福建省连城县第一中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题(含答案)

满分150分 考试时间120分钟 命题人： 审题人：

一、单项选择题(每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. 已知数列{an}的通项公式为an=n2-n,则可以作为这个数列的其中一项的数是( ) A.10 B.15 C.21 D.42

2．过两点A(0，b)，B(23 ，－3)的直线的倾斜角为60°，则b＝( ) A．－9 B．－3 C．5 D．6

3.已知数列{bn}是等比数列,b9是1和3的等差中项,则b2b16=( ) A.16 B.8 C.4 D.2

4.我国古代数学巨著《九章算术》中,有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”这个问题用今天的白话叙述为:“有一位善于织布的女子,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这位女子每天分别织布多少?”根据上面的已知条件,可求得该女子第4天所织布的尺数为( ) A.15

8

B.15 16

C.31

20

D.31 40

5．已知直线l1：x sinα＋2y－1＝0，直线l2：x－y cosα＋3＝0，若l1⊥l2，则tan 2α＝( ) 2424A．－ B．－ C． D．

3355

6.等差数列{an}中,S16>0,S17<0,当其前n项和取得最大值时,n=( ) A.8

B.9

C.16

D.17

7．已知直线kx－y＋2＝0和以M(3，－2)，N(2，5)为端点的线段相交，则实数k的取值范围为( )

334343A．k≤ B．k≥ C．－ ≤k≤ D．k≤－ 或k≥

2232328.对于正项数列{an},定义:Gn=

𝑎1+2𝑎2+3𝑎3+⋯+𝑎𝑎𝑎为数列{an}的“匀称值”.已

𝑎知数列{an}的“匀称值”为Gn=n+2,则该数列中的a10等于( ) A.

38

B. 5

12

C. 4

9

D. 10

21

二、多项选择题(每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)

9．设{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S8，则下列结论正确的是( )

A．d<0 B．a7＝0 C．S9>S5 D．S6与S7均为Sn的最大值

1

10．下列说法正确的是( )

A．直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点(3，2) B．直线y＝3x－2在y轴上的截距为－2 C．直线3 x＋y＋1＝0的倾斜角为60°

D．过点(－1，2)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为2x＋y＝0

11．已知直线l经过点(3，4)，且点A(－2，2)，B(4，－2)到直线l的距离相等，则直线l的方程可能为( ) A．2x＋3y－18＝0

B．2x－y－2＝0 C．x＋2y＋2＝0

D．2x－3y＋6＝0

n12．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且T＝

n

S

3n＋39an

，则使得b为整n＋3n

数的正整数n的值为( )

A．2 B．3 C．4

D．14

三、填空题(每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)

13. 若点A(4，－1)在直线l1：ax－y＋1＝0上，则l1与l2：2x－y－3＝0的位置关系是________． 14．公差为2的等差数列{an}中,a1,a3,a6成等比数列,则{an}的前10项和为________. 15．经过点P(2，1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A，B两点，当△AOB面积最小时，直线l的方程为________.

8521

16. 等比数列{an}的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为32，偶数项之和为16，则这个等比数列的公比q＝________，又令该数列的前n项的积为Tn，则Tn的最大值为________． 四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)已知数列{an}为等差数列，且a3＝5，a7＝13.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{bn}满足an＝log4bn，求数列{bn}的前n项和Tn.

2

3

18.(本小题满分12分)已知直线l经过点P(－2，5)且斜率为－4 . (1)求直线l的方程；

(2)若直线m平行于直线l，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．

19..(本小题满分12分)设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，an＋1＝2＋Sn(n∈N*)．

(1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝1＋log2(an)

2

1的前，求证：数列bbnn＋1

1

n项和Tn<.

6

20.(本小题满分12分)已知直线l：y＝4x和点P(6，4)，点A为第一象限内的点且在直线l上，

直线PA交x轴正半轴于点B，

(1)当OP⊥AB时，求AB所在直线的方程；

(2)求△OAB面积的最小值，并求当△OAB面积取最小值时点B的坐标．

3

21.(本小题满分12分)已知等比数列an的前n项和为Sn，且2anSn1.

（1）求an与Sn； （2）记bn2n1，求数列bn的前n项和Tn. an

22.(本小题满分12分)某企业去年的纯利润为500万元，因设备老化，企业的生产能力逐渐下降.若不进

行技术改造，预测从今年起每年的纯利润比上一年减少20万元.今年年初该企业一次性投入600万元资金1进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为5001n2万元（n为正整数）.

（1）设从今年起的前nnN年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为an万元，进行技术改造的累计纯利润为bn万元（扣除技术改造资金），求an,bn的表达式；

（2）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润.

4

连城一中2021－2022学年上期高二年级数学月考参

一、单选题： 1－8：DACD BACD 8.解析：

a1+2a2+3a3+⋯+nan

n

∵Gn=,Gn=n+2,∴

n·Gn=n·(n+2)=a1+2a2+3a3+…+nan,

∴10×(10+2)=a1+2a2+3a3+…+10a10;9×(9+2)=a1+2a2+3a3+…+9a9,

21

两式相减得10·a10=21,∴a10=.

二、多选题：

9. ABD 10.ABD 11.AB 12.ACD

(2n－1)(a1＋a2n－1)

(2n－1)anan2S2n－1

12.【解析】[由题意可得＝＝＝，

T2n－1(2n－1)(b1＋b2n－1)(2n－1)bnbn2

10

anS2n－13(2n－1)＋393n＋1815则＝＝＝＝3＋， bnT2n－1(2n－1)＋3n＋1n＋1

an由于为整数，则n＋1为15的正约数，则n＋1的可能取值有3，

bn5，15，

因此，正整数n的可能取值有2，4，14.故选ACD.] 三、填空题：

13. l1⊥l2 14.170 15. x＋2y－4＝0 16. 2 2 15.【解析】由题意可知，直线的斜率一定存在， 故设直线方程y－1＝k(x－2)，k＜0，

1

令x＝0可得，y＝1－2k，令y＝0可得x＝2－ ，

1

k111111

则S△AOB＝ OA·OB＝ ×|2－ ||1－2k|＝ －4k－＋4 ≥ (4

k222k2＋4)＝4，

11

当且仅当－4k＝－ ，即k＝－ 时取等号，

k2

5

1

此时直线方程为y－1＝－ (x－2)，即x＋2y－4＝0.

2

16. 四、解答题：

a1＋2d＝5，

17.【解析】(1)设an＝a1＋(n－1)d，则

a1＋6d＝13，

解得a1＝

1，d＝2.

所以{an}的通项公式为an＝1＋(n－1)×2＝2n－1. bn＋142n＋1

(2)依题意得bn＝4an＝42n－1，因为＝＝16，

bn42n－1所以{bn}是首项为b1＝4a1＝4，公比为16的等比数列， 4×1－16n4

所以{bn}的前n项和Tn＝＝(16n－1)．

1－1615

3

18.【解析】(1)直线l的方程为：y－5＝－ (x＋2)，整理得3x＋

44y－14＝0.

|3×（－2）＋4×5＋n|

(2)设直线m的方程为3x＋4y＋n＝0，d＝ ＝22

3＋43，

解得n＝1或－29.所以直线m的方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29

6

＝0.

19.【解析】因为an＋1＝2＋Sn(n∈N*)，

所以an＝2＋Sn－1(n≥2)． 所以an＋1－an＝Sn－Sn－1＝an， 所以an＋1＝2an(n≥2)，

又因为a2＝2＋a1＝4，a1＝2，所以a2＝2a1， 所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列， 则an＝2·2n－1＝2n(n∈N*)．

(2)证明：因为bn＝1＋log2(an)2，则bn＝2n＋1. 则

111－， ＝bnbn＋122n＋12n＋31

1111111

所以Tn＝(－＋－＋…＋－)＝

235572n＋12n＋31111

－<. 232n＋36

20.【解析】(1)因为点P(6，4)，所以kOP＝ .

3

又因为OP⊥AB，所以kAB＝－ .

2

3

因为AB过点P(6，4)，所以直线AB的方程为y－4＝－ (x－6)，

2化为一般式可得3x＋2y－26＝0.

(2)设点A(a，4a)，a>0，点B坐标为(b，0)，b>0， 当直线AB的斜率不存在时，a＝b＝6， 1

此时△OAB的面积S＝ ×6×24＝72.

2当直线AB的斜率存在时，有解得b＝

4a－40－4

＝ ， a－6b－6

2

3

5a5a

，0 ， ，故点B的坐标为

a－1a－1

15a10a2

故△OAB的面积S＝ · ·4a＝ ，即10a2－Sa＋S＝0.①

2a－1a－1

7

由题意可得方程10a2－Sa＋S＝0有解， 故判别式Δ＝S2－40S≥0，所以S≥40，

故S的最小值等于40，此时①为a2－4a＋4＝0，解得a＝2. 综上可得，△OAB面积的最小值为40，

当△OAB面积取最小值时，点B的坐标为(10，0). 21.【解析】（1）由2anSn1，得Sn2an1，

当n1时，a1S12a11，得a11； 当n≥2时，anSnSn12an12an11， 得an2an1，

所以数列an是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以an2n1. 所以Sn2an12n1.

1（2）由（1）可得bn2nn， 12则Tn13125222n11111352n1222(2n1)113222(2n1)12n1，

1111Tn1325322222212n，

11(2n1)nn1221两式相减得1Tn12，

1所以Tn24211322211(2n1)n1 n12211n22(2n1)162n3. 2412n12n112an(50020)(50040)22.【解析】（1）依题意，

(50020n)490n10n2nN；

11bn5001122211n2500600500n100(nN). 2n（2）

500bnan500nn100490n10n2210n210n500100n2 8

5010n(n1)n10.

2令cnn(n1)5010nN，易知数列cn为递增数列， 2n当1n3且nN时，n(n1)当n4且nN时，n(n1)当n4时，bnan.

50501012100； n2850501020100， 2n16即至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润.

9