有关圆锥曲线的经典结论

1. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径

的圆，除去长轴的两个端点.

2. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

3. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

4. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和

AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

5. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q

交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

二、双曲线

1. PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

2. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

3. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）

4.设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.

5.过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）

椭 圆

x2y2212A(a,0)A2(a,0)ab1.椭圆（a＞b＞o）的两个顶点为1,，与y轴平行的直线交椭x2y2212b圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是a.

x2y2212A(x0,y0)ab2.过椭圆 (a＞0, b＞0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭

kBC圆于B,C两点，则直线BC有定向且

b2x02ay0（常数）.

x2y2212ab3.若P为椭圆（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点,

1

actancotPF1F2PF2F122. , ，则acx2y2212ab1. 设椭圆（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆

上任意一点，在△PF1F2中，记

F1PF2,

PF1F2F1F2P,

，则有

sincesinsina.

x2y2212ab2. 若椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0

＜e≤21时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

x2y2212ab3. P为椭圆（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，

则

2a|AF2||PA||PF1|2a|AF1|,当且仅当

A,F2,P三点共线时，等号成

立.

(xx0)2(yy0)2122ab4. 椭圆与直线AxByC0有公共点的充要条件是

A2a2B2b2(Ax0By0C)2.

x2y2212b5. 已知椭圆a（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OPOQ.

2211114ab222222S|OP||OQ|ab;（1）（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为ab;（3）OPQa2b222的最小值是ab.

x2y2212ab6. 过椭圆（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦

|PF|e|MN|2. MN的垂直平分线交x轴于P，则

2

x2y2212b7. 已知椭圆a（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分

a2b2a2b2x0P(x0,0)aa. 线与x轴相交于点, 则

x2y2212ab8. 设P点是椭圆（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦

2b22|PF||PF|Sbtan12PF1F2F1PF21cos2. 点记，则(1).(2) x2y2212ab9. 设A、B是椭圆（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，

PAB, PBA,BPA，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有

222ab2|cos|2ab|PA|22Scot22PAB22tantan1eaccosba(1).(2) .(3) .

x2y2212b10. 已知椭圆a（ a＞b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

11. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应

焦点的连线必与切线垂直.

12. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦

半径互相垂直.

13. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数

e(离心率).

14. （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外

点.）

15. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 16. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

x2y2212A(a,0)A2(a,0)b17. 双曲线a（a＞0,b＞0）的两个顶点为1,，与y轴平行

3

x2y2212b的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是a. x2y2212ab18. 若P为双曲线（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F

catancotPF1F2PF2F122（或2是焦点, , ，则cacatancotca22）.

x2y2212ab19. 设双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为

双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记

F1PF2,

PF1F2F1F2P,

，

since则有(sinsin)a.

x2y2212b20. 若双曲线a（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则

当1＜e≤21时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

x2y2212b21. P为双曲线a（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一

定点，则

|AF2|2a|PA||PF1|,当且仅当

A,F2,P三点共线且P和

A,F2在y

轴同侧时，等号成立.

x2y2212b22. 双曲线a（a＞0,b＞0）与直线AxByC0有公共点的充要条件是

A2a2B2b2C2.

x2y2212ab23. 已知双曲线（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且

OPOQ.

4

2211114ab222222S|OP||OQ|ab;24. （1）（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为ba;（3）OPQa2b222的最小值是ba.

x2y2212ab25. 过双曲线（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N

|PF|e两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则|MN|2.

x2y2212ab26. 已知双曲线（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直

a2b2a2b2x0x0P(x0,0)a或a. 平分线与x轴相交于点, 则

x2y2212ab27. 设P点是双曲线（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其

2b22|PF||PF|Sbcot12PF1F2F1PF21cos2. 焦点记，则(1).(2) x2y2212ab28. 设A、B是双曲线（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，

PAB, PBA,BPA，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则

2ab2|cos||PA|222|accos|. 有(1)

2tantan1e29. (2) .(3)

SPAB2a2b22cotba2.

x2y2212b30. 已知双曲线a（a＞0,b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过双曲线右

焦点F的直线与双曲线相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF 的中点.

31. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与

相应焦点的连线必与切线垂直.

5

32. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必

与焦半径互相垂直.

33. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数

e(离心率).

34. (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外

点).

35. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 36. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

圆锥曲线中的一些定点、定值、定比等结论

x2y2x2y2结论1：设椭圆221(a1b10)和双曲线221(a20,b20)共焦点F1(c,0)，

a1b1a2b2P是两曲线的一个交点，经过点P的椭圆和双曲线的斜率分别为k1，则k1k21. F2(c,0)，k2，x2y2结论2：设抛物线y2px(p0)和椭圆221(ab0)共焦点F(c,0)(c0)，P是两

ab2曲线的一个交点，椭圆的离心率是e，经过点P的两曲线切线的斜率为k1和k2，则1k1k2(e21).（试选此题证明）

2x2y2结论3：设抛物线y2px(p0)和双曲线221(a0,b0)共焦点F(c,0)(c0)，P

ab2是两曲线的一个交点，双曲线的离心率是e，经过点P的两曲线切线的斜率为k1和k2，则1k1k2(e21).

2结论4：抛物线的两条弦平行的充要条件是这两条弦的中点连线平行（或重合）于该抛物线对称轴.（试证明）

结论5：椭圆与双曲线的两条平行弦的中点连线经过椭圆的中心.（试证明）

x2y2结论6：过椭圆221(ab0)的右顶点M(a,0)作直线MA与直线MB交该椭圆于A，

aba(a2b2)B两点，若MA⊥MB，则直线必过定点(2,0).（试证明）

ab2x2y2结论7：过椭圆221(ab0)上的任意定点M(x0, y0)作直线MA与直线MB交椭圆于

aba2b2b2a2A，B两点，若MA⊥MB，则直线必过定点(2x0,2y0).

ab2ab2x2y2结论8：过椭圆221(ab0)上的任意定点M(x0, y0)作直线MA与直线MB交椭圆于

ab6

b2a2b2b2a2A，B两点，若kMA·kMB=m(m2)，则直线必过定点(2x0,2y0).

aab2ab2结论9：直线AB与抛物线y22px(p0)相交于点A和B，若OA⊥OB，则此直线必过定点(2p,0).

结论10：直线与抛物线y22px(p0)交于A，B两点，M是其顶点，当kMA·kMB=m(m0)时，直线恒过定点(2p,0).（试用三种方法证明） m结论11：过抛物线y22px(p0)的任意定点M(x0, y0)作直线AM与MB交双曲线于A，B两点，当kMA·kMB=m(m0)时，直线AB恒过定点(2px0,y0). m结论12：已知抛物线y22px(p0)过点F(m,0) (m0)的直线交抛物线于点M、N，交y轴于点P，若 PMMF,PNNF，则1.（试用三种方法证明）

结论13：已知抛物线y2=2px(p>0),过点M(0, m)(m≠0)的直线与抛物线相交于不同的两点A、B,与x轴相交于C(c,0), 求证:|MC|2=|MA|·|MB|.

x2y2结论14：已知椭圆221(ab0)，过点F(m,0)的直线交椭圆于点M、N，交y轴于点

abP，若PMMF, PNNF，则2a22a2.特别地，当F为焦点时，2.（试证明）

m2a2bx2y2结论15：已知双曲线221(a0,b0)，过点F(m,0)的直线交椭圆于点M、N，交y轴

ab2a22a2NNF，MMF,P于点P，若P则2.特别地，当F为焦点时，2. 2mabx2y2结论16：A、B是椭圆221(ab0)上的两点，且OA⊥OB，则

ab1111.(试证明) 222|OA2||OB|abx2y2结论17：A、B是双曲线221(a0,b0)上的两点，且OA⊥OB，则

ab1111. 222|OA2||OB|abx2y2结论18：设P是椭圆221(ab0)上的n个点,且1,P2,,Pnab111n11,则POPPOPPOPPOP().(试用极坐1223n1nn122222OPOPOP2ab12n标方法证明)

7

x2y2结论19：若M、N是椭圆221(ab0)上关于原点对称的两点，P是椭圆上不同于

abb2M、N的任意一点，且kPM,kPN存在，则kPMkPN2.(试用点差法证明和函数与方程思想

a证明)

x2y2结论20：若M、N是双曲线221(a0,b0)上关于原点对称的两点，P是双曲线上不

ab同于M、N的任意一点，且kPM,kPN存在，则kPMkPNb22. ax2y2结论21：直线AB与椭圆221(ab0)交于A、B两点，M是AB的中点，且直线AB、

abOM的斜率存在，证明：kOMkABb22.

ax2y2结论22：直线AB与双曲线221(a0,b0)交于A、B两点，M是AB的中点，且直

ab线AB、OM的斜率存在，证明：kOMkABb22. ax2y2结论23：过双曲线221(a0,b0)上任意一点P作双曲线的渐近线的平行线，分别

aba2b2交渐近线于点M、N，则PMPN.(试证明)

4x2y2结论24：设双曲线221(a0,b0)的右顶点为A，P是双曲线上异于顶点的一个动点，

ab从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP(O为坐标原点)分别交于Q和R两点.若OROP,OQOP,则1.

x2y2结论25：设双曲线221(a0,b0)的右顶点为A，P是双曲线上异于顶点的一个动点，

ab从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP(O为坐标原点)分别交于Q和R两点.则2OROQOP.(试证明23条)

x2y2结论26：过双曲线221(a0,b0)上任意一点P作双曲线的渐近线的垂线，垂足分

aba2b2(b2a2)别为M、N，则PMPN.

c4x2y2结论27：过双曲线221(a0,b0)上一点P作双曲线的切线交两条渐近线分别于M、

abN，O为坐标原点，则OMONa2b2.

结论28：过抛物线y2px(p0)的焦点F作一直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原

2Sp3AOB点，则=.

|AB|828

结论29：过x轴上一点A(-m,0)(m>0)引动直线与抛物线y2px(p0)相交于M、N两点，过点M、N分别作抛物线的切线，则两条切线的交点的轨迹方程是x=m(y2pm,y2pm).(试证明)

a2x2y2结论30：过x轴上一点A(,0)(am0)引一条动直线与椭圆221(ab0)相交于

mabM、N两点，过点M、N分别作椭圆的切线，则两条切线的交点轨迹方程是ba2m2ba2m2x=m(y,y).

aa2a2x2y2结论31：过x轴上一点A(,0)(ma)引一条动直线与双曲线221(a0,b0)相交于

mabM、N两点，过点M、N分别作双曲线的切线，则两条切线的交点轨迹方程是ba2m2ba2m2x=m(y,y).

aa结论32：过直线x=m(y2pm,y2pm)上一点引抛物线y2px(p0)的两条切线，切点分别为M、N，则M、N的连线过定点(-m,0). (试证明)

ba2m2ba2m2结论33：过直线x=m(y,y)(a>m>0)上一点引椭圆

aa2x2y2a21(ab0)的两条切线，切点分别为M、N，则M、N的连线过定点(,0). a2b2mba2m2ba2m2结论34：过直线x=m(y,y)(ma)上一点引双曲线

aax2y2a221(a0,b0)的两条切线，切点分别为M、N，则M、N的连线过定点(,0). 2abm结论35：抛物线y2px(p0)的焦点为F，过焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设弦AB，CD的中点分别为M、N，则线段MN恒过定点T(圆公共弦中点的轨迹是以OT为直径的圆. (试证明)

x2y2结论36：椭圆221(ab0)的焦点F(c,0)(或F(-c,0))，过焦点F作两条互相垂直的弦

aba2cAB，CD，设弦AB，CD的中点分别为M、N，则线段MN恒过定点T(2,0)或

ab2a2c(T(2,0))，且以AB，CD为直径的两圆公共弦中点的轨迹是过定点为T的圆.

ab223p,0)，且以AB，CD为直径的两29