2014年山东省菏泽市中考数学试题及答案

数 学 试 题

试卷类型：A 注意事项：

1．本试题分为选择题和非选择题两部分，其中选择题24分，非选择题96分，满分120分，考试时间120分钟．

2．用黑色、蓝色水笔或圆珠笔答卷，答卷前将密封线内的项目填写清楚．

3．请将选择题的正确答案代号（ABCD）填写在相应的“答题栏”内，将非选择题的答案直接答在试卷上，

一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项A、B、C、D中只有一项是正确的，请把正确的选项选出来并填在第3页该题相应的答题栏内． 1．比－l大的数是

A. －3 B.

10 C. 0 D．一l 92．如图，直线l∥m∥n，等边△ABC的顶点B、C分别在直线n和m上，边

BC与直线n所夹锐角为25°,则∠α的度数为

A．25° B．45° C. 35° D. 30° 3．下列计算中，正确的是

1 A.a3·a2=a6 B.（π－3.14）º=1 C.()3 D.

1393

4. 2014年4月21日8时我市区县的可吸人颗粒物数值统计如下表

区县 可吸入颗粒物（mg/m） 3曹县 单县 成武 定陶 巨野 东明 郓城 鄄城 牡丹区 开发区 0.15 0.15 0.15 0.15 0.18 0.18 0.13 0.16 0.14 0.14 该日这一时刻的可吸人颗粒物数值的众数和中位数分别是

A．0.15和0. 14 B．0.18和0.15 C．0. 18和0.14 D．0.15和0.15

5．过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图几何体，其展开图正确的为

- 1 -

6．已知关于x的一元二次方程x2+ax+b =O有一个非零根－b，则a－b的值为

A．1 B．－1 C．0 D．一2 7．若点M(x，y)满足(x+y)2 =x2 +y2 －2，则点M所在象限是

A．第一象限或第三象限 B．第二象限或第四象限 C．第一象限或第二象限 D．不能确定

8．如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，设CD的长 度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是

二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分，只要求填写最后结果，每小题填对得3分．

9. 2014年“原创新春祝福微博大赛”作品充满了对马年的浓浓祝福，主办方共收到原创祝福短信作品62800条，将62800用科学计数法表示应为_ __．

10．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠=25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC

于点E，则BD的度数为 11．分解因式：2x3－4x2+2x=______________________

x212．如图，平行于x轴的直线AC分别交函数y2x(x≥o)与y2(x≥0)的图象于B、C两 点，

32过点c作y轴的平行线交y1的图象于点D，直线DE∥AC，交y2的图象于点E，则

DE AB13．如图所示，Rt△ABO中，∠AOB=90°，点A在第一象限、点B在第四象限，且AO: BO=

- 2 -

1：2 ，若点A(x0，y0)的坐标(x0，y0)满足x0式为

1，则点B(x，y)的坐标x，y所满足的关系y0

14．下面是一个按某种规律排列的数阵：

根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n>3）行从左向右数第n－2个数是 （用含n的代数式表示）

三、解答题：本大题共7个小题，共78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 15．（本题12分，每题6分）

(1)计算：213tan30(22)012

- 3 -

(2)解不等式 

x30 ，并判断x3是否为该不等式组的解，

2(x1)33x16．（本题12分，每题6分）

(l)在△ABC中，AD平分∠BAC．BD⊥AD，垂足为D，过D作DE//AC，交AB于E，若AB =5，求线段DE的长．

(2)已知x2－4x+l=O，求

2(x1)x6的值

x4x- 4 -

17．（本题14分，每题7分）

(1)食品安全是关乎民生的问题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输．某饮料加工厂生产的A、B两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270克该添加剂恰好生产了A、B两种饮料共1OO瓶，问A、B两种饮料各生产了多少瓶？

(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y =kx+b的图象经过点A(1，0)，与反比例函数ym(x>0)的图象相交于点B(2，1)． xm的解集. x ①求m的值和一次函数的解析式；

②结合图象直接写出：当x>0时，不等式kx+b>

- 5 -

18．（本题IO分）

如图，AB是⊙O的直径，点C在0O上，连接BC，AC，作OD∥BC与过点A的切线交于点D，AB的延长线于点E． 是⊙O的切线； 23，求cos∠ABC的值 - 6 -

连接DC并延长交（1)求证：DE(2)若

CEDE19．（本题10分）

课前预习是学习数学的重要环节，为了了解所教班级学生完成数学课前预习的具体情况，王老师对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类，A：很好；B:较好；C:－般；D:较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：

(l)王老师一共调查了多少名同学？

(2)C类女生有 名，D类男生有 名，并将上面条形统计图补充完整；

(3)为了共同进步，王老师想从被调查的A类和D类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．

- 7 -

20．（本题lO分）

已知：如图，正方形ABCD，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足∠MAN =450，连结MN.

(1)若正方形的边长为a，求BM·DN的值；

(2）若以BM，DN，MN为三边围成三角形，试猜想三角形的形状，并证明你的结论． - 8 -

21．（本题10分）

在平面直角坐标系xOy，已知抛物线y=x2－2mx+m2－9． (1)求证：无论m为何值，该抛物线与x轴总有两个交点；

(2)该抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，且OA＜OB，与y轴的交点坐标为（O，－5），求此抛物线的解析式；

(3)在(2)的条件下，抛物线的对称轴与x轴的交点为N，若点M是线段AN上的任意一点，过点M作直线MC⊥x轴，交抛物线于点C，记点C关于抛物线对称轴的对称点为D，点P是线段MC上一点，且满足MP=

1MC，连结CD,PD，作PE⊥PD交x轴与点E,问是否存在这样的点E，4使得PE=PD，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

- 9 -

参考答案及评分标准

阅卷须知：

1，为便于阁卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要过程正确写出即可．

2．若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分 3．评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数． 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．）

题号 答案 1 C 2 C 3 B 4 D 5 B 6 A 7 B 8 A 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．） 9. 6.28xl04 10. 50° 11. 2x(x－l)2 12. 33 13．y22（写成xy=－2，亦可） 14．n2 x三、解答题（本题共78分） 15．(1)解：原式=

133123…………．4分 2333 …………………6分 2 =

（2）解：x30

2(x1)33x 由①得x>－3． …………………………．1分 由②得x≤1． …………………………… 3分 ∴原不等式组的解集是－3＜x≤l． ………………．4分 ∵3＞1，

∴x=3不是该不等式组的解．………………………… 6分 16．(1)解：∵AD平分∠B4C, ∴∠l=∠2

∵ DE//AC ∴∠2 =∠ADE . ∴∠1 =∠ADE .

∴AE=DE …………………………………………………3分

- 10 -

∵AD⊥DB, ∴ ∠ADB = 90°

∴∠1 +∠ABD =90°, ∠ADE + ∠BDE = ∠ADB = 90°, ∴∠ABD = ∠BDE .

∴DE=BE …………………………………………………5分 (2)解：

2(x1)x6x4x2x(x1)(x4)(x6)x(x4)x24x24 ...........................................................3分x24xx24x10,x24x1...................................4分x24x24124原式23.............................6分1x24x17、(1)解法一：设A饮料生产了x瓶，则B饮料生产了(100—x)瓶， ………1分 依题意，得2x+3(100－x)=270………………4分 解得 x=30，l00一x=70．…………6分

答：A饮料生产了30瓶．B饮料生产了70瓶． ……………7分 解法二：设A饮料生产了x瓶，B饮料生产了y瓶 ………………1分

xy100依题意，得： ………………………… 4分

2x3y270解得x30 ............................ 6分

y70m(x>O)的图象经过点B(2，1)， x 答：A饮料生产了30瓶，B饮料生产了70瓶． ………………7分 (2)解：①反比例函数y∴m=lx2=2．……………………………………………………………… 6分

∵一次函数y=kx+b的图象经过点A(l，O)、B(2，1)两点，

∴一次函数的解析式为y=x－l. …………………………………………5分 ②x>2． ……………………………………………………………………7分 18、（本小题满分IO分）

(1)证明：如图，连接OC．

∵AD是过点A的切线，AB是⊙O的直径，

- 11 -

∴AD⊥AB． ∴∠DAB=900． ∵OD//BC，

∴∠DOC= ∠OCB. ∠AOD=∠ABC. ∵ OC= OB． ∴∠OCB=∠ABG ∴∠DOC=∠AOD． 在△COD和△AOD中，

OCOADOCAOD ODOD∴_△CDD≌△AOD． ………………………………………………4分 ∴∠OCD=∠DAB=900. ∵ OC⊥DE于点C． ∵OC是⊙O的半径，

∴DE是⊙O 的切线． ………………………………………………5分 (2)解：由

CE2 ，可设CE=2k(k>O)，则DE=3k…………………………………6分 DE3∴AD=DC=k

在Rt△DAE中，AE=DE2AD2=22k ……………………………………7分 ∵OD∥BC, ∴ BE =20B ∴0A=

CE2 DE312AE=k …………………………………………………………………8分 42∴ 在RRt△AOD中，OD=

AO2AD232k……………………………………9分

∴cos∠ABC=cos∠AOD=

OA3……………………………………………………10分． OD3（说明：其它方法，酌情给分）

- 12 -

19、解：(1)(6+4)÷50%=20．所以王老师一共调查了20名学生．…………………2分 (2)C类女生有3名，D类男生有1名；补充条形统计图略． ……………5分

（说明：其中每空1分，条形统计图1分．）

(3)解法一：由题意画树形图如下：

从A类中选取

从D类中选取

…………8分

从树形图看出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所 选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有3种． 所以P（所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学）= 解法二： 由题意列表如下：

由上表得出，所有可能出现的结果共有6种，且每种结果出现的可能性相等，所选 两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有3种， 所以P（所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学）=

31…………10分 6231 ………… 10分 62- 13 -

20．解：(1) ∵BM、DN分别平分正方形的外角，

∴ ∠CBM= ∠CDN =45°． ∴∠ABM= ∠ADN= 135°， ∵∠MAN =45°． ∴∠BAM+ ∠NAD =45°．

在△ABM中，∠BAM+∠AMB=180°－135°=45°, ∴∠NAD=∠AMB、 在△ABM和△NDA中，

∵∠ABM=∠NDA, ∠NAD=∠AMB

∴△ABM≌△NDA． ……………………………………3分 ∴

ABBM ………5丹 DNAD ∴BM·DN=AB·AD=a2 ……………………………………5分 (2)以BM、D．N、MN所组成三角形为直角三角形，证明如下：

如图过点A作AN的垂线AF，在该垂线上截取AF =AN，连接BF、FM.

(或将△AND绕点A顺时针旋转90。至△ABF的位置，使得AD与AB重合，连接BF、 FM，或以AM为对称轴作△AMN的对称图形△AMF、连结BF) ∵∠1+∠BAN= 90° , ∠3+ ∠BAN= 90°.

∴∠l=∠3

在△ABF和△AND中 ∵AB =AD，∠l=∠3，AF =AN ∴△ABF≌△ADN，

∴BF= DN，∠FBA=∠NDA =1350 ……………………………………7分 ∵∠FAN= 900. ∠MAN =450. ∴∠1+ ∠2 =450= ∠FAM=∠MAN， 在△AFM和△ANM中．

∵AF =AN, ∠FAM=∠LMAN ，AM=AM……

∴△AFM≌△ANM ………………………………9分 ∴FM=NM．

∴∠FBP =1800一∠FBA=1800—1350=450

- 14 -

∴∠FBP+∠PBM=450+450=900． ∴△FBM为直角三角形， ∵FB=DN．FM=MN．

∴以BM、DN、MN为三边的三角形为直角三角形． ………………10分

说明：若计算出MN2= BM2+ DN2再用勾般定理的逆定理得出该三角形为直角三角形（亦 可）．

21．解：(l)△=(－2m)2 －4(m2 －9) =4m2－4m2+36 =36 >0，所以无论

m为何值，一元二次方程x2 －2mx+m2－9 =0总有两个不相 等的实数根； ………………………………2分 说明：指出抛物线开口向上，顶点在x轴下方，所以该 抛 物线与x轴总有两交点 （亦可）

(2) ∵抛物线y=x2－2mx+m2－9与y轴交点生标为（0，－5）， ∴－5=m2－9．解得m=t2.

∵抛物线y=x2－mx+m2－9与x轴交于A，B两点,点A在点B

的左侧，且0A∴抛物线的解析式为y =x2－4x－5．…………………5分 (3)假设点E存在，

∵MC⊥EM，CD⊥MC，∴∠EMP= ∠PCD.

∵ PE⊥ PD．∴∠EPM=∠PDC. ∵PE= PD．∴△EPM≌△PDC. ∴PM=DC,EM=PD.

该抛物线y=x2－4x－5的对称轴x=2，N(2，O)，A（一l，O），B(5，0) 设C(x0 ,y0)，则D(4－x0，y0),P(x0, 由CD= PM 得4 － 2xo=一即4 － 2x0=一

1y0)．(其中一l∴点E存在其坐标为(7，O)．………………………．10分

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