第３１卷第２期 ２ ０ １ ０年２月 兵 工 学 报 Ｖｏ１．３１ Ｎｏ．２ ＡＣＴＡ ＡＲＭＡＭＥＮＴＡＲＩＩ Ｆｅｂ． ２０１Ｏ 改进遗传算法和有限元计算相结合的优化方法研究 张军挪，，尚利民，李永建 （军械工程学院火炮工程系，河北石家庄０５０００３） 摘要：为了提高优化效率，采用先验法、字节型动态编码方法以及自适应变异技术对遗传算法 进行了改进，并将其与有限元分析计算相结合，提出了一种适用于复杂结构模型的优化分析方法。 利用该优化方法对某型重机架结构参数进行了优化，仿真结果表明，本文提出的优化方法是可 行的，优化效果良好。 关键词：固体力学；遗传算法；有限元；优化；结构参数 中图分类号：ＴＪ２０１ 文献标志码：Ａ 文章编号：１０００－１０９３（２０１０）０２－０１３５－０４ Ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｎ ａｎ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ Ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ Ｃｏｍｂｉｎｉｎｇ Ｆｉｎｉｔｅ Ｅｌｅｍｅｎｔ Ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ Ｉｍｐｒｏｖｅｄ Ｇｅｎｅｔｉｃ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ＺＨＡＮＧ Ｊｕｎ—ｎｕｏ，ＷＡＮＧ Ｒｕｉ—ｌｉｎ，ＳＨＡＮＧ Ｌｉ－ｍｉｎ，ＬＩ Ｙｏｎｇ－ｊｉａｎ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ａｒｔｉｌｌｅｒｙ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｏｒｄｎａｎｃｅ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｓｈｉｊｉａｚｈｕａｎｇ ０５０００３，Ｈｅｂｅｉ，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｇｅｎｅｔｉｃ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｍｅｔｈｏｄ ｗａｓ ｍｏｄｉｆｉｅｄ ｂｙ ａ ｐｒｉｏｒ ｍｅｔｈｏｄ，ａ ｄｙｎａｍｉｃ ｂｙｔｅ ｃｏｄｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ ａ ｓｅｌｆ－ａｄａｐｔａｔｉｏｎ ｖａｒｉａｔｉｏｎ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｉｍｐｒｏｖｅ ｉｔｓ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ，ａ ｎｅｗ ｏｐｔｉｍｉｚａ— ｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｃｏｍｂｉｎｅｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ａｎｄ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｇｅｎｅｔｉｃ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｗａｓ ｂｒｏｕｇｈｔ ｆｏｒｗａｒｄ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｓｕｉｔａｂｌｅ ｆｏｒ ｃｏｍｐｌｅｘ ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ｍｏｄｅ１．Ｔｈｅ ｍｏｕｎｔ ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｏｆ ａ ｈｅａｖｙ ｍａｃｈｉｎｅ ｇｕｎ ｗｅｒｅ ｏｐｔｉｍｉｚｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅ ｓｉｍｕｌａｔｅｄ ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｆｅａｓｉｂｌｅ ａｎｄ ｅｆｆｉ— ｃｉｅｎｔ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｓｏｌｉｄ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ；ｇｅｎｅｔｉｃ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ；ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ；ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ；ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ｐａｒａｍｅｔｅｒ 对于结构优化方法的研究很多，如遗传算法、矩 阵摄动理论、逆摄动理论、有限元参数优化、神经网 络等，从文献［１—３］看，这些方法所优化的目标主 要是结构的固有特性，而很少以结构的响应特性为 目标进行优化。对于某些物体来说，如武器系统，在 确定结构参数时，不仅要满足武器质量、刚度、强度 等固有特性的要求，还必须要考虑决定武器射击 １遗传算法优化过程 遗传算法与传统的优化方法相比，它不需要求 出目标函数的导数信息；采用概率的而不是确定的 状态转移规则；尤其适用于较难获得目标函数导数 值的优化问题，如含多构件的装配体的优化问题。 采用遗传算法寻优的主要步骤如下 ： １）基因编码；２）初始群体生成；３）群体中个体 精度的结构响应特性。本文提出的改进遗传算法 和有限元计算相结合的优化算法，利用ＦＯＲＴＲＡＮ 语言对改进后的遗传算法进行编写，利用ＡＮＳＹＳ 软件的ＡＰＤＬ进行参数化建模和有限元分析，并将 适应度的计算；４）对群体中个体进行选择、交叉和 变异等遗传操作；５）适应度的再次计算；６）如果满 足停止搜索判据，迭代停止，输出问题的最优解；否 则，转向步骤４）． 其作为子程序在编程语言中进行调用。该优化方 法能实现各种优化目标的复杂结构模型的结构优 化分析。 收稿日期：２００８—０７—２５ 遗传算法用于结构优化，所处理的问题一般涉 及应力或位移响应，要进行有限元分析，当结构比较 作者简介：张军挪（１９７８一），男，讲师。Ｅ－ｍａｉｌ：ｓｈｉｎｉｎｇｚｊｎ＠１６３．ｃｏｒｎ １３６ 兵 工 学 报 第 卷 复杂时，需要多次迭代运算，所以在设计遗传算法时 要从各角度提高算法的运行效率和收敛速度。 ２遗传算法的改进 为了提高遗传算法的全局搜索能力、局部搜索 能力及搜索效率，在保留群体更新换代过程中最优 值的基础上，本文采用了先验法、字节型动态编码方 ｌ按设计要求给定数据输入 ｌ ｌ先验法确定初始个体并编码 ｌ ｌ随机产生种 它个体ｌ 法以及自适应变异技术。 １）先验法：在算法生产初始群体的过程中，并 不全盘使用遗传算法随机产生个体的机制，而同时 使用了先验法来确定满足所有约束条件的个体，这 既加快了遗传算法优化的进程和全局收敛，又给目 标函数中的罚因子和加权函数的选定起到了参考作 用 。 ２）字节型动态编码方法：二进制编码方法具有 空间（全局）搜索能力强、效率高、寻优结果鲁棒性 好的优点，而动态编码方法具有局部收敛性好的优 点，字节型动态编码方法是将二者结合在一起的一 种高效的编码方法 。 ３）自适应变异：自适应技术使遗传操作过程中 交叉率和变异率随着个体的适应度大小而自适应变 化。算法运行的初期阶段变异概率较大，有利用产 生新的个体；算法运行的后期阶段变异概率较小，有 利用进行局部搜索。 ３基于改进遗传算法和有限元计算相结合 的优化算法的实现过程 图１为改进遗传算法和有限元计算相结合的优 化算法优化过程，改进遗传算法是采用ＦＯＲＴＲＡＮ 语言编写，有限元计算采用ＡＮＳＹＳ软件。 优化过程步骤如下： １）按设计要求输入确定的数据； ２）生成初始群体，并对其进行适应度计算和统 计； ３）通过选择、交叉和变异等遗传算子操作对群体 更新，给新群体译码，计算适应度并统计群体信息； ４）新旧两代群体个体相比较，保留适应度最大 者； ５）进人世代更新进化循环，判断新群体是否满 足优化终止条件，满足则执行步骤６），否则跳至步 骤３）； ６）得到最优方案，退出迭代优化，参数优化结 束，输出优化结果。 从图１可以看出，程序调用和数据交换是需要 解决的核心问题，在ＦＯＲＴＲＡＮ中调用ＡＮＳＹＳ可以 Ｉ初始代群 进行译码 ｌ 程序调用 有限元 兮析计算 ｌ进行适应度计算和统计 Ｉ 数据交换 ｌ参数１七＿ 建模ｌ ● ————－１进行选择操作 Ｊ 自适应交叉和变异产生新群体ｌ ｌ有限元计算ｌ 要 Ｉ 程序调用 ● 新 ｌ计算适应 并统计Ｉ 数据交换 ｌ结果数据保存ｌ 三 图１优化的实现过程 Ｆｉｇ．１ Ｔｈｅ ｐｒｏｃｅｓｓ ｏｆ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ 通过编写命令语言实现；ＦＯＲＴＲＡＮ程序可以通过 创建的．ｍａｃ文件来告诉ＡＮＳＹＳ改变单元属性和载 荷变化，同时，ＡＮＳＹＳ把计算结果写在数据文件中 供ＦＯＲＴＲＡＮ程序读取，进而实现二者的数据交 换 。 ４优化算法的应用 大口径机轻量化以后，武器的动态稳定性成 为影响机射击精度的关键因素，因此，如何优化武 器的结构参数来改善武器的动态稳定性、提高武器 的射击精度已成为武器结构设计中必须要解决的问 题。本文以某型１２．７ ｍｍ大口径机为例，采用改 进遗传算法和有限元计算相结合的优化方法对该武 器的架结构参数进行了优化。 ４．１优化问题的描述 由于本文优化的目标是为了提高武器的射击精 度，而通过试验证明，武器的射击精度与弹出口 瞬间有很好的对应关系，因此以弹出口瞬间偏 离平衡位置的距离为约束条件，同时，基于该武器结 构修改对武器质量的要求，以武器的质量最小为目 标函数，优化结构的质量为ｍ，初始结构的质量为 第２期 改进遗传算法和有限元计算相结合的优化方法研究 １３７ ｍ ．则优化问题可以描述为 ｍｉｎｆ（Ｘ）＝ｍ／ｍｎ， （１） ｇ （ ）＝ｄｆ（ ）／ｂ一１≤０，ｉ＝１，２，…，ｎ （２） ｄ （ ）＝￣／《（Ｘ）＋ｄ２ （ ）， （３） ＸＬ≤ ≤ ｕ， （４） 式中：ｇ （ ）为一系列的位移约束；ｄ （Ｘ）为ｎ连发 射击时，每发弹出口瞬间偏离平衡位置的距离； ｄ （Ｘ）、ｄ （Ｘ）分别为弹出口瞬间在上下和左 右方向偏离平衡位置的距离；ｂ为允许偏离平衡位 置的最大距离；Ｘ为设计变量；Ｘ ．和 ，分别为设 计变量的下限和上限。 由于遗传算法仅靠适应度函数来评估和引导搜 索，因此，优化问题中的约束条件一般用惩罚方法来 处理。惩罚方法的作用是对个体违反约束条件的情 况给予惩罚，并将此惩罚体现在适应度函数设计中。 这样，一个约束优化问题就转化为一个附带惩罚的 无约束问题。本文将位移约束通过罚函数策略在求 解目标函数和适应度函数时进行考虑，其它约束在 计算中单独进行考虑。优化问题可表示为 Ｎ ｍｉ （ ）＝ｍ／ｍｏ＋ｐ×∑（ｍａｘ （ｇ （ ）），ｏ）， 式中Ｐ为正的惩罚因子。 ４．２适应度函数的选择及计算 由于优化问题是要求找出满足约束条件，同时 使目标函数达到最小的设计向量解。因此，需要确 定针对结构设计优化问题的个体评价方法，即建立 遗传算法的适应值函数。适应值是对解的质量的一 种度量，在演化过程中适应值是进行选择的唯一依 据，它通常依赖于解的行为与环境（即种群）的关 系。本文的评价准则为：要求适应度函数是非负的， 且适应值越大表明个体的性能越好。利用罚函数法 构造的适应值函数表示为 Ｇ （ ）＝ ————————Ｎ—— ———————一＇， 、一，（５） ｍ／ｍ。＋ｐ ×∑ｍａｘ （ｇ （ ）），０）＋ｃ Ｇ（ ）＝ ｍ０ ， （６） ｍ＋Ｐ× （ｍａｘ （ｇ （Ｘ）），０）＋ｃ 式中ｃ为足够小的数。对群体中的各个体利用（６） 式计算其适应值函数，并依次进行选择。Ｇ（Ｘ）表明 在满足位移约束的条件下，原始结构的体积与优化 结构的体积比值越大，得到的结构越大，也就是求解 的目标函数值越小。选择Ｇ（ ）作为适应值函数， 有以下优点：１）由于位移约束与设计变量有关，将 位移约束引入到适应值函数中，避免了单独处理复 杂的隐式约束的困难，从而提高了搜索效率。２）将 原结构的质量与优化结构的质量的比值作为优化指 标，可以直观的反映优化方法的性能，且不受武器结 构的。 ４．３优化过程及结果 根据优化目标的结构特点，选择前架杆厚 、 长 、后架杆厚 、长 ：四个参数为设计变量，所 建立的有限元分析模型，如图２所示＂ 。 图２机构的有限元模型 Ｆｉｇ．２ Ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｔｈｅ ｍａｃｈｉｎｅ ｇｕｎ 该优化算法选择群体大小ｍ为１０，交叉概率 为０．９，变异率为０．０５，遗传算法运行３００代后得到 的最优结果，如表１所示。 表１ 设计变量的优化结果 Ｔａｂ．１ Ｔｈｅ ｏｐｔｉｍｉｚｅｄ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｄｅｓｉｇｎ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｍｍ 墨５ ０ Ｉ√ 一一优化前 ——优化后 ｌ ６＿＿——１ ——— —— 占——— 广—— ５ 时间／ｓ 图３口上下振动位移一时间曲线 Ｆｉｇ．３ Ｃｕｒｖｅｓ ｏｆ ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ ＶＳ．ｔｉｍｅ ａｔ ｕｐ／ｄｏｗｎ ｄｉｒｅｃ— ｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｍｕｚｚｌｅ ｂｅｆｏｒｅ ａｎｄ ａｆｔｅｒ ｏｐｔｉｍｉｚｉｎｇｓ １３８ 兵 工 学 报 第３１卷 图３、４分别为架参数优化前后５连发射击时 口上下、左右振动的位移时间曲线对比结果，５连 发射击时，结构参数优化前后弹丸出口瞬间偏离 平衡位置的对比，如表２所示。表２中，方案Ａ、Ｂ 分别为结构参数优化前后的响应结果， （ ＝ １，２，３，４，５）分别为第ｉ发弹出１３瞬时在纵向Ｙ和 横向 的位移， 分别为弹出口瞬时在纵向Ｙ 和横向 的位移的平均值。由表２可以看出，结构 修改后口点上下、左右的振动能量分配更为合理， 每发弹出口瞬间更接**衡位置，说明结构修改 后，武器的射击频率与机整体结构的固有频率有 更好的匹配关系，机的射向一致性更好，提高了武 器的射击精度。 图４口左右振动位移一时间曲线 Ｆｉｇ．４ Ｃｕｒｖｅｓ ｏｆ ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ ＶＳ．ｔｉｍｅ ａｔ ｌｅｆｔ／ｒｉｇｈｔ ｄｉｒｅｃ— ｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｍｕｚｚｌｅ ｂｅｆｏｒｅ ａｎｄ ａｆｔｅｒ ｏｐｔｉｍｉｚｉｎｇ 表２ 弹丸出口瞬时位移的比较 Ｔａｂ．２ Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｓ ｏｆ ｉｎｓｔａｎｔ ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｂｕｌｌｅｔｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｍｕｚｚｌｅ ｂｅｔｗｅｅｎ ｂｅｆｏｒｅ ａｎｄ ａｆｔｅｒ ｏｐｔｉｍｉｚｉｎｇｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｒｏｕｎｄｓ ｍｍ ＱＩＵ Ｚｈｉ—ｐｉｎｇ，Ｗａｎｇ Ｘｉａｏ－ｊｕｎ，Ｍａ Ｙｉ．Ｉｎｔｅｒｖａｌ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｍｅｔｈ－ ５ 结论 改进遗传算法和有限元计算相结合的优化算法 不仅具有遗传算法的自适应、全局搜索能力，对目标 函数没有特别要求，无需梯度信息等优良特性，还具 有有限元软件参数化建模容易、模态分析、动力响应 分析等优点，从应用算例中可以看出，优化结果良 好，说明此优化方法可行，能够实现对各种复杂结构 模型的结构优化分析。 参考文献（Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ） ［１］ 陈伟，何飞，温卫东．基于结构参数化的有限元分析方法［Ｊ］． ０ｄ ｆｏｒ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ ｒｅｇｉｏｎｓ ｃｏｎｔａｉｎｉｎｇ ｃｏｍｐｌｅｘ ｎａｔｕｒａｌ￣ｅｑｕｅｎｃｉｅｓ ｏｆ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｂｅｉｊｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ａｅｒｏｎａｕｔｉｃｓ ａｎｄ Ａｓｔｒｏｎａｕｔｉｃｓ，２００３，２９（５）：４０６—４０９．（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ） ［４］ 高松竹，蒲家宁，雍歧卫，等．基于遗传算法的导管——气室 系统参数优化研究［Ｊ］．后勤工程学院学报，２００５，２４（１）：１— ４． ＧＡＯ Ｓｏｎｇ—ｚｈｕ，ＰＵ Ｊｉａ－ｎｉｎｇ，ＹＯＮＧ Ｑｉ－ｗｅｉ，ｃｔ ａ１．Ｄａｔａ ｏｐｔｉｍｉｚａ－ ｔｉｏｎ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｆ ｐｉｐｅ ａｎｄ ａｉｒ ｃｈａｍｂｅｒ ｓｙｓｔｅｍ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｇｅｎｅｔｉｃ ａｌｇｏ— ｒｉｔｈｍ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｌｏｇｉｓｔｉｃｓ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，２００５，２４ （１）：１—４．（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ） ［５］ 朱清华，张呈林，倪先平，等．改进遗传算法的纵列式直升机 总体参数优化设计［Ｊ］．南京航空航天大学学报，２００６，３８ （１）：ｌ一５． － ＺＨＵ Ｑｉｎｇ—ｈｕａ，ＺＨＡＮＧ Ｃｈｅｎｇ－ｌｉｎ，ＮＩ Ｘｉａｎ—ｐｉｎｇ，ｅｔ ａ１．Ｇｅｎｅｒａｌ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｔａｎｄｅｍ ｈｅｌｉｃｏｐｅｒ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｇｅ－ 机械科学与技术，２００３，２２（１１）：９４８—９５０． ＣＨＥＮ Ｗｅｉ，ＨＥ Ｆｅｉ，ＷＥＮ Ｗｅｉ—ｄｏｎｇ．Ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ａｎａｌｙｓｉｓ ｎｅｔｉｃ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｎａｎｊｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ａｅｒｏｎａｕｔｉｃｓ ａｎｄ Ａｓｔｒｏｎａｕｔｉｃｓ，２００６，３８（１）：１—５．（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ） ｂａｓｅｄ ｏｎ ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ｐａｒａｍｅｔｉｒｃ ｄｅｓｉｇｎ ａｎｄ ｉｔｓ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｍｅ－ ｃｈａｎｉｃａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２００３，２２（１ １）：９４８—９５０．（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ） ［６］ 刘亚营．改进遗传算法及其在神经网络参数优化中的应用 ［Ｄ］．上海：上海海运学院，２００３． ＬＩＵ Ｙａ－ｙｉｎｇ．Ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｇｅｎｅｔｉｃ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｂｙ ａｄｄｉｎｇ ＢＰ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ［２］ 杨海威，詹永麒，乔俊伟，等．基于结构的神经网络优化结构参 数的应用［Ｊ］．系统仿真学报，２００３，１５（８）：１１１６—１１１９． ＹＡＮＧ Ｈａｌ—ｗｃｉ，ＺＨＡＮ Ｙｏｎｇ－ｑｉ，ＱＩＡＯ Ｊｕｎ－ｗｅｉ，ｅｔ ａ１．Ａｐｐｌｉｃａ－ ｔｉｏｎ ｉｎ ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ａｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒｅ－ ｉｎｔｏ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ［Ｄ］．Ｓｈａｎｇｈａｉ：Ｓｈａｎｇｈａｉ Ｍａｒｉｔｉｍｅ Ｕ— ｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，２００３．（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ） ［７］ 张军挪．某型重机结构动力学仿真与参数优化［Ｄ］．石家 庄：军械工程学院，２００７． ＺＨＡＮＧ Ｊａｎ－ｎｕｏ．Ｓｔｕｃｔｒｕｒｅ ｄｙｎａｍｉｃｓ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ａｎｄ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｂａｓｅｄ ｎｅｕｒａｌ ｎｅｔｗｏｒｋ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｙｓｔｅｍ Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ，２００３，１５ （８）：１１１６—１１１９．（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ） ［３］邱志平，王晓军，马一．结构复固有频率区域的区问摄动法 ［Ｊ］．北京航空航天大学学报，２００３，２９（５）：４０６—４０９． ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｔｙｐｅ ｏｆ ｈｅａｖｙ ｍａｃｈｉｎｅ ｇｕｎ［Ｄ］．Ｓｈ￣ｉａｚｈｕａｎｇ： Ｏｒｄｎａｎｃｅ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｃｏｌｌｅｇｅ，２００７．（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ）
