重庆大学高等代数2002-2014

重庆大学2003年高等代数

重庆大学2006年硕士研究生入学考试试题 科目代码:421 科目名称:高等代数 特别提醒考生: 答题一律做在答题纸上(包括填空题、包括填空题、选择题、选择题、改错题等)，直接做在试题上按零分计。直接做在试题上按零分计。 x1abx2一、（10分）计算行列式：LLbbLaLb LLLxnx1+x2−x3=2二、（15分）a,b为何值时，方程组2x1+(2+a)x2−(b+2)=3有惟一解？无解？有无穷解？−3ax+(a+2b)x=−323无穷解是并求其全部解。 三、（15分）设d,n为正整数，证明(xd−1)(xn−1)的充分必要条件为dn。 四、（10分）设向量组α1,α2,L,αs线性无关，且β1可由α1,α2,L,αs线性表示，而β2不能由α1,α2,L,αs线性表示，证明对任意实数l，向量组α1,α2,L,αs,lβ1+β2线性无关。 R(A)=nn五、（10分）设A为n阶方阵，A*是A的伴随矩阵，证明R(A*)=1 R(A)=n−1。 0R(A){} 性变换； 3．证明：数0是σA的一个特征值。 九、（15分）设A,B均为n阶实对称矩阵，且B正定。 1．证明：存在阶可逆矩阵T，使T′AT,T′BT同时为对角阵； 21212．设A=,B=求可逆矩阵T，使T′AT,T′BT同时为对角阵。 1−111十、（10分）设V是n维欧氏空间，α1,α2,L,αm是V的一组标准正交向量，证明：对任意的 β∈V,总有β≥∑（αi,β)2。 2i=1m十一、（15分）设A是n阶反对称阵。 1．证明：1与-1不是A的特征值。 2．令B=(E−A)(E+A)−1,证明：B是正交阵，且−1不是B的特征值。 十二（10分）设n阶方阵A的特征值全为1。证明：任意自然数k,Ak相似于A。 共 2 页 第 2 页

科目代码:820科目代码:820:高等代数科目名称科目名称:

特别提醒:

答案一律做在答题纸上(包括填空题、选择题、改错题等),直接做在试题上不给分。

总分:150分

一、填空题（共30分，每空3分）1.多项式f(x)=x3+5x−10在有理数域上是

的(注:填可约或不可约).

.22

2.对称多项式f(x1,x2,x3)=x1+x22+x3表示为初等对称多项式是

−1−1

−12

3.4级行列式

−11−1−21−148

的值为1148

.

⎛21⎞

4.将矩阵⎜⎟写成初等矩阵之积

43⎝⎠

.

..

5.设α1=(1,1,k)，α2=(1,k,1)，α3=(k,1,1)是线性无关的，则k的取值为2

6.二次型f(x1,x2,x3)=x12+2x2+3x32+2tx2x3是正定的，则t取值范围为

7.R3中的向量α=(a1,a2,a3)在基α1=(1,1,1),α2=(0,1,1),α3=(0,0,1)下的坐标是.

8.设三级方阵A的三个特征值是1,2,-2.矩阵B与A相似,则B的伴随矩阵B*

的三个特征值是.

.

9.在R3中与向量(1,1,2)和(−11,0)都正交的单位向量是10.正交矩阵的实特征值为.

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二、计算题（共60分）1.(10分)计算n级行列式

a1+x1−x10⋮00

a2x2−x2⋮00

a30x3⋮00

⋯an−1⋯0⋯0⋱⋮⋯xn−1⋯−xn−1

an0

n0,其中xi≠0.∏⋮i=10xn⎧x1+x2+2x3=1⎪

2.(15分)当参数λ,µ取何值时,线性方程组⎨−x2+(λ+1)x3=1

⎪3x+λx+x=µ+2⎩123(1)无解;(2)有唯一解;(3)有无穷多解并求其通解.3.(15分)设4元二次型f(x1,x2,x3,x4)=2x1x2+2x3x4.

(1)写出二次型f(x1,x2,x3,x4)的矩阵表达式f(x1,x2,x3,x4)=X'AX;(2)求A的特征值和特征向量;

(3)求正交阵P,使得P−1AP=Λ,其中Λ是对角阵;(4)写出二次型f(x1,x2,x3,x4)的标准形.

4.(12分)在P3中定义线性变换Α为

Α(x1,x2,x3)=(2x1−x2,x2+x3,x1).

(1)求Α在基ε1=(1,0,0),ε2=(0,1,0),ε3=(0,0,1)下的矩阵;

(2)设α=(1,0,−2),求Αα在基α1=(2,0,1),α2=(0,−1,1),α3=(−1,0,2)下的坐标;(3)Α是否可逆?若可逆,求Α−1,若不可逆,说明原因.5.(8分)

求下列复系数矩阵

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⎡0⎢1A=⎢

⎢0⎢0⎣

0010

0−4⎤012⎥

⎥

0−13⎥16⎥⎦

的不变因子及若尔当标准形.三、证明题（共60分）

1.(10分)设a1,a2,⋯,an为互异的数,令F(x)=(x−a1)(x−a2)⋯(x−an).证明:∑

F(x)

=1.

(x−a)F'(a)i=1iin2.(10分)给定数域P上的分块矩阵

⎛AC⎞

M=⎜,⎟

⎝0B⎠

其中A为m×n的矩阵，B为k×l的矩阵，证明

rank(A)+rank(B)≤rank(M).

(注:rank(A)表示矩阵A的秩)

3.(10分)设A是半正定矩阵，证明存在唯一的半正定矩阵B使得A=B2.

4.(15分)设Α是n维欧氏空间V上的线性变换,V1= ΑV,V2= Α−1(0)分别是Α的值域和核,α1,α2,⋯,αr是V1的一组基,β1,β2,⋯,βr分别是α1,α2,⋯,αr的原象.令W=L(β1,β2,⋯,βr),则V=W⊕V2.

5.(15分)设Α与Β为n维欧氏空间V上的两个线性变换.若对任意的α∈V,有

(Αα,Αα)=(Βα,Βα),则ΑV与ΒV作为欧氏空间是同构的.

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