1952年全国统一高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、解答题（共24小题，满分0分） 1．因式分解：x4﹣y4． 考点：因式分解定理。 专题：计算题。
分析：两次使用平方差公式，先将x2，y2当作整体，x4﹣y4=（x2+y2）（x2﹣y2）在利用平方差公式即可
解答：解：x4﹣y4=（x2+y2）（x+y）（x﹣y）． 故答案为：（x2+y2）（x+y）（x﹣y）
点评：本题考查了因式分解定理，平方差公式，属于基础题．
2．若lg2x=21lgx，问x=？ 考点：对数的运算性质。 专题：转化思想。
分析：根据已知中lg2x=21lgx，利用对数的运算性质我们可将已知转化为lg2x=lgx21，根据对数函数的单调性，可将该方程转化为指数方程，再结合函数的定义域，可得x≠0，解指数方程即可求出x的值．
解答：解：∵lg2x=21lgx， ∴2x=x21， 又∵x≠0， ∴
．
点评：本题考查的知识点是对数的运算性质，对数方程及指数方程的解法，其中根据运算性质及对数函数的单调性，将方程进行转化是解答本题的关键．
3．若方程x3+bx2+cx+d=0的三根为1，﹣1，，则c=？ 考点：根的存在性及根的个数判断。 专题：计算题。
分析：由已知中方程x3+bx2+cx+d=0的三根为1，﹣1，，我们可以将方程表示零点式的形式，展开后根据多项式相等的方法，即可求出c值．
解答：解：∵方程x3+bx2+cx+d=0的三根为1，﹣1，， ∴方程x3+bx2+cx+d=0可化为（x﹣1）（x+1）（x﹣）=0 即x3﹣x2﹣x+=0
故c=1
点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中将n元方程的表达式可以表示为N个一次式相乘（即零点式）的形式是解答的关键． 4．若
﹣4=0，求x．
考点：根的存在性及根的个数判断。 专题：计算题。
分析：本题是一个根式的方程，解这种方程一般需要先移项，再两边平方，得到关于x的一元二次方程，解一元二次方程的解，得到结果． 解答：解：∵
∴把方程两边平方得到x2=9 ∴x=±3．
点评：本题考查根的存在性及根的个数的判断，考查根式方程的解法，考查一元二次方程的解法，本题是一个基础题． 5．
=？
考点：三阶矩阵；二阶矩阵。 专题：计算题。
分析：根据求行列式的方法化简即得． 解答：解：
=1×5×1+2×0×3+2×3×4﹣3×3×5﹣1×2×4﹣2×0×2=﹣24．
原式=﹣24．
点评：考查学生掌握行列式化简方法的能力．属于基础题．
6．两个圆的半径都是4寸，并且一个圆过另一个圆的圆心，则此两圆的公共弦长是多少寸？
考点：圆与圆的位置关系及其判定。 专题：计算题。
分析：设两圆O1及O2之公共弦为AB，连接O1O2交AB于点C，连接AO1，则△ACO1为直角三角形，利用弦长公式求出公共弦长．
解答：解：设两圆O1及O2之公共弦为AB，连接O1O2交AB于点C，连接AO1，则△ACO1为直角三角形．
AB垂直平分O1O2 ，∴O1C=O1O2 =2 （寸）， AC=
（寸），
∴AB=2AC=4（寸），
点评：本题考查两圆相交的性质，弦长公式的应用．
7．三角形ABC的面积是60平方寸，M是AB的中点，N是AC的中点，△AMN的面积是多少？ 考点：相似三角形的性质。 专题：计算题。
分析：根据M是AB的中点，N是AC的中点，得到三角形的中位线，得到两个三角形是相似关系，根据相似三角形面积之比等于相似比的平方，得到两个三角形的面积之比，由已知的三角形面积，得到要求的三角形面积．
解答：解：∵M是AB的中点，N是AC的中点 ∴MN∥BC， ∴
，
∴△AMN的面积=△ABC的面积=15（平方寸）
点评：本题考查相似三角形的性质，考查相似三角形的面积之比等于相似比的平方，本题是一个基础题，这种题目可以作为解答题目的一部分出现．
8．正十边形的一个内角是多少度？ 考点：圆內接多边形的性质与判定。 专题：计算题。
分析：根据多边形内角和公式写出n变形的内角和，把所得的内角和除以边数n，得到一个内角的度数，当n=10时，求出对应的内角的度数． 解答：解：由多边形内角和公式180°（n﹣2）， ∴每一个内角的度数是当n=10时． 得到一个内角为
=144°
点评：本题考查多边形内角和的公式，考查多边形一个内角的大小，是一个基础题，本题可以和其他知识点结合变成一个解答题目出现．
9．祖冲之的圆周率π=？
考点：早期算术与几何──计数与测量。 专题：阅读型。
分析：圆周率是指平面上圆的周长与直径之比，圆周率的数值我们都会看到是小数，很少有人用分数来表示．
解答：答：圆周率是指平面上圆的周长与直径之比．
祖冲之通过艰苦的努力，他在世界数学史上第一次将圆周率（π）值计算到小数点后七位， 即3.1415926到3.1415927之间． 他提出约率
和密率
，
点评：本题考查圆周率的具体数值，考查祖冲之对数学的贡献，是一个研究数学史的题目，可以了解题目中涉及到的知识点．
10．球的面积等于大圆面积的多少倍？ 考点：球的体积和表面积。 专题：计算题。
分析：根据球的面积公式，大圆的面积公式，直接得到结果．
解答：解：球的面积4πR2，所以球的面积是大圆面积πR2的4倍．
点评：本题是基础题，考查球的表面积公式与大圆的面积的关系，送分题．
11．圆锥之底半径为3尺，母线为5尺，则其体积为多少立方尺？ 考点：棱柱、棱锥、棱台的体积。
专题：计算题。
分析：首先根据题意求出圆锥的高，再代入体积公式直接求解即可． 解答：解：圆锥高h=4（尺），故此直圆锥的体积： V锥=πR2h=12π（立方尺）
点评：本题考查圆锥的体积公式，属基础知识、基本运算的考查．
12．正多面体有几种？其名称是什么？ 考点：棱锥的结构特征。 专题：常规题型。
分析：在简单空间几何体中，正多面体有正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体和正二十面体，共有五种．
解答：答：共有五种，其名称为：正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体和正二十面体． 点评：本题考查高中阶段学习的正多面体，考查有几种正多面体，各是多少面体，这是一个基础题，不需要运算，若出现一定是一个送分题目．
13．已知 sinθ=，求cos2θ=？
考点：二倍角的余弦。 专题：计算题。
分析：利用二倍角公式cos2θ=1﹣2sin2θ即可求解． 解答：解：cos2θ=1﹣2sin2θ=．
点评：通常，在高考题中，三角函数多会以解答题的形式出现在第一个解答题的位置，是基础分值的题目，学生在解答三角函数问题时，往往会出现，会而不对的状况．所以，在平时练习时，既要熟练掌握相关知识点，又要在解答时考虑更为全面．这样才能熟练驾驭三角函数题．
14．方程tan2x=1的通解x=？ 考点：二倍角的正切。
分析：根据特殊角的三角函数值以及正切函数的图象与周期即可求出x的值． 解答：解：根据tan2x=1， 得到2x=2kπ+则
（k为整数）
（k为整数）
点评：此题考查学生灵活运用特殊角的三角函数值化简求值，掌握正切函数的图象与周期，是一道基础题．
15．太阳的仰角为30°时，塔影长为5丈，求塔高是多少？ 考点：解三角形的实际应用。 专题：应用题。
分析：利用塔，塔影和视线构成的直角三角形求解． 解答：解：塔高=5×tan30°=故塔高为
丈．
（丈）
点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．属基础题．
16．△ABC的b边为3寸，c边为4寸，A角为30°，问△ABC的面积为多少平方寸？
考点：三角形中的几何计算。 专题：计算题。
分析：根据已知的两边及夹角，利用三角形的面积公式即可求得三角形ABC的面积． 解答：解：△ABC的面积=bcsinA=•3•4•sin30°=3（平方寸）
答：△ABC的面积为3平方寸
点评：本题主要考查了三角形中的几何计算．注重了基础知识的考查．
17．已知一直线经过（2，3），其斜率为﹣1，则此直线方程如何？ 考点：直线的一般式方程；直线的斜率。
分析：利用直线方程的点斜式写出直线方程，化为直线方程的一般式． 解答：解：由直线方程的点斜式得 直线方程为y﹣3=﹣1×（x﹣2） 即x+y﹣5=0．
点评：本题考查直线方程的点斜式、考查直线方程的点斜式化为一般式．
18．若原点在一圆上，而此圆的圆心为（3，4）则此圆的方程如何？ 考点：圆的标准方程。 专题：计算题。
分析：利用两点间的距离公式求出原点与（3，4）的距离即为所求圆的半径，根据圆心和求出的半径写出圆的方程即可．
解答：解：因为原点在所求的圆上，所以原点到圆心的距离等于圆的半径， 则圆的半径R=
=5，又圆心为（3，4），
所以圆的方程为：（x﹣3）2+（y﹣4）2=25．
点评：此题考查学生掌握点在圆上时点到圆心的距离等于圆的半径，会根据圆心和半径写出圆的标准方程，是一道基础题．
19．求原点至3x+4y+1=0的距离？ 考点：点到直线的距离公式。 专题：计算题。
分析：写出原点的坐标，利用点到直线的距离公式即可求出原点到已知直线的距离． 解答：解：由原点坐标为（0，0）， 得到原点到已知直线的距离d=
．
点评：此题考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道基础题．
20．抛物线y2﹣8x+6y+17=0的顶点坐标是什么？ 考点：抛物线的简单性质。 专题：计算题；配方法。 分析：将原式配方变形为：（y+3）2=8（x﹣1），可由y2=8x向右平移一个单位，在向下平移三个单位得到，因为y2=8x的顶点为原点，故可求抛物线y2﹣8x+6y+17=0的顶点坐标． 解答：解：原方程可变形为：（y+3）2=8（x﹣1）， 故顶点坐标为：（1，﹣3）．
点评：本题考查方程对应曲线的变换、考查配方法在解题中的应用．
21．解方程x4+5x3﹣7x2﹣8x﹣12=0． 考点：根的存在性及根的个数判断。
专题：计算题。
分析：将原式变形为（x4+5x3﹣6x2）﹣（x2+8x+12），提取公因式进行因式分解即可． 解答：解：左式=（x4+5x3﹣6x2）﹣（x2+8x+12） =（x+6）[x2（x﹣1）﹣（x+2）] =（x+6）（x3﹣x2﹣x﹣2）
=（x+6）[（x3﹣2x2）+（x2﹣x﹣2）] =（x+6）（x﹣2）（x2+x+1）=0 可得原方程的四根为： x1=﹣6，x2=2，x3=
，x4=
点评：本题考查高次方程的求根问题，将高次方程进行因式分解是解决此类问题的关键．
22．△ABC中，∠A外角的平分线与此三角形外接圆相交于P，求证：BP=CP．
考点：圆周角定理。 专题：证明题。
分析：根据同弧所对的圆周角相等和圆内接四边形的一个外角等于不相邻的内角，得到角相等，根据等量代换得到同一个三角形的内角相等，得到三角形是一个等腰三角形，得到两条线段相等． 解答：证明：∠CBP=∠CAP=∠PAD 又∠1=∠2
由∠CAD=∠ACB+∠CBA =∠ACB+∠CBP+∠2 =∠ACB+∠1+∠CBP =∠BCP+∠CBP ∴∠BCP=∠CBP， ∴BP=CP．
点评：本题考查圆周角定理，考查圆内接四边形的一个外角等于不相邻的内角，考查等量代换，考查要证明两条线段相等先证明两个角相等，本题是一个基础题．
23．设三角形的边长为a=4，b=5，c=6，其对角依次为A，B，C求cosC，sinC，sinB，sinA．问A，B，C三角为锐角或钝角？ 考点：余弦定理；正弦定理。 专题：综合题。
分析：根据a，b及c的值，由余弦定理表示出cosC的式子，化简后得到其值，然后根据其值与C的范围判断出C为锐角，然后根据大边对大角，小边对小角得到角C为最大的角，所以得到A和B也为锐角，则根据同角三角函数间的基本关系由cosC的值求出sinC的值，然后根据正弦定理由C与sinC及a的值求出sinA的值，由C与sinC及b的值求出sinB的值即可． 解答：解：应用余弦定理，可得： cosC=
，
由此可知C为锐角；
另外，由已知条件，三边边长适合关系式a＜b＜c，
从而可知∠A＜∠B＜∠C由于C为锐角，故A，B亦为锐角 由sinC=sinC=
可得
应用正弦定理，可得sinB=sinA=
．
点评：此题考查学生灵活运用余弦、正弦定理化简求值，掌握三角形中的边角关系即大边对大角，是一道中档题．
24．一椭圆通过（2，3）及（﹣1，4）两点，中心为原点，长短轴重合于坐标轴，试求其长轴，短轴及焦点．
考点：椭圆的简单性质。 专题：待定系数法。 分析：设椭圆的标准方程为 c2=b2﹣a2，求出焦点坐标． 解答：解：设椭圆的标准方程为
=1，由于椭圆过（2，3）及（﹣1，4）两点，所以， =1，把（2，3）及（﹣1，4）两点 代入求得a2=
，b2=
，由
将此两点代入标准方程可得：，
解之，a2=∴长轴2b=2
，b2=
，
，
，短轴 2a=2
又c2=b2﹣a2， ∴c=
故焦点坐标为F1（﹣2
， ，0），F2（2
，0）．
点评：本题考查用待定系数法法求椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用．
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