 - 3 - 7,四棱锥P - ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点. (1)证明:PB∥平面AEC. (2)设AP=1,AD=√3,三棱锥P - ABD的体积V=,求点A到平面PBC的距离. 4√3图8 - 3 - 7 10.[2019南昌市重点中学高三模拟]如图8 - 3 - 8,四边形ABCD是梯形,四边形CDEF 是矩形,且平面ABCD⊥平面 CDEF ,∠BAD=∠CDA=90°,AB=AD=DE=2CD=2,M是线段AE上的动点. (1)试确定点M的位置,使AC∥平面MDF ,并说明理由; (2)在(1)的条件下,求平面MDF 将几何体ABCDEF 分成的上、下两部分的体积之比. 1 图8 - 3 - 8 第四讲 直线、平面垂直的判定及性质 1.[2019昆明市高考模拟]已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,则“α∥β”是“l⊥m”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ( ) 2. [2019河南八市重点高中联考]《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.在如图8 - 4 - 1所示的四棱锥 P - ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形,且PD=CD,点E,F 分别为PC,PD的中点, 图8 - 4 - 1 则图中的鳖臑有 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 ( ) ( ) 3.[2019辽宁五校联考]在正方体ABCD - A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则 A.MN∥C1D1 B.MN⊥BC1 C.MN⊥平面ACD1 D.MN⊥平面ACC1 4.[2020惠州市二调]如图8 - 4 - 2,AB为圆O的直径,点E,F 在圆O上,AB∥EF ,矩形ABCD所在平面和圆O所在平面互相垂直, 已知AB=3,EF =1. (1)求证:平面DAF ⊥平面CBF . (2)设几何体F - ABCD,F - BCE的体积分别为V1,V2,求V1∶V2的值. 图8 - 4 - 2 5.[2020安徽省示范高中名校联考]图8 - 4 - 3是由正方形ABCG,直角梯形ABED,三角形BCF 组成的一个平面图形,其中 AB=2DE=2,BE=BF =CF =√3,将其沿AB,BC折起使得BE与BF 重合,连接DG,如图8 - 4 - 4. (1)证明:图8 - 4 - 4中的D,E,C,G四点共面,且平面ABD⊥平面DEC. (2)求图8 - 4 - 4中点A到平面BCE的距离. 图8 - 4 - 3 图8 - 4 - 4 6.[2019辽宁五校联考]在如图8 - 4 - 5所示的几何体中,DE∥AC,AC⊥平面BCD,AC=2DE=4,BC=2,DC=1,∠BCD=60°. (1)证明:BD⊥平面ACDE. (2)过点D作一平行于平面ABE的截面,画出该截面,说明理由,并求夹在该截面与平面ABE之间的几何体的体积. 图8 - 4 - 5 7.[2019南昌市三模]如图8 - 4 - 6(1)(2),一个正四棱锥P1 - AB1C1D和一个正三棱锥P2 - B2C2S的所有棱长都相等,F 为棱 B1C1的中点,将P1、P2,B1、B2,C1、C2分别对应重合为P,B,C,得到一个组合体.关于该组合体有如下三个结 论:①AD⊥SP;②AD⊥SF ;③AB∥SP.其中错误结论的个数是 ( ) (1) (2) 图8 - 4 - 6 A.0 B.1 C.2 D.3 8.[多选题]已知在如图8 - 4 - 7(1)所示的直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥AD,AD=2AB=2BC,F 为线段AD上一动点(不含端点), 现将△CDF 沿直线CF 翻折,使点D翻折到点D' 的位置,如图8 - 4 - 7(2),关于翻折的过程(不包含始末状态),下列结论正确的是 ( ) (1) (2) 图8 - 4 - 7 A.存在某个位置,使直线AF 与BD' 垂直 B.存在某个位置,使直线BF 与D' F 垂直 C.存在某个位置,使直线D' C与D' A垂直 D.存在某个位置,使直线BD' 与平面D' CF 垂直 9.[2019全国高三摸底联考]已知正方体A1B1C1D1 - ABCD的棱AA1的中点为E,AC与BD交于点O,平面α过点E且与直线 OC1垂直,若AB=1,则平面α截该正方体所得截面图形的面积为 A. 4 √6( ) B. 2 √6C. 2 √3D. 4 √310. [2020福建莆田模拟]如图8 - 4 - 8所示,在直三棱柱ABC - A1B1C1中,底面ABC是边长为2的正三角形,M,N分别是 AB,AA1的中点,且A1M⊥B1N. (1)求证:B1N⊥A1C; (2)求点M到平面A1B1C的距离. 图8 - 4 - 8 11.[2020洛阳市第一次联考]如图8 - 4 - 9,四棱锥E - ABCD中,AE⊥DE,CD⊥平面ADE,AB⊥平面ADE,CD=DA=6,AB=2,DE=3. (1)求三棱锥C - ADE的体积. (2)求证:平面ACE⊥平面CDE. (3)在线段DE上是否存在一点F ,使AF ∥平面BCE?若存在,求出𝐹 的值;若不存在,请说明理由. 图8 - 4 - 9 12.[2020长春市第一次质量监测]如图8 - 4 - 10,在三棱柱ABC - A1B1C1中,平面ABC,平面ACC1A1,平面BCC1B1两两垂直. (1)求证:CA,CB,CC1两两垂直. (2)若CA=CB=CC1=a,求三棱锥B1 - A1BC的体积. 图8 - 4 - 10 13.[原创题]如图8 - 4 - 11,在三棱锥P - ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,D为线段PB的中点,E为线段PC上的动点,且 PA=AB=4,BC=3. (1)求证:平面ADE⊥平面PBC. (2)当三棱锥P - ADE的体积为2时,求DE的长度. 图8 - 4 - 11 ` 第五讲 空间角与距离、空间向量及应用 1.[2020湖北部分重点中学高三测试]如图8 - 5 - 1,E,F 分别是三棱锥P - ABC的棱AP,BC的中点,PC=10,AB=6,EF =7, 图8 - 5 - 1 则异面直线AB与PC所成的角为 A.30° B.60° C.120° D.150° ( ) 2.[2019湖南长沙市长郡中学二模]图8 - 5 - 2中的三个正方体ABCD - A1B1C1D1中,E,F ,G均为所在棱的中点,过E,F ,G作正 方体的截面.下列各选项中,关于直线BD1与平面EF G的位置关系描述正确的是 ( ) 图8 - 5 - 2 A.BD1∥平面EF G的有且只有①,BD1⊥平面EF G的有且只有②③ B.BD1∥平面EF G的有且只有②,BD1⊥平面EF G的有且只有① C.BD1∥平面EF G的有且只有①,BD1⊥平面EF G的有且只有② D.BD1∥平面EF G的有且只有②,BD1⊥平面EF G的有且只有③ 3. [2019安徽宣城二调]如图8 - 5 - 3,在棱长为2的正方体ABCD - A1B1C1D1中,E,F 分别为棱AA1,BB1的中点,M为棱A1B1上 一点,且A1M=λ(0<λ<2), 图8 - 5 - 3 设N为线段ME的中点,则点N到平面D1EF 的距离为 A.√3λ B.2√5 5 ( ) C.λ 3 √2D. 5 √54.[2019沈阳市第三次质量监测]如图8 - 5 - 4,在正四棱柱ABCD - A1B1C1D1中,底面边长为2,直线CC1与平面ACD1所成角的 正弦值为, 13 图8 - 5 - 4 则该正四棱柱的高为 A.2 B.3 C.4 D.5 π ( ) 5.[新角度题]如图8 - 5 - 5(1),在等腰直角三角形ABC中,∠ABC=2,BC=2,将△ABC绕AB边旋转至△ABC' 的位置,连接CC' ,如图 8 - 5 - 5(2),若四面体CBC' A的各个顶点均在球H的球面上,且球H的表面积为12π,则二面角C - AB - C' 的大小为 ( ) 图8 - 5 - 5 A. π6B. π3C. π2D. 2π36.[2020四省八校联考]如图8 - 5 - 6,在四棱锥P - ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠BCD=120°,侧面PAB⊥底面 ABCD,∠BAP=90°,AB=AC=PA=2. (1)求证:平面PBD⊥平面PAC. (2)过AC的平面交PD于点M,若平面AMC把四面体PACD分成体积相等的两部分,求二面角P - MC - A的正弦值. 图8 - 5 - 6 7.[2020陕西宝鸡模拟]如图8 - 5 - 7所示,在长方体ABCD - A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=√3,点E在棱AB上. (1)求异面直线D1C与A1D所成角的余弦值; (2)若二面角D1 - EC - D的大小为45°,求点B到平面D1EC的距离. 图8 - 5 - 7 8.[2019福建五校第二次联考]图8 - 5 - 8是一个半圆柱与多面体ABB1A1C构成的几何体,平面ABC与半圆柱的下底面共面,且 ⏜AC⊥BC,P为𝐵1𝐴1上的动点(不与B1,A1重合). (1)证明:PA1⊥平面PBB1. (2)若四边形ABB1A1为正方形,且AC=BC,∠PB1A1=,求二面角P - A1B1 - C的余弦值. π 4 图8 - 5 - 8 9. [多选题]如图8 - 5 - 9,在长方体A1B1C1D1 - A2B2C2D2中,A1A2=2A1B1=2B1C1=2,A,B,C分别是所在棱的中点, 图8 - 5 - 9 则下列结论中成立的是 A.异面直线D2C与AD1所成的角为60° B.平面A2BCD2与平面ABC1D1的夹角为30° C.点A1与点C到平面ABC1D1的距离相等 D.平面A2BC1截长方体所得的截面面积为 2 √3( ) 10.[2020广东四校联考]在棱长为1的正方体ABCD - A1B1C1D1中,点C关于平面BDC1的对称点为M,则AM与平面ABCD所 成角的正切值为 A. 2 √2( ) C.√3 D.2 B.√2 11.[2019吉林长春质量监测][双空题]已知正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为2,M,N,E,F 分别是A1B1,AD,B1C1,C1D1的中点,则 过EF 且与MN平行的平面截正方体所得截面的面积为 ,CE 和该截面所成角的正弦值为 . 12.[2020江西红色七校第一次联考]如图8 - 5 - 10(1),梯形ABCD中,AB∥CD,过A,B分别作AE⊥CD, BF ⊥CD,垂足分别为 E,F .AB=AE=2,CD=5,DE=1,将梯形ABCD沿AE,BF 折起,得到空间几何体ADEF BC,如图8 - 5 - 10(2)所示. (1)图8 - 5 - 10(2)中,若AF ⊥BD,证明:DE⊥平面ABF E. (2)在(1)的条件下,若DE∥CF ,求二面角D - AF - C的余弦值. 图8 - 5 – 10 13.[2020洛阳市第一次联考]如图8 - 5 - 11,底面ABCD是边长为3的正方形,平面ADEF ⊥平面ABCD,AF ∥DE,AD⊥DE,AF =2√6,DE=3√6. (1)求证:平面ACE⊥平面BED. (2)求直线CA与平面BEF 所成角的正弦值. (3)在线段AF 上是否存在点M,使得二面角M - BE - D的大小为60°?若存在,求出𝐹 的值;若不存在,请说明理由. 图8 - 5 - 11 14.[2019蓉城名校高三联考]如图8 - 5 - 12,在四棱锥P - ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=AB=2BC=2,AP=AC,BP=3BC. (1)求证:平面PAD⊥平面ABCD. (2)若∠PAD为锐角,且PA与平面ABCD所成角的正切值为2,求二面角A - PB - D的余弦值. 图8 - 5 – 12 15.[新角度题]如图8 - 5 - 13,EC⊥平面ABC,BD∥EC,AC=AB=BD=2EC=2,点F 为线段DE上的动点. (1)试在BC上找一点O,使得AO⊥CF ,并证明; (2)在第(1)问的基础上,若AB⊥AC,则平面ACE与平面AOF 所成的锐二面角的大小可否为? π41 图8 - 5 - 13 16.[2020山东省统考]如图8 - 5 - 14,四棱锥S - ABCD中,底面ABCD为矩形.SA⊥平面ABCD,E,F 分别为AD,SC的中点,EF 与平面ABCD所成的角为45°. (1)证明:EF 为异面直线AD与SC的公垂线. (2)若EF =BC,求二面角B - SC - D的正弦值. 12 图8 - 5 - 14 素养提升4 高考中立体几何解答题的提分 策略 1.[12分]如图4 - 1,在四棱锥P - ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,PA=PD. (1)证明: BC⊥PB. (2)若PA⊥PD,PB=AB,求二面角A - PB - C的余弦值. 图4 - 1 2.[12分]如图4 - 2,正三棱柱ABC - A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点. (1)求证:AB1⊥平面A1BD; (2)求锐二面角A - A1D - B的余弦值. 图4 - 2 3.[12分]如图4 - 3,在棱长为3的正方体ABCD - A1B1C1D1中,点E为棱DD1上的一点,点F 为边AD的中点. (1)点E为DD1的中点时,求作一个平面与平面CA1E平行,要求保留作图痕迹,并说明点的位置,不用证明; (2)当DE为多长时,直线BD1与平面CA1E所成角的正弦值为 √4221 ? 图4 - 3 4.[原创题,12分]如图4 - 4(1),在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=90°,E,F 分别为AB,AC边的中点,以EF 为折痕把△AEF 折起,使点A到达点P的位置,且PB=BE,如图4 - 4(2)所示. (1)证明:EF ⊥平面PBE. (2)设N为线段PF 上一动点,求直线BN与平面PCF 所成角的正弦值的最大值. 图4 - 4 第九章 平面解析几何 第一讲 直线方程与两直线的位置关系 1.[2020江西模拟]“m=4”是“直线mx+(3m-4)y+3=0与直线2x+my+3=0平行”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ( ) 2.[2020甘肃省模拟]已知直线l1:xsin α+y-1=0,直线l2:x-3ycos α+1=0,若l1⊥l2,则sin 2α= A. 35 ( ) B.- 35 C. 23 D.- π 23 3.[2019安徽省黄山市八校联考]“a<-1”是“直线ax+y-1=0的倾斜角大于4”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ( ) 4.[2019安徽四校联考]已知坐标原点关于直线l1:x-y+1=0的对称点为A,设直线l2经过点A,则当点B(2,-1)到直线l2的距离最大 时,直线l2的方程为 A.2x+3y+5=0 C.3x+2y+5=0 B.3x-2y+5=0 D.2x-3y+5=0 ( ) 5.[2019河北廊坊省级示范高中联考]已知直线l1:ax+by+1=0与直线l2:2x+y-1=0互相垂直,且l1经过点(-1,0),则b= . 6.若三条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一点,则点(m,n)到原点的距离的最小值为 . 7.[2020贵阳市高三摸底测试]已知抛物线y2=4x上一点P到准线的距离为d1,到直线l:4x-3y+11=0的距离为d2,则d1+d2的最 小值为 A.3 B.4 C.√5 D.√7 ( ) ( ) 8.[2020皖江名校第一次联考]过原点O作直线l:(2m+n)x+(m-n)y-2m+2n=0的垂线,垂足为P,则点P到直线x-y+3=0的距离的 最大值为 A.√2+1 B.√2+2 C.2√2+1 D.2√2+2 9.[2019山东日照校际联考]过点P(1,1)的直线l将圆x2+y2=4分为两部分,设分成的两部分的面积分别为S1,S2,当|S1-S2|最大时, 直线l的方程是 A.x+y-2=0 C.x-y-2=0 B.x+y+2=0 D.x+y-1=0 ( ) 10.[2019安徽十校高三摸底考试]已知直线l过点(3√3,0)且不与x轴垂直,圆C:x2+y2-2y=0,若直线l上存在一点M,使OM交圆 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑁𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,其中O为坐标原点,则直线l的斜率的最小值为 C于点N,且𝑂𝑀 2A.-1 B.-√3 C.-√6 D.- 3 √33 ( ) 11.[2019辽宁五校联考]已知e是自然对数的底数,函数f(x)=(x-1)ex+3e的图象在点(1,f(1))处的切线为l,则直线l的横截距 为 . 12.[2019豫南九校第一次联考]若点P是函数f(x)=ex-e-x-3x图象上任意一点. (1)设在点P处切线的倾斜角为α,求α的取值范围; (2)求在点P(ln 2, f(ln 2))处的切线方程. 第二讲 圆的方程及直线、圆的位置关系 1.[2020贵阳市高三摸底测试]“m=4”是“直线x-my+4m-2=0与圆x2+y2=4相切”的 3 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ( ) 2.[2020湖北武汉部分学校测试]已知A(-1,0),B(1,0)两点以及圆C:(x-3)2+(y-4)2=r2(r>0),若圆C上存在点P,满足⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑃·⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝐵=0,则r的 取值范围是 A.[3,6] B.[3,5] C.[4,5] D.[4,6] ( ) ( ) ( ) ( ) 3.[2019陕西四校联考]直线ax-by=0与圆x2+y2-ax+by=0的位置关系是 A.相交 B.相切C.相离 A.4 B.6 C.8 D.不能确定 D.10 4.[2019开封高三模拟]已知圆(x-2)2+y2=9,则过点M(1,2)的最长弦与最短弦的长之和为 5.[2019浙江名校第四次联考]设圆x2+y2-2x-3=0截x轴和y轴所得的弦分别为AB和CD,则四边形ACBD的面积是 A.8√3 B.4√3 C.8 D.4 6.[原创题]已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0,若点A,B在圆C上,满足|AB|=2√3,且AB的中点M在直线2x+y+k=0上,则实数k的取值 范围是 A.[-2√5,2√5] B.[-5,5] C.(-√5,√5) D.[-√5,√5] ( ) 7.[2019河北省衡水中学高三调考]若圆x2+y2-ax+2y+1=0和圆x2+y2=1关于直线y=x-1对称,过点C(-a,a)的圆P与y轴相切, 则圆心P的轨迹方程是 A.y2-4x+4y+8=0 B.y2+2x-2y+2=0 C.y2+4x-4y+8=0 D.y2-2x-y+1=0 ( ) 8.已知圆C的圆心在y轴上,点M(3,0)在圆C上,且直线2x-y-1=0经过线段CM的中点,则圆C的标准方程是 A.x2+(y-3)2=18 C.x2+(y-4)2=25 B.x2+(y+3)2=18 D.x2+(y+4)2=25 ( ) 9.[2019合肥高三第三次质检]已知直线l:x-√3y-a=0与圆C:(x-3)2+(y+√3)2=4交于点M,N,点P在圆C上,且∠MPN=π,则a的值 3 为( ) A.2或10 B.4或8 C.6±2√2 D.6±2√3 10.[2020湖北孝感模拟]在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,0),B(3,0),C(0,a),D(0,a+2).若存在点P,使|PA|=√2|PB|,|PC|=|PD|, 则实数a的取值范围是 . 11.[2020山东省质检]过直线x+y+1=0上一点P作圆C:x2+y2-4x-2y+4=0的两条切线,切点分别为A,B,若四边形PACB的面积 为3,则点P的横坐标为 . 12.[2019长春市第二次质量监测]若直线l :y=√3x+2与圆C:x2+y2=4相交于A,B两点,则线段AB的中点的坐标为 . 13.[2019江苏无锡一中模拟]直线l的斜率为2,它被圆x2+y2=80截得的弦长小于10√3,则l在y轴上的截距的取值范围 是 . 314.[2019湖南省岳阳市第一中学高三二检]若函数f(x)=-𝑏eax(a>0,b>0)的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切,则a+b的最大 值是 . 1 15.[2019河北省衡水中学高三模拟]已知圆C经过原点O(0,0)且与直线y=2x-8相切于点P(4,0). (1)求圆C的方程. (2)在圆C上是否存在两个点M,N关于直线y=kx-1对称,且以线段MN为直径的圆经过原点?若存在,写出直线MN的方程;若不存在,请说明理由. 16.[2020江西九江模拟]已知两个不相等的实数a,b满足关系式b2cos θ+bsin θ+2=0和a2cos θ+asin θ+2=0,则经过 A(a2,a),B(b2,b)两点的直线l与圆x2+y2=4的位置关系是 A.相交 B.相离 C.相切 D.与θ的取值有关 𝑥𝑦2217.[2020惠州市一调]双曲线𝑎2−2=1(a>0,b>0)的离心率为2,则该双曲线的渐近线与圆(x-2)+y=3的公共点的个数为 ( ) 𝑏 2 2 ( ) A.1 B.2 C.4 D.0 𝑥2 18.[2019太原高三二模]已知点P是圆x2+(y-2)2=1上的动点,点Q是椭圆9+y2=1上的动点,则|PQ|的最大值为 A. 3√6+1 2 ( ) B.√13+1 C.2√3+1 D.4 19.[2019安徽合肥二模]在平面直角坐标系xOy中,圆C经过点(0,1),(0,3),且与x轴的正半轴相切,若圆C上存在点M,使得直线 OM与直线y=kx(k>0)关于y轴对称,则k的最小值为 A. 2√3 3 ( ) B.√3 C.2√3 D.4√3 20.[2020石家庄重点高中高三摸底考试]圆心在直线y=-2x上,并且经过点A(2,-1),与直线x+y=1相切的圆C的方程 是 . 21.[2020合肥市调研检测]设直线l :x-√3y+m=0上存在一点P,使得点P到点A(3,0),O(0,0)的距离之比为2,则实数m的取值范 围为 . 22.[2019广东六校第一次联考]已知点P(-1,2)及圆(x-3)2+(y-4)2=4,一光线从点P出发,经x轴上一点Q反射后与圆相切于点T, 则|PQ|+|QT|的值为 . 23.[2019四川省宜宾市高三适应性考试]若动点P在直线a:x-2y-2=0上,动点Q在直线b:x-2y-6=0上,记线段PQ的中点为 22 M(x0,y0),且(x0-2)2+(y0+1)2≤5,则𝑥0+𝑦0的取值范围为 . 24.[2019广东省茂名市五校联考]已知圆C:x2+y2-8x-6y+F=0与圆O:x2+y2=4相外切,切点为A,过点P(4,1)的直线与圆C交于 点M,N,线段MN的中点为Q. (1)求点Q的轨迹方程; (2)若|AQ|=|AP|,点P与点Q不重合,求直线MN的方程及△AMN的面积. 25.[2019湖北省部分重点中学模拟]已知圆C经过点A(√4,4),B(-√8,8),直线x=0平分圆C,直线l与圆C相切,与圆C1:x2+y2=1 相交于P,Q两点,且满足OP⊥OQ(O为坐标原点). (1)求圆C的方程; (2)求直线l的方程. 26.[多选题]已知圆O:x2+y2=49,直线l过点N(2,6),且交圆O于P,Q两点,点M为线段PQ的中点,则下列结论正确的是 ( ) A.点M的轨迹是圆 B.|PQ|的最小值为6 C.使|PQ|为整数的直线l共有9条 D.使|PQ|为整数的直线l共有16条 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = . 27.[交汇题]已知圆O:x2+y2=1,直线l:ax+by+c=0,若a2+b2=2c2,且圆O与直线l交于点M,N,则𝑂𝑀 7173133 28.[创新题]在平面直角坐标系xOy中,已知A(-1,0),B(2,0),若动圆C:(x-a)2+(y-1+a)2=4上总存在点P使得PA2+PB2=2,则实数a的取值范围是 . 913 29.[双空题]已知圆C:x2+y2-2x-6y+4=0与直线l:x+y+b=0,若直线l与圆C交于A,B两点,且∠AOB=90°(O为坐标原点),则 b= ,|AB|= . 第三讲 椭 圆 ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值时点P的⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑄𝑃1.[2020湖南岳阳入学调研考试]已知定点M(1,0)和椭圆𝑥9+𝑦3=1上两个动点P,Q满足MP⊥MQ,则𝑀𝑃横坐标为 A. 122 2 ( ) C. 32B.1 D. 522.[2020安徽省示范高中名校联考]已知椭圆C:𝑎2+2=1(a>b>0),F1,F2分别为其左、右焦点,|F1F2|=2√2,B为短轴的一个端点,三 𝑏 𝑥2𝑦2 角形BF1O(O为坐标原点)的面积为√7,则椭圆的长轴长为 A.4 B.8 C. 1+√33 2 ( ) D.1+√33 𝑥2 𝑦2𝑏 3.[2020陕西省部分学校摸底检测]已知F1,F2分别为椭圆𝑎2+2=1(a>b>0)的左、右焦点,点P是椭圆上位于第一象限的点,延长 PF2交椭圆于点Q,若PF1⊥PQ,且|PF1|=|PQ|,则椭圆的离心率为 A.2-√2 B.√3-√2 C.√2-1 D.√6−√3 ( ) 4.[2020福建省三明市模拟]已知P是椭圆25+9=1上一点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,且∠F1PF2=60°,则△F1PF2面积为 A.3√3 B.2√3 C.√3 D. 3 𝑥2 𝑦2𝑏 √3𝑥2𝑦2 ( ) 5.[2019唐山市高三摸底考试]已知椭圆C:𝑎2+2=1(a>b>0)和双曲线E:x2-y2=1有相同的焦点F1,F2,且椭圆C与双曲线E的离 心率之积为1,P为两曲线的一个交点,则△F1PF2为 A.锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.不能确定 𝑥2 1 ( ) 6.[2020洛阳市第一次联考]已知椭圆C1:𝑎2+2=1(a1>b1>0)与双曲线C2:𝑎2−2=1(a2>0,b2>0)有相同的焦点F1,F2,点P是曲线 𝑏1 2 𝑦2𝑥2𝑦2𝑏2 22 C1与C2的一个公共点,e1,e2分别是C1和C2的离心率,若PF1⊥PF2,则4𝑒1+𝑒2的最小值为 . 7.[双空题]已知椭圆𝑎2+2=1(a>b>0)的短轴长为2,上顶点为A,左顶点为B,左、右焦点分别是F1,F2,且△F1AB的面积为 𝑏 𝑥2𝑦2 2-√3,则2 椭圆的方程为 ;若点P为椭圆上的任意一点,则 2 2 11 +的取值范围是 |𝑃𝐹1||𝑃𝐹2| . 𝑦 8.[2020陕西省百校第一次联考]已知椭圆𝑥+2=1(a>b>0)的左焦点为F,椭圆上一动点M到点F的最远距离和最近距离分别2𝑎 𝑏 为√3+1和√3-1. (1)求椭圆的方程; ⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =10,求k的值. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +𝐴𝐷(2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点,若𝐴𝐶 𝑦√3√69.[2019湖北十堰调研]已知椭圆C:𝑥+2=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆C的一个焦点,点M(0,2),直线MF的斜率为. 2𝑎23𝑏 2 2 (1)求椭圆C的方程; (2)若过点M的直线l与椭圆C交于A,B两点,线段AB的中点为N,且|AB|=|MN|,求直线l的方程. 𝑥𝑦√510.[2020四川五校联考]设椭圆C:𝑎2+2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为3,以F1F2为直径的圆与椭圆C在第一 𝑏 2 2 象限的交点为P,则直线PF1的斜率为 A. 13 ( ) B. 12 C. 3 √3D. 2 2 2 √3𝑥𝑦 11.[2019江西南昌模拟]已知F1,F2为椭圆C:𝑎2+2=1(a>b>0)的左、右焦点,过原点O且倾斜角为30°的直线l与椭圆C的一 𝑏 个交点为A,若AF1⊥AF2,𝑆△𝐹1𝐴𝐹2=2,则椭圆C的方程为 A. 𝑥2 6𝑥28( ) ++ 𝑦2 =1 2𝑦2 =1 2B. 𝑥28 + 𝑦2 =1 4 C.D. 𝑥2𝑦2 +=1 20162 2 𝑥𝑦 12.[2019蓉城名校高三联考]已知椭圆𝑎2+2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),P是椭圆上一点,|PF2|=|F1F2|=2c, 𝑏 若∠PF2F1∈(,π),则该椭圆的离心率的取值范围是 1 2 13 12 1132 π3 ( ) A.(0,) B.(0,) C.(,1) D.(,) 13.[2019江西名校高三质检]如图9-3-1所示, 图9-3-1 𝑥2 𝑦2=19 𝑆△𝑀𝐴𝐴 12=𝑆△𝑁𝐴𝐴 12 A1,A2是椭圆C:18+ A.2 B.3 的短轴端点,点M在椭圆上运动,且点M不与A1,A2重合,点N满足NA1⊥MA1,NA2⊥MA2,则 ( ) C.4 D. 52 14.[新情境题]有一个高为12 cm,底面圆半径为3 cm的圆柱形玻璃杯,杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半(玻璃杯厚度 忽略不计),当玻璃杯倾斜时,杯中水面的形状为椭圆,则在杯中的水不溢出的前提下,该椭圆的离心率的取值范围是 A.(0,] B.[,1) C.(0, 55√5√5( ) 2√5] 5 D.[ 2√5,1) 52 2 𝑥𝑦√215.[2020广东七校联考]已知椭圆C的方程为𝑎2+2=1(a>b>0),焦距为2c,直线l :y=4x与椭圆C相交于A,B两点,若|AB|=2c, 𝑏 则椭圆C的离心率为 . 16.[2020南昌市测试]已知椭圆E:𝑎2+2=1(a>b>0)的四个顶点中的三个是边长为2√3的等边三角形的三个顶点. 𝑏 𝑥2𝑦2 (1)求椭圆E的方程; (2)设直线y=kx+m与圆O :x2+y2= 2𝑏2 相切且交椭圆3 E于M,N两点,求|MN|的最大值. 17.[交汇题]2019年1月3日10点26分(北京时间),“嫦娥四号”探测器成功着陆在月球背面东经177.6度、南纬45.5度附近 的预选着陆区,并通过“鹊桥”中继星传回了月背影像图,揭开了古老月背的神秘面纱.如图9-3-2所示,假设“嫦娥四号”卫星沿地月转移轨道飞向月球后,在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星 图9-3-2 在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,若用e1和e2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的离心率,则 A.e1>e2 B.e1 ( ) 18.[多选题]历史上,许多人研究过圆锥的截口曲线.如图9-3-3, 图9-3-3 在此圆锥中,圆锥的母线与轴的夹角为30°,现有一截面与圆锥的一条母线垂直,与轴的交点O到圆锥顶点M的距离为1,对于所得截口曲线给出如下命题,其中正确的选项为 A.曲线为椭圆 B.点O为该曲线上任意两点之间的线段中最长的线段的三等分点 3 C.该曲线上任意两点间的距离中最长的距离为 2( ) D.该曲线上任意两点间的距离中最短的距离为 2√3 3 第四讲 双曲线 1.[2020惠州市一调]设双曲线的一条渐近线为直线y=2x,且一个焦点与抛物线 y2=4x的焦点相同,则此双曲线的方程为 ( ) A.x 2- 5y2=1 C.5x2- y2=1 5454B.5y2 - x2=1 D.y2 - 5x2=1 54 542.[2020陕西省部分学校摸底检测]设双曲线4−3=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交双曲线左支于A,B两点,则 |AF2|+|BF2|的最小值为 A.13 B.12 C.11 D.10 𝑥2 𝑦2𝑏 𝑥2𝑦2 ( ) 3.[2020南昌市测试]圆C:x2+y2-10y+16=0上有且仅有两点到双曲线𝑎2−2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的距离为1,则该双曲线的 离心率的取值范围是 A.(√2,√5) B.(,) C.(,) D.(√5,√2+1) 324255 55 ( ) 4.[2019安徽示范高中高三测试]已知F1,F2是双曲线E:𝑎2−2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点M在双曲线E上,MF1与x轴垂 𝑏 𝑥2𝑦2 直,sin∠MF2F1=,则双曲线E的离心率为 A. √1514 ( ) 3 B. 32 C. √132 D.2 𝑦2 5.[2020江西红色七校第一次联考]双曲线C:x2-3=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在C上且tan∠F1PF2=4√3,O为坐标原点, 则|OP|= . 𝑦 6.[2020四川五校联考]已知双曲线C:𝑥−2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过原点的直线与双曲线C交于A,B两点,若 𝑎2𝑏 2 2 ∠AF2B=60°,△ABF2的面积为√3a2,则双曲线的渐近线方程为 . 𝑦 7.[2020陕西省百校第一次联考]已知双曲线C:𝑥−2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为l1与l2,A与B为l1上关于坐标原点对称2𝑎 𝑏 2 2 的两点,M为l2上一点且kAM·kBM=e(e为双曲线C的离心率),则e的值为 A.√5 B. √5+1( ) 2 C.2 D.√2 2 2 2 𝑦3𝑏8.[2020成都高三摸底考试]已知双曲线C:𝑥−2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),点N(-c,).若双曲线C左支2𝑎2𝑎 𝑏 上的任意一点M均满足|MF2|+|MN|>4b,则双曲线C的离心率的取值范围为 A.( √13( ) 3 ,√5) B.(√5,√13) C.(1, √133 2 )∪(√5,+∞) D.(1,√5)∪(√13,+∞) 2 𝑦9.[2020洛阳市第一次联考]已知双曲线C:𝑥−2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),A,B是圆(x+c)2+y2=4c2与双2𝑎 𝑏 曲线C位于x轴上方的两个交点,且F1A∥F2B,则双曲线C的离心率为 A. 2+√7 3 ( ) B. 4+√7 3 C. 3+√17 4 D. 5+√17 4 10.[多选题]已知双曲线Γ:𝑎2−2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P是双曲线Γ的右支上异于顶点的一个点,△PF1F2 𝑏 𝑥2𝑦2 的内切圆的圆心为I,过F2作直线PI的垂线,垂足为M,O为坐标原点,则以下结论正确的是 A.△PF1F2的内切圆的圆心I在直线x=a上 B.|OM|=a C.若∠F1IF2=θ,则△PF1F2的面积为-b2tan θ D.△PF1F2的内切圆与x轴的切点为(c-a,0) ( ) 11.[2019河北廊坊省级示范高中联考]已知点F2为双曲线C:𝑎2−2=1(a>0,b>0)的右焦点,直线y=kx交双曲线C于A,B两点,若 𝑏 𝑥2𝑦2 ∠AF2B=,𝑆△𝐴𝐹2𝐵=2√3,则双曲线C的虚轴长为 . 2π3 12.[2020惠州市二调] [新定义题]我们把焦点相同,离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知F1,F2是一对相关 曲线的焦点,P是椭圆和双曲线在第一象限的交点,当∠F1PF2=60°时,这一对相关曲线中双曲线的离心率是 A.√3 B.√2 C. 2√3 3 ( ) D.2 𝑥2 𝑦2𝑏 13. [新角度题]已知椭圆C:𝑎2+2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,c为椭圆C的半焦距,过A1的直线与圆x2+y2=c2切于点 N,与双曲线E:𝑐2−2=1在第一象限交于点M,满足MA1⊥MA2,若椭圆C的离心率为e1,双曲线E的离心率为e2,则e2+𝑒的值为𝑏 1 𝑥2𝑦2 1 A. 165( ) B.√5 C. 6√5 5D.2√5 3 14.[双空题]在平面直角坐标系中,若双曲线的渐近线方程为2x±y=0,且该双曲线经过点(5,),则该双曲线的标准方程为 , 42焦点坐标为 . 第五讲 抛物线 1.[2020福州质检]设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,P为该抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.若直线AF的斜率为-√3,则△PAF的 面积为 A.2√3 B.4√3 C.8 D.8√3 ( ) 2.[2020合肥市调研检测]设抛物线的顶点为坐标原点,焦点F的坐标为(1,0).若该抛物线上两点A,B的横坐标之和为5,则弦AB的长的最大值为 A.8 B.7 C.6 D.5 2 2 ( ) 3.[2020长春市第一次质量监测]已知椭圆𝑥4+𝑦3=1的右焦点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,过F作倾斜角为60°的直线交抛 物线于A,B(A在x轴上方)两点,则A.√3 B.2 C.3 D.4 |𝐴𝐹| 的值为 |𝐵𝐹| ( ) 4.[多选题]已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线与x轴相交于点M,经过M且斜率为k的直线l与抛物线相交于点 A(x1,y1),B(x2,y2),且x1>x2,则下列结论正确的是 A.-1 12 ( ) 5.[2019东北三省四市一模]已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F且倾斜角为120°的直线与抛物线C交于A,B两点,若 AF,BF的中点在y轴上的射影分别为M,N,且|MN|=4√3,则抛物线C的准线方程为 A.x=-1 B.x=-2 C.x=- D.x=-3 32 ( ) 6.[2019广东六校第一次联考]抛物线y=2x2上有一动弦AB,中点为M,且弦AB的长为3,则点M的纵坐标的最小值为 A. 118 ( ) B. 54 C. 32 D.1 7.[2019安徽示范高中高三测试]设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在抛物线C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2), 则抛物线C的焦点到准线的距离为 A.4或8 B.2或4 C.2或8 D.4或16 1 8.[2020山东省统考][双空题]直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0),且与抛物线C交于A,B两点,则p= ,|𝐴𝐹|+1 = |𝐵𝐹| ( ) . 9.[2020武汉高三测试]已知过点M(1,0)的直线AB与抛物线y2=2x交于A,B两点,O为坐标原点,若OA,OB的斜率之和为1,则 直线AB的方程为 . 10.[2020湖北部分重点中学高三测试]已知点A(0,1),抛物线C:y2=ax(a>0)的焦点为F,连接FA,与抛物线C相交于点M,延长FA, 与抛物线C的准线相交于点N,若|FM|∶|MN|=1∶2,则实数a的值为 . 11.[2019山西八校高三第一次联考]已知A是抛物线y2=-4x上的动点,点A在y轴上的射影是点C,B是圆D:(x-3)2+(y-2)2=1上 的动点,则|AB|+|AC|的最小值是 . 12.[2019太原高三二模]已知直线l与抛物线C:x2=2py(p>0)相交于两个不同的点A,B,点M是抛物线C在点A,B处的切线的交 点. (1)若直线l经过抛物线C的焦点F,求证:FM⊥AB; (2)若点M的坐标为(2,-2p),且|AB|=4√10,求抛物线C的方程. 13.[2019广东七校第二次联考]已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C上存在一点E(2,t)到焦点F的距离等于3. (1)求抛物线C的方程; (2)已知点P在抛物线C上且异于原点,点Q为直线x=-1上的点,且FP⊥FQ,求直线PQ与抛物线C的交点个数,并说明理由. 14.[2020绵阳高三模拟]已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,点A(1,0),直线FA与抛物线C交于点P(P在第一象限内),与其 ⃗⃗⃗⃗ ,则点P到y轴的距离为 准线交于点Q,若⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑄=√2 ⃗𝐹𝑃A.2√2-1 B.2√2-2 C.3√2-1 D.3√2-2 ( ) 15.[2020湖北部分重点中学高三测试]已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,P为抛物线C的准线l上一点,直线PF与抛物线C相交 ⃗⃗⃗⃗⃗ =3𝑀𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|MN|= 于M,N两点,若𝑃𝐹A.10 B. 21 2 ( ) C. 323 D.11 16.[2019郑州市第二次质量预测]已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过焦点F且与抛物线C交于A,B两点,且直线l不与x轴垂直,线段AB的垂直平分线与x轴交于点T(5,0),O为坐标原点,则S△AOB= A.2√2 B.√3 C.√6 D.3√6 ( ) 17.[2019石家庄高三一模]已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点P为抛物线上异于原点的任意一点,若∠KPF的平分线与x轴交于点(m,0),则m的最大值为 A.3-2√2 B.2√3-3 C.2-√3 D.2-√2 ( ) 18.[多选题]已知抛物线C:x2=3y的焦点为F,过点F的直线l交抛物线C于A,B两点,其中点A在第一象限,若弦AB的长为4, 则 A.直线l的倾斜角为30°或150° C.|𝐴𝐹||𝐵𝐹| ( ) B.|AF|-|BF|=4 9 =或3 13 D.S△AOB=2 19.[2019江西红色七校第一次联考]设抛物线y2=8x的焦点为F,过点M(4,0)的直线与抛物线相交于A,B两点,与抛物线的准线 相交于点C,|BF|=4,则△BCF与△ACF的面积之比A. 34 𝑆△𝐵𝐶𝐹= 𝑆△𝐴𝐶𝐹 ( ) B. 45 C. 56 D. 25 20.[2019武汉市高三调研测试]如图9-5-1, 图9-5-1 ⏜上不同于A,B的一个动点,平行于y轴的直线PN交抛物线抛物线E:x2=4y与圆M :x2+(y-1)2=16交于A,B两点,点P为劣弧𝐴𝐵 E于点N,则△PMN的周长的取值范围是 A.(6,12) B.(8,10) C.(6,10) D.(8,12) ( ) 21.[2020石家庄市重点高中高三摸底测试]已知点E在y轴上,点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,直线EF与抛物线交于M,N两点,若点M为线段EF的中点,且|NF|=12,则p= . 22.[2020成都市高三摸底测试]已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过点F作倾斜角为120°的直线与准线l相交于 点A,线段AF与抛物线C相交于点B,且|AB|=,则抛物线C的标准方程为 . 4323.[2020唐山市摸底考试]已知F为抛物线T:x2=4y的焦点,直线l:y=kx+2与T相交于A,B两点. (1)若k=1,求|FA|+|FB|的值; (2)点C(-3,-2),若∠CFA=∠CFB,求直线l的方程. 24.[2020合肥市调研检测]已知抛物线E:y2=2px(p>2)的焦点为F,准线l与x轴交于点M,P(x0,4)为抛物线上一点,过P作PN⊥l, 垂足为N,若四边形MFPN的周长为16. (1)求p的值; (2)过点M作直线交抛物线于点A,B,设直线FA,FB的斜率分别为k1,k2,求k1+k2的值. 25.[新角度题]已知抛物线Γ:y2=tx(t>0)的焦点为F,直线l与Γ交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,点F在曲线C:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0上.若线段AB的中点M与点F的距离为3,则点M到Γ的准线的距离的最大值为 A.18 B.6 C.3√2 D.2√2 ( ) ⃗⃗⃗ =⃗⃗⃗⃗⃗ 26.[双空题]已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过焦点F的直线交抛物线于A,B两点,且⃗⃗𝐴𝐹𝐹𝐵,点A到直线l的距离为2,则p= ;若点A,B在l上的正投影分别为M,N,则△MFN的内切圆半径为 . 第六讲 圆锥曲线的综合问题 𝑦√31.[2020广东七校第二次联考]已知椭圆C:𝑥+2=1(a>b>0)的离心率为,焦距为2√3. 2𝑎2 𝑏 2 2 (1)求椭圆C的方程; (2)若斜率为-的直线与椭圆C交于P,Q两点(点P,Q均在第一象限),O为坐标原点,证明:直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列. 1 2 2 2 2.[2020广东四校联考]设斜率不为0的直线l与抛物线x2=4y交于A,B两点,与椭圆𝑥6+𝑦4=1交于C,D两点,记直线 OA,OB,OC,OD(O为坐标原点)的斜率分别为k1,k2,k3,k4. (1)若直线l过点(0,4),证明:OA⊥OB; (2)求证: 𝑥2 𝑦2𝑏 1 𝑘1+𝑘2 的值与直线𝑘3+𝑘4 l的斜率的大小无关. 3.[2020成都市高三摸底测试]已知椭圆C:𝑎2+2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-√3,0),F2(√3,0),且经过点A(√3,2). (1)求椭圆C的标准方程; (2)过点B(4,0)作一条斜率不为0的直线l与椭圆C相交于P,Q两点,记点P关于x轴对称的点为P',若直线P'Q与x轴相交于点D,求△DPQ面积的最大值. 4.[2019安徽五校二检]已知点A,B是x轴正半轴上两点(A在B的左侧),且|AB|=a(a>0),过点A,B分别作x轴的垂线,与抛物线 y2=2px(p>0)在第一象限分别交于D,C两点. (1)若a=p,点A与抛物线y2=2px的焦点重合,求直线CD的斜率; (2)若O为坐标原点,△OCD的面积为S1,梯形ABCD的面积为S2,求1的取值范围. 𝑆𝑆2 5.[2020贵阳市高三摸底测试]已知椭圆C的中心在原点,一个焦点为F1(-√3,0),且椭圆C经过点P(√3,1). 2 (1)求椭圆C的方程; (2)设椭圆C与y轴的正半轴交于点D,直线l:y=kx+m与椭圆C交于A,B两点(l不经过点D),且AD⊥BD,证明:直线l经过定点,并求出该定点的坐标. 𝑦 6.[2020湖北部分重点中学高三测试]已知椭圆C:𝑥+2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M是椭圆上任意一点,且△MF1F22𝑎𝑏 2 2 的周长为4+2√2,以坐标原点O为圆心,椭圆C的短轴长为直径的圆恰好经过椭圆的焦点. (1)求椭圆C的方程; (2)设直线l是圆O :x2+y2=在动点P(x0,y0)(x0·y0≠0)处的切线,l与椭圆C交于不同的两点Q,R,证明:∠QOR的大小为定值. 437.[2020广东七校联考]已知点A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y2=8x上相异的两点,且满足x1+x2=4. (1)若直线AB经过点F(2,0),求|AB|的值; (2)是否存在直线AB,使得线段AB的垂直平分线交x轴于点M,且|MA|=4√2?若存在,求直线AB的方程;若不存在,请说明理由. 𝑥2 𝑦2𝑏 8.[2019福建福州质检]已知圆O:x2+y2=r2(r>0),椭圆C:𝑎2+2=1(a>b>0)的短半轴长等于圆O的半径,且过椭圆C的右焦点的直 线l0与圆O相切于点D(,). (1)求椭圆C的方程; (2)若动直线l与圆O相切,且与椭圆C相交于不同的两点A,B,求点O到弦AB的垂直平分线的距离的最大值. 𝑥2 𝑦2𝑏 1√322 9.[创新题]椭圆𝑎2+2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且离心率e=√3. (1)设E是直线y=x+2与椭圆的一个交点,求|EF1|+|EF2|取得最小值时椭圆的方程. (2)已知N(0,1),是否存在斜率为k的直线l与(1)中的椭圆交于不同的两点A,B,使得点N在线段AB的垂直平分线上?若存在,求出直线l在y轴上截距的范围;若不存在,说明理由. 𝑦1 10.[2019湖北武汉联考][交汇题]已知椭圆C:𝑥+2=1(a>b>0)的离心率为,半焦距为c,过点B(a,-c)作x轴,y轴的垂线,垂足分 𝑎22𝑏 2 2 6别为B1,B2,且四边形OB1BB2(O为坐标原点)的面积为2. (1)求椭圆C的标准方程; (2)已知经过点B的直线l与椭圆C交于不同的两点M,N,设直线B1M与直线B1N的倾斜角分别为α,β,且tan αtan β≠1,求tan(α+β)的取值范围. 素养提升5高考中圆锥曲线解答题的 提分策略 𝑦2 𝑥2𝑏 1.[2020洛阳市第一次联考,12分]已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:𝑎2+2=1(a>b>0)的一个焦点,C1与C2的公共弦 的长为2√6. (1)求椭圆C2的方程. ⃗⃗⃗⃗⃗ 与𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 同向. (2)过点F的直线l与C1相交于A,B两点,与C2相交于C,D两点,且𝐴𝐶(i)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率; (ii)设C1在点A处的切线与x轴的交点为M,证明:当直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形. 2.[2020陕西省部分学校摸底检测,12分]已知圆O:x2+y2=1和抛物线E:y=x2-2,O为坐标原点. (1)已知直线l与圆O相切,与抛物线E交于M,N两点,且满足OM⊥ON,求直线l的方程; (2)过抛物线E上一点P(x0,y0)作两条直线PQ,PR与圆O相切,且分别交抛物线E于Q,R两点,若直线QR的斜率为-√3,求点P的坐标. 3.[2020江西红色七校第一次联考,12分]如图5-1, 图5-1 已知点M(2,1)在椭圆C: 𝑥2 𝑎2+ 𝑦2𝑏2=1(a>b>0)上,点A,B是长轴的两个端点,且⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐴·⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝐵=-3. (1)求椭圆C的标准方程; (2)已知点E(1,0),过点M(2,1)且斜率为k的直线l与椭圆的另一个交点为N,若点E总在以MN为直径的圆内,求直线l的斜率k的取值范围. 4.[2019安徽宣城二模,12分]已知椭圆C的方程为𝑥4+𝑦2=1,A是椭圆上的一点,且点A在第一象限内,过点A且斜率等于-1的直 线与椭圆C交于另一点B,点A关于坐标原点的对称点为D. (1)证明:直线BD的斜率为定值; (2)求△ABD面积的最大值. 22 5.[12分]已知动圆C过定点F(1,0),且与定直线x=-1相切. (1)求动圆圆心的轨迹E的方程. (2)过点M(-2,0)的直线l与轨迹E交于不同的两点P,Q,试探究在x轴上是否存在定点N(异于点M),使得∠QNM+∠PNM=π,若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由. 第十章 计数原理 第一讲 两个计数原理、排列与组合 1.[2020洛阳市第一次联考]某小区有排成一排的7个车位,现有3辆不同型号的车需要停放,如果要求剩余的4个车位连在一起, 那么不同的停放方法的种数为 A.16 B.18 C.24 D.32 ( ) 2.[2020江西临川一中第一次联考]将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子中,每个盒子中放一个小 球,若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同,则不同的放法种数为 A.40 B.60 C.80 D.100 ( ) 3.[2019四省八校联考]现将3名男医生和3名女医生分成两个组,去支援两个山区,每组至少2人,女医生不能全在同一组,且每 组不能全为女医生,则不同的派遣方法有 A.36种 B.54种 C.24种 D.60种 ( ) 4.[2019长春市高三第一次质量监测]要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A,B,C三个班级中,要求每个班级至少分到一人,则甲被 分到A班的分法种数为 A.6 B.12 C.24 D.36 ( ) 5.[2020浙江温州九校第一次联考]4名学生参加3个兴趣小组活动,每人参加1个或2个小组,那么3个兴趣小组都恰有2人参 加的情况共有 种. 6.[2020北京市通州区模拟]用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数,其中百位上的数字是5的四位数共有 个.(用 数字作答) 7.[2020四川模拟]某地区计划实施新高考考试方案,现模拟选科,其中语文、数学、英语为必选科目.从物理、化学、生物、历史、 地理、政治、信息技术七科中任选三科,组合成“3+3”模式.若小王同学在物理和化学这两科中至多选一科,则他选择的组合方式有 种(用数字作答). 8.[2019开封市高三模拟]从甲、乙等5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛,其中甲不能参加生物竞 赛,乙只能参加数学竞赛,则不同的参赛方案种数为 . 9.[2020南京高三调考]某校毕业典礼上有6个节目,考虑整体效果,对节目演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前三位,且节目 丙、丁必须排在一起.则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有 A.120种 B.156种 C.188种 D.240种 ( ) 10.[2020陕西西安二检]将“124467”重新排列后得到不同的偶数的个数为 A.72 B.120 C.192 D.240 ( ) 11.[2019长沙四校联考]某校为了解高三年级的学情和教情,从该年级6个班中选10名学生参加座谈会,要求每班至少派1名学 生参加,其中高三(1)班至少派2名学生参加,则不同的选派方式有 A.72种 B.60种 C.50种 D.56种 ( ) 12.[2019河南濮阳模拟]安排A,B,C,D,E,F 六位义工照顾甲、乙、丙三位老人,每两位义工照顾一位老人,考虑到义工与老人的住 址距离问题,不安排义工A照顾老人甲,不安排义工B照顾老人乙,则不同的安排方法共有 A.30种 B.40种 C.42种 D.48种 ( ) 13.[2019蓉城名校高三第一次联考]高考阅卷组抽调A,B,C,D,E,F 6名阅卷老师和甲、乙2名阅卷组长,现将他们分成两个小组 (每组4人)分别派往成都、绵阳两地指导高考备考.两地都要求既要有阅卷老师又要有阅卷组长,而且A由于工作原因只能去成都,则不同的选派方案共有 种. 14.[2019合肥市高三调研检测]将红、黄、蓝三种颜色的三颗棋子分别放入3×3方格图中的三个方格内,如图10-1-1, 图10-1-1 要求任意两颗棋子不同行、不同列,且不在3×3方格图所在正方形的同一条对角线上,则不同的放法共有 种. 15.[原创题]“二进制”与我国古代的《易经》有着一定的联系,该书中有两类最基本的符号“——”和“— —”,其中“——”在二进制中 记作“1”,“— —”在二进制中记作“0”,其变化原理与“逢二进一”的法则相通.若从两类符号中任取2个符号排列,可以组成的不同的十进制数为 A.0,1,2,3 B.0,1,2 C.0,1 D.1,2 ( ) 16.[2020陕西省百校第一次联考][新情境题]某型号智能手机有“星河银”“罗兰紫”“翡冷翠”“亮黑色”四种颜色.现甲、乙等四位市 民准备分别购买一部该型号的手机,且所购买手机的颜色互不相同.若甲购买“亮黑色”或“星河银”的手机,则乙不购买“罗兰紫”的手机,那么这四位市民不同的购买方案有 种. 17.[2019江西红色七校第一次联考][数学文化题]小明有中国古代四大名著《三国演义》《西游记》《水浒传》《红楼梦》各 一本,他要将这四本书全部借给三位同学,每位同学至少一本,但《西游记》《红楼梦》这两本书不能借给同一人,则不同的借法 有 种. 第二讲 二项式定理 1.[多选题]若(1-𝑎𝑥+𝑥2)4的展开式中x5的系数为-56,则下列结论正确的是 A.a的值为-2 ( ) B.展开式中各项系数之和为0 C.展开式中x的系数为4 D.展开式中二项式系数最大的为70 2.[2020四川五校联考](3x3+x4)(2-1)8的展开式中x2的系数为 𝑥 A.-1 280 B.4 864 C.-4 864 D.1 280 ( ) 3.[2020安徽省示范高中名校联考]在二项式(√𝑥+3)n的展开式中,各项系数和为M,二项式系数和为N,且M+N=72,则展开式中 𝑥常数项为 A.18 B.12 C. 9 D.6 ( ) D.8 ( ) D.100 ( ) ( ) 4.[2020山西忻州高三模拟]设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值 为b.若13a=7b,则m= A.5 B.6 C.7 C.140 5.[2019江西红色七校第一次联考]二项式(1+x+x2)(1-x)10的展开式中x4的系数为 A.120 B.135 1n6.[2019武汉市高三调研测试]若(x4-𝑥√)的展开式中含有常数项,则n的最小值等于 𝑥A.8 B.10 C.11 D.12 7.[2020 重庆南开中学模拟]已知(ax+1)n(n∈N*)的展开式中,二项式系数和为32,且各项系数和为243,则a= . 8.[2020武汉市部分学校质量监测]若(2x+31)n的展开式中所有项系数和为81,则展开式中的常数项为 . √𝑥 9.[2020唐山市摸底考试]在(x+y)(x-y)5的展开式中,x3y3的系数是 A.-10 B.0 C.10 D.20 1 10.[2020深圳高级中学高三适应性考试]已知(1+𝑎)·(2x - )5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中的常数项为 𝑥𝑥 ( ) ( ) A.-80 A.-40 A.212 B.-40 B.-20 B.211 C.40 C.20 C.210 D.80 ( ) ( ) D.40 D.29 11.[2019江淮十校联考]已知(x+1)(2x+a)5的展开式中各项系数和为2,则其展开式中含x3的项的系数是 12.[2019江苏四校联考]已知(1+x)n(n∈N*)的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为 13.[2020江西红色七校第一次联考](x-2y+1)(2x+y)6的展开式中x4y3的系数为 . 14.[2019江淮十校联考]若(x+a)9 =a0 +a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9,当a5=126时,实数a的值为 . 1n15.[2019上海市普陀区模拟]如果(x2- 2𝑥)(n∈N*)的展开式中只有第4项的二项式系数最大,那么展开式中的所有项的系数之和 是 . 16.[2019闽粤赣三省十校联考]若(x3+𝑥12)n(n∈N*)的展开式中只有第6项的系数最大,则该展开式的常数项为 . 17.[新角度题](x+2y-3z)9的展开式中含x4y2z3项的系数为 A.-136 000 B.-136 080 C.-136 160 D.-136 280 𝑎 𝑎2 𝑎2 7 18.[多选题]已知(2x-m)7=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a7(1-x)7,若a0+21+22+…+7=-128,则有( ) ( ) A.m=2 B.a3=-280 C.a0=-1 D.-a1+2a2-3a3+4a4-5a5+6a6-7a7=14 19. [双空题]若二项式(ax2+√𝑥)5的展开式中的常数项为10,则实数a的值为 ,展开式中所有无理项的系数之和 为 . 120.[2019河北衡水质量测评][易错题]二项式(ax+𝑥)n(a>0,b>0)的展开式中,设所有二项式系数的和为A,所有项的系数的和为B, 常数项为C,若A=B=256,C=70,则展开式中含x6的项为 . 𝑏 第十一章 概 率 第一讲 随机事件的概率 1.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A={抽到一等品},事件B={抽到二等品},事件C={抽到三等品},且 P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽到的不是一等品”的概率为 . 2.[2019四川省高三适应性考试]将一枚质地均匀的骰子(各面分别标有数字1,2,3,4,5,6的正方体)连续抛掷两次,记正面朝上的数 字依次为a和b,则b>2a的概率为 . 3.[2020四川五校联考]随着新课程改革和高考综合改革的实施,高中教学以发展学生学科核心素养为导向,学习评价更关注学科 核心素养的形成和发展.为此,某市于2018年举行第一届高中数学学科素养竞赛,竞赛结束后,为了评估参赛高中学生的数学学科素养,从所有参赛学生中随机抽取1 000名学生的成绩作为样本进行估计,将抽取的成绩整理后分成五组,依次记为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100](单位:分),并绘制成如图11-1-1所示的频率分布直方图. (1)请补全频率分布直方图,并估计这1 000名学生成绩的平均数(同一组数据用该组区间的中点值作代表). (2)该市决定对本次竞赛成绩排在前180名的学生给予表彰,授予“数学学科素养优秀标兵”称号.一名学生本次竞赛成绩为79分,请你估计该学生能否被授予“数学学科素养优秀标兵”称号. 图11-1-1 4.[2019福建五校第二次联考]某服装店对其过去100天实体店和网店的销售量(单位:件)进行了统计,制成的频率分布直方图分 别如图11-1-2和图11-1-3所示. 图11-1-2 图11-1-3 (1)若将上述频率视为概率,已知该服装店过去100天的销售中,实体店和网店销售量都不低于50的概率为0.24,求过去100天的销售中,实体店和网店至少有一边销售量不低于50的天数. (2)若将上述频率视为概率,已知该服装店实体店每天的人工成本为500元,门市成本为1 200元,每售出一件利润为50元,求该实体店一天获利不低于800元的概率. (3)根据销售量的频率分布直方图,求该服装店网店销售量的中位数的估计值(精确到0.01). 5.[2020广东东莞模拟]有标有数字1,2,3,4,5的卡片各1张,从这5张卡片中随机抽取1张,不放回地再随机抽取1张,则抽取的 第1张卡片上的数字大于第2张卡片上的数字的概率为 A. 12 ( ) B. 15 C. 35 D. 25 6.[2019湖南省邵阳市联考]一副扑克牌去掉大小王,从剩余的52张牌中任意取出3张,花色相同的概率、数相连的概率分别是 p,q,则p,q的大小关系是 A.p>q B.p D.无法确定 ( ) 12 7.围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中任意取出2粒,都是黑子的概率为1,都是白子的概率为,则从中任意取出2粒,恰好是 735 同一色的概率是 A. 1 7 ( ) C. 1735 B. 1235 D.1 8.[2020贵阳市高三摸底测试]在某市某区2019年教师招聘考试中,参加A,B,C,D四个岗位的应聘人数、录用人数和录用比例 (精确到1%)如下表: 岗位 男性应聘人数 269 217 44 3 533 男性录用人数 167 69 26 2 264 男性录用比例 62% 32% 59% 67% 50% 女性应聘人数 40 386 38 3 467 女性录用人数 24 121 22 2 169 女性录用比例 60% 31% 58% 67% 36% A B C D 总计 (1)从表中所有应聘人员中随机抽取1人,试估计此人被录用的概率. (2)将应聘D岗位的男性应聘人员记为Ai(i=1,2,3),女性应聘人员记为Bj(j=1,2,3),现从应聘D岗位的6人中随机抽取2人. (i)试列举出所有可能的抽取结果; (ii)设M为事件“抽取的2人性别不同”,求事件M发生的概率. 9.[2020陕西省百校第一次联考][交汇题]某蔬菜经销商销售新鲜有机芹菜,售价为每千克20元,进价为每千克12元.出于保鲜要 求,当天进货当天销售,若当天没有全部售出,则未售出的部分全部以每千克10元的价格处理完.根据以往的日需求量情况,得到如图11-1-4所示的频率分布直方图. 图11-1-4 (1)根据频率分布直方图计算这种有机芹菜日需求量的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表); (2)若经销商某天购进130千克这种有机芹菜,假设当天的需求量为x(0≤x≤250)千克,利润为y元,结合频率分布直方图估计y不小于340的概率. 第二讲 古典概型 1.[2020石家庄市重点高中高三摸底测试]大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村的小学进行支教, 若每个村的小学至少分配1名大学生,则小明恰好分配到甲村的小学的概率为 A. 112( ) B. 12C. 13D. 162.[2019武汉市高三调研测试]我国传统历法中将一年分春、夏、秋、冬四个季节,每个季节包含六个节气,如春季包含立春、雨 水、惊蛰、春分、清明、谷雨.某书画院甲、乙、丙、丁四位同学接到绘制二十四节气的彩绘任务,现四位同学抽签确定各自完成哪个季节中的6幅彩绘,在制签抽签公平的前提下,甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率是 A. 16 ( ) B. 14 C. 13 D. 12 3.[2019全国五省名校联考][数学文化题]哥尼斯堡“七桥问题”是一个著名的数学问题,它描述的是:在哥尼斯堡内,有七座桥将普 雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图 11-2-1).问是否可能从这四块陆地中任一块出发,恰好通过每座桥一次,再回到起点?瑞士数学家欧拉于1736年解答了此问题,他把该问题归结为如图11-2-2所示的“一笔画”问题,并证明了上述走法是不可能的.假设在图11-2-2所示七条线中随机选取两条不同的线,则这两条线都与A直接相连的概率为 ( ) 图11-2-1 图11-2-2 27 37 12 1021 A. B. C. D. 4.[2019湖北部分重点中学高三测试]有4位游客来某地旅游,若每人只能从此地甲、乙、丙三个不同景点中选择一处游览,则每 个景点都有人去游览的概率为 ( ) A. 34 B. 916 C. 89 D. 49 5.[2020安徽省示范高中名校联考]长三角城市群包括:上海市及江苏省、浙江省、安徽省全部区域.现有4名高三学生准备高考 后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个省市旅游,假设每名同学均从这四个省市中任意选取一个去旅游,且这4名同学的选择结果互不影响,则恰有一个省市未被选中的概率为 A. 2764 ( ) B. 916 C. 81 256 D. 716 6.[2019陕西四校联考]将一颗质地均匀的骰子(一种各个面分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的 点数之和为大于8的偶数的概率为 A. 112 ( ) B. 19 C. 16 D. 14 7.[2019江西红色七校第一次联考]已知某地春天下雨的概率为40%.现采用随机模拟的方法估计春天里未来三天恰有一天下雨 的概率,先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示下雨,5,6,7,8,9,0表示不下雨,再以每三个随机数作为一组,代表未来三天是否下雨的结果.经随机模拟产生了如下20组随机 数:907,966,191,925,271,932,812,458,569,683,431,257,393,027,556,488,730,113,537,989.据此估计,该地未来三天恰有一天下雨的概率为 A.0.2 B.0.25 C.0.4 D.0.35 ( ) 8.[2020成都市高三摸底测试]为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念,某城区对辖区内A,B,C三类行业共200个单位的生 态环境治理成效进行了考核评估,考评成绩达到80分及以上的单位被称为“星级”环保单位,未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位.现通过分层抽样的方法抽取了这三类行业中的20个单位,其考评分数如下. A类行业:85,82,77,78,83,87. B类行业:76,67,80,85,79,81. C类行业:87,89,76,86,75,84,90,82. (1)试估算这三类行业中每类行业的单位个数; (2)若在抽出的A类行业的这6个单位中,随机选取3个单位进行交流发言,求选出的3个单位中既有“星级”环保单位,又有“非星级”环保单位的概率. 9.[2020南充高三第一次适应性考试]第28届中国金鸡百花电影节于2019年11月19日至23日在福建省厦门市举办,《南方 车站的聚会》《春江水暖》《第一次的离别》《春潮》《抵达之谜》五部优秀作品在电影节进行首批展映.若从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位,则《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中的概率为 A. 12( ) B. 35C. 710D. 45第三讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差 1.[2020陕西省部分学校摸底检测]某市有A,B,C,D 4个景点,一位游客来该市游览,已知该游客游览A景点的概率为2,游览B景 3 点,C景点和D景点的概率都是,且该游客是否游览每个景点之间相互独立. 12 (1)求该游客至多游览1个景点的概率; (2)用随机变量X表示该游客游览的景点的个数,求X的分布列和数学期望E(X). 2.[2020河北模拟]现有两种投资方案,一年后投资盈亏的情况如下表: 投资股市的盈亏情况 投资结果 获利40% 不赔不赚 亏损20% 概率 购买基金的盈亏情况 概率 1 21 81 33 8投资结果 获利20% 不赔不赚 亏损10% p q (1)当p=时,求q的值. (2)已知甲、乙两人分别选择了投资股市和购买基金,如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于,求p的取值范围. (3)丙要将家中闲置的10万元钱进行投资,决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种,已知p=,q=,那么丙选择哪种投资方案,才能使得一年后投资收益的数学期望较大?请说明理由. 12 16 45 14 3.[2020石家庄市重点高中高三摸底测试]某饮料公司为从A,B两款新配方饮料中选择一款进行新品推介,对这两款饮料进行了 市场调查,让接受调查的受访者同时饮用这两款饮料,并分别对其进行评分.现对接受调查的100万名受访者的评分(单位:分)进行整理,得到如图11-3-1(1)(2)所示的统计图.分析调查数据可以得出如下结论:评分在[0,60)内的受访者中有20%会购买,评分在[60,80)内的受访者中有60%会购买,评分在[80,100]内的受访者中有90%会购买. (1) (2) 图11-3-1 (1)在受访的100万人中,对A款饮料的评分在60分以下的有多少万人? (2)用频率估计概率,现从受访者中随机抽取1人进行调查,试估计该受访者购买A款饮料的可能性高于购买B款饮料的可能性的概率. (3)如果你是决策者,新品推介你会主推哪一款饮料,并说明你的理由. 4.[2019长春市高三第一次质量监测]为了引导学生正确使用手机,针对现在社会上的“手机控”问题,某学校利用国庆假期举办社 会实践活动,从年龄在[25,55](单位:岁)内的人中随机抽取n人进行了每天使用手机时间的调查,将每天平均使用手机超过2小时的称为“手机控”,否则称为“非手机控”,得到统计表和各年龄段人数的频率分布直方图(如图11-3-2所示). 组数 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 分组 [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50) [50,55] “手机控”的人数 120 195 100 占本组的频率 0.6 p 0.5 0.4 0.3 0.3 a 30 15 图11-3-2 (1)补全频率分布直方图,并求n,a,p的值; (2)从年龄在[40,50)内的“手机控”中采用分层抽样的方法抽取18人参加“远离手机体验活动”,再从中选取 3人当领队,记选取的3名领队中年龄在[40,45)内的人数为X,求X的分布列和数学期望E(X). 5.[2020河南八市联考]有一名高中学生盼望2020年进入某大学学习,假设具备以下条件之一均可被该大学录取:①2020年年初 通过M考试进入国家数学奥赛集训队(M考试资格需要通过参加N比赛获得);②2020年3月参加自主招生考试,考试通过,参加2020年6月高考且高考分数达到本科一批分数线;③2020年6月参加高考且分数达到该校录取分数线(该校录取分数线高于本科一批分数线).已知该学生具备参加N比赛、自主招生考试和高考的资格,且该学生估计自己通过各种考试的概率如下表: 获得M 考试资格 0.5 通过自主 招生考试 0.6 高考分数达到 本科一批分数线 0.9 高考分数达到该 校录取分数线 0.7 若该学生获得M考试资格,则该学生估计自己进入国家数学奥赛集训队的概率是0.2,若进入国家数学奥赛集训队,则提前录取,若未被录取,则按②③的顺序依次尝试.若该学生因具备某一条件被录取后,不再考虑是否具备后面的条件. (1)求该学生参加自主招生考试的概率; (2)求该学生参加考试的次数X的分布列及数学期望; (3)求该学生被该校录取的概率. 6.[2020江西红色七校第一次联考]随着小汽车的普及,“驾驶证”已经成为现代人“必考”的证件之一.若一人报名参加了驾驶证考试, 要顺利拿到驾驶证,他需要通过四个科目的考试,其中科目二为场地考试.在一次报名中,每个学员有5次参加科目二考试的机会(这5次考试机会中任何一次通过考试,就算顺利通过,即进入下一科目考试;若5次都没有通过,则需重新报名),其中前2次参加科 目二考试免费,若前2次都没有通过,则以后每次参加科目二考试都需交200元的补考费.某驾校对以往2 000个学员第1次参加科目二考试的通过情况进行了统计,得到下表: 第1次考科目二人数 第1次通过科目二人数 第1次未通过科目二人数 男学员 1 200 960 240 女学员 800 600 200 若以上表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率,且每人每次是否通过科目二考试相互独立.现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试,在本次报名中,若这对夫妻参加科目二考试的原则为通过科目二考试或者用完所有机会为止,请回答下列问题: (1)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试不需要交补考费的概率; (2)已知这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过,记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为ξ,求ξ的分布列与数学期望. 7.[2019陕西三模]现要调查某县城居民对某项政策的知晓率,专家在进行评估时,从该县城的10个乡镇中随机抽取居民进行调 查,知晓率为90%及以上记为合格,否则记为不合格.已知该县城的10个乡镇中,有7个乡镇的居民的知晓率可达90%,其余的均在90%以下. (1)现从这10个乡镇中随机抽取3个进行调查,求抽到的乡镇中恰有2个乡镇不合格的概率; (2)若记从该县城随机抽取的3个乡镇中不合格的乡镇的个数为ξ,求ξ的分布列和数学期望. 8.[2020武汉市部分学校质量监测][交汇题]武汉又称江城,是湖北省省会,中国中部地区中心城市,它不仅有着深厚的历史积淀与 丰富的民俗文化,更有着众多旅游景点,每年来武汉参观旅游的人数不胜数,其中黄鹤楼与东湖被称为武汉的两张名片.为合理配置旅游资源,现对已游览黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查,若不游玩东湖记1分,继续游玩东湖记2分,每位游客选择是否游览东湖景点的概率均为,游客之间选择意愿相互独立. (1)从游客中随机抽取3人,记总得分为随机变量X,求X的分布列与数学期望. (2)(i)若从游客中随机抽取m人,记总得分恰为m的概率为Am,求数列{Am}的前10项和; (ii)在对所有游客进行随机问卷调查的过程中,记已调查过的累计得分恰为n的概率为Bn,探讨Bn与Bn-1之间的关系,并求数列{Bn}的通项公式. 12 第四讲 二项分布及其应用、正态分布 1.[新情境题]大型场景式读书节目《一本好书》的热播激起了某校同学的阅读兴趣,该校甲、乙两位同学决定利用3天假期到图 书馆阅读图书,若甲、乙两位同学每天去图书馆的概率分别为,,且甲、乙两位同学每天是否去图书馆相互独立,那么在这3天假期中,恰有2天甲、乙两位同学都去了图书馆的概率为 A. 232132 ( ) B. 13C. 49D. 292.[2020重庆巴蜀中学模拟]中国某科技公司生产一批同型号的光纤通信仪器,每台仪器的某一部件由三个电子元件按如图11-4-1所示的方式连接而成. 已知元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则该部件正常工作.由大数据统计显示,三个电子元件的使用寿命(单位:时)均服从正态分布N(10 000,102),且各个元件能否正常工作相互独立.现从这批仪器中随机抽取1 000台,检测该部件的工作情况(各部件能否正常工作相互独立),那么这1 000台仪器中该部件的使用寿命超过10 000小时的台数的平均值为 台. 3.[2019四省八校联考]设随机变量X~B(6,3),则P(2 方案甲:员工最多有两次抽奖机会,每次抽奖的中奖率均为.第一次抽奖,若未中奖,则抽奖结束;若中奖,则通过抛一枚质地均匀的硬币决定是否继续进行第二次抽奖.规定:若抛出的硬币反面朝上,则员工获得500元奖金,不进行第二次抽奖;若正面朝上,则员工进行第二次抽奖,且在第二次抽奖中,若中奖,则获得奖金1 000元,若未中奖,则没有奖金. 方案乙:员工连续抽三次,每次的中奖率均为,每次中奖均可获得奖金400元. (1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(单位:元)的分布列; (2)试比较该公司员工选择哪个方案抽奖更好? 25 45 1 5.[2019广东省汕头市联考]在某市高中某学科竞赛中,某一个区4 000名考生的参赛成绩统计如图11-4-2所示.(用频率代替概 率) 图11-4-2 (1)求这4 000名考生的竞赛平均成绩𝑥(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表). (2)由直方图可认为考生的竞赛成绩Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ,σ2分别取考生的平均成绩𝑥和考生成绩的方差s2,那么该区4 000名考生中竞赛成绩超过84.81分的人数估计为多少? (3)如果用该区参赛考生竞赛成绩的情况来估计全市参赛考生的竞赛成绩情况,现从全市参赛考生中随机抽取4名考生,记竞赛成绩不高于84.81分的考生人数为ξ,求P(ξ≤3)(精确到0.001). 附:①s2=204.75,√204.75≈14.31; ②Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ 6.[原创题]某市教育科学研究院为了对今后所出试题的难度有更好的把握、提高命题质量,对该市高三联考理综试卷的得分情况 进行了调研.从全市参加考试的考生中随机抽取了100名考生的理综成绩(满分300分),将数据分成7组,分别为 [160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300](单位:分),并整理得到如图11-4-3所示的频率分布直方图. 图11-4-3 (1)根据频率分布直方图,求直方图中x的值. (2)用频率估计概率,从该市所有高三考生的理综成绩中随机抽取3个,记理综成绩位于区间[220,260)内的个数为Y,求Y的分布列及数学期望E(Y). (3)若变量S满足P(μ-σ 风”.教育部2014年印发的《博士硕士学位论文抽检办法》中规定:每篇抽检的学位论文送3位同行专家进行评议,3位专家中有2位以上(含2位)专家评议意见为“不合格”的学位论文,将被认定为“存在问题学位论文”.3位专家中有1位专家评议意见为“不合格”的学位论文,将再送2位同行专家(不同于前3位专家)进行复评,2位复评专家中有1位以上(含1位)专家评议意见为“不合格”的学位论文,将被认定为“存在问题学位论文”.设每篇学位论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为p(0 (2)现拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元,需要复评的总评审费用为1 500元,若某次评审抽检论文总数为3 000篇,求该次评审费用期望的最大值及对应的p值. 12 8.[2019河北九校第二次联考]已知某种植物种子每粒成功发芽的概率为1,某植物研究所分三个小组分别独立进行该种子的发芽 3 试验,每次试验种一粒种子,每次试验结果相互独立.假定某次试验种子发芽则称该次试验是成功的,如果种子没有发芽,则称该次试验是失败的. (1)第一小组做了四次试验,求该小组恰有两次失败的概率; (2)第二小组做了四次试验,设试验成功与失败的次数的差的绝对值为X,求X的分布列及数学期望; (3)第三小组进行试验,到成功了四次为止,在第四次成功之前共有三次失败的前提下,求恰有两次连续失败的概率. 9.[2019山西三模][开放题]某纺织厂为了生产一种高端布料,准备从A农场购进一批优质棉花.厂方技术人员从A农场存储的优 质棉花中随机抽取了100份棉花,分别测量了其纤维长度(单位:mm)的均值,得到100个样本数据,并制成如下频数分布表: 长度/mm [23,25) [25,27) [27,29) [29,31) [31,33) [33,35) [35,37) [37,39] 频数 4 9 16 24 18 14 10 5 (1)求这100个样本数据的样本平均数 𝑥 和样本方差s2(同一组数据取该区间的中点值为代表). (2)由得到的数据可以认为这批棉花的纤维长度X服从正态分布,即X~N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数 𝑥,σ2近似为样本方差s2. ①利用该正态分布,求P(X>μ-2σ); ②纺织厂将A农场送来的这批优质棉花进行二次检验,从中随机抽取20份测量其纤维长度的均值Yi(i=1,2,…,20),得到的数据如下. Y1 Y11 Y2 Y12 Y3 Y13 Y4 Y14 Y5 Y15 Y6 Y16 Y7 Y17 Y8 Y18 Y9 Y19 Y10 Y20 24.1 31.8 32.7 28.2 28.4 34.3 29.1 34.8 37.2 30.8 30.6 25.2 32.9 27.1 35.9 28.9 33.9 29.5 35.0 29.9 若这20个样本中纤维长度的均值Y>μ-2σ的频率不低于①中的P(X>μ-2σ),则可判断该批优质棉花合格,否则认为A农场送来的棉花掺杂了次品,判断该批棉花不合格,按照此依据判断A农场送来的这批棉花是否为合格的优质棉花,并说明理由. 附:若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ 第一讲 随机抽样与用样本估计总体 1.[2020惠州市一调]某高校调查了320名学生每周的自习时间(单位:时),制成了如图12-1-1所示的频率分布直方图,其中自习时 间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20],(20,22.5],(22.5,25],(25,27.5],(27.5,30].根据频率分布直方图,这320名学生中每周的自习时间不超过22.5时的人数是 ( ) 图12-1-1 A.68 B.72 C.76 D.80 2.[2020江西红色七校第一次联考]高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”,为评估共享单车的使用情况, 选了n座城市作试验基地,这n座城市共享单车的使用量(单位:人次/天)分别为x1,x2,…,xn,下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是 A.x1,x2,…,xn的标准差 C.x1,x2,…,xn的最大值 B.x1,x2,…,xn的平均数 D.x1,x2,…,xn的中位数 ( ) 3.[2020河北衡水中学全国高三第一次联考]由我国引领的5G时代已经到来,5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内 的通信行业整体的快速发展,进而对GDP增长产生直接贡献,并通过产业间的关联效应和波及效应,间接带动国民经济的发展,创造出更多的经济增加值.图12-1-2是某单位结合近年数据对今后几年的5G经济产出所做的预测. 图12-1-2 结合图12-1-2,下列说法错误的是 A.5G的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加 B.设备制造商的经济产出前期增长较快,后期放缓 C.信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势 D.设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位 ( ) 4.[2020开封高三一模]某省普通高中学业水平考试成绩由高分到低分按人数所占百分比依次分为A,B,C,D,E五个等级,A等级 占15%,B等级占30%,C等级占30%,D,E等级共占25%.其中E等级为不合格,原则上所占百分比不超过5%.该省某校高二年级学生都参加学业水平考试,先从中随机抽取了部分学生的考试成绩进行统计,统计结果如图12-1-3(1)(2)所示.若该校高二年级共有1 000名学生,则估计该年级达到C等级及以上级别的学生人数为( ) (1) (2) 图12-1-3 A.45 B.660 C.880 D.900 ( ) 5.[多选题]图12-1-4(1)(2)(3)(4)分别是四组数据的条形图,每组数据的样本容量都是9,则下列描述正确的是 图12-1-4 A.四组数据的平均数都是5 B.图12-1-4(1)中数据的方差为0 C.图12-1-4(4)中数据的方差为0 D.图12-1-4(3)中数据的方差最大 6.[2020广东七校联考]根据新高考改革方案,某地区高考由文理分科考试变为“3+3”模式考试.某学校为了解高一年级425名学 生的选科情况,在高一年级下学期进行模拟选科,统计得到选科组合排名前4种的情况如下表所示,其中物理、化学、生物为理科,政治、历史、地理为文科,“√”表示选择该科,“×”表示未选择该科. 学科 人数 124 101 86 74 物理 化学 生物 政治 历史 地理 √ × × √ √ × √ × × √ √ √ × × × × × √ × √ √ √ √ × 根据以上统计数据,下列判断错误的是 A.排名前4种的选科组合中,选择生物学科的学生更倾向选择两理一文组合 B.排名前4种的选科组合中,选择两理一文的人数多于选择两文一理的人数 C.整个高一年级,选择地理学科的人数多于选择其他任一学科的人数 ( ) D.整个高一年级,选择物理学科的人数多于选择生物学科的人数 7.[2019河北六校联考]某中学有高中生3 000人,初中生2 000人,男、女生所占的比例分别如图12-1-5(1)(2)所示.学校为了解 学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取女生21人,则从初中生中抽取的男生人数是 ( ) 图12-1-5 A.12 B.15 C.20 D.21 8.[2019湖南四校联考]甲、乙两名同学6次考试的成绩(单位:分)如图12-1-6所示,且这6次成绩的平均分分别为𝑥甲,𝑥乙,标准差 分别为σ甲,σ乙,则 ( ) 图12-1-6 A.𝑥<𝑥,σ甲<σ乙 甲 乙 B.𝑥<𝑥,σ甲>σ乙 甲 乙 C.𝑥甲 >𝑥,σ甲<σ乙 乙 D.𝑥甲 >𝑥,σ甲>σ乙 乙 9.[2020四省八校第二次联考][双空题]若a1,a2,…,a2 020的平均数、方差分别是2和1,bi=3ai+2(i=1,2,…,2 020),则b1,b2,…,b2 020 的平均数为 ,方差为 . 10.[2019北京高三模拟][数学文化题]《九章算术》第三章“衰分”中有如下表述:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十,丙持钱 一百八十,凡三人俱出关,关税百钱,欲以钱数多少衰出之.”其意为:“今有甲带了560钱,乙带了350钱,丙带了180钱,三人一起出关,共需要交关税100钱,依照钱的多少按比例出钱.”则丙应出 钱(结果保留整数). 11.[2020长春市第一次质量监测]某部门要对所有的新车模型进行广泛测试,以确定它们的行车里程的等级,下表是对100个新 车模型在一个耗油单位内行车里程(单位:千米)的测试结果. 分组 [30,32) [32,34) [34,36) 频数 6 10 20 [36,38) [38,40) [40,42) [42,44] 30 18 12 4 (1)在图12-1-7中补全上述测试结果的频率分布直方图,并指出其中位数落在哪一组; 图12-1-7 (2)用分层抽样的方法从行车里程在区间[38,40)与[40,42)内的新车模型中任取5个,并从这5个中随机抽取2个,求其中恰有一个新车模型的行车里程在[40,42)内的概率. 12.[原创题]蹦床是一项将运动和美学完美结合的运动,随着全民健身时代的到来,蹦床越来越受人们的喜爱.某大型蹦床主题公 园为吸引顾客,推出优惠活动,对首次消费的顾客,先注册成为会员,首次按60元收费,对会员逐次消费给予相应优惠,标准如下: 消费次数 收费比例系数 第1次 第2次 第3次 第4次 不少于5次 1 0.95 0.90 0.85 0.80 该蹦床主题公园从注册的会员中随机抽取了100位,统计他们的消费次数,得到数据如下: 消费次数 1次 2次 3次 4次 不少于5次 频数 60 20 10 5 5 假设每人每消费一次,蹦床主题公园耗费成本30元.根据所给数据,解答下列问题: (1)以频率估计概率,估计该蹦床主题公园的一位会员至少消费2次的概率; (2)某会员消费6次,求这6次消费中,该蹦床主题公园获得的平均利润; (3)以样本估计总体,假设从消费次数为3次和4次的会员中采用分层抽样的方法抽取6人进行满意度调查,再从这6人中随机选取2人进一步了解情况,求抽取的2人中恰有一人的消费次数为3次的概率. 13.[2019安徽示范高中高三测试]我国是一个缺水的国家.某市为了鼓励居民节约用水,拟确定一个合理的月用水量阶梯收费标 准,规定一位居民月用水量不超过a吨的部分按平价收费,超出a吨的部分按议价收费.该市水利局为了解居民用水情况,通过随机抽样,获得了该年1 000位居民的月均用水量(单位:吨),将数据分成9组,具体情况见下表: 月均用 [0,0.5) [0.5,1) [1,1.5) [1.5,2) [2,2.5) [2.5,3) [3,3.5) [3.5,4) [4,4.5] 水量 居民数 50 80 5x 220 250 80 60 x 20 (1)求x的值,并在图12-1-8中画出频率分布直方图. 图12-1-8 (2)若该市希望使80%的居民月均用水量不超过a吨,试估计a的值. (3)根据频率分布直方图估计该市居民月用水量的平均值.(同一组数据用该组数据的区间中点值作代表) 14.[开放题]某学校实施了一段时间的走班制教学,为了解本校高一学生在实施走班制前后的学习情况,随机调查了该校高一某班 的30名学生,得到实施走班制教学前后这些学生的数学考试成绩的频数分布表如下. 分数段 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 实施走班 制教学前 2 10 7 5 2 4 0 0 人数 实施走班 制教学后 2 4 5 5 6 5 1 2 人数 (1)试估计实施走班制教学前这些学生的数学考试成绩的中位数,并分析实施走班制教学前后及格率的变化情况.(注:中位数保留整数,60分及其以上分数为及格) (2)若数学考试平均成绩增长率达到20%,可看作实施走班制教学成功,试分析该校实施走班制教学是否成功.(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表,结果精确到0.01) 15.[2020洛阳市第一次联考][交汇题]前些年有部分企业只重视经济效益而没有环保意识,把大量的污染物排放到空中与地下,严 重影响了人们的正常生活.为此政府进行强制整治,对不合格企业进行关闭、整顿,同时通过大量的绿化来净化环境.通过几年的整治,环境得到明显改善,针对政府这一行为,老百姓大大点赞. (1)某机构随机访问50名居民,这50名居民对政府的评分(满分为100分)如下表: 分数 [70,75) [75,80) [80,85) [85,90) [90,95) [95,100] 频数 2 3 11 14 11 9 请在图12-1-9中作出居民对政府评分的频率分布直方图. 图12-1-9 (2)环境整治后,当地环保部门随机抽测了2019年某月(共30天)的空气质量指数,其数据如下表: 空气质量指数 0~50 51~100 101~150 151~200 天数 2 18 8 2 用空气质量指数的平均值作为判断该月空气质量指数级别的依据,则该月空气质量指数级别为几级?(同一组数据用该组数据的区间中点值作代表,将频率视为概率,相关知识参见附表) (3)空气受到污染,呼吸系统疾病患者最易感染.根据以往经验,凡遇到空气污染,小李都会服用有关药品,遇到轻度污染,每天的服药费用为50元,遇到中度污染,每天的服药费用为100元.环境整治前的2015年11月份小李因空气污染而受到感染,服药花费了5 000元,试估计2019年11月份(参考(2)中表格数据)小李比2015年11月份少花费了多少元的药费. 附表: 空气质量 指数 空气质量 指数级别 空气质量 指数类别 0~50 51~100 101~150 151~200 201~300 >300 一级 优 二级 良 三级 轻度 污染 四级 中度 污染 五级 重度 污染 六级 严重 污染 第二讲 变量间的相关关系与统计案例 1.[2020南昌市测试]已知一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),…,(x6,y6),用最小二乘法得到其线性回归方程为𝑦=-2x+4,若 x1,x2,x3,…,x6的平均数为1,则y1+y2+y3+…+y6= A.10 B.12 C.13 D.14 ( ) ^ 2.[多选题]2019年是中华人民共和国成立七十周年,中华人民共和国成立以来,我国文化事业得到了充分发展,图12-2-1是根据 2013年到2018年我国公共图书馆业机构数与对应年份编号绘制的散点图(为便于计算,将2013年编号为1, 2014年编号为2,…,2018年编号为6,把每年的公共图书馆业机构数作为预报变量,把年份编号作为解释变量进行回归分析),得到的回归直线方 ＾ 程为𝑦=13.743x+3 095.7,其相关指数R2=0.981 7,则下列结论正确的是 ( ) 图12-2-1 A.公共图书馆业机构数与年份编号的正相关性较强 B.公共图书馆业机构数平均每年增加13.743 C.可预测2021年公共图书馆业机构数为3 129 D.在2014~2018年间,2016年公共图书馆业机构数增加量最多 3.[2019蓉城名校高三第一次联考]某校高三“数学月”活动记录了4名学生改进数学学习方法后,每天增加学习时间x(单位:分)与 月考成绩增加分数y(单位:分)的几组对应数据: x y ^ 3 2 4 4 5 6 5 ( ) m 根据表中提供的数据,若求出y关于x的线性回归方程为𝑦=0.98x-0.46,则表中m的值为 A.4 B.4.15 C.4.8 D.4.35 4.[多选题]2018年12月1日,贵阳市地铁1号线全线开通,在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况.为了了解市民对地铁1号 线开通的关注情况,某调查机构在地铁开通后的某两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本,分析其年龄和性别结构,并制作出如图12-2-2(1)(2)所示的等高条形图: (1) (2) 图12-2-2 根据图中的信息,下列结论中正确的是 A.样本中男性比女性更关注地铁1号线全线开通 B.样本中多数女性是35岁及以上 C.样本中35岁以下的男性人数比35岁及以上的女性人数多 D.样本中35岁及以上的人对地铁1号线开通的关注度更高 ( ) 5.[2020贵州贵阳南明区模拟]2013年以来精准扶贫政策的落实,使我国扶贫工作有了新进展,农村贫困发生率由2012年年底的 10.2%下降到2018年年底的1.7%,创造了人类减贫史上的中国奇迹.贫困发生率是指低于贫困线的人口占所统计的全部人口的百分比,2012年年底至2018年年底我国农村贫困发生率的数据如下表所示. 年份t 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 8.5 6.2 5.7 4.5 3.1 1.7 贫困发生率y/% 10.2 (1)从表中所给的7个贫困发生率数据中任选2个,求至少有1个低于5%的概率; (2)设年份代码x=t-2 015,求出y与x的线性回归方程. 附:回归直线𝑦=𝑏x+𝑎的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为𝑏=𝑖=1𝑛＾ ^ ＾ ^ 𝑛 𝑛 ∑(𝑥𝑖-𝑥)(𝑦𝑖-𝑦)𝑖=1 ∑(𝑥𝑖-𝑥)2 =𝑖=1𝑛∑𝑥𝑖𝑦𝑖-𝑛𝑥 𝑦＾ 𝑖=12∑𝑥2𝑖-𝑛𝑥,𝑎=𝑦−𝑏𝑥(𝑏,𝑎的值均保留到小数 ^ ^＾ 点后三位). 6.[2020惠州市一调]某品牌汽车4S店,对该品牌旗下的A型、B型、C型汽车进行维修保养,汽车4S店记录了100辆该品牌 三种类型汽车的维修情况,整理得下表: 车型 频数 A型 20 B型 40 C型 40 假设该店采用分层抽样的方法从上述维修的100辆该品牌三种类型汽车中随机抽取10辆进行问卷回访. (1)求A型、B型、C型各车型汽车抽取的数量. (2)维修结束后这100辆汽车的司机采用“100分制”打分的方式表示对4S店的满意度,按照大于等于80分为优秀,小于80分为合格,得到如下列联表: 男司机 女司机 合计 优秀 10 25 35 合格 38 27 65 合计 48 52 100 能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为司机对4S店的满意度与性别有关系?请说明原因. 附:K2= 𝑛(𝑎𝑑-𝑏𝑐) ,n=a+b+c+d; (𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑) 2 P(K2≥k0) k0 0.100 2.706 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 7.[2019山西晋城三模]某机构为了了解不同年龄的人对同一款智能家电的评价,随机选取了50名购买该款智能家电的消费者, 让他们根据实际使用体验进行评分. (1)设消费者的年龄为x,对该款智能家电的评分为y.若根据统计数据,用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为𝑦=1.2x+40, 2=14.4,评分y的方差为𝑠2=22.5.求y与x的相关系数r,并据此判断对该款智能家电的评分与年龄的相关性且年龄x的方差为𝑠𝑥𝑦 ＾的强弱. (2)根据50名消费者的年龄将消费者的年龄所处的阶段划分为“青年”和“中老年”,按一定的标准将评分划分为“好评”和“差评”,整理得到如下数据,请判断是否有99%的把握认为对该款智能家电的评价与年龄所处的阶段有关. 好评 差评 青年 8 16 中老年 20 6 附:回归直线𝑦=𝑏x+𝑎的斜率和截距的最小二乘估计分别为𝑏=𝑖=1𝑛＾^ ＾ ^∑(𝑥𝑖-𝑥)(𝑦𝑖-𝑦)＾ 𝑖=1 𝑛 ∑(𝑥𝑖-𝑥)2 ,𝑎 =𝑦−𝑏𝑥;相关系数r=^ √∑(𝑥𝑖-𝑥)∑(𝑦𝑖-𝑦)𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1𝑛∑(𝑥𝑖-𝑥)(𝑦𝑖-𝑦)2𝑛2 𝑛 ; K2=(𝑎+𝑏)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)(𝑐+𝑑),其中n=a+b+c+d, P(K2≥k0) k0 0.05 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 𝑛(𝑎𝑑-𝑏𝑐)2 8.[2020吉林长春实验中学测试][新角度题]通常用PM 2.5的值表示空气的污染情况,PM 2.5的值越高,空气污染就越严重,下表 是某公园中参加室外锻炼的人数y与PM 2.5的值x的一些数据. x y/人 110 90 100 95 80 100 60 105 50 110 (1)请用相关系数r(精确到0.01)说明y与x之间具有什么样的相关关系; (2)根据上表提供的数据,估计当PM 2.5的值为40时该公园中参加室外锻炼的人数; (3)将表格中的数据看作五个点的坐标(xj,yj)(j=1,2,…,5),从这五个点中任意抽取两个点,求这两个点都在圆(x-80)2+(y-90)2=100外的概率. 参考公式:r=𝑖=1ni=1 ∑(xi-x)(yi-y)2𝑛2 𝑛 =𝑖=1𝑛∑𝑥𝑖𝑦𝑖-𝑛𝑥 𝑦𝑛 √∑(𝑥𝑖-𝑥)∑(𝑦𝑖-𝑦)𝑖=1 𝑛222√(∑𝑥2𝑖-𝑛𝑥)(∑𝑦𝑖-𝑛𝑦) 𝑖=1𝑖=1 ; 线性回归方程𝑦=𝑏x+a中,𝑏=𝑖=1𝑛5 5 ＾ ^ ＾ ^ ∑(𝑥𝑖-𝑥)(𝑦𝑖-𝑦)𝑖=1 𝑛 ∑(𝑥𝑖-𝑥)2 5 =𝑖=1𝑛∑𝑥𝑖𝑦𝑖-𝑛𝑥 𝑦＾ 𝑖=12∑𝑥2𝑖-𝑛𝑥𝑛 ,𝑎=𝑦−𝑏𝑥. ^ 参考数据:∑xiyi=39 200,∑𝑥𝑖2=34 600,∑𝑦𝑖2=50 250,√26≈5.10,√250≈15.81. 𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 9.[2020河北辛集模拟] [交汇题] 由中央电视台综合频道(CCTV-1)和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开 课.每期节目由一位知名人士讲述自己的故事,分享他们对于生活和生命的感悟,给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养,讨论青年们的人生问题,同时也在讨论青春中国的社会问题,受到了青年观众的喜爱.为了了解观众对节目的喜爱程度,电视台随机调查了 A,B两个地区的100名观众,得到如下所示的2×2列联表. A B 合计 非常喜欢 30 喜欢 15 合计 x y 已知在被调查的100名观众中随机抽取1名,该观众来自B地区且喜爱程度为“非常喜欢”的概率为0.35. (1)现从100名观众中根据喜爱程度用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查,则应抽取喜爱程度为“非常喜欢”的A,B地区的人数各是多少? (2)完成上述表格,并根据表格判断是否有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系. (3)若以抽样调查的频率为概率,从A地区随机抽取3人,设抽到喜爱程度为“非常喜欢”的观众的人数为X,求X的分布列和期望. 附:K2= P(K2≥k0) k0 0.05 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 𝑛(𝑎𝑑-𝑏𝑐)2 ,n=a+b+c+d, (𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑) 素养提升6 高考中概率与统计解答题的 提分策略 月份 月养殖量/千只 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 3 4 37 5 49 6 53 7 77 9 10 12 4.1 4.4 5.2 6.2 7.5 7.9 9.1 98 126 145 1.[12分]如果某企业每月养殖的生猪死亡率不超过百分之一,则该企业考核为优秀.现获得某企业2019年1月到8月的相关数 据如下表所示: 月利润/十万元 3.6 生猪死亡数/只 29 (1)求出月利润y(十万元)关于月养殖量x(千只)的线性回归方程(精确到0.01); (2)若2019年9月份该企业月养殖量为1.4万只,请你预估该月月利润是多少万元; (3)从该企业2019年1月到8月这8个月中任意选取3个月,设X为考核优秀的月数,求随机变量X的分布列和数学期望. 2 参考数据:∑xi=460,∑xiyi=379.5. 𝑖=1 i=1 8 8 附:线性回归方程𝑦=𝑏x+𝑎中,𝑏=𝑖=1𝑛 ＾ ^ ＾ ^ ∑(𝑥𝑖-x)(𝑦𝑖-y) 𝑖=1 𝑛 −− ∑(𝑥𝑖-x)2 −=𝑖=1𝑛∑𝑥𝑖𝑦𝑖-𝑛xy＾ 𝑖=1−2∑𝑥2𝑖-𝑛x 𝑛 −− ,𝑎=𝑦−𝑏𝑥. ^ 2.[2020石家庄市重点高中高三摸底测试,12分]随着手机的发展,“微信”逐渐成为人们交流的一种方式.某机构对“使用微信交流” 的态度进行调查,随机抽取了50人,他们年龄(单位:岁)的频数分布及对“使用微信交流”赞成人数如下表. 年龄 频数 赞成人数 [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75] 5 5 10 10 15 12 10 7 5 2 5 1 (1)若以“年龄45岁为分界点”,由以上统计数据完成下面2×2列联表,并判断是否有99.5%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关; 赞成 不赞成 合计 年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计 (2)若从年龄在[55,65)的被调查人中随机抽取2人进行追踪调查,求这2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的概率. 参考数据: P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 𝑛(𝑎𝑑-𝑏𝑐)2 K2=(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑),其中n=a+b+c+d. 3.[2020洛阳市第一次联考,12分]“过大年,吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2019年春节前夕,A市某质量检测部门随 机抽取了100包某种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标值,所得频率分布直方图如图6-1所示: 图6-1 (1)求所抽取的100包速冻水饺的该项质量指标值的样本平均数 𝑥(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表). (2)(i)由频率分布直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),利用该正态分布,求Z落在(14.55,38.45]内的概率; (ii)将频率视为概率,若某人从该市某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺,记这4包速冻水饺中该项质量指标值位于(10,30]内的包数为X,求X的分布列和数学期望. 附:计算得所抽取的这100包速冻水饺的该项质量指标值的标准差σ=√142.75≈11.95. 若ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.954 5. 4.[2020南昌市测试,12分]某“双一流”大学专业奖学金以所学专业各科考试成绩作为评选依据,分为专业一等奖学金(金额为3 000元)、专业二等奖学金(金额为1 500元)及专业三等奖学金(金额为600元),且专业奖学金每年评选一次,每个学生一年最多只能获得一项.图6-2是该校2018年500名学生周课外平均学习时间的频率分布直方图,图6-3是这500名学生2018年周课外平均学习时间与获得专业奖学金的频率柱状图. 图6-2 图6-3 (1)求这500名学生中获得专业三等奖学金的人数. (2)若周课外平均学习时间超过35 h的学生称为“努力型”学生,否则称为“非努力型”学生,列出2×2列联表并判断是否有99.9%的把握认为该校学生获得专业一、二等奖学金与“努力型”学生有关. (3)若以频率作为概率,从该校任选一名学生,记该学生2018年获得的专业奖学金金额为随机变量X,求随机变量X的分布列和数学期望. 附: P(K2≥k0) k0 𝑛(𝑎𝑑-𝑏𝑐)2 0.10 2.706 0.05 3.841 0.010 6.635 0.005 0.001 7.879 10.828 K2=(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑),其中n=a+b+c+d. 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容