湖南省2024年高中学业水平合格考数学试卷试题(含答案详解)

数学

时量：90分钟，满分：100分

本试题卷包括选择题､填空题和解答题三部分，共4页.

注意事项：

1.答题前，请考生先将自己的姓名､准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名､准考证号､考室和座位号；

2.必须在答题卡上答题，在草稿纸､试题卷上答题无效；3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4.请勿折叠答题卡，保证字体工整､笔迹清晰､卡面清洁.

一､单选题：本大题共18小题，每小题3分，共分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合A1,3，B2,3,4，则AB等于（A．1B．3C．1,3）2B．x0R，x0x01

）D．1,2,3,422．命题“x0R，x0x01”的否定是（2A．x0R，x0x01

C．xR，x2x1D．xR，x2x1

）D．既不充分也不必要3．设p：四棱柱是正方体，q：四棱柱是长方体，则p是q的（A．充分不必要条件条件4．函数f(x)ln(x1)的定义域是（A．(0,)

B．[0,)

）C．[1,)）C．8）B．必要不充分条件C．充要条件D．(1,)

5．已知2m3，2n5，则2mn的值为（A．53B．2D．156．图象中，最有可能是ylog2x的图象是（试卷第1页，共4页A．B．C．D．7．复数z1i（i为虚数单位）的模是（A．1B．i）C．2D．2）8．已知扇形的半径为1，圆心角为60，则这个扇形的弧长为（A．2π

D．6039．如图，在平行四边形ABCD中，AB=a，ADb，则BD可以表示为（）B．π3π6C．A．abB．ba

1C．ab

21D．ba

210．已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点4,3，则tan值为（A．）B．4535C．43D．3411．为了调查某地三所高中未成年人思想道德建设情况，省文明办采用分层抽样的方法从该地的A，已知A，B，C三所中学抽取80名学生进行调查，B，C三所学校中分别有400，560，320名学生，则从C学校中应抽取的人数为（A．10B．20））C．30D．4043a（12．已知a为非零向量，则试卷第2页，共4页

A．12aB．4a

）C．3aD．10a

13．下列命题为真命题的是（A．若ab，则a2b2

B．若ab，则acbcD．若ab，cd，则acbd）C．3D．4C．若ab，cd，则acbd14．已知nm2，则m2n2的最小值为（A．1B．215．从5张分别写有数字1，2，3，4，5的卡片中随机抽取1张，则所取卡片上的数字是奇数的概率是（A．）B．2515C．35D．4516．已知ysinx，则ysinx上的所有点全部向右移动π

个单位的函数解析式是（6）π

A．ysin(x)6πC．ysin(x)32π3π

B．ysin(x)

6D．ysin(x)）D．2π）π317．已知圆锥的底面半径是1，高是2，则这个圆锥的体积为（A．B．π

C．4π318．已知四棱锥SABCD底面为正方形，SD平面ABCD，则（A．SBSCC．SA平面ABCD

B．SDABD．SA//平面SBC

二､填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.

x,x0

19．函数f(x)，则f3

x,x0

.

20．函数ysin2x的最小正周期T3

2

21．函数fxxx的零点个数为．．试卷第3页，共4页22．在ABC中，BC3，A30，B60，则AC．三､解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

r

23．已知向量a1,2，b2,x，c3,y，且ab，a∥c.

(1)求向量b与c的坐标；

(2)若mab，nac，求向量m与n的夹角的大小.24．从某高校随机抽样1000名学生，获得了它们一周课外阅读时间（单位：小时）的样本0,2，数据，整理得到样本数据的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：2,4，4,6，6,8，8,10，10,12，12,14.（1）求这1000名学生中该周课外阅读时间在8,10范围内的学生人数；（2）估计该校学生每周课外阅读时间超过6小时的概率.25．如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD平面ABCD，M，N分别是BC，PC的中点.(1)求证：MN//平面PDB；(2)求证：AC平面PDB.试卷第4页，共4页1．B【分析】根据交集的定义求解即可.【详解】集合A1,3，B2,3,4，则AB等于3.故选：B2．C【分析】根据特称命题的否定形式的相关知识直接判断.2【详解】命题“x0R，x0x01”的否定为“xR，x2x1”，故选：C.3．A【分析】结合正方体和长方体的定义，根据充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】正方体是特殊的长方体，而长方体不一定是正方体，所以p是q的充分不必要条件.故选：A.4．D【分析】根据真数大于0，即可求解.【详解】由题意可得x10，解得x1，所以函数f(x)ln(x1)的定义域是(1,).故选：D5．D【分析】根据指数的运算求解即可.【详解】2mn2m2n3515.故选：D6．C【分析】利用对数函数的定义域，确定图象位置即可判断作答.【详解】函数ylog2x的定义域为(0,)，因此函数ylog2x的图象总在y轴右侧，选项ABD不满足，C满足.故选：C7．C【分析】由复数模计算公式可得答案.答案第1页，共6页【详解】由题可得z112.故选：C8．B【分析】根据扇形的弧长公式计算即可.

【详解】易知60

πππ，由扇形弧长公式可得l1.333故选：B9．B【分析】根据向量减法运算法则直接计算.

【详解】由题意得，BDADAB，因为AB=a，ADb，所以BDADABba.故选：B10．D【分析】由三角函数的定义可得出tan的值.【详解】已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点4,3，由三角函数的定义可得tan故选：D.11．B【分析】根据分层抽样原理求出从C学校抽取的人数作答.【详解】依题意，从三所中学抽取80名学生，应从C学校抽取的人数为80

320

20.4005603203.4故选：B12．A【分析】根据数乘运算的运算性质计算即可.【详解】43a12a.故选：A.13．C【分析】根据不等式的性质，结合特殊值判断.答案第2页，共6页【详解】对于A，取特殊值，a1，b2，满足条件，但不满足结论，故A错误；对于B，由ab，若c=0，则acbc，故B错误；对于C，由同向不等式的性质知，ab，cd可推出acbd，故C正确；对于D，取a3,b0,c1,d2，满足条件，但acbd，故D错误.故选：C.14．D【分析】由基本不等式求解即可.【详解】m2n22mn4，当且仅当“mn”时取等.故m2n2的最小值为4.故选：D.15．C【分析】由古典概型计算公式可得答案.【详解】设随机抽取一张卡片为事件A，抽取卡片数字为奇数为事件B，则nA5,nB3，则相应概率为P

故选：C16．BnBnA

3.5【分析】根据给定条件，利用函数图象变换求出函数解析式作答.【详解】把ysinx上的所有点全部向右移动故选：B17．A【分析】根据圆锥体积公式直接计算.【详解】由题意知，圆锥底面积为Sπ12π，圆锥的高h2，ππ个单位的函数解析式是ysin(x).66112π则圆锥的体积为VShπ2.333故选：A18．B【分析】推导出BCSC，可判断A选项；利用线面垂直的性质可判断B选项；利用反证法可判断CD选项.【详解】对于A选项，因为SD平面ABCD，BC平面ABCD，则BCSD，答案第3页，共6页因为四边形ABCD为正方形，则BCCD，因为SDCDD，SD、CD平面SCD，所以，BC平面SCD，因为SC平面SCD，则BCSC，故SBC为锐角，A错；对于B选项，因为SD平面ABCD，AB平面ABCD，则SDAB，B对；对于C选项，若SA平面ABCD，且SD平面ABCD，则SA、SD平行或重合，矛盾，假设不成立，C错；对于D选项，若SA//平面SBC，则SA与平面SBC无公共点，这与SA平面SBCS矛盾，假设不成立，D错.故选：B.19．3【分析】根据给定的分段函数，代入计算作答.x,x0

【详解】函数f(x)，所以f33.x,x0

故答案为：320．【分析】根据正余弦函数的周期公式T

即可求解.2【详解】根据正余弦函数的周期公式T可知：2

，函数ysin2x的最小正周期T



3

22故答案为：.21．2【分析】函数的零点个数就是对应方程的实数根的个数，直接解方程求解.【详解】令x2x0，解得：x0或x=1，函数的零点个数就是方程x2x0的实数根的个数，所以函数的零点有2个.故答案为：2【点睛】本题考查函数零点个数，属于基础题型.22．33【分析】根据给定条件，利用正弦定理计算作答.答案第4页，共6页【详解】在ABC中，BC3，A30，B60，由正弦定理BCsinB3sin60ACBC

33.，得ACsinBsinAsinAsin30

故答案为：33r

23．(1)b2,1，c3,6(2)3π4

【分析】（1）根据向量垂直和平行列方程，化简求得x,y，进而求得b与c.

（2）先求得m与n，然后根据夹角公式求得正确答案.

【详解】（1）由于ab，a∥c，22x=0所以，解得x1,y6，1y=23r

所以b2,1，c3,6.

（2）m=ab=3,1，n=ac=2,4，

m=10,n=25,mn=64=10，mn102cosm,n===所以2，1025mn3π

0m,nπm由于，所以,n=.4（1）200人；（2）0.700.24．【分析】（1）根据频数和为1，求出8,10的频率，即可求解；（2）根据频率分布直方图，求出6,8，8,10，10,12，12,14频率和，即可得出结论.【详解】（1）该周课外阅读时间在8,10的频率为：12(0.0250.0500.0750.1500.0750.025)0.200，该周课外阅读时间在8,10范围内的学生人数10000.200200人；（2）阅读时间超过6小时的概率为：2(0.1500.1000.0750.025)0.700，所以估计该校学生每周课外阅读时间超过6小时的概率为0.700.答案第5页，共6页【点睛】本题考查补全频率分布直方图以及应用，属于基础题.25．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据中位线的性质证明MN∥PB即可；（2）根据线面垂直的判定与性质，证明ACBD，ACPD即可【详解】（1）因为M，N分别是BC，PC的中点，故MN∥PB.又PB平面PDB，MN平面PDB，故MN//平面PDB.（2）因为PD平面ABCD，且AC平面ABCD，故ACPD.又因为四棱锥PABCD的底面是正方形，则ACBD.又BDPDD，BD,PD平面PDB，故AC平面PDB.答案第6页，共6页