高中解析几何中的定点定值问题

前言：2013年的辽宁高考将会更加青睐于对抛物线的考查，尤其是抛物线的切线问题（将抛物线方程改写成函数，通过求导从而求出切线方程，以简化运算）。在本专题中出现的某些结论大家尽可能去记忆，对今后圆锥曲线的解题会有很大帮助。

1.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点。 （1）证明：A,B两点的横纵坐标之积均为定值； （2）设直线AB的倾斜角为α,AB=

2p

； sin2α

（3）证明以AB为直径的圆与准线相切；

（4）以AB为直径的圆与准线相切于点M，求证：MF⊥AB；

（5）设A在准线上的射影为P，B在准线上的射影为Q，求证：∠PFQ为直角； （6）设A在准线上的射影为P，B在准线上的射影为Q,求证：

11 + 为定值。 |AP||BQ|

2.直线l与抛物线交于A,B两点，若OA⊥OB. （1）求证：直线AB恒过定点；

（2）求证：O在l上的射影H的轨迹与抛物线无公共点； （3）求AB中点P的轨迹方程。

3.直线l与抛物线x2=2py(p>0)交于A.B两点，若直线l恒过定点M(0,p) 11

求证：2 + 2 为定值。

|AM||BM|

4.直线l与抛物线交于A,B两点，过A点做抛物线的切线m，过B点做抛物线的切线n，若l恒过抛物线的焦点。

求证：m与n的交点轨迹为此抛物线的准线。

5.在抛物线y2=2px(p>0)上有一点A，F为焦点，B为x轴负半轴上的一点，若|AF|=|BF| 求证：AB为抛物线的切线。

6.求证：平行于抛物线对称轴的光线经抛物线反射后过抛物线的焦点。 （抛物线的光学性质）

7.过抛物线的焦点F的一条直线与它交于A,B两点，过点A和此抛物线的顶点的直线交准线于点M，求证：直线MB平行于此抛物线的对称轴。

xy

8.椭圆 2 + 2 =1(a>b>0)上有一定点M(m,n),M不是椭圆的定点，过M做直线交椭圆于A

ab点，做直线MB交椭圆于B点，若MA,MB的倾斜角互补。

2

2

求证：直线AB的斜率为定值。

x2y2α2

9.求证：椭圆2 + 2 =1(a>b>0)的焦点三角形面积为 btan ab2(α为两条焦半径的夹角)

x2y2

10. 已知椭圆2 + 2 =1 (a>b>0)与动圆x2+y2=t2(bab圆与椭圆相交于A,B,C,D四点，求直线AM与直线NB交点Q的轨迹方程。

x2y2

11.已知双曲线2 - 2 =1 (a>b>0)与动圆x2+y2=t2 (t>a),点M,N 分别为双曲线的左右顶

ab点，圆与双曲线相交于A,B,C,D四点，求直线AM与直线NB交点Q的轨迹方程

12.（附加题）圆锥曲线的统一定义与解析几何本质的探究 阅读材料解决问题

圆锥曲线的统一定义： 圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个定点F和到一条定直线l（F不在l上）的距离的比等于常数e的点的轨迹。 当e<1时，它表示椭圆； 当e>1时，它表示双曲线； 当e=1时，它表示抛物线。 其中e是圆锥曲线的离心率，定点F是圆锥曲线的焦点,定直线l是圆锥曲线的准线。 问题一：试讨论e与圆锥曲线的形状的关系

问题二：圆锥曲线离心率为e，一个焦点为F，与F对应的准线为l，F与l的距离为p，l与过F的对称轴交于E点，过E的直线t与圆锥曲线交于M,N两点，若FM⊥FN。 求证：t的斜率为定值。

由此题可扩展出三道题,其中需要大家特别重视的是下面这道题

2

问题三：抛物线y=2px(p>0)的准线与x轴交于M点，过M 的直线交抛物线于A,B两点，F为抛物线的焦点，若FA⊥FB。 求证：直线AB的斜率是一个常数。