高中物理生活中的圆周运动试题类型及其解题技巧及解析

一、高中物理精讲专题测试生活中的圆周运动

1．如图所示，竖直圆形轨道固定在木板B上，木板B固定在水平地面上，一个质量为3m小球A静止在木板B上圆形轨道的左侧．一质量为m的子弹以速度v0水平射入小球并停留在其中，小球向右运动进入圆形轨道后，会在圆形轨道内侧做圆周运动．圆形轨道半径为R，木板B和圆形轨道总质量为12m，重力加速度为g，不计小球与圆形轨道和木板间的摩擦阻力．求：

(1)子弹射入小球的过程中产生的内能；

(2)当小球运动到圆形轨道的最低点时，木板对水平面的压力；

(3)为保证小球不脱离圆形轨道，且木板不会在竖直方向上跳起，求子弹速度的范围．

232mv0 (3)v042gR 或45gRv082gR 【答案】(1)mv0 (2) 16mg84R【解析】

本题考察完全非弹性碰撞、机械能与曲线运动相结合的问题． (1)子弹射入小球的过程，由动量守恒定律得：mv0(m3m)v1 由能量守恒定律得：Q代入数值解得：Q121mv04mv12 2232mv0 8(2)当小球运动到圆形轨道的最低点时，以小球为研究对象，由牛顿第二定律和向心力公式

(m3m)v12得F1(m3m)g

R以木板为对象受力分析得F212mgF1 根据牛顿第三定律得木板对水平的压力大小为F2

2mv0木板对水平面的压力的大小F216mg

4R(3)小球不脱离圆形轨有两种可能性：

①若小球滑行的高度不超过圆形轨道半径R

由机械能守恒定律得：

1m3mv12m3mgR 2解得：v042gR ②若小球能通过圆形轨道的最高点

2(m3m)v2小球能通过最高点有：(m3m)g

R由机械能守恒定律得：

112(m3m)v122(m3m)gR(m3m)v2 22代入数值解得：v045gR 要使木板不会在竖直方向上跳起，木板对球的压力：F312mg

2(m3m)v3在最高点有：F3(m3m)g

R由机械能守恒定律得：解得：v082gR 112(m3m)v122(m3m)gR(m3m)v3 22综上所述为保证小球不脱离圆形轨道，且木板不会在竖直方向上跳起，子弹速度的范围是

v042gR或45gRv082gR

2．如图所示，水平长直轨道AB与半径为R=0.8m的光滑与半径为r=0.4m的光滑

1竖直圆轨道BC相切于B，BC41竖直圆轨道CD相切于C，质量m=1kg的小球静止在A点，现用4F=18N的水平恒力向右拉小球，在到达AB中点时撤去拉力，小球恰能通过D点．已知小球与水平面的动摩擦因数μ=0.2，取g=10m/s2．求： （1）小球在D点的速度vD大小； （2）小球在B点对圆轨道的压力NB大小； （3）A、B两点间的距离x．

【答案】(1)vD2m/s （2）45N (3)2m 【解析】 【分析】 【详解】

（1）小球恰好过最高点D，有：

2vDmgm

r解得：vD2m/s （2）从B到D，由动能定理：

mg(Rr)1212mvDmvB 22设小球在B点受到轨道支持力为N，由牛顿定律有：

2vBNmgm

RNB=N

联解③④⑤得：N=45N （3）小球从A到B，由动能定理：

Fx12mgxmvB 22解得：x2m

故本题答案是：(1)vD2m/s （2）45N (3)2m 【点睛】

利用牛顿第二定律求出速度，在利用动能定理求出加速阶段的位移，

3．光滑水平面AB与一光滑半圆形轨道在B点相连，轨道位于竖直面内，其半径为R，一个质量为m的物块静止在水平面上，现向左推物块使其压紧弹簧，然后放手，物块在弹力作用下获得一速度，当它经B点进入半圆形轨道瞬间，对轨道的压力为其重力的9倍，之后向上运动经C点再落回到水平面，重力加速度为g.求：

(1)弹簧弹力对物块做的功；

(2)物块离开C点后，再落回到水平面上时距B点的距离；

(3)再次左推物块压紧弹簧，要使物块在半圆轨道上运动时不脱离轨道，则弹簧弹性势能的取值范围为多少？ 【答案】(1)【解析】 【详解】

（1）由动能定理得W＝

（2）4R（3）

或

在B点由牛顿第二定律得：9mg－mg＝m解得W＝4mgR

（2）设物块经C点落回到水平面上时距B点的距离为S，用时为t，由平抛规律知 S=vct 2R=gt2

从B到C由动能定理得

联立知，S= 4 R

（3）假设弹簧弹性势能为ＥＰ，要使物块在半圆轨道上运动时不脱离轨道，则物块可能在圆轨道的上升高度不超过半圆轨道的中点，则由机械能守恒定律知 ＥＰ≤mgR

若物块刚好通过C点，则物块从B到C由动能定理得

物块在C点时mg＝m 则

联立知：ＥＰ≥mgR.

综上所述，要使物块在半圆轨道上运动时不脱离轨道，则弹簧弹性势能的取值范围为 ＥＰ≤mgR 或 ＥＰ≥mgR.

4．如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从B点脱离后做平抛运动，经过0.3s后又恰好与倾角为45的斜面垂直相碰．已知半圆形管道的半径为R1m，小球可看作质点且其质量为

0m1kg，g10m/s2，求：

（1）小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离； （2）小球通过管道上B点时对管道的压力大小和方向．

【答案】（1）0.9m；（2）1N 【解析】 【分析】

（1）根据平抛运动时间求得在C点竖直分速度，然后由速度方向求得v，即可根据平抛运动水平方向为匀速运动求得水平距离；

（2）对小球在B点应用牛顿第二定律求得支持力NB的大小和方向． 【详解】

（1）根据平抛运动的规律，小球在C点竖直方向的分速度 vy=gt=10m/s

水平分速度vx=vytan450=10m/s

则B点与C点的水平距离为：x=vxt=10m （2）根据牛顿运动定律，在B点

v2NB+mg=m

R解得 NB=50N

根据牛顿第三定律得小球对轨道的作用力大小N, =NB=50N 方向竖直向上 【点睛】

该题考查竖直平面内的圆周运动与平抛运动，小球恰好垂直与倾角为45°的斜面相碰到是解题的关键，要正确理解它的含义．要注意小球经过B点时，管道对小球的作用力可能向上，也可能向下，也可能没有，要根据小球的速度来分析．

5．如图所示，在竖直平面内固定有两个很靠近的同心圆形轨道，外圆ABCD光滑，内圆的上半部分B′C′D′粗糙，下半部分B′A′D′光滑．一质量m=0.2kg的小球从轨道的最低点A处以初速度v0向右运动，球的直径略小于两圆间距，球运动的轨道半径R=0.2m，取g=10m/s2．

（1）若要使小球始终紧贴着外圆做完整的圆周运动，初速度v0至少为多少？ （2）若v0=3m/s，经过一段时间小球到达最高点，内轨道对小球的支持力FC=2N，则小球在这段时间内克服摩擦力做的功是多少？

（3）若v0=3.1m/s，经过足够长的时间后，小球经过最低点A时受到的支持力为多少？小球在整个运动过程中减少的机械能是多少？（保留三位有效数字） 【答案】（1）v0=10m/s（2）0.1J（3）6N；0.56J 【解析】 【详解】

（1）在最高点重力恰好充当向心力

2mvC mgR从到机械能守恒

2mgR解得

1212mv0-mvC 22v010m/s

（2）最高点

'2mvC mg-FCR从A到C用动能定理

-2mgR-Wf得Wf=0.1J

1'212mvC-mv0 22（3）由v0=3.1m/s<10m/s于，在上半圆周运动过程的某阶段，小球将对内圆轨道间有弹力，由于摩擦作用，机械能将减小．经足够长时间后，小球将仅在半圆轨道内做往复运动．设此时小球经过最低点的速度为vA，受到的支持力为FA

mgR12mvA 22mvA FA-mgR得FA=6N

整个运动过程中小球减小的机械能

E得E=0.56J

12mv0-mgR 2

6．如图所示，质量m=3kg的小物块以初速度秽v0=4m/s水平向右抛出，恰好从A点沿着圆弧的切线方向进入圆弧轨道。圆弧轨道的半径为R= 3.75m，B点是圆弧轨道的最低点，圆弧轨道与水平轨道BD平滑连接，A与圆心D的连线与竖直方向成37角，MN是一段粗糙的水平轨道，小物块与MN间的动摩擦因数μ=0.1，轨道其他部分光滑。最右侧是一个

半径为r =0.4m的半圆弧轨道，C点是圆弧轨道的最高点，半圆弧轨道与水平轨道BD在D点平滑连接。已知重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。 （1）求小物块经过B点时对轨道的压力大小；

（2）若MN的长度为L0=6m，求小物块通过C点时对轨道的压力大小； （3）若小物块恰好能通过C点，求MN的长度L。

【答案】（1）62N（2）60N（3）10m 【解析】 【详解】

（1）物块做平抛运动到A点时，根据平抛运动的规律有：v0vAcos37 解得：vAv04m/s5m/s

cos370.8小物块经过A点运动到B点，根据机械能守恒定律有：

1212mvAmgRRcos37mvB 222vB 小物块经过B点时，有：FNBmgmR解得：FNB2vBmg32cos37m62N

R根据牛顿第三定律，小物块对轨道的压力大小是62N （2）小物块由B点运动到C点，根据动能定理有：

mgL0mg2r1212mvCmvB 222vCmgm

r在C点，由牛顿第二定律得：FNC代入数据解得：FNC60N

根据牛顿第三定律，小物块通过C点时对轨道的压力大小是60N

2vC（3）小物块刚好能通过C点时，根据mgm2

r解得：vC2gr100.4m/s2m/s

1212mvC2mvB 22小物块从B点运动到C点的过程，根据动能定理有：

mgLmg2r代入数据解得：L=10m

7．如图所示，轨道ABCD的AB段为一半径R＝0.2 m的光滑1/4圆形轨道，BC段为高为h＝5 m的竖直轨道，CD段为水平轨道．一质量为0.2 kg的小球从A点由静止开始下滑，到达B点时速度的大小为2 m/s，离开B点做平抛运动(g＝10 m/s2)，求：

(1)小球离开B点后，在CD轨道上的落地点到C点的水平距离； (2)小球到达B点时对圆形轨道的压力大小；

(3)如果在BCD轨道上放置一个倾角θ＝45°的斜面(如图中虚线所示)，那么小球离开B点后能否落到斜面上？如果能，求它第一次落在斜面上的位置距离B点有多远．如果不能，请说明理由．

【答案】(1)2 m (2)6 N (3)能落到斜面上，第一次落在斜面上的位置距离B点1.13 m 【解析】

①.小球离开B点后做平抛运动，

h12gt 2xvBt

解得：x2m

所以小球在CD轨道上的落地点到C的水平距离为2m ②.在圆弧轨道的最低点B，设轨道对其支持力为N

2vB由牛二定律可知：Nmgm

R代入数据，解得N3N

故球到达B点时对圆形轨道的压力为3N ③．由①可知，小球必然能落到斜面上

根据斜面的特点可知，小球平抛运动落到斜面的过程中，其下落竖直位移和水平位移相等

vBt12gt，解得：t0.4s 2则它第一次落在斜面上的位置距B点的距离为S2vBt0.82m．

8．如图1所示是某游乐场的过山车，现将其简化为如图2所示的模型：倾角θ=37°、L=60cm的直轨道AB与半径R=10cm的光滑圆弧轨道BCDEF在B处平滑连接，C、F为圆轨道最低点，D点与圆心等高，E为圆轨道最高点；圆轨道在F点与水平轨道FG平滑连接，

整条轨道宽度不计，其正视图如图3所示．现将一质量m=50g的滑块(可视为质点)从A端由静止释放．已知滑块与AB段的动摩擦因数μ1=0.25，与FG段的动摩擦因数μ2=0.5，sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g=10m/s2．

（1） 求滑块到达E点时对轨道的压力大小FN；

（2）若要滑块能在水平轨道FG上停下，求FG长度的最小值x；

（3）若改变释放滑块的位置，使滑块第一次运动到D点时速度刚好为零，求滑块从释放到它第5次返回轨道AB上离B点最远时，它在AB轨道上运动的总路程s． 【答案】（1）FN=0.1N（2）x=0.52m（3）s【解析】 【详解】

（1）滑块从A到E，由动能定理得：

93m 160mgLsinR1cos2R1mgLcos代入数据得：vE12mvE 230m/s 52vE 滑块到达E点：mgFNmR代入已知得：FN=0.1N

（2）滑块从A下滑到停在水平轨道FG上，有

mgLsinR1cos1mgLcos2mgx0

代入已知得：x=0.52m

（3）若从距B点L0处释放，则从释放到刚好运动到D点过程有：

mg[L0sin+R(1cos)R]1mgL0cos0

代入数据解得：L0=0.2m

从释放到第一次返回最高点过程，若在轨道AB上上滑距离为L1，则：

mgL0L1sin1mgL0L1cos0

解得：L1sin1cos1L0L0

sin1cos22同理，第二次返回最高点过程，若在斜轨上上滑距离为L2，有：

sin1cos11L2L1L1L0

sin1cos221故第5次返回最高点过程，若在斜轨上上滑距离为L5，有： L5L0

2所以第5次返回轨道AB上离B点最远时，它在AB轨道上运动的总路程

5sL02L12L22L32L4L593m 160

9．如图所示，光滑轨道槽ABCD与粗糙轨道槽GH通过光滑圆轨道EF平滑连接(D、G处在同一高度)，组成一套完整的轨道，整个装置位于竖直平面内。现将一质量m=1kg的小球从AB段距地面高h0=2m处静止释放，小球滑上右边斜面轨道并能通过轨道的最高点E点。已知CD、GH与水平面的夹角为θ=37°，GH段的动摩擦因数为μ=0.25，圆轨道的半径R＝0.4m，E点离水平面的竖直高度为3R（E点为轨道的最高点），（g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：

（1）小球第一次通过E点时的速度大小；

（2）小球沿GH段向上滑行后距离地面的最大高度；

（3）若小球从AB段离地面h处自由释放后，小球又能沿原路径返回AB段，试求h的取值范围。

【答案】（1）4m/s（2）1.62m；（3）h≤0.8m或h≥2.32m 【解析】 【详解】

（1）小球从A点到E点由机械能守恒定律可得：mgh03R解得：vE4m/s

o（2）D、G离地面的高度h12R2Rcos370.48m

12mvE 2设小球在CH斜面上滑的最大高度为hm，则小球从A点滑至最高点的过程， 由动能定理得mgh0hmmgcos37由以上各式并代入数据hm1.62m

hmh10 sin37（3）①小球要沿原路径返回，若未能完成圆周运动，则h2R0.8m

2vE②若能完成圆周运动，则小球返回时必须能经过圆轨道的最高点E，在E点，mgm

R此情况对应小球在CH斜面上升的高度为h，小球从释放位置滑至最高点的过程，根据动

能定理得：mghhmgcos37hh10 sin37小球从最高点返回E点的过程，根据动能定理得：

mgh3Rmgcos37由以上各式得h=2.32m

hh112mvE sin372故小球沿原路径返回的条件为h≤0.8m或h≥2.32m

10．如图所示，光滑水平轨道AB与光滑半圆形轨道BC在B点相切连接，半圆轨道半径为R，轨道AB、BC在同一竖直平面内．一质量为m的物块在A处压缩弹簧，并由静止释放，物块恰好能通过半圆轨道的最高点C.已知物块在到达B点之前已经与弹簧分离，重力加速度为g.求：

(1)物块由C点平抛出去后在水平轨道的落点到B点的距离； (2)物块在B点时对半圆轨道的压力大小； (3)物块在A点时弹簧的弹性势能． 【答案】（1）2R（2）6mg（3）【解析】 【分析】 【详解】

（1）因为物块恰好能通过C点，有：

2vCmgm

R5mgR 2物块由C点做平抛运动，有：

xvct，2R1gt2

2解得：

x2R

即物块在水平轨道的落点到B点的距离为2R

（2）物块由B到C过程中机械能守恒，有：

1212mvB2mgRmvC 22设物块在C点时受到轨道的支持力为F，有：

2vBFmgm

R解得：

F6mg

由牛顿第三定律可知，物块在B点时对半圆轨道的压力：

FF6mg

（3）由机械能守恒定律可知，物块在A点时弹簧的弹性势能为：

12Ep2mgRmvC

2解得：

Ep5mgR 2【点睛】

本题的关键要知道物块恰好过最高点所代表的含义，并会求临界速度，也要学会用功能关

系求弹性势能的大小．