广东省深圳市南山国际学校2022年高三数学文期末试卷含解析

一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的

1. 已知函数f（x）=x3﹣x2﹣x+a的图象与x轴只有一个交点，则实数a的取值范围是（ ）

A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣，+∞）B．（﹣，1）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，﹣）∪（1，

+∞）

参：

D

【分析】求出导数，求出单调区间，求出极值，曲线f（x）与x轴仅有一个交点，可转化成f（x）极

大值

＜0或f（x）极小值＞0即可．

【解答】解：函数f（x）=x3﹣x2﹣x+a的导数为f′（x）=3x2﹣2x﹣1， 当x＞1或x＜﹣时，f′（x）＞0，f（x）递增； 当﹣＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减． 即有f（1）为极小值，f（﹣）为极大值． ∵f（x）在（﹣∞，﹣）上单调递增， ∴当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；

又f（x）在（1，+∞）单调递增，当x→+∞时，f（x）→+∞，

∴当f（x）极大值＜0或f（x）极小值＞0时，曲线f（x）与x轴仅有一个交点． 即a+

＜0或a﹣1＞0，

∴a∈（﹣∞，﹣）∪（1，+∞），

故选：D．

【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数的单调性，属于中档题．

2. 已知双曲线，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于两

点，

为坐标原点.若

，则双曲线的离心率为( )

A． B． C． D．

参：

D 略

3. “欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，上面的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”，执行该程序框图（图中“”表示除以的余数），若输入的

分别为675,125，则输出的

A． 0 B． 25 C． 50 D．75

参：

B

4. 已知，则等于（ ）

1 / 6

【解答】解：如图，当P与A重合时，

A．

异面直线CP与BA1所成的角最大， ∴当异面直线CP与BA1所成的角最大时，

B．

C．

D．

三棱锥C﹣PA1D1的体积：

=

==

=

参：

答案：D

5. 已知P是圆函数

上异于坐标原点O的任意一点，OP的倾斜角为，，则

的大致图像是（ ）

=．

故选：B．

参： D 略

6. 已知A．

，i为虚数单位，若

B．

C．3 D．

，则

8. “a=﹣1”是“直线ax+3y+3=0与直线x+（a﹣2）y﹣3=0平行”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

参：

D

7. 在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=A1D1=a，A1B1=2a，点P在线段AD1上运动，当异面直线CP与BA1所成的角最大时，则三棱锥C﹣PA1D1的体积为（ ）

参：

D

【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】根据直线平行的等价条件求出a的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

A． B． C． D．a

3

【解答】解：当a=﹣1时，两直线方程为﹣x+3y+3=0和x﹣3y﹣3=0，此时两直线重合，不满足条件．

若直线ax+3y+3=0与直线x+（a﹣2）y﹣3=0平行，

若a=0时，两直线方程为3y+3=0和x﹣2y﹣3=0，此时两直线相交，不满足条件． 若a≠0，若两直线平行，则

，

参：

B

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．

【分析】当P与A重合时，异面直线CP与BA1所成的角最大，由此能求出当异面直线CP与BA1所成的角最大时，三棱锥C﹣PA1D1的体积．

2 / 6

由

得a（a﹣2）=3，即a2

﹣2a﹣3=0，得a=﹣1或a=3，

当a=﹣1时，两直线重合，∴a=3，

则“a=﹣1”是“直线ax+3y+3=0与直线x+（a﹣2）y﹣3=0平行”的既不充分也不必要条件， 故选：D

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线平行的等价条件求出a的值是解决本题的关键．

9. 已知U={1，2，3，4，5，6}，M={1，3，4，5}，N={2，4，5，6}，则（ ）

A．M∩N={4，6} B．M∪N=U C．（?UN）∪M=U D．（?UM）∩N=N

参：

C

【考点】交、并、补集的混合运算． 【专题】计算题；集合．

【分析】根据集合的基本运算即可得到结论． 【解答】解：由补集的定义可得?UM={2，6}， 则（?UM）∪M={1，2，3，4，5，6}=U， 故选：C

【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 10. 下列四个命题：

①命题“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a=0，则ab≠0”； ②x2﹣5x﹣6=0是x=﹣1的必要而不充分条件；

③若命题“￢p”与命题“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题； ④命题“若0＜a＜1，则

”是真命题．

其中正确命题的序号是．（把所有正确的命题序号都填上）（ ） A．②③

B．② C．①②③

D．④

参：

A

【考点】2K：命题的真假判断与应用．

【分析】写出否命题判断①的正误；利用充要条件判断②的正误；利用复合命题的真假判断③的正误；利用对数函数的单调性判断④的正误．

【解答】解：对于①，命题“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”，故错

对于②，若命题p：?x∈R，x2+x+1＜0，则￢p：?x∈R，x2+x+1≥0，故正确

对于③，若命题“￢p”与命题“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题，故正确； 对于④，若0＜a＜1，则a+1＜1+?loga（a+1）＞loga（1+），故错． 故选：A．

二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分

11. 已知函数

是上的奇函数,且

的图象关于直线

对称,当

时,

，则

.

参：

略

12. 已知函数，则 .

参：

【知识点】函数性质求函数值. B1

【答案解析】15 解析：因为，所以，

所以

，所以所求=

【思路点拨】可以发现

，所以采用倒序相加法求解.

13. 已知，则 .

参：

或

略

14. 某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表。为了检验

主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到，所以断定主

3 / 6

修统计专业与性别有关系，这种判断出错的可能性最高为 ．

参：

0.05

15. 若则x= ▲

参： 2

16. 曲线上的点到直线的最短距离是 ．

参： 略

17. 己知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺 寸（单位cm），可得这个几何体的体积是----_________

．

参：

略

三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

已知命题，，若是的充分不必要条件，求的

取值范围。

参： 解:

记A={x|x>10或x<-2},q:解得

或

1-a,

记B={x|

1+a或}. 而p

∴A

B,即

∴.（12分）

19. (本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

已知函数，

．

（1）求函数的零点； （2）设

（其中常数

），求的最小值； （3）若直线

与

的图像交于不同的两点

，与

的图

像交于不同的两点

，求证：．

参：

（1）由

，函数

的零点为

………4’

（2）则

……………..5’

函数

的值域为

……………..6’

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18. （Ⅰ）现有该班甲、乙、丙三名同学，求这名同学至少有名同学收看发射直播的概率;

若

，即

，

时，有

……………..8’

（Ⅱ）若用

表示该班某一位同学收看的环节数,求

的分布列与期望．

参：

若

，即

，

时，有

（Ⅰ）设“这3名同学至少有2名同学收看发射直播”为事件

,

则

综上所述：（3）设

…………….10’

（Ⅱ）由条件可知

可能取值为

. …………………………………………………4分 .

，则……………..14’

同理由则

中点与

中点重合，即

，则……………..16’

=

（为实数）.

即

的分布列

20. ）已知向量 = (1,2) ，= (cos,sin)，设

（1）求

的最大值

（2）若⊥，问：是否存在实数，使得向量 –和向量的值；若不存在，请说明理由.

的夹角为，若存在，请求出t

参：

解：（1）

…………6分

…………………………………………………………………10分

（2）略

…………8分

的期望

．

.………………………12分

22. 已知函数

21. （本小题满分12分）

年月11号“神舟十号 ”发射成功。这次发射过程共有四个值得关注的环节，即发射、实验、授课、返回。据统计，由于时间关系，某班每位同学收看这四个环节的直播的概率分别为

（1）若g（x）=f'（x），讨论g（x）的单调性；

（2）若f（x）在x=1处取得极小值，求实数m的取值范围．

、、、，并且各个环节的直播收看互不影响。

参：

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【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论m的范围求出函数的单调区间即可；

（2）求出函数的导数，通过讨论m的范围，判断是否满足f'（1）=0，从而求出m的范围即可．

【解答】解：（1）

．

①m=0时，当x＞0时，g'（x）＞0，所以g（x）在（0，+∞）上为增函数； ②m＞0时，当x＞0时，g'（x）＞0，所以g（x）在（0，+∞）上为增函数；

③m＜0时，令 g'（x）=0，得，所以当时，g'（x）＞0；

当时，g'（x）＜0，所以g（x）在上单调递增，在上单调

递减，

综上所述，m≥0时，g（x）在（0，+∞）上为增函数；

m＜0时，g（x）在上单调递增，在上单调递减．

（2）f'（x）=lnx+m（x﹣1），

当m≥0时，f'（x）单调递增，恒满足f'（1）=0，且在x=1处单调递增，

当m＜0时，f'（x）在单调递增，故，即﹣1＜m＜0；

综上所述，m取值范围为（﹣1，+∞）．

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