一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的） 1．（5分）抛物线y2=8x的准线方程是（ ） A．x=2 B．y=2 C．x=﹣2
D．y=﹣2
2．（5分）若过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0垂直，则m的值为（ ） A．2
B．0
C．10 D．﹣8
的双曲线标准方程是（ ）
3．（5分）焦点在 x轴上，虚轴长为12，离心率为 A．
B．
C． D．
4．（5分）“x≠0”是“x＞0”的（ ） A．充分而不必要 B．充分必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．（5分）若两条平行线L1：x﹣y+1=0，与L2：3x+ay﹣c=0 （c＞0）之间的距离为
，则
等于（ ）
A．﹣2 B．﹣6 C．.2 D．0
6．（5分）一个几何体的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图及其尺寸如下（单位cm），则该几何体的表面积为（ ）
A．4（9+2
） cm2
B．
cm2 C．cm2
D．
cm2
7．（5分）命题：“若a2+b2=0（a，b∈R），则a=b=0”的逆否命题是（ ）
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A．若a≠b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0 B．若a=b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0 C．若a≠0且b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0 D．若a≠0或b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0
8．（5分）已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ） A．（￢p）∨q B．p∧q 9．（5分）设椭圆C：
C．（￢p）∧（￢q）
D．（￢p）∨（￢q）
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C
上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（ ） A．
B． C． D．
10．（5分）已知m，n，是直线，α，β，γ是平面，给出下列命题： ①若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β． ②若α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m∥n． ③若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
④若α∩β=m，n∥m且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β 其中正确的命题是（ ） A．①②
B．②④
C．②③
D．③④
11．（5分）由直线y=x+1上的一点向圆（x﹣3）2+y2=1引切线，则切线长的最小值为（ ） A．1
B．2
C．
D．3
12．（5分）已知圆C：（x+3）2+y2=100和点B（3，0），P是圆上一点，线段BP的垂直平分线交CP于M点，则M点的轨迹方程是（ ） A．y2=6x
B．
C．
D．x2+y2=25
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
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13．（5分）已知命题p：∃x∈R，x2+2x=3，则￢p是 ． 14．（5分）已知椭圆C的中心在坐标原点，长轴长在y轴上，离心率为C上一点到C的两个焦点的距离之和是12，则椭圆的方程是 ．
15．（5分）如图ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体，则AB1与平面D1B1BD所成角= ．
，且
16．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上，且
三、解答题：（本大题共6小题，共70分）
17．（10分）若双曲线的焦点在y轴，实轴长为6，渐近线方程为y=±x，求双曲线的标准方程．
18．（12分）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点．
（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程； （写一般式） （2）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．
19．（12分）如图五面体中，四边形CBB1C1为矩形，B1C1⊥平面ABB1N，四边形ABB1N为梯形，
且AB⊥BB1，BC=AB=AN=
=4．
，o是坐标原点，则|OA|= ．
（1）求证：BN⊥平面C1B1N； （2）求此五面体的体积．
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20．（12分）已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0． （1）若方程C表示圆，求实数m的取值范围；
（2）若圆C与直线l：x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且|MN|=
，求m的值．
21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（1）证明：PB∥平面AEC （2）已知AP=1，AD=
，AB=
，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．
22．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点（1，）在椭圆C上． （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF2B的面积为以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．
，求
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2017-2018学年青海省西宁四中高二（上）期末数学试卷
（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的） 1．（5分）抛物线y2=8x的准线方程是（ ） A．x=2 B．y=2 C．x=﹣2
D．y=﹣2
【解答】解：抛物线y2=8x的准线方程是x=﹣=﹣2， 故选：C
2．（5分）若过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0垂直，则m的值为（ ） A．2
B．0
C．10 D．﹣8
【解答】解：∵A（﹣2，m），B（m，4）， ∴
，
直线2x+y﹣1=0的斜率为﹣2，
由过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0垂直，得
，解得：m=2．
故选：A．
3．（5分）焦点在 x轴上，虚轴长为12，离心率为 A．
B．
的双曲线标准方程是（ ）
C． D．
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【解答】解：根据题意可知2b=12，解得b=6 ① 又因为离心率e==②
根据双曲线的性质可得a2=c2﹣b2 ③ 由①②③得，a2=64
双所以满足题意的双曲线的标准方程为：故选D
4．（5分）“x≠0”是“x＞0”的（ ） A．充分而不必要 B．充分必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：当x=﹣1时，满足x≠0，但x＞0不成立，即充分性不成立， 若x＞0，则x≠0一定成立，即必要性成立， 故“x≠0”是“x＞0”的必要不充分条件， 故选：C
5．（5分）若两条平行线L1：x﹣y+1=0，与L2：3x+ay﹣c=0 （c＞0）之间的距离为
，则
等于（ ）
A．﹣2 B．﹣6 C．.2 D．0
【解答】解：由 两条平行线L1：x﹣y+1=0，与L2：3x+ay﹣c=0 （c＞0）之间的距离为可得
，
，
=
，
∴a=﹣3，c≠3，直线L1的方程即：3x﹣3y+3=0，由 解得c=3，或 c=﹣9 （舍去）， ∴
=
=﹣2，
故选A．
6．（5分）一个几何体的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图及其尺
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寸如下（单位cm），则该几何体的表面积为（ ）
A．4（9+2
） cm2
B．
cm2 C．cm2
D．
cm2
【解答】解：由三视图知几何体是一个三棱柱， 三棱柱的高是2，底面是高为2所以底面的边长是2
÷
=4，
=8
的正三角形，
∴两个底面的面积是2××4×2侧面积是2×4×3=24， ∴几何体的表面积是24+8故选B．
（cm2），
7．（5分）命题：“若a2+b2=0（a，b∈R），则a=b=0”的逆否命题是（ ） A．若a≠b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0 B．若a=b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0 C．若a≠0且b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0 D．若a≠0或b≠0（a，b∈R），则a2+b2≠0
【解答】解：“且”的否定为“或”，因此其逆否命题为“若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0”； 故选D．
8．（5分）已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ） A．（￢p）∨q B．p∧q
C．（￢p）∧（￢q）
D．（￢p）∨（￢q）
【解答】解：不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而¬p为假命题，¬q为真命题，
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所以A、B、C均为假命题， 故选D．
9．（5分）设椭圆C：
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C
上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（ ） A．
B． C． D．
【解答】解：设|PF2|=x， ∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°， ∴|PF1|=2x，|F1F2|=
x，
又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c ∴2a=3x，2c=
x，
=
．
∴C的离心率为：e=故选A．
10．（5分）已知m，n，是直线，α，β，γ是平面，给出下列命题： ①若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β． ②若α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m∥n． ③若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
④若α∩β=m，n∥m且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β 其中正确的命题是（ ） A．①②
B．②④
C．②③
D．③④
【解答】解：若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n和α和β两个平面之间有相交，在面上．故①不正确，
若α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m∥n．这是两个平面平行的性质定理，故②正确．
若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β，缺少两条直线相交的条件，故③不正确，
若α∩β=m，n∥m且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β，④正确，
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故选B．
11．（5分）由直线y=x+1上的一点向圆（x﹣3）2+y2=1引切线，则切线长的最小值为（ ） A．1
B．2
C．
D．3
【解答】解：切线长的最小值是当直线y=x+1上的点与圆心距离最小时取得，圆心（3，0）到直线的距离为d=值为故选C．
12．（5分）已知圆C：（x+3）2+y2=100和点B（3，0），P是圆上一点，线段BP的垂直平分线交CP于M点，则M点的轨迹方程是（ ） A．y2=6x
B．
，圆的半径为1，故切线长的最小
，
C．
D．x2+y2=25
【解答】解：由圆的方程可知，圆心C（﹣3，0），半径等于10，设点M的坐标为（x，y ），
∵BP的垂直平分线交CQ于点M，
∴|MB|=|MP|． 又|MP|+|MC|=半径10，∴|MC|+|MB|=10＞|BC|．依据椭圆的定义可得，
点M的轨迹是以 B、C 为焦点的椭圆，且 2a=10，c=3，∴b=4， 故椭圆方程为故选B．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知命题p：∃x∈R，x2+2x=3，则￢p是 ∀x∈R，x2+2x≠3 ． 【解答】解：∵命题p：∃x∈R，x2+2x=3是特称命题，
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，
∴根据特称命题的否定是全称命题，得¬p：∀x∈R，x2+2x≠3． 故答案为：∀x∈R，x2+2x≠3．
14．（5分）已知椭圆C的中心在坐标原点，长轴长在y轴上，离心率为C上一点到C的两个焦点的距离之和是12，则椭圆的方程是 ，且． ．
【解答】解：设椭圆C的标准方程为，由题意离心率为，可得：，
且C上一点到C的两个焦点的距离之和是12， 可得2a=12，解得a=6，c=3b=3．
所以椭圆C的标准方程
． ，则
故答案为：
．
15．（5分）如图ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体，则AB1与平面D1B1BD所成角=
．
【解答】解：连接A1C1，交B1D1于O， 由正方体的几何特征易得，A1O⊥平面D1B1BD 连接BO，则∠A1BO即为AB1与平面D1B1BD所成角 又∵ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体， ∴A1B=
a，BO=
，A10==
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则cos∠A1BO=
∴∠A1BO=故答案为：
．
16．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上，且
，o是坐标原点，则|OA|= ．
【解答】解：设A到准线的距离等于AM，由抛物线的定义可得|AF|=|AM|，由
可得
△AMK为等腰直角三角形． 设点A （|AM|=|MK|， ∴
+2=|s|，∴s=±4，∴A （2，±4 ），∴|AO|=
．
=2
，
，s ），∵准线方程为 x=﹣2，
故答案为：2
三、解答题：（本大题共6小题，共70分）
17．（10分）若双曲线的焦点在y轴，实轴长为6，渐近线方程为y=±x，求双曲线的标准方程．
【解答】解：由题意双曲线的焦点在y轴，实轴长为6，渐近线方程为y=±x，2a=6，∴a=3．
，可得b=2； ∴双曲线的标准方程为：
18．（12分）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点．
（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程； （写一般式） （2）当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．
【解答】解：（1）圆C：（x﹣1）2+y2=9的圆心为C（1，0）， 因直线过点P、C，所以直线l的斜率为2，
第11页（共16页）
．
直线l的方程为y=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0． （2）当直线l的倾斜角为45°时，斜率为1， 直线l的方程为y﹣2=x﹣2，即x﹣y=0 圆心C到直线l的距离为
19．（12分）如图五面体中，四边形CBB1C1为矩形，B1C1⊥平面ABB1N，四边形ABB1N为梯形，
且AB⊥BB1，BC=AB=AN=
=4．
，圆的半径为3，弦AB的长为
．
（1）求证：BN⊥平面C1B1N； （2）求此五面体的体积．
【解答】解：（1）证明：连NC，过N作NM⊥BB1，垂足为M， ∵B1C1⊥平面ABB1N，BN⊂平面ABB1N， ∴B1C1⊥BN，…（2分）
又，BC=4，AB=4，BM=AN=4，BA⊥AN， ∴∵
∴BN⊥B1N，…（4分）
∵B1C1⊂平面B1C1N，B1N⊂平面B1C1N，B1N∩B1C1=B1 ∴BN⊥平面C1B1N…（6分） （2）连接CN，
，
，
=，
，…（8分）
又B1C1⊥平面ABB1N，所以平面CBB1C1⊥平面ABB1N，且平面CBB1C1∩ABB1N=BB1，NM⊥BB1，
NM⊂平面B1C1CB，
第12页（共16页）
∴NM⊥平面B1C1CB，…（9分）
…（11分）
此几何体的体积
…（12分）
20．（12分）已知关于x，y的方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0． （1）若方程C表示圆，求实数m的取值范围；
（2）若圆C与直线l：x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且|MN|=【解答】解：（1）若方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0表示圆， 则4+16﹣4m＞0， 解得m＜5．
（2）圆心（1，2）到直线x+2y﹣4=0的距离d=∴圆的半径r=∴
21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（1）证明：PB∥平面AEC （2）已知AP=1，AD=
，AB=
，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．
=1，解得m=4．
=1，
，
，求m的值．
【解答】证明：（1）连结AC、BD，交于点O，连结OE，
第13页（共16页）
∵底面ABCD为矩形，∴O是BD中点， ∵E为PD的中点，∴OE∥PB， ∵PB⊄平面ACE，OE⊂平面ACE， ∴PB∥平面AEC．
解：（2）∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，
∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴， AC为z轴，建立空间直角坐标系， ∵AP=1，AD=
，AB=
， ∴A（0，0，0），C（，
，0），
D（0，，0），P（0，0，1），E（0，
，），
=（0，
），
=（
，0），
平面ADE的法向量=（1，0，0）， 设平面ACE的法向量=（x，y，z），
则，取y=，得=（﹣，﹣设二面角D﹣AE﹣C的平面角为θ， 则cosθ=
=
=
，
∴二面角D﹣AE﹣C的余弦值为
．
第14页（共16页）
），
22．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点（1，）在椭圆C上． （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF2B的面积为以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程． 【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为
椭圆C两焦点坐标分别为F1（﹣1，0），F2（1，0）． ∴
∴a=2，又c=1，b2=4﹣1=3， 故椭圆的方程为
．
．
，由题意可得：
，求
（Ⅱ）当直线l⊥x轴，计算得到：
，
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=k（x+1）， 由
，消去y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0
，不符合题意．
第15页（共16页）
显然△＞0成立，设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则
，
又
即，
又圆F2的半径
，
所以
化简，得17k4+k2﹣18=0，
即（k2﹣1）（17k2+18）=0，解得k=±1 所以，
，
，
故圆F2的方程为：（x﹣1）2+y2=2．
第16页（共16页）
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