浅谈高中数学解题中的几类“陷阱问题”

1项的系数最大，则可得｛228-厂C厂>2°一厂C厂-18-「>27-「+1,解得 2三厂 W3,因 r gN,故 r-2,3,

系数最大的项为:T3 - 1792x5/2和T4 - 1792%7/4.设r + 1项 系数最小,则可得｛ (28一rC8 W29-rC8-1,

8 8 7 8+1解之｛ >3，28-rC8 W27-rC8+1, rW2,(r>3无解•故系数最小的项不存在.正确解法 同错误解法‘ Tr + 1 - 28-r C8%%宁,设第r + 1 项的系数是 tr + 1,则 tr+2 - tr + 1 - 27-r C8+1 - 28-r C8 -

27-rC；(6-3r)

可以完美解决系数最值问题•但是利用系数单调性法在

确定其单调性时利用的是作差法,一定是-+2 - t + 1，需要 特别注意0WrWn-1这个范围.从整体上来看，系数数列

」——-•而 r g N,贝」r-0,1 时 tr +2 > tr + 1，当 r-2 时 —

tr +2 单调性法有非常大的优点，希望在以后的教学中,摈弃不 等式法,推广系数数列单调性法.- tr + 1，当 r M3 时 tr +2 < tr + 1，可得 t1 < t2 < t3 - t4 > t5 > t6 >…，故系数最大项为T3 - 1792%5/2和T4 - 1792%7/4, t】-

参考文献：［1 ］张永花.二项式定理及其应用［J］.中学数学教学

256,t9 -1,故系数最小的项是T9 -】2.%参考,2020(03) ：69 -72.［2］朱德意.二项式定理及其应用［J］.中学数学教学

传统解决二项式系数最大项与最小项问题的方法是 不等式法，设Tr + 1项系数最小,隐含着系数最小项的r范

参考,2019(04) ：52 -55. ［责任编辑:李 璟］浅谈高中数学解题中的几类“陷阱问题”邱智伟(广东省佛山市南海区九江中学528000)摘 要：随着教育的不断深入，我国数学高考的命题也开始朝着综合能力考查的趋势前进.但在这种综合

型的命题里，往往会出现一些带有“陷阱”的试题，若不能够帮助学生把握好这几类题型，就容易让学生被试题 中的“陷阱”所迷惑，导致无法快速进行解析.就此，本文重点分析了高中数学解题中几类的“陷阱问题”，从而 帮助学生能够通过形成联想记忆来对这类题型进行快速解答，提高自身的学习效率.关键词：高中数学；解题；陷阱问题中图分类号:G632 文献标识码：A 文章编号：1008 -0333(2020)34 -0019 -03例题1如图，点P是单位圆上的一个顶点，它从初

一、综合利用基础知识，解决“模型”型陷阱 问题扎实的数学基础对于高中数学来说有着重要的意 义，甚至许多数学题目都以数学基础为标准进行对应的 设题,其中就包括“模型”型陷阱•所谓的“模型”型陷阱就 将两个相似的知识点和数学模型放在同一道题目中进行

始位置Po开始沿着单位圆按顺时针方向运动角a (0< a

< F )到达点P］,然后沿着单位圆逆时针方向运动F到达点P2,若点p2的横坐标为 则cosa的值等于 .运用，从而考查学生的综合分析能力•但事实上，这种陷 阱容易让学生在分析此类问题的过程中，受到原先知识 的阻碍，从而影响自身对问题的判断•尤其针对一些基础

解析 V cos( a + F )-a sin( a +3)-5 •F3薄弱的学生来说,这种题型是最容易造成知识点混淆•图1收稿日期：2020 -09 -05作者简介:邱智伟(19. 2 -)，男，福建省莆田人，硕士，中学一级教师，从事高中数学教学研究.—19 —数理化解题研究cosa = cos [ (a + ；)-；]2020年第34期总第491期由乘积条件有a4a6 = 16,得a2q3 = ±4. 由和的条件有aq + aq2 = 5.故得方程组= ycos( a +y3 5 33-42 X 3 = 10 .+(1)丿 ｛aq + aq2=5，或⑵｛aq + aq2=5，* aq)( aq2) =4 八 M( aq)( aq2) = -4.

解方程组(1),答案同原解.解方程组(2),得d —(5 +

41 )241 )思路解读这道例题主要考查的是三角函数的定义 以及两角和与差公式的理解,但许多学生在做关于这类 题型时，往往会忽略角度所在的象限，从而导致无法正确

2(5 - 转换数值,最终得出错误的结果.所以，关于这类“模型” ，或｛(5 - 41 )241 )22(5 + 型陷阱的问题，大多都是考查学生对综合知识的运用，能

否有效的理解基本的数学定义和概念.因此,在实际解决 这类题型时,首先就要能够关注知识点之间的串联.其

次，要能够仔细观察题目条件与模型之间的关系.最后，

能够根据现有的条件准确运用学习过的数学定理来解决 对应数学题, 从而提高问题解决的效率.二、发散学生数学思维，解决“方法”型陷阱

问题部分学生在解题的过程中，往往会受到传统解题思

路的，导致在实际解题的过程中无法找寻新的解题 思路.而这种“方法”型陷阱就是针对这类学生进行设置 的,一旦学生在解题思路上出现局限性,就会出现看似合

理运用方法解题,却依旧出现错误的情况.所以，解决这 类题型，首先就是要能够使学生形成严谨的解题思维.例题2设有四个数成等比数列，其乘积为16,中间

两项的和为5,试求公比q的值.误解 设这四个数分别为:q ，aq ,aq,aq3则q； X 口a X

aq X aq3 = 16 , a4 = 16 .又中间两个数为三22qq,2 q ,知三+2 q =5,则2 q2 -5 q +2

=0,.q1 = 2 ，q2 = 2.当q = 2时，四个数为16,4,1,4，公比为4 ；当q =2时，四个数为4 ,1,4,16,公比为4.思路解读：该题是一道“方法”型陷阱的问题,主要 考查学生对方法使用的能力.但许多学生在做这道题时,

往往受到思维定势的影响,把处理等差数列问题的方法 错误的迁移到等比数列中来,以上解法受四个数成等差 数列 , 设成 a - 3 d, a - d, a + d, a + 3 d 的影 响 , 将 成 等 比 数

列的四个数设成qq：，a ,aq,aq3,而这样的四项只能是同号

的，实际上成等比数列的四个数不一定是同号的.正解 设这四个数是a,aq,aq2,aq3 ,—20 —q=5 - 415 +石5 +

415 -

41*(5 +-石) 41)2 5 +， 2斯5 - ， 2斯 (5 -，2(5 + 旳1)2(5 41)2 ；或或 (5 - MT)2 5 -斯 5 + 斯(5 + 石)22(5 + 41)， 2 ， 2 ，2(5 - 41)，综上,本题正确答案:q的值为4或4或打：；或5 + 415 -

41\"三、加强学生读题能力，解决“条件”型陷阱

问题读题能力对于高中数学来说尤其重要，许多高考题 目都喜欢考查学生的审题,只有学生对题目进行认真的 阅读、仔细审题，才能够逐步发现其中蕴含的隐藏信息, 进而做到快速准确地解题.不仅如此，这类“条件”型的陷 阱也是日常数学考试中经常出现的一种类型，其原理就

是通过隐藏一些数学条件来考查学生的读题能力.甚至 有些数学题会故意给出一些多余的条件和迷惑性的条件 来进行干扰,设置不同的陷阱，若学生不能够有效把握准

确的读题能力，就会导致在解题中出现错误的思维.例题3已知AABC,点G为重心，过点G作任意一

条直线分别交边AB、AC于E、F,设AE = %AB,AF = y AC,

求证：1%y + 1 =3.解析 这道题中的％、y为AB、AC上向量的比例系 数，因而，首先需要让两边上能够建立向量的直接关系, 在变化的过程中,E、G、F三点共线是不变的，并且AE.AG、 AA满足共线定理的内容，从而设D为BC的中点，则AD = 1 AB + 1 AC,AG = 2 AD,2

2 3贝V 3 AG = 2 AB + 1 AC,代入 AE = % AB ,AF = yAC,又T E、G、F三点共线,―+31y =t2020年第34期总第491期数理化解题研究考虑不周全，而忽略了其他的答案,所以全面解题思路的

思路解读 这道题是以三点共线为轴的一道问

题,其设置对学生思路启发最重要的就是要能够注意 到E、G、F三点共线,而在该题中将这一个条件设置得 极为隐蔽，学生在读题时就很容易忽略这个观点和条

培养对学生来说是尤其重要的.例题5直二面角a - I - 0的棱I上有一点A,在平 面a、0内各有一条射线AB、AC与/成45°角‘AB U a,AC

U0,则 ZABC -

件,最终导致这道题目解题失败.所以对于这类题型, 首先教师要能够引导学生认真审题,理清不同类型中 的题目特点•接着要能够紧扣三点共线定理的关系,发 觉题目中隐含的条件,来进一步解题.最后,要保证解 题思路通畅‘面临“条件”性陷阱问题‘认真审题和读 题是尤其关键的•.解析 由图2可知,AB、AC和/成45 °,且AB U a, AC

U0,因而有两种情况.根据上图，可求得cosZBAC - 2 ,所以ZBAC -60°. 又根据 下 图 , 由 cos Z BAC - cos135 ° cos45 ° 得 cos Z BAC -

四、 理清数学概念知识,解决“知识”型陷阱

问题这种“知识”型陷阱问题也是常见的一类题型，而设 置这种题型的目的就是为了能够加强学生对数学基础概

念的学习和掌握•高中数学知识点繁多,且许多内容更加 的抽象难懂•若学生无法理清每个单元中不同的概念知

识,对基础概念掌握不够透彻，在面对这种“知识”型陷阱 时,就容易被其中的条件所混淆,会出现定理适用范围的 错误，数学公式应用的错误等.例题4判断代%)-】1 ++ sinsin%% -+ coscos%%的奇偶性.解析 这道题目首先由 1 + sin% + cos% H0,可以得出

/(%)的定义域为{ % I% H2kF - F 且 % 工2kF - f( k g Z) }.

因为它不是关于原点对称的区间,所以/(%)就为非奇非

偶函数.思路解读 关于这类题型，首先要能够理清关于定

义域的要求•一个函数是奇函数还是偶函数的必要条件 是定义域关于原点对称,若不对称这说明该函数为非奇 非偶函数•但部分学生在做这类题型时,经常由于概念没

有掌握清楚且不考虑定义域就会形成错误的解答，如2sin 2cos 守 +2 sin2 守f( % )-——2——%--------% -tan斗,这道题中的原函2sin 斗2 cos 斗2 + 2 cos2 斗2 2数与tan于不是同一函数，因而这种解题思路就是错误 的.因此，这类“知识”型陷阱的问题就是考查学生的概念

知识掌握情况,只有学生拥有完整的数学知识体系才能

够保障学生在解题的过程中不会出现错误•五、 培养全面解题思路，解决“图解”型陷阱

问题在日常的解题过程中,常常会出现各种各样的图形

题•而设置这类题型的目的就是为了能够考查学生的作

图能力和综合解题能力•但许多学生往往因为作图的不 规范或不精确，导致产生错误的结果•甚至部分学生由于-］，所以 ZBAC -120°.综上所述，ZBAC -60°或120°. 思 路 解 读 该 题 是 一 道 图 形题,这种图形题常常以“形”助

“数”，但许多学生在做这类题型

时,往往只考虑了一种情况,而忽 略了另外一种情况,这就是“图解”

型陷阱设计的所在,因而想要避免

掉进陷阱里,就要能够做到使用数 形结合的方式来解决问题,能够始

终全面考虑“数”,且基于数的基础 上,对“形”简洁精确•总之,随着素质教育的不断深入,高中数学的考试

题目也越来越往学生综合能力的方向发展,这种发展 的结果也必然会出现各种陷阱型的题目•因而，这就要

求教师要能够把握不同类型的“陷阱问题”，把握好学 生对基础知识的掌握能力,防止学生在解题过程中，将

错误的条件作为正确条件进行解题,从而降低学生解 题的准确率•参考文献：［1 ］侯福红.高中数学直线与圆锥曲线位置关系解题

方法探究［J］.中国新通信,2020,22 (14) ：216-217.［2］李晓冬.高中数学课堂教学中学生解题能力的培

养策略分析［J］.华夏教师,2020(17) ：16 - 17.［3 ］赵开余.探寻多样题型，提高解题效率——高中

数学导数试题分析与教学策略［J］.中学数学,2020(11):

28 -29.［4］ 朱强.论数形结合思想在高中数学解题中的优势

与应用［J］.数学教学通讯,2020(15) ：81 -82.［5］ 李文霞.论高中数学课堂教学中如何培养学生解

题能力的策略［J］.科技资讯,2020,18 (14) ：105,107.［6］ 陈浩文，莫弘.量不在多,典型就行;题不在难，有

变则灵——谈高中数学解题教学中的一题多解［J］.数学

教学通讯,2020(12) ：76 -77,82.［ 责任编辑： 李 璟］—21 —