高中数学函数的图象教案 (文科)

一、 知识梳理：

函数的图象是函数的直观表达，形象地显示了函数的性质，借助函数的图象，我们可以方便地研究函数的性质，加深对函数性质的理解和认识，而且分析函数图象是运用“数形结合”思想解决一些综合问题的有力工具，它一方面能启发我们发现解题思路，另一方面能够简化解题过程。 （一）、作图象

作函数的图象通常有以下两种办法： （1）、描点法：其步骤

①、确定函数的定义域。 ②、化简函数的表达式。③、列表。④、描点。⑤、连线。

（2）、图象的变换：主要有以下四种形式：

①、平移变化：(a)左右平移：(>0) 的图象可由的图象向左或向右平移a个单位得到；（b）上下平移：(>0) 的图象可由的图象向上或向下平移a个单位得到。(c)的图象按向量 ②、对称变换：主要有： 的图象与的图象关于轴对称； 的图象与的图象关于轴对称； 的图象与的图象关于对称。 ③、伸缩变换：主要有：

(a)、的图象可将的图象上每点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍

而得到；

(b)、的图象可将的图象上每点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍而得到；

④、翻折变换：主要有：

(a)、图象可将的图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折，x轴及其上方的图象保持不变；

(b)、图象是先画出在y轴及右侧的图象再将y轴右侧的图象以y轴为对称轴翻折到左侧而得到左边的图象（右侧部分保持不动）； （二）、识图象

对于给定的函数的图象，要能从图象的左右上下分布范围、变化趋势，来研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质；

（三）、用图象

函数的图象形象对显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题图径、获得问题结果的重要工具。 （四）、图象对称性的证明

证明函数的图象的地称性，即证明图象上任意一点关于对称中心（或对称轴）对称点仍在图象上；有关对称问题有以下三个重要结论： (1)若=对于定义域内任意x都成立，则函数的图象关于直线x= 成轴对称图形；

(2)若的图象关于直线x=m及x=n对称，则周期函数 ，2|m-n|是它的一个周期；

(3)若的图象关于点（m，0）（n，0）对称，则周期函数，2|m-n|是它的一个周期。

第一个结论应用很重要。 二、题型探究

探究一：应用函数的性质作函数的图象 例1：作出下列函数的图象 （1）、f(x)=|x+2|(x-1)

（2）、 f(x)=|

(3)、f(x)=

(4)、f(x)=

(5)、f(x)=sin|x|

(6)、f(x)=|lnx|

(7)、f(x)=ln|x+1|

(8)、f(x)=||-3

(9)、f(x)=

(10)、f(x)= f(x)=

(11)、f(x)=|x+1|+|x-1| f(x)= |x+1|-|x-1|

(12)、f(x)=[x]([x]表示不超过x的最大整数)

探究二：利用数形结合的思想解题

例2：【2014天津高考理第14题】已知函数fxfxax1x23x，．若方程

0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为

__________．

【答案】0,19,．

例

3：函数 的图象和函数 的图象的交点的个数是（ C ） （A）、1 （B）、2 （C）、3 （D）、4

例4：函数f(x)=lo() (a>0,a)的图象如图所示，则a，b满足的关系是（D ）

（A）、 （B）、 （C）、 （D）、 例5：设函数y=f(x)的图象关于直线x=0及直线x=1对称，且x时，f(x)= ，则=(B)

A、 B、 C、 D、

例6：已知函数f(x)=,将y=f(x)的图象向左平移一个单位，再将图象所有的点横标坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y=g(x)的图象.

(1)、求y=g(x)的定义域；

（2）、令F(x)= f(x-1)- g(x)，求F(x)值域。

解: y=g(x)=,所以定义域为{x|x};F(x)=-= , 以u= ，u0，]，所以值域为（-，-3] 三、 方法提升：

函数的图象是研究函数性质的重要工具，要做到会用描点法做图，会通过函数的图象变换得到函数的图象，会观察图象得到函数的性质 ，比如单调性，对称性，通过个别点的函数值推导系数的范围，

通过导数图象估计原函数图象等等，能够利用函数图象解决一些数形结合的问题。 四、思想感悟：

五、 课时作业 函数的图象

一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)

1．【2014山东高考理第8题】 已知函数f(x)x21,g(x)kx.若方程f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（ ） A.(0,) B.(,1) C.(1,2) D.(2,) 【答案】B

【解析】由已知，函数f(x)|x2|1,g(x)kx的图象有两个公共点，画图可知当直线介于l1:yx,l2:yx之间时，符合题意，故选B.

121212

考点：函数与方程，函数的图象.

1x1x2．为了得到函数y＝3×的图象，可以把函数y＝的图象

33

(D)

A．向左平移3个单位长度 B．向右平移3个单位长度 C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度

1x1－11x1x－11

解析：y＝3×＝·＝，故它的图象是把函数y＝

33333

x的图象向右平移1个单位长度得到的．答案：D

3．给出四个函数，分别满足①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，②g(x＋

y)＝g(x)·g(y)，③h(x·y)＝h(x)＋h(y)，④m(x·y)＝m(x)·m(y)．又给出四个函数的图象，那么正确的匹配方案可以是(D)

A．①甲，②乙，③丙，④丁 B. ①乙，②丙，③甲，④丁

C. ①丙，②甲，③乙，④丁 D. ①丁，②甲，③乙，④

丙

解析：图象甲是一个指数函数的图象，它应满足②；图象乙是一个对数函数的图象，它应满足③；图象丁是y＝x的图象，满足①.答案：D

4．函数y＝f(x)的曲线如图(1)所示，那么函数y＝f(2－x)的曲线是图(2)中的(C)

(1)

(2)

解析：把y＝f(x)的图象向左平移2个单位得到y＝f(x＋2)的图象，再作关于y轴对称的变换得到y＝f(－x＋2)＝f(2－x)的图象，故选C.答案：C

1

5．函数f(x)＝－x的图象关于(C )

xA．y轴对称 B．直线y＝－x C．坐标原点对称 D．直

线y＝x

111

解析：∵f(x)＝－x，∴f(－x)＝－＋x＝－－x＝－f(x)．

xxx

∴f(x)是一个奇函数．∴f(x)的图象关于坐标原点对称．答案：C

6．已知lga＋lgb＝0，函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是( )

1

解析：∵lga＋lgb＝0，∴lgab＝0，ab＝1，∴b＝，∴g(x)＝

a－logbx＝logax，∴函数f(x)与g(x)互为反函数，图象关于直线y＝

x对称，故正确答案是B.

二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)

7．已知下列曲线：

以下编号为①②③④的四个方程：

①x－y＝0；②|x|－|y|＝0；③x－|y|＝0；④|x|－y＝0. 请按曲线A、B、C、D的顺序，依次写出与之对应的方程的编号________．

解析：按图象逐个分析，注意x、y的取值范围．

答案：④②①③

8．[2014·西安五校联考]已知最小正周期为2的函数y＝f(x)，当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，则函数y＝f(x)(x∈R)的图象与y＝|log5x|的图象的交点个数为________．

解析：由下图象可知有5个交点．

答案：5个

9．设函数f(x)定义域为R，则下列命题中①y＝f(x)是偶函数，则y＝f(x＋2)的图象关于y轴对称；②若y＝f(x＋2)是偶函数，则

y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称；③若f(x－2)＝f(2－x)，y＝f(x)

的图象关于直线x＝2对称；④y＝f(x－2)和y＝f(2－x)的图象关于直线x＝2对称．其中正确的命题序号是________(填上所有正确命题的序号)．

解析：对于①，y＝f(x＋2)关于x＝－2对称；对于③，当f(2＋x)＝f(2－x)时，f(x)的图象关于x＝2对称，而当f(2－x)＝f(x－2)时，则应关于x＝0对称．

答案：②④

10．(2013·青岛模拟题)已知函数f(x)＝2－x2，g(x)＝x.若f(x)*g(x)＝min{f(x)，g(x)}，那么f(x)*g(x)的最大值是________．(注：min表示最小值)

解析：画出示意图(如图)．



f(x)*g(x)＝x (－22－x (x≥1)，

2

22－x (x≤－2)，

其最大值为1.答案：1

三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)

11．已知函数f(x)定义在[－2,2]上的图象如图所示，请分别画出下列函数的图象；

(1)y＝f(x＋1)；(2)y＝f(x)＋1；(3)y＝f(－x)；(4)y＝－f(x)； (5)y＝|f(x)|；(6)y＝f(|x|)；(7)y＝2f(x)；(8)y＝f(2x)． 解：利用图象变换技巧进行平移、伸缩、对称、翻折即可． (1)将函数y＝f(x)，x∈[－2,2]的图象向左平移1个单位得到y＝f(x＋1)，x∈[－3,1]的图象，如图①.

(2)将函数y＝f(x)，x∈[－2,2]的图象向上平移1个单位即得

到y＝f(x)＋1，x∈[－2,2]的图象，如图②.

(3)函数y＝f(－x)与y＝f(x)，x∈[－2,2]的图象关于y轴对称，如图③.

(4)函数y＝－f(x)与y＝f(x)，x∈[－2,2]的图象关于x轴对称，如图④.

(5)将函数y＝f(x)，x∈[－2,2]的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，x轴上方的部分不变，得到y＝|f(x)|的图象，如图⑤.

(6)考虑到函数y＝f(|x|)为[－2,2]上的偶函数，所以函数y＝

f(x)，x∈[－2,2]在y轴右侧的部分不变，左侧部分换为右侧关于y轴对称的图象即可得到y＝f(|x|)的图象，如图⑥.

(7)将函数y＝f(x)，x∈[－2,2]的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y＝2f(x)的图象，如图⑦.

(8)将函数y＝f(x)，x∈[－2,2]的图象上所有点的纵坐标不变，1

横坐标缩小为原来的，得到y＝f(2x)的图象，如图⑧.

2

误区指津：注意区别y＝|f(x)|与y＝f(|x|)这两个函数图象的作法．后者一定是偶函数，但前者却不一定．因此在作后者图象时，我们先作出y＝f(x)的图象，并去掉y轴左侧的图象，再将y轴右侧的图象“拷贝”一份，并关于y轴对称“粘贴”到y轴的左侧，即得

y＝f(|x|)的图象．

评析：许多有关函数图象变换的题目都是建立在以上8种基本作图的基础之上，应充分运用这些变换技巧作图．请注意，我们在作已知解析式的函数的图象时，应先在定义域范围内对已知解析式进行化简，转化成熟悉的函数作图．

1

12．如图函数y＝x＋x3的图象沿x轴向右平移a个单位，得曲线C，设曲线C的方程y＝f(x)对任意t∈R都有f(1＋t)＝－f(1－

3

t)，试求f(1)＋f(－1)的值．

1

解：由题意得f(x)＝(x－a)＋(x－a)3.∵f(1＋t)＝－f(1－t)， ∴点P(1＋t，y)与点Q(1－t，－y)在曲线C上，

对于任意t∈R，线段PQ中点M(1,0)为定点，即曲线C上任意一点P关于点M的对称点Q都在曲线C上．故曲线C关于点M(1,0)对称．

1

3

又因为y＝(x－a)＋(x－a)3的图象关于点(a,0)对称，且仅有一

1

3

个对称中心，所以a＝1.即f(x)＝(x－1)＋(x－1)3.故f(1)＋f(－

3

3

1)＝－8－2.

评析：(1)y＝f(x)图象关于x＝a对称⇔任意x∈D，有f(x＋a)＝f(a－x)；(2)y＝f(x)的图象关于点(a,0)对称⇔定义域中任意x，

f(a＋x)＝－f(a－x)．

13．已知函数f(x)＝2x，x∈R.

(1)当m取何值时方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？ (2)若不等式f2(x)＋f(x)－m>0在R上恒成立，求m的范围．

解：(1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，画出F(x)的

图象如图所示：

由图象看出，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，原方程有一个根；

当0121

(2)令f(x)＝t，H(t)＝t＋t，∵H(t)＝t＋－在区间(0，＋

24

2

∞)上是增函数， ∴H(t)>H(0)＝0，因此要使t2＋t>m在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m≤0.

评析：借助函数图象利用数形结合思想解题，形象直观、简洁明快．解题时应注意合理选取辅助函数，使函数图象易作，变化趋势清晰，同时应注意图象的草图应能真实反映函数的变化规律，以免因图象的粗糙性而产生错误．