工程力学第六章答案梁的变形

测试练习

1.

判断改错题

5-1-1 梁上弯矩最大的截面,挠度也最大,弯矩为零的截面,转角亦为零. （ ）

5-1-2 两根几何尺寸、支承条件完全相同的静定梁，只要所受荷栽相同，则两梁所对应的截面的挠度及转角相同，而与梁的材料是否相同无关。 （ ）

5-1-3 悬臂梁受力如图所示，若A点上作用的集中力P在AB段上作等效平移，则（ ）

5-1-4 图示均质等直杆（总重量为W），放置在水平刚性平面上，若

A截面的转角及挠度都不变。

A端有一集中力P作用，使AC部分被提起，CB部分仍与刚性平面贴

P 合，则在截面C上P剪 力和弯矩均为零A 。 （ ） B

A C B

题5-1-3图

题5-1-4图

5-1-5 挠曲线近似微分方程不能用于求截面直梁的位移。 （ ）

5-1-6 等截面直梁在弯曲变形时，挠度曲线的曲率最大值发生在转角等于零的截面处。

（ ）

5-1-7两简支梁的抗刚度EI及跨长2a均相同，受力如图所示，则两

梁跨中截面的挠度不等而转角是相等的。 （ ）

5-1-8 简支梁在图示任意荷载作用下，截面C产生挠度和转角，若在跨中截面C又加上一个集中力偶M0作用，则梁的截面C的挠度要改变，而转角不变。 ( )

2A q a

C a

题5-1-7图

q B A a

q(C q a

B A x) l/C P l/B 5-1-82 2题 图

5-1-9 一铸铁简支梁，在均布载荷作用下，当其横截面相同且分别

按图示两种情况放置时，梁同一截面的应力及变形均相同。 （ ）

5-1-10 图示变截面梁，当用积分法求挠曲线方程时，因弯矩方程有

三个，则通常有6个积分常量。

（ ）

q P 题5-1-9图

题5-1-10图

q 2．填空题

5-2-1 挠曲线近似微分方程y\"(x)和 。

M(x) 的近似性表现在 EI5-2-2 已知图示二梁的抗弯度EI相同，若使二者自由端的挠度相等，则

P1 。 P2P1

P2 2

a

题5-2-2图

a

5-2-3 应用叠加原理求梁的变形时应满足的条件是： 。 5-2-4 在梁的变形中挠度和转角之间的关系是 。

5-2-5 用积分法求图示的外伸梁（BD为拉杆）的挠曲线方程时，求解积分常量所用到的边界条件是 ，连续条件是 。

5-2-6 用积分法求图示外伸梁的挠曲线方程时，求解积分常量所用到边界条件是 ，连续条件是 。 5-2-7 图示结构为 次超静定梁。

A y

D EP

x B C

l Al /题5-2-5

C a

A l

B x P 题5-2-7图

2

题5-2-6图

图

5-2-8 纯弯曲梁段变形后的曲率与外力偶矩M的关系为 ，其变形曲线为 曲线。

5-2-9 两根EI值相同、跨度之比为1：2的简支梁，当承受相同的均布荷载q作用时，它们的挠度之比为 。

5-2-10 当梁上作用有均布荷载时，其挠曲线方程是x的 次方程。梁上作用有集中力时，挠曲线方程是x的 次方程。梁上作用有力偶矩时，挠曲线方程是x的 次方程。

5-2-11 图示外伸梁，若AB段作用有均布荷载，BC段上无荷载，则

AB段挠曲线方程是x的 次方程；BC段挠曲线方程是x的

次方程。

q A 题5-2-11

B C

5-2-12 减小梁变形的主要途径有： ， ， 。

图

Px2(3lx)，5-2-13 已知梁的挠度曲线方程为y(x)则该梁的弯矩方6EI程为 。

5-2-14 梁的变形中，挠度和截面弯矩M的关系是 ,挠度和截面剪力Q的关系是 。

5-2-15 为使图示AB段的挠曲线为一直线，则x= 。 5-2-16 要使图示简支梁的挠曲线的拐点位于距A端l/3处，则

M1:M2= 。

5-2-17 图示静定梁，其BD上无荷载作用，若已知B截面的挠度yB,则C截面的挠度yC= ，D截面的转角θD= 。

P A B x

l

题

P C D a

A M1 l/题

B M2

3l/2

A B a

题

a C a

D

5-2-15图

3

5-2-16图

5-2-17图

3．选择题

5-3-1 简支梁长为l，跨度中点作用有集中力P，则梁的最大挠度

f=( ) （EI=常量）

5Pl5Pl3Pl3Pl4 A. B. C. D.

384EI3EI48EI48EI5-3-2 悬臂梁长为l，梁上作用有均布荷载q，则自由端截面的挠度为。 ( )

ql4ql3ql4ql3 A. B. C. D.

8EI8EI6EI6EI5-3-3 两梁尺寸及材料均相同，而受力如图示，则两梁的

A． 弯矩相同，挠曲线形状不相同

B． 弯矩相同，挠曲线形状相同

C． 弯矩不相同，挠曲线形状不相同

D． 弯矩不相同，挠曲线形状相同

5-3-4 图示(a)、(b)两梁，长度、截面尺寸及约束均相同，图(a)梁的外力偶矩作用在C截面，图(b)梁的外力偶矩作用在B支座的右作侧，则两梁AB段的内力和弯曲变形的比较是 ( )。

A。内力相同，变形不相同

B．内力及变形均相同 C．内力及变形均不相同 D．内力不相同，变形相同 (a

A l A l

B C M0

a B M0 C a

M0=Pl

)

l P

图

(b)

l

题5-3-3

题5-3-4图

5-3-5 当用积分法求图示梁的挠度曲线方程时，在确定积分常量的四个条件中，除x=0,

θA

=0;x=0,yA=0外，另两个条件是

( ) 。

A．（yc）左= (yc)右，（θC）左=（θC）右 B．（yc）左= (yc)右，yB=0 C．yC=0，yB=0 D．yB=0，θC=0

5-3-6 图示简支梁在分布荷载q（x）=f（x）作用下，梁的挠度曲

线方程为EIy(x)M(x)dxdxCxD,，其中，积分常量 ( )。

A.C0,D0 B.C0,D0 C.C0,D0 D.C0,D0

q A y

C M0 B x

A y

题5-3-6

q(B x)

题5-3-5

图 图

5-3-7 挠曲线方程中的积分常梁主要反映了

A． 对近似微分方程误差的修正

B． 剪力对变形的影响

C． 约束条件对变形的影响

D． 梁的轴向位移对变形的影响

5-3-8 图示悬臂梁在B、C两截面上各承受一个力偶矩作用，两力偶

矩大小相等，转向相反，使梁产生弯曲变形。B截面的变形为 ( )。

A．y0,0 B. y0,0 C．y0,0 D。y0,0

B M0 M0 C 题5-3-8

图

5-3-9 图示简支梁受集中力作用，其最大挠度f发生在（ ）。

A．集中力作用处 B。跨中截面 C．转角为零处 D。转角最大处

5-3-10 两简支梁EI及l均相同，作用荷载如图所示。跨中截面C分别产生挠度yC和转角θC,则两梁C点的挠度及两梁C点的转角有 （ ）。

A．θC相等，yC不相等 B。θC不相等，yC相等 C．θC和 都不相等 D。θC和yC都相等

q A C l

B

题5-3-10图

A C l

2q B

4．计算题

5-4-1 试画出图示各梁挠曲线的大致形状。

M0 l/P2 (a

M0 l/a

q l

(b

P l/P la

l(cP l) P 2 q ) la a

d(

a

//) P 3 3 3 l/l/2 (f2

)

)

(e

/题5-4-1/) 2 图 2

5-4-2 一简支梁承受图示分布荷载q=Kx2（K为已知），试求此梁的挠曲线方程（设EI=常量）。

5-4-3 已知图示梁的带积分常量的挠曲线方程为

3ql22ql31EIy1(x)x1x1C1x1D1(0x1)16122

3ql22ql3qlEIy2x2x2(x2)4C2x2D21612242l(x2l)2

试求方程中的积分常量。

5-4-4 试用叠加法求图示梁B点的挠度和转角。（EI=常量）

q(x)=KA x2 B x

A y lC lq B x

P=qA Cl ll题//5-4-4

q

B

y 题5-4-2

题//5-4-3

图 图 图 2 2 2 5-4-5 外伸梁受图示荷载作用，试求C截面的挠度和A截2面的转角。（EI=常量。）

5-4-6 矩形截面梁AB的抗弯刚度为EI，受力如图示。试问B端支座向上抬高Δ为多少时，梁的A截面的弯矩和C截面的弯矩绝对值相等。（材料的抗拉与抗压性能相同）

5-4-7 图示弯曲的钢板梁AB，截面为矩形，宽度为b，高度为h，

钢板放在刚硬地面上时原有曲率半径为ρ，在两端受力P作用使其平直，则将有均布压力作用于刚硬地面C-C上。已知刚梁E（弹性模量），试求所需的P力及其在压平时梁内的最大正应力。

A

M0=ql/2

l

图

2B A C l/2

l/2

P C l/2

B Δ

P C δ l

题5-4-7图

P C

题5-4-5

题5-4-6图

5-4-8 长度为l、抗弯刚度为EI的悬臂梁AB，受均布荷载q作用而弯曲时，与半径为r的刚性圆柱面接触，如图所示。试求当梁上某一段AC与刚性圆柱面在C点接触（假设C点与梁左端A的距离为x）时，B点的挠度。

5-4-9 单位长度重量为q、抗弯刚度为EI的矩形截面钢条，放置在水平刚性面上，刚条的一端伸出水平面一小段CD，如图所示。若伸出长度为a，试求刚条翘起而不与水平面接触的CD段的长度b。 5-4-10 超静定梁如图所示，AB段内作用有均布荷载q，当C支座向

ql4下沉陷时，试求梁的反力。

96EI q A Bx q A B C b

a

A D

l

BC Δ

C r l题5-4-8图

题5-4-9图

题5-4-10/图

2

5-4-11 矩形截面悬臂梁如图所示，梁长为l，在沿其截面高度h承受非均匀加热，设梁顶部温度改变为t1，底部温度改变为t2，且t2>t1。温度沿截面高度呈线形改变。材料的线膨胀系数为a，弹性模量为E,由于不均匀受热而使梁发生弯曲变形，当梁的悬臂端施加偶矩M0时，能使梁展直。问应施加多大的外力偶矩

A 题

t1 t2 l

M0 B b h

5-4-11

若AB梁和CD梁的抗弯刚度EI相等，试求在下列两种情况下C点的挠度.

(1) 当BC杆为刚性杆,即EA= 时；

(2) 当BC杆长为

lEI，EI2时。 2lA P l/C ED l l/l/2

I 题2 2

5-4-12图

B8 5-4-12 悬臂梁AB和图CD 的自由端处用拉杆BC相连,受力如图所示,

A EI l

B C P l/2

l/l/2 2

5-4-13 AB与BC两梁铰接于B，如图所示。已知两梁的抗弯度相等，

P=40kN/m,，试求B点的约束力。

5-4-14 悬臂梁和简支梁材料和截面均相同。已知E及未受力前AB梁B点与CD梁中点之间的间隙Δ（垂直距离），如图所示，当受P力后AB梁在B点的挠度大于Δ，试求各梁的支座反力。

5-4-15 具有初始挠度的AB梁如图所示，梁的EI和l均为已知。当梁上作用有三角形分布荷载时（q0已知），梁便呈直线形状。试求梁的初始挠曲线方程。

A

l q A B P C P q0 A y

题

4m 2m 2m 题

B Δ D C l/l/h

2 b

2

B l

xx

5-4-155-4-13

5-4-16 试根据对称性求图示梁的挠曲线方程。EI=常量

图 图

5-4-17 两端固定的等截面梁，梁上作用一外力偶矩M0 ，如图所示。欲使在固定端A的反力偶矩MA为零，则力偶矩M0应作用在梁上何位置（即x =）

A

l/2

题

M0 C l/2

B

A

M0 x 题5-4-17图

C l

B

5-4-16

测试练习解答题

图 5-1． 判断改错题

4-

5-1-1 ×。1挠4度和转角不仅与弯矩有关，而且与边界位移条件也有关，例如，当图悬 臂梁自由端作用有集中力P时，自由端的M=0，但挠度和转角都是最大值。

题

5-1-2 ×。5-凡弹性变形均与材料的弹性模量值有关。

4-5-1-3 √。外力在研究的梁段以外，用等效力系代替不影响研究段

9

的内力及变形。

解5-1-4 ×。图在 C截面上弯矩为零而剪力不为力零。 5-1-5 ×。 可以用于变截面梁，只是分母中的Iz不同。

,可知曲率最大值应在M最大的5-1-6 ×。根据y\"(x)EI8

1M(x)1截面处（EI=常量时）。

5-1-7 √。若将2q分解成正对称和反对称两组，就可明显看出，在

正对称的q作用下C点有挠度，转角等于零。

5-1-8 ×。在C截面加上一力偶矩后C截面的挠度不变，而转角改变。

5-1-9 ×。应力不同，变形相同。因为变形只与Iz有关，而T形截面无论┬是┴还是，其惯性矩Iz是相等的。而应力不仅与Iz有关而且还与ymax（上下边缘到中性轴的距离）有关，┬这种方法的最大拉应力比┴这种方法的最大拉应力要大。

5-1-10 ×弯矩方程式有三个，但积分时要分成四段，因截面改变处要分段。 2．填空题

5-2-1 忽略剪力Q的影响；1(y')1

P1a3P2(2a)3P1(2a)35-2-2 8。因，所以38 3EIa3P2a5-2-3 小变形及材料为线弹性 5-2-4 y'(x)(x) 5-2-5 x0,yA0xl,5-2-6

yA0,yB0;yBlBD;

(1)A(2)A,(y1)Ay2)A

5-2-7

二次

1M；圆弧线 EI5-2-8

5q(l)45q(2l)4/1/16 5-2-9 1：16。因

384EI384EI5-2-10 4；3；2

5-2-11 4；1

5-2-12 合理安排受力，减小M ；减小l；加大EI

5-2-13 M(x)P(lx) 5-2-14 y\"(x)5-2-15 l-a 5-2-16 1/2

5-2-17 yCyB/2a 3．选择题

5-3-1 A 5-3-2 C 5-3-3 A 5-3-4 B 5-3-5 B 5-3-6 D 5-3-7 C 5-3-8 D 5-3-9 C 5-3-10 B 4 计算题

12M(x);EIy'''(x)Q(x) EI5-4-2 梁的挠曲线方程为

Kl3（1） 求分布荷载的合力 Pq(x)dx

03tq(x)dxx3l 求合力作用点到点的距离：d0tP4PKl33PKl3,RB（2） 求反力：RA 41244Kx3x （3） 列M(x)RAx34Kl5M(x),D0 （4） 代入y中并积分，由边界条件确定C90EI\"所以 y(x)Kx(5l3x2x54l5)

360EI5-4-3 （1）边界条件：

x10,y'110,解出C10

x10,y10,，解出D10

（2）连续光滑条件： x1x2, x1x2,l2l2(y'1)C(y'2)C,解出 C20 (y1)C(y2)C,，解出D20

ql3ql4,(yB)q5-4-4 （1）只有q作用时，(B)q 6EI（2）只有P=ql作用时:

P(l)2(B)PC)P22EI,

P(l)3P(l2)2(y)llBP(yC)P(C)P223EI2EI2（3）然后两者叠加：

B(7ql3B)q(B)P24EI

y11ql4B(B)q(B)P48EI

5-4-5

（1）只有

M012ql2(M0lA)M03EI(),yC(lM0B)M02()

（2）只有q作用时，(1ql2)l(A)q86EI( )

(1ql2)l q(l)4(ylC)q823EI28EI( )

（3）叠加：

8EI作用，

时7ql3A(A)M0(A)q,48EI 45qlyC(yC)M0(yC)q()384EI5-4-6 （1）将B约束解除，用反力RB代替。

（2）由A、C两截面的弯拒绝对值相等可列方程RBlPRBl，解出RBP() 3P作用下，求B点的挠度。 312l2（3）在 P和RBllP()3P()2RBl3l22[] 3EI2EI23EI

Pl3(负号表示向上)144EI

5-4-7 这是一个求变形和应力的综合题。

（1）

求压力P：依题意，当两端加上力P后使其平直且在C-C面上产生均布压力q，因此可以将其简化为两端铰支的简支梁，其反力均为P，C-C面上的均布压力q2P。 l5ql4，解（2） 简支梁在均布压力q作用下中点的挠度等于δ，

384EI出P16Ebh3() 5l18Mmax24Eh 2Wz5l (3) Mmaxql2,max5-4-8 当q=0 时，AB梁上没有外力，梁轴线平直，A端曲率为零。当荷载q由0增加，到q0时，梁A端的弯矩为q0l2，A端曲率即有

12ql1M(x)20 ,rEIEI

121A1，r得q02EI 2rl当qq0 时，梁上某一段AC与刚性面接触，C点端曲率为

1q(lx)2112(x)rEI,

解得 xl2EI qr(2) B点的挠度包括三部分，即

yB(yB)1(yB)2(yB)3

x212EI2 ① (yB)1 为C点的挠度(yB)1(l)

2r2rqr ② (yB)2为C点的转角引起B点的挠度(yB)2(l1r2EI2EI )qrqr ③ (yB)3为CD段当作悬臂梁在q作用下B点的挠度

qEI(lx)4 8EL2qr2 (yB)3 ④ 以上三种挠度叠加，即为点B的挠度yB1EI(l2) 2rqr5-4-9 由于AB段平直，所以B点的弯矩、转角及挠度均等于零。B点和C点与刚性平面接触，简化为铰支座，则BCD端简化为外伸臂梁。在该梁上作用有均布荷载q(自重)但要满足B0的条件，如图（a）所示。求θB时，可取BC为简支梁，而CD上的均布力向C点平移得一集中力qa和一力偶矩M0qa2，如图（b）所示。根据θ=0的条件求解b，即

12(qa)bqb320 2EI6EI12 B(B)q(B)M0解出 b2a

B C D

B b

qa2/2

5-4-10 这是一个在外力作用及有支座位移下的一次超静定问题。将

C约束解除，用约束力RC代替，成为基本结构。变形协调条件是

ql4yC（向上）。

96EI3RCl3ql4在q和RC共同作用下求出yC ，并将其代入变形协调方48EI24EI程，解出RC1ql()，然后根据平衡方程求出12115RAql(),RBql(). ， 。

248RA、RB即

5-4-11 梁在不均匀温度的变化下，发生弯曲和伸长变形，由于t2>t1，所以轴线以上伸长少，而轴线以下伸长大，使梁发生凸向下的弯曲变形，B点有向上的挠度，设为(ΔB) t 。在梁的自由端上作用力偶矩

M0 后，能使变形展直，B点又回到原水平位置，设M0作用下B点的挠

度为(B)M。由(ΔB) t= (B)M，变形条件可以解出M0值。其中

00M0l2a(t2t1)l2(B)t,(B)M02h2EI，代入变形条件中解得

M0a(t2t1)EI。

h5-4-12 （1）当杆BC的EA= 时，杆不变形，将BC杆切短，用RBC代替其约束，取基本结构。变形协调条件为yB=yc(↓) ，解出

RBCRBCl35Pl35P,则yCyB 。 323EI96EI（2）当EAEA 时，杆BC有伸长变形，同样将BC杆切段，用RBC 代2l替，取基本结构。这时的变形协调条件为

yCyBlBC,lBCRBCl33Rl5P25Pl2BC ，解出 R,yCBC56336EIEA2EI。

5-4-13 这是一个二次超静定问题。若不计杆的轴向变形，则结构无水平约束力，将该问题简化为B铰只有一个垂直约束力为未知数的结构。在B铰处切断，用约束力RB代替，取出基本结构，并根据B点的

变形协调条件建立补充方程(yB)AB=(yB)BC

q44RB44,8EI3EI 432P2R4P2B23EI2EI3EI(yB)AB

(yB)BC 代入变形协调方程求出 R=

5-4-14 因为AB梁点的挠度大于Δ，因此在P作用下AB梁与CD梁共同受力，成了一次超静定问题。若将两梁拆开，约束反力R分别作用在梁上，则成为基本结构。变形协调方程为(yB)AB(yB)CD

(PR)l3Rl3,(yB)CD ，

3EI48EI将 (yB)AB代入变形协调方程解出R反力，

RCRD1648EIP，并由平衡条件求个梁的约束31717lR,RAPR,MA(PR)l. 25-4-15 （1）将A端的约束反力用MA 、RA表示； （2）列出弯矩方程M(x)MARAxq0x2（3）代入挠曲线近似微分方程并积分；

(4)根据A端的位移边界条件求出 C=0,D=0 ;

(5)根据B端的边界条件，即 x=l 时，M=0 （即 y” =0）；x=l时，

121q0x3 6lyB=0解出 MA12q0l2,RAq0l ； 155q0x2(4l38l2x5lx2x3) 。 (6)最后的出初始挠度曲线方程 y120lEI5-4-16 结构为对称，而外力M0为反对称。若将结构取出一半（如取左边一半），则成为A端为固定端、C端为铰支座的单跨超静定梁。在C截面上作用有力偶矩

M0l，AC段的长度为。只要解出22AC梁的

挠度方程即可，CB段的挠度曲线与AC段组成反对称的挠度曲线，

1M02M03(xx). 4EI2ly(x)5-4-17 若不计梁AB的轴向变形，这是一个二超静定问题。将A固定端解除用约束反力RA、MA =0,代替，并由A点的θA=0、y=0的变形条件建立两个补充方程，并令MA=0，求出x。

l3