一阶常微分方程积分因子解法

一阶常微分方程积分因子解法

胡彦霞

（华北电力大学数理学院,北京 102206）

摘 要：利用积分因子求解常微分方程是解方程常用的有效方法，在理论和实践中有着重要地位。惯常的积分因子解法主要讨论两种特殊情况，一种是求只显含自变量的积分因子，另一种是求只显含未知变量的积分因子。本文在未限定变量的条件下，探讨并总结了常微分方程积分因子解法，文中结果拓展总结了求常微分方程积分因子的相关结论与方法。

关键词：一阶常微分方程；积分因子；微分算子；一阶拟齐次方程

中图分类号：O172.1 文献标识码：A DOI:10.3969/j.issn.1674-8085.2019.06.002

FURTHER DISCUSSION ON THE METHODS FOR OBTAINING INTEGRATING FACTORS OF THE FIRST ORDER ORDINARY

DIFFERENTIAL EQUATIONS

HU Yan-xia

(School of Mathematics and Physics，North China Electric Power University，Beijing 102206, China)

Abstract: Using integrating factors to solve ordinary differential equations is an effective method used to solve equations, which plays an important role in theory and practice. Usually, there are two cases of considering to obtain integrating factors of ordinary differential equations. In one case, integrating factors with the independent variable are considered. In the other case, integrating factors with the dependent variable are considered. In the paper, the method to obtain integrating factors of the first order ordinary differential equations is considered in the case of unqualified variables. The sufficient conditions of the existence of integrating factors of the equations are shown, and the methods for obtaining the integrating factors are given. The results in this paper extend and summarize the relevant conclusions and methods of obtaining integrating factors of ordinary differential equations.

Key words: first order ordinary differential equation; integrating factor; differential operator; first order quasi-homogeneous equation

于一个非恰当方程，如果可以找到方程的一个积分

0 引言

在求解一阶常微分方程时，积分因子方法是一种常用的有效方法，思路简单且计算量较小。我们知道，对于一个恰当方程，方程可以直接写为某可微函数的全微分形式，从而求出原方程的通解。对

因子，也可以求出方程的通解。所以寻找方程的积分因子对于求解方程时是一步很重要的过程。在数学专业的常微分方程教程[1-3]中，一般考虑去求只显含自变量或只显含未知变量的积分因子，主要是为了避免去解一个一阶偏微分方程。也有的课本里提出观察法、分项分组积分法等方法求解一阶常微分

_______________________________

收稿日期：2019-09-06；修改日期：2019-10-18 基金项目：2018年华北电力大学课程建设教改项目

作者简介：胡彦霞(1972-)，女，内蒙古人，副教授，博士，主要从事微分方程可积性定性研究及应用(E-mail:yxiahu@163.com).

井冈山大学学报(自然科学版)

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方程。这些方法用起来需要较强的技巧，很有局限性。

微分方程理论的核心问题之一是可积性研究，而积分因子是研究微分方程系统可积性的重要因素之一[4]。系统的积分因子也反映了系统的动态和定性形态的许多特性[5-6]。这样，不论是求解方程还是定性研究方程往往都需要去寻找系统的积分因子。文献[7]给出并证明了自治和非自治常微分方程系统的积分因子存在的充要条件。在文献[8]中，研究了高阶自治系统的逆积分因子，给出并证明了几类高阶自治系统逆积分因子存在的充分性条件。文献[9-11]都考虑了一阶微分方程积分因子存在性和求法。受这些工作的启发，本文对求一阶常微分方程积分因子方面做了总结并给出一阶常微分方程存在积分因子的充分条件与求积分因子的方法，同时给出了几个算例验证了方法的正确性和有效性。文中部分结果推广了文献[9]中的主要结论。这些求积分因子的方法对于进一步认识积分因子、利用积分因子去求解方程提供一定的方便和更深入的理解。

2 求积分因子的方法

考虑一阶微分方程

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (1)

其中P(x,y), Q(x,y)在平面的某一单连通区域D上具有连续的一阶偏导数。为方便，方程(1)对应的微分算子和向量场散度为：

X=Q

¶¶¶Q¶x-P¶y，divX=

¶x-¶P¶y

， 我们知道，若方程(1)为一恰当方程，则一定存在一函数Ω(x,y)∈C1

ÌD，使得

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=dΩ(x,y)=0

所以方程(1)的通解为Ω(x,y)＝C，其中C是积分常数。若方程(1)不为恰当方程且存在函数μ(x,y)∈C1

ÌD，使

μ(x,y)P(x,y)dx+μ(x,y)Q(x,y)dx=dΩ(x,y)=0 则方程(1)的通解为Ω(x,y)＝C，其中C是积分常数。此时，显然有

¶(m(x,y)P(x,y))¶(m(x,y)P(x,y))¶y=

¶x

进一步计算，有

¶m¶yP+m¶P¶Q¶m¶y=m¶y+Q¶x

即，Xu=-μdivX。

为方便，下面先重述积分因子的定义。 定义1 对于方程(1)，若存在μ(x,y)∈C1ÌD，有Xμ=-μdivX，则称μ(x,y)为方程(1)的积分因子。

特别的，当方程(1)是恰当方程时，有¶m=¶Q¶y¶x，

即divX＝0，所以方程(1)的首次积分(通解)也就是积分因子。根据文献[8]中的定理1，推导出以下结论。

命题1 1) 若QdivX-XQ-PQ

=F1(y)，则方程(1)

有积分因子m(x,y)=1-F(y)dy

Q

eò1。

2) 若

-PdivX+XQ

-PQ

=F2(y)，则方程(1)有积分

因子m(x,y)=

1-òF-P

e

2(x)dx

。 3) 若

QdivX-XQ

P

2

=F3(x)，则方程(1)有积分因子m(x,y)=1-F(x)dx

Qeò2。

4) 若

-PdivX+XP

P

2

=F4(y)，则方程(1)有积分因子m(x,y)=1-òF4(y)dy

-P

e

。 其中F1(y)，F2(x)，F3(x)，F4(y)均是关于变量的可微函数。

证明 这里只证明1)，其它三种情况类似。 Xu=Q

¶m¶m¶x-P

¶y=(y)dy

-Q(Qe-ò

F1(y)dy)

-2

¶(Qeò

F1)

¶x

+

(2)

P(Qe-òF1(y)dy-2

¶(QeòF1(y)dy

)

)

¶y

=(eò

F1(y)dy)-1

çæ-

1¶Q¶Q

P

èQ¶x

+

PQ2

¶x

+

QFö

1(y)÷ø由于QdivX-XQ-PQ

=F1(y)，所以

8

井冈山大学学报(自然科学版)

F1(y)=(Q

¶Q¶x-Q¶P¶Q¶Q1¶y-Q¶x+P¶y)(-PQ) 把F1(y)代入式(2)，得

Xm=-

1Q(e-òF2(y)dy)-1(¶Q¶x-¶P¶y

)=mdivX 即，m(x,y)=1-F(y)dyQ

eò1

是方程(1)的积分因子。

由积分因子的定义知道，如果函数j(x,y)ÎC1

有divX=

1

j(x,y)

X(j(x,y))，则j(x,y)是方程(1)

的积分因子。根据文献[8]中的定理2，有

命题2 若存在一函数j(x,y)ÎC1使divX＝f(φ(x,y))X(φ(x,y))，则

m(j(x,y)=e-ò

F(j(x,y))dj(x,y)

是方程(1)的积分因子。

证明 因为

Xm(j(x,y))=Q¶(m(j))¶(m(j))¶x-P¶y=

m'(j)Q¶j¶j¶x-P¶y

=

-f(j)e-òf(j(x,y)dj(x,y)

X(j)= -f(j)e-òf(j(x,y)dj(x,y)divXf(j)

=

-m(j(x,y)divX

所以由定义1，m(j(x,y))=e-ò

f(j(x,y)dj(x,y)

是方程(1)的积分因子。

注1 在命题2中，如果φ (x, y) ≡ x，则条件divX = f (φ(x,y))X(φ(x,y)) 变为divX＝f (x)Q，即

¶Q¶x-¶P

¶yQ

=f(x)，

结论变为m(x)=e-òf(x)dx为方程(1)的只显含变量x的积分因子。如果φ(x,y)≡y则条件divX=f (φ(x,y))X(φ(x,y))变为divX＝f (y)(-P)，即

¶Q¶¶x-P

¶y-òf(y)dyQ

=f(x)

结论变为m(x)=e为方程(1)的只显含变量y的积分因子。这就是常微分方程教材里考虑的两种积分因子的特殊形式。

类似地，容易推得以下相关的结论： 推论1 对于函数φ(x,y)=xn+ym如果

divX

nQx-mPy

1

=f(xn+ymn-1m-) n则m(x,y)=e-ò

f(x+ym)d(xn+ym)

是(1)的积分因子。

推论 2 对于函数j(x,y)=xy，如果

divX

yQ-xP

=f(xy)，则

m(x,y)=e-òf(xy)d(xy)

是方程(1)的积分因子。

推论 3 对于函数j(x,y)=eò

f(x)dx+g(y)dy

，如果

divX-1X(j(x,y))=

j(x,y)

，则

m(x,y)=eò

f(x)dx+g(y)dy

是方程(1)的积分因子。

注 2 文献[9]中，给出的确定一阶常微分方程积分因子的I---VI组共12个准则都可以由命题2推得，所以命题2是文献[9]中的主要结果的推广。

根据文献[8]中的定理3，推导出下面结论。 命题3 若存在一函数W(x,y)ÎC1，使得

div(W(x,y)X)

W(x,y)Q

=H(x)，则

m(x,y)=W(x,y)e-òH(x)dx

是方程(1)的积分因子；

若存在一函数W(x,y)ÎC1，使得

div(W(x,y)X)

-W(x,y)P

=R(y)，则

m(x,y)=W(x,y)e-òR(x)dx

是方程(1)的积分因子，其中H(x)，R(y)均是变量的可微函数。

证明 这里仅证明第一种情况，第二种情况类似。

因为

Xm=Q¶(W(x,y))e-òH(x)dx¶(W(x,y))e-ò

H(x)dx

¶x-P¶y

=

e-òH(x)dx(Q¶(W(x,y))¶(W¶x-QW(x,y)H(X)-Q(x,y))¶y

)=

e-òH(x)dx(Q¶(W(x,y))¶(W(x,y))¶x-div(W(x,y)X)-P¶y

)=

井冈山大学学报(自然科学版)

-H(x)dx¶(W(x,y))eò(Q-W(x,y)divX-XW(x,y)-

¶x

¶(W(x,y))

)=P

¶y-H(x)dxeòXW(x,y)-W(x,y)divX-XW(x,y))=-H(x)dx

divX=mdivX-W(x,y)eò

9

材里的只显含变量x或只显含变量y积分因子的情况。

对于特殊形式的一阶微分方程

yp(xy)dx+xQ(xy)dy=0 (3)

其中函数P(u)，Q(u)连续、可微且P(u)≠Q(u)有下面特殊形式的积分因子。

命题 4 方程(3)有积分因子

所以m(x,y)=W(x,y)eò子。

-H(x)dx

是方程(1)的积分因

m(x,y)=(xy[P(xy)-Q(xy)])-1。

证明 取j(x,y)=xy[P(xy)-Q(xy)])，有

注3 当Ω(x,y)≡1，上述结论即为常微分方程教

divXQ(xy)-P(xy)+xy(Q¢(xy)-P¢(xy))

==

X(j(x,y))xy(Q(xy)-P(xy))(P(xy)+Q(xy))+x2y2(P(xy))-Q(xy))(Q¢(xy)-P¢(xy))

11

=

xy[P(xy)-Q(xy)]j(x,y)

由命题

2，m(j(x,y))=e

-1

-

òj(x,y)dj(x,y)

1

=

-[m*(x,y)]2(-mdivX)=m*(x,y)divX=m2yQQx+m1xPQx-m2yQqy-m1xPPy

(5)和(6)分别对α求导后，取α＝1得到

(8)

(xy[P(xy)-Q(xy)]是方程(3)的积分因子。

考虑一阶拟齐次方程

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (4)

这里(4)在变换(x,y,t)®(am1x,am2y,a-1t)

m1xPx+ m2yPy=m2P，m1xQx+ m2yQy= m1Q (9) 从而把m1xPx = m2P –m2yPy和m2yPy = m1Q –m1xQx代入(7)，可得

-[μ*(x,y)]2Xμ=m2yQQx+ m1PQ+Q( m2P- m2yPy)- m 2 PQ - P ( m1Q- m1xQx)-m1xPPy= P(am1x,am2y)=am2+1P(x,y) (5)

m2PQQx+m1xPQx- m2yQPy-m1xPPy=

Q(am1x,am2y)=am1+1Q(x,y) (6)

-[μ*(x,y)]2(-μdivX)，

特别地，当m1=m2=1时，方程就是齐次微分方

1是方程(4)的所以m(x,y)=

程。由此可推出下面结论。 m2yQ(x,y)+m1xP(x,y)

命题 5 方程(4)有积分因子

积分因子。

11 注 4 特别地，当m1＝m2＝1时，方程(4)即为m(x,y)==

m*(x,y)m2yQ(x,y)+m1xP(x,y)

传统的齐次微分方程，由命题5，此时

证明 因为

1

是积分因子。 (,)mxy=1-1yQ(x,y)+xP(x,y)Xm=X()=Xm*(x,y) 2

m*(x,y)[m*(x,y)]

所以有

(aÎR,a¹0,m1,m2是正整数）下不变，即

-[m*(x,y)]Xm=Xm*(x,y)=

m2yQQx+m1PQ+m1xPxQ+

m2PQ-m2yPQy-m1xPPy (7)

另一方面，由于

2

3 算例

例1 考虑微分方程ydx+f(x)eydy=0。 解 已知X=f(x)ey¶-¶，

¶x¶y

1

-mdivX=-divX

m*(x,y)

所以

divX=f*(x)ey-1。

由此可得，

QdivX-XQ1-y。

=

-PQy

由命题1，可得积分因子

10

-ò11-òF1(y)dy

em(x,y)=e=

f(x)eyQ

1-y

dyy

井冈山大学学报(自然科学版)

=

1 f(x)y

参考文献：

[1] 王高雄,周之铭,朱思铭. 常微分方程[M].3版.北京:高等

教育出版社,2006.

例2 (xy+y)dx-xdy=0。 解

223

已知

X=-x3

¶¶-(x2y+y2)，[2] 丁同仁,李承治. 常微分方程教程[M]. 2版.北京:北京大

¶x¶y

divX=-4x2

-2y。令φ(x,y)=xy 可以得到

divXXj=2j 由命题2，有积分因子

m(x,y)=e

-ò

2jdj=e-2lnj=

1x2y2

例 3 考虑Bernoulli方程

dy

dx

=P(x)y+q(x)xn,n¹0,1 解 已知X=-¶¶¶x-(p(x)y+q(x)yn)¶y, divX=-p(x)-nq(x)y

n-1

，令W(x,y)=-yn

可得

div(Wx)

WQ

=(1-n)p(x)， 由命题3，有积分因子m(x,y)=y-ne-ò

(1-n)p(x)dx

。例4 xydx-(y+x2)dy=0。 解 这个方程是拟齐次方程，因为 P(x,y)=xy,Q(x,y)=-(y+x2), P(αx, α2y)= α2+1P(x,y),Q(αx, α2y)= α1+1Q(x,y),l=1,m1=1,m2=2。 由命题5，有积分因子

m(x,y)=

12yQ(x,y)+xP(x,y)=1

-x2

y-y

2

。 学出版社,2004.

[3] 韩茂安,周盛凡,邢业朋,等. 常微分方程[M].2版.北京:

高等教育出版社,2018.

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