指数函数训练题型练习突破

1．设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则( ) A．b＜a＜c C．c＜b＜a

B．c＜a＜b D．a＜c＜b

解析：因为2＞a＝log37＞1，b＝21.1＞2，c＝0.83.1＜1，所以c＜a＜b. 答案：B

2．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( ) A．a＜b＜c C．b＜a＜c

B．a＜c＜b D．b＜c＜a

解析：由指数函数y＝0.6x在(0，＋∞)上单调递减，可知0.61.5<0.60.6，由幂函数y＝x0.6

在(0，＋∞)上单调递增，可知0.60.6<1.50.6，所以b答案：C 3．设a>0，将1A．a

27C．a

6解析：

a2

＝a2

3a·a2答案：C

4．设x>0，且1B．0＝2a·a3a2

a23a·a25B．a 63D．a

2

a257

＝＝a2－＝a.故选C.

6655

aa63表示成分数指数幂的形式，其结果是( )

解析：∵10，∴b>1，

axa

∵bx1，∵x>0，∴>1⇒a>b，∴11－

5．若函数f(x)＝a|2x4|(a>0，且a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )

9A．(－∞，2] C．[－2，＋∞)

11

解析：由f(1)＝得a2＝，

991

又a>0，所以a＝，

3

B．[2，＋∞) D．(－∞，－2]

1|2x－4|

因此f(x)＝. 3

因为g(x)＝|2x－4|在[2，＋∞)上单调递增， 所以f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)． 答案：B

6．已知函数f(x)＝ax，其中a>0，且a≠1，如果以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，那么f(x1)·f(x2)等于( )

A．1 C．2

B．a D．a2

解析：∵以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上， ∴x1＋x2＝0. 又∵f(x)＝ax，

∴f(x1)·f(x2)＝ax1·ax2＝ax1＋x2＝a0＝1，故选A. 答案：A

3223，c＝22，则( ) 7．已知a＝，b＝555555A．aB．c2x32解析：∵y＝为减函数，>，∴b，

555∴a>c，∴b8．(2018·茂名模拟)已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是( )

解析：由函数f(x)的图象可知，－11，则g(x)＝ax＋b为增函数，当x＝0时，g(0)＝1＋b>0，故选C.

答案：C

1

9．已知一元二次不等式f(x)＜0的解集为{x|x＜－1或x＞}，则f(10x)＞0的解集为( )

2A．{x|x＜－1或x＞－lg 2} B．{x|－1＜x＜－lg 2} C．{x|x＞－lg 2} D．{x|x＜－lg 2}

1

x＜－1或x＞，所以可设f(x)＝a(x＋解析：因为一元二次不等式f(x)＜0的解集为x2





111

x－(a＜0)，由f(10x)＞0可得(10x＋1)·10x－＜0，即10x＜，x＜－lg 2，故选D. 1)·222

答案：D

xa·2，x≥010．已知函数f(x)＝－x(a∈R)，若f[f(－1)]＝1，则a＝( )

2，x＜0

1

A. 4C．1

解析：因为－1＜0，所以f(－1)＝21得a＝.

4

答案：A

－(－1)

1B. 2D．2

＝2，又2＞0，所以f[f(－1)]＝f(2)＝a·22＝1，解

e2x＋1

11．(2018·哈尔滨模拟)函数f(x)＝x的图象( )

eA．关于原点对称 C．关于x轴对称

B．关于直线y＝x对称 D．关于y轴对称

e2x＋1x111－

解析：f(x)＝x＝e＋x，∵f(－x)＝ex＋－x＝ex＋x＝f(x)，∴f(x)是偶函数，∴函数

eeeef(x)的图象关于y轴对称．

答案：D

fx，x＞0，

12．(2018·北京丰台模拟)已知奇函数y＝如果f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)对

gx，x<0.

应的图象如图所示，那么g(x)＝( )

1－x

A.2 C．2x

－

1x

B．－2 D．－2x

1x11

解析：由题图知f(1)＝，∴a＝，f(x)＝2， 221－x

x

由题意得g(x)＝－f(－x)＝－2＝－2，故选D. 答案：D

3x2＋3a13．关于x的方程2＝5－a有负数根，则实数a的取值范围为________． 3x解析：由题意，得x＜0，所以0＜2＜1， 2＋3a23从而0＜＜1，解得－＜a＜.

345－a23

－， 答案：341

14．已知0≤x≤2，则y＝4x－－3·2x＋5的最大值为________．

2解析：令t＝2x，∵0≤x≤2，∴1≤t≤4， 又y＝22x1－3·2x＋5， 111∴y＝t2－3t＋5＝(t－3)2＋，

2225∵1≤t≤4，∴t＝1时，ymax＝.

25答案： 2

15．不等式2x2－x＜4的解集为________．

解析：不等式2x2－x＜4可转化为2x2－x＜22，利用指数函数y＝2x的性质可得，x2－x＜2，解得－1＜x＜2，故所求解集为{x|－1＜x＜2}．

答案：{x|－1＜x＜2}

11

16．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝－x＋x，则此函数的值

42域为________．

1111t－2＋，解析：设t＝x，当x≥0时，2x≥1，∴0＜t≤1，f(t)＝－t2＋t＝－∴0≤f(t)≤，24241

0，.∵y＝f(x)是定义在R上的奇函数， 故当x≥0时，f(x)∈4111

－，0.故函数的值域为－，. ∴当x≤0时，f(x)∈44411

－， 答案：44B组 能力提升练

1．设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x

－

－1，则有( )

13＜f 2 A．f ＜f 32323＜f 1 B．f ＜f 32331＜f 3 C．f ＜f 23232＜f 1 D．f ＜f 233

解析：∵函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，

12－1＝f 5，f 2＝f 2－2＝f 4，又∵x≥1时，f(x)∴f(x)＝f(2－x)，∴f ＝f 33333344353＜f 5，即f 2＜f 3＜f 1.选B. ＝3x－1为单调递增函数，且＜＜，∴f ＜f 323323323

答案：B

2．已知实数a，b满足等式2 017a＝2 018b，下列五个关系式：①0A．1个 C．3个

B．2个 D．4个

解析：设2 017a＝2 018b＝t，如图所示，由函数图象，可得

若t>1，则有a>b>0；若t＝1，则有a＝b＝0；若0答案：B

3．(2018·莱西一中模拟)函数y＝ax－a1(a>0，且a≠1)的图象可能是( )

－

11解析：函数y＝ax－是由函数y＝ax的图象向下平移个单位长度得到，A项显然错误；

aa11

当a>1时，0<<1，平移距离小于1，所以B项错误；当01，平移距离大于1，

aa所以C项错误，故选D.

答案：D

4．(2018·日照模拟)若x∈(2,4)，a2x,b2x( )

A．a>b>c C．c>a>b

22,c22，则a，b，c的大小关系是

xB．a>c>b D．b>a>c

解析：∵b＝(2x)2＝22x，∴要比较a，b，c的大小，只要比较当x∈(2,4)时x2,2x,2x的大小即可．用特殊值法，取x＝3，容易知x2>2x>2x，则a>c>b.

答案：B

1

5．(2018·许昌四校联考)已知a＞0，且a≠1，f(x)＝x2－ax.当x∈(－1,1)时，均有f(x)＜，2则实数a的取值范围是( )

1

0，∪[2，＋∞) A.2

1

0，∪[4，＋∞) C.4

1

B.2，1∪(1,2] 1D.4，1∪(1,4]

11

解析：当x∈(－1,1)时，均有f(x)＜，即ax＞x2－在(－1,1)上恒成立，

22

1111

令g(x)＝ax，m(x)＝x2－，当0＜a＜1时，g(1)≥m(1)，即a≥1－＝，此时≤a＜1；

222211－

当a＞1时，g(－1)≥m(1)，即a1≥1－＝，此时1＜a≤2.

221

综上，≤a＜1或1＜a≤2.故选B.

2答案：B

2x1

6．(2018·菏泽模拟)若函数f(x)＝1＋x＋sin x在区间[－k，k](k＞0)上的值域为[m，

2＋1n]，则m＋n的值是( )

A．0 C．2

2·2x

解析：∵f(x)＝1＋x＋sin x

2＋12x＋1－1

＝1＋2·x＋sin x

2＋12

＝2＋1－x＋sin x

2＋1

B．1 D．4

＋

2x－1

＝2＋x＋sin x.

2＋1

2x－1

记g(x)＝x＋sin x，则f(x)＝g(x)＋2，

2＋1

易知g(x)为奇函数，则g(x)在[－k，k]上的最大值与最小值互为相反数，∴m＋n＝4. 答案：D

7．若xlog52≥－1，则函数f(x)＝4x－2x1－3的最小值为( ) A．－4 C．－1

B．－3 D．0

＋

1＋

解析：∵xlog52≥－1，∴2x≥，则f(x)＝4x－2x1－3＝(2x)2－2×2x－3＝(2x－1)2－4.当

52x＝1时，f(x)取得最小值－4.

答案：A

2，x≥0，

8．函数f(x)＝则a＝2是f(a)＝4成立的( )

－x，x<0，

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：因为a＝2，所以f(a)＝22＝4，即a＝2⇒f(a)＝4；反之，若f(a)＝4，则2a＝4，a＝2或－a＝4，a＝－16，因此f(a)＝4⇒a＝2或者a＝－16，故a＝2是f(a)＝4的充分不必要条件，选A.

答案：A

11a2b1

9．已知实数a，b满足＞＞＞，则( )

2224A．b＜2b－a C．a＜b－a

11a

解析：由＞，得a＞1；

22

1a2b22a＞2b，进而2a＜b； 由＞，得2222由

2b122

＞，得b＞4，进而b＜4. 2422

B．b＞2b－a D．a＞b－a

x

∴1＜a＜2,2＜b＜4. 37取a＝，b＝，得b－a＝

22

73－＝2，有a＞b－a，排除C；b＞2b－a，排除A； 22

1139

取a＝，b＝，得b－a＝

1010答案：B

3911－＝101014，有a＜b－a，排除D.故选B. 5

11

2x－x·x，m，n为实数，则下列结论中正确的是( ) 10．已知函数f(x)＝23A．若－3≤m＜n，则f(m)＜f(n) B．若m＜n≤0，则f(m)＜f(n) C．若f(m)＜f(n)，则m2＜n2 D．若f(m)＜f(n)，则m3＜n3

11－

解析：∵f(x)的定义域为R，其定义域关于原点对称，f(－x)＝2x－2－x·(－x)＝

3

2x－1x·x1＝f(x)，∴函数f(x)是一个偶函数，又x＞0时，2x－1x与x1是增函数，且函数值为

2323

11

2x－x·x在(0，正，∴函数f(x)＝＋∞)上是一个增函数，由偶函数的性质知，函数f(x)在(－23∞，0)上是一个减函数，此类函数的规律是：自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值越小，函数值就越小，反之也成立．对于选项A，无法判断m，n离原点的远近，故A错误；对于选项B，|m|＞|n|，∴f(m)＞f(n)，故B错误；对于选项C，由f(m)＜f(n)，一定可得出m2＜n2，故C是正确的；对于选项D，由f(m)＜f(n)，可得出|m|＜|n|，但不能得出m3＜n3，故D错误．综上可知，选C.

答案：C

11．若函数f(x)＝2|xa|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值等于________．

解析：因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以函数f(x)关于直线x＝1对称，所以a＝1，所以函数f(x)＝2|x1|的图象如图所示，因为函数f(x)在[m，＋∞)上单调递增，所以m≥1，所以实数m的最小值为1.

－

－

答案：1

12．(2018·眉山模拟)已知定义在R上的函数g(x)＝2x＋2x＋|x|，则满足g(2x－1)＜g(3)的x的取值范围是________．

解析：∵g(x)＝2x＋2x＋|x|，∴g(－x)＝2x＋2x＋|－x|,2x＋2x＋|x|＝g(x)，则函数g(x)为偶函数，当x≥0时，g(x)＝2x＋2x＋x，则g′(x)＝(2x－2x)·ln 2＋1＞0，则函数g(x)在[0，

－

－

－

－

－

－

＋∞)上为增函数，而不等式g(2x－1)＜g(3)等价于g(|2x－1|)＜g(3)，∴|2x－1|＜3，即－3＜2x－1＜3，解得－1＜x＜2，即x的取值范围是(－1,2)．

答案：(－1,2)

1x

13．(2018·信阳质检)若不等式(m2－m)2x－2＜1对一切x∈(－∞，－1]恒成立，则实数m的取值范围是________．

1x1112－m＜x＋x2，设t＝x，则原条件等价解析：(m2－m)2x－＜1可变形为m2222于不等式m2－m＜t＋t2在t≥2时恒成立，显然t＋t2在t≥2时的最小值为6，所以m2－m＜6，解得－2＜m＜3.

答案：(－2,3)

14．(2018·皖南八校联考)对于给定的函数f(x)＝ax－ax(x∈R，a＞0，a≠1)，下面给出五个命题，其中真命题是______．(只需写出所有真命题的编号)

①函数f(x)的图象关于原点对称； ②函数f(x)在R上不具有单调性； ③函数f(|x|)的图象关于y轴对称； ④当0＜a＜1时，函数f(|x|)的最大值是0； ⑤当a＞1时，函数f(|x|)的最大值是0.

解析：∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，f(x)的图象关于原点对称，①真；当a＞1时，f(x)在R上为增函数，②假；y＝f(|x|)是偶函数，其图象关于y轴对称，③真；当0＜a＜1时，y＝f(|x|)在(－∞，0)上为增函数，在[0，＋∞)上为减函数，∴当x＝0时，y＝f(|x|)的最大值为0，④真；当a＞1时，f(x)在(－∞，0)上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，∴当x＝0时，y＝f(x)的最小值为0，⑤假，综上，真命题是①③④.

－