2020届高考数学(理)一轮必刷题 专题58 随机事件的概率与古典概型(解析版)

考点58 随机事件的概率与古典概型

118

1．设事件A，B，已知P(A)＝，P(B)＝，P(A∪B)＝，则A，B之间的关系一定为( )

5315A．两个任意事件 C．非互斥事件 【答案】B

118

【解析】因为P(A)＋P(B)＝＋＝＝P(A∪B)，所以A，B之间的关系一定为互斥事件．

5315

2．小明从某书店购买5本不同的教辅资料，其中语文2本，数学2本，物理1本．若将这5本书随机并排摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是( ) 1A. 53C．

5【答案】B

22

【解析】语文、数学只有一科的两本书相邻，有2A22A2A3＝48种摆放方法；语文、数学两科的两本书都相235邻，有A22A2A3＝24种摆放方法；而五本不同的书排成一排总共有A5＝120种摆放方法．故所求概率为1－

B．互斥事件 D．对立事件

2

B．

D． 5

48＋242

＝.故选B. 1205

3．做抛掷两颗骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示第一颗骰子正面朝上的点数，y表示第二颗骰子正面朝上的点数，则x＋y＞10的概率是( ) 2A. 51C．

6【答案】D

【解析】(x，y)的所有基本事件共有6×6＝36(个)，事件“x＋y＞10”包含(5,6)，(6,5)，(6,6)，共3个基本事件．根1

据古典概型的概率计算公式可知，x＋y＞10的概率是.故选D.

12

4．某校食堂使用除面值外，大小、手感完全一样的餐票，某同学口袋中有2张一元餐票，3张两元餐票，1张五元餐票，他从口袋中随机摸出2张餐票，则这2张餐票的面值之和不少于4元的概率为( ) 7A. 153C．

5【答案】B

【解析】该同学从口袋中随机摸出2张餐票，总的基本事件数是C26＝15，若这2张餐票的面值之和不少于4元，则这2张餐票为2张两元的或1张两元的、1张五元的或1张一元的、1张五元的，包含的基本事件

8

B．

152D． 35B．

121D．

12

1111

数为C2根据古典概型的概率计算公式可知，这2张餐票的面值之和不少于4元的概率为3＋C3C1＋C2C1＝8，

8. 15

5．在2,0,1,5这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为( ) 3A. 41C．

2【答案】C

【解析】由题意可知，共有(0,1,2)，(0,2,5)，(1,2,5)，(0,1,5)4种取法，符合题意的取法有2种，故所求概率1P＝.

2

6．一袋中装有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从袋中一次性随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为( ) 3A. 52C．

3【答案】D

【解析】从袋中一次性随机摸出2只球的所有可能情况有C24＝6(种)，设“这2只球颜色不同”为事件N，这

111112只球颜色可能为1白1红，1白1黄，1红1黄，事件N包含的情况C11C1＋C1C2＋C1C2＝5(种)，故这2

5

B．

81D． 4

4B．

55D． 6

5

只球颜色不同的概率P(N)＝.

6

7．袋子中装有大小相同的5个小球，分别有2个红球、3个白球．现从中随机抽取2个小球，则这2个小球中既有红球也有白球的概率为( ) 3A. 44C. 5【答案】D

【解析】设2个红球分别为a，b,3个白球分别为A，B，C，从中随机抽取2个，则有(a，b)，(a，A)，(a，B)，(a，C)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，共10个基本事件，其中既有红球也有白63

球的基本事件有6个，则所求概率为P＝＝. 105

8．从集合A＝{－3，－2，－1,2}中随机选取一个数记为k，从集合B＝{－2,1,2}中随机选取一个数记为b，则直线y＝kx＋b不经过第四象限的概率为( ) 1A. 12

1B．

67B．

103D． 5

1C．

4【答案】B

1D． 2

【解析】根据题意可知，总的基本事件(k，b)共有4×3＝12个，直线y＝kx＋b不经过第四象限，则k＞0，b＞0，包含的基本事件有(2,1)，(2,2)，共2个，根据古典概型的概率计算公式可知直线y＝kx＋b不经过第四21

象限的概率P＝＝.故选B.

126

9．已知向量a＝(x，y)，b＝(1，－2)，从6张大小相同，分别标有号码1,2,3,4,5,6的卡片中，有放回地抽取两张，x，y分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足a·b＞0的概率是( ) 1A. 121C．

5【答案】D

【解析】设(x，y)表示一个基本事件，则两次抽取卡片的所有基本事件有6×6＝36个．a·b＞0，即x－2y＞0，61

满足x－2y＞0的基本事件有(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(5,2)，(6,2)，共6个，所以所求概率P＝＝.故选

366D.

10．有10件产品，其中有2件次品，每次抽取1件检验，抽检后不放回，共抽2次．事件“抽到1件正品，1件次品”发生的概率是( ) 32A. 811C．

2【答案】D

【解析】由题意知，这10件产品中有2件次品，8件正品，每次抽取1件，抽检后不放回，共抽2次，共

211

有A210＝90种情况，其中事件“抽到1件正品，1件次品”包含的情况有A2C8C2＝32种情况，根据古典概型

3

B．

41D． 6

5B．

1216D．

45

3216

的概率计算公式知，事件“抽到1件正品，1件次品”发生的概率P＝＝.

9045

11．如图，在A，B两点间有6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1,1,2,2,3,4，现从中任取三条且使每条网线通过最大信息量，则选取的三条网线由A到B可通过的信息总量为6的概率是( )

1A. 4

1B．

3

1C．

2【答案】A

2D． 3

【解析】设这6条网线从上到下分别是a，b，c，d，e，f，任取3条有：(a，b，c)，(a，b，d)，(a，b，e)，(a，b，f)，(a，c，d)，(a，c，e)，(a，c，f)，(a，d，e)，(a，d，f)，(a，e，f)，(b，c，d)，(b，c，e)，(b，c，f)，(b，d，e)，(b，d，f)，(b，e，f)，(c，d，e)，(c，d，f)，(c，e，f)，(d，e，f)，共20个不同的取法，选取的三条网线由A到B可通过的信息总量为6的取法有：(a，b，f)，(a，c，e)，(a，d，e)，(b，c，e)，1

(b，d，e)，共5个不同的取法，所以选取的三条网线由A到B可通过的信息总量为6的概率是. 4

1

12．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的

3一个数，则该函数有两个极值点的概率为( ) 7A. 95C．

9【答案】D

【解析】对函数f(x)求导可得f ′(x)＝x2＋2ax＋b2，要满足题意需x2＋2ax＋b2＝0有两个不等实根，即Δ＝4(a2－b2)＞0，即a＞b.又(a，b)的取法共有9种，其中满足a＞b的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共626种，故所求的概率P＝＝. 93

13．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b，b＜c时，称该三位自然数为“凹数”(如213,312等)．若a，b，c∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是( ) 1A. 61C．

3【答案】C

【解析】由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321，共6个；同理由1,2,4组成的三位自然数共6个；由1,3,4组成的三位自然数也是6个；由2,3,4组成的三位自然数也是6个．所以共有6＋6＋6＋6＝24(个)．当b＝1时，有214,213,314,412,312,413，共6个“凹数”；当b＝2时，有324,423，共2个“凹数”．所6＋21

以这个三位数为“凹数”的概率P＝＝.

243

π0，14．记连续投掷两次骰子得到的点数分别为m，n，向量a＝(m，n)与向量b＝(1,0)的夹角为α，则α∈4的概率为( ) 5

A. 18

5B．

125B．

247D．

241B．

32D． 3

1C．

2【答案】B

7D．

12

【解析】由题意知，向量a＝(m，n)共有6×6＝36(个)，其中满足向量a＝(m，n)与向量b＝(1,0)的夹角α∈

0，π，即n＜m的(m，n)可根据n的具体取值进行分类计数：第一类，当n＝1时，m有5个不同的取值；4

第二类，当n＝2时，m有4个不同的取值；第三类，当n＝3时，m有3个不同的取值；第四类，当n＝4时，m有2个不同的取值；第五类，当n＝5时，m有1个取值．因此满足向量a＝(m，n)与向量b＝(1,0)π1550，的(m，n)共有1＋2＋3＋4＋5＝15(个)，所以所求概率为＝. 的夹角α∈43612

15．在所有的两位数10～99中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是________． 2

【答案】 3

【解析】所有两位数共有90个，其中2的倍数有45个，3的倍数有30个，6的倍数有15个，所以能被2602

或3整除的共有45＋30－15＝60(个)，所以所求概率是＝.

903

a11a12a13

16．在三行三列的方阵a21a22a23



a31a32a33

3A. 71C． 14【答案】D



中有9个数a(i＝1,2,3，j＝1,2,3)，从中任取3个数，则这3个数中

ij



4B．

713D．

14

至少有2个数位于同行或同列的概率是( )

11C19C4C43

【解析】从9个数中任取3个数共有C9＝84种不同的取法．若3个数中有2个数位于同行或同列，则有2A2

＝72种不同的取法，若3个数均位于同行或同列，则有6种不同的取法．设事件M为“这3个数中至少有2个数位于同行或同列”，则事件M包含的取法共有72＋6＝78(种)，根据古典概型的概率计算公式得P(M)＝7813

＝.故选D. 8414

1

17．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为“出现奇数点”，事件B为“出现2点”，已知P(A)＝，P(B)

21

＝，则“出现奇数点或2点”的概率为________． 62

【答案】 3

112

【解析】因为事件A与事件B是互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.

263

18．为了庆祝青年节，某书店制作了3种不同的精美卡片，每本书中随机装入一张卡片，集齐3种卡

片可获奖，现某人购买了5本书，则其获奖的概率为________． 50

【答案】 81

【解析】“获奖”即每种卡片至少一张，而5＝1＋1＋3＝1＋2＋2，有3种卡片，购买5本书，基本事件总数

13122

3C15C4C3＋3C5C4C250

为3，故所求概率为＝.

3581

5

19．同时掷两枚质地均匀的骰子． (1)向上的点数相同的概率为________； (2)向上的点数之和小于5的概率为________． 11

【答案】(1) (2)

66

61

【解析】(1)同时掷两枚骰子共有36种情况，其中向上点数相同的有6种情况，其概率为＝；

36661

(2)向上点数之和小于5的有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6种情况，其概率为＝.

36620．高一年级某班有63名学生，现要选一名学生标兵，每名学生被选中是等可能的，若“选出的标兵是女10

生”的概率是“选出的标兵是男生”的概率的，则这个班的男生人数为________．

11【答案】33

【解析】由题意可设该班的男生人数为x，则女生人数为63－x，因为每名学生被选中是等可能的，根据古63－x63－xx

典概型的概率计算公式知，“选出的标兵是女生”的概率是，“选出的标兵是男生”的概率是，故636363＝

10x

×，解得x＝33，故这个班的男生人数为33. 1163

21．某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39,32,33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．

现随机选取一个成员，他属于至少2个小组的概率是________，他属于不超过2个小组的概率是________． 313【答案】

515

【解析】“至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况，故他属于至少2个小组的概率为P＝11＋10＋7＋83

＝.

6＋7＋8＋8＋10＋10＋115

“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，其对立事件是“3个小组”．故他属于不超过2个小组的概率

是

813

P＝1－＝.

6＋7＋8＋8＋10＋10＋1115

22．从2本不同的数学书和2本不同的语文书中任意抽出2本书(每本书被抽中的机会相等)，求抽出的书是同一学科的概率．

【解析】从2本不同的数学书和2本不同的语文书中任意抽出2本书共有6种不同的取法，其中抽出的书21

是同一学科的取法共有2种，因此所求的概率等于＝.

63

23．(2018郑州质量预测)在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1,2,3,4,5.甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，再将该小球放回箱子中摇匀后，乙从该箱子中摸出一个小球．

(1)若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局)，求甲获胜的概率； (2)若规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6，则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？

【解析】用(x，y)(x表示甲摸到的数字，y表示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构成的基本事件，则基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25个．

(1)设甲获胜的事件为A，则事件A包含的基本事件有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，102(5,3)，(5,4)，共10个．则P(A)＝＝.

255

(2)设甲获胜的事件为B，乙获胜的事件为C.事件B所包含的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，共10个． 1023则P(B)＝＝，所以P(C)＝1－P(B)＝.

2555因为P(B)≠P(C)，所以这样规定不公平．