2017年下期永州四中、祁阳一中、宁远一中高二期中联考
文科数学
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为( )
A．50 B．40 C．25 D．20
2．某品牌空调在元旦期间举行促销活动，如图所示的茎叶图表示某专卖店记录的每天销售量情况(单位：台)，则销售量的中位数是( )
A．13 B．14 C．15 D．16
3．已知变量x，y呈线性相关关系，线性回归方程为y＝2x＋0.5，则变量x，y是( ) A．线性正相关关系 B．由回归方程无法判断其正负相关 C．线性负相关关系 D．不存在线性相关关系
4. 设m∈R，命题“若m>0，则方程x＋x－m＝0有实根”的逆否命题是( ) A．若方程x＋x－m＝0有实根，则m>0 B．若方程x＋x－m＝0有实根，则m≤0 C．若方程x＋x－m＝0没有实根，则m>0 D．若方程x＋x－m＝0没有实根，则m≤0
1
5．下左边是一个算法的程序框图，当输入的x值为3时，输出y的结果恰好是，则
3处的关系式是( )
2222
2
小学+初中+高中
小学+初中+高中
I＝1
WHILE I<8S＝2I＋3I＝I＋2 WENDPRINT SEND
A．y＝x B．y＝3 C．y＝3
3
－xx D．y＝
x13
6．上右图的程序语句输出的结果S为( ) A．17 B．19 C．21 D．23
7. 已知命题p：“m1”，命题：“直线xy0与直线xm2y0互相垂直”，则命题p是命题的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要
2228.已知命题p：xR,xx10;命题q：若ab,则a A．pq B.pq C.pq D.pq x2y2π 9. 若双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线C的离心率 ab6 为( ) 2323 A．2或3 B． C．2或 D．2 33 10．从一批产品(其中正品、次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数和次品件数，下列事件是互斥事件的是( ) ①恰好有1件次品和恰好有两件次品； ②至少有1件次品和全是次品； ③至少有1件正品和至少有1件次品； ④至少1件次品和全是正品． A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 1ππ11．在区间－，上随机取一个数x，cos x的值介于0到之间的概率为( ) 222小学+初中+高中 小学+初中+高中 1212A. B. C. D. 3π23 12．在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1 内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为( ) A. ππππ B．1－ C. D．1－ 121266 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分） 13．将十进制数15转换成二进制数所得结果为______________． 14．样本中共有五个个体，其值分别为0，1，2，3，m.若该样本的平均值为1，则其样本方差＝________. 15.已知抛物线y＝4x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________． 2 x2y2 16．已知F1、F2是椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1 ab⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，则b＝________． 三、解答题（本大题共6小题，共70分。） 17.（10分）已知p：1－ x－122 ≤2，q：x－2x＋1－m≤0(m＞0)，且p是q的充分而3 不必要条件，求实数m的取值范围． 18．(12分)某工厂有工人1 000名，其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人)．现用分层抽样方法(按A类，B类分二层)从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力(生产能力指一天加工的零件数)． (1)A类工人中和B类工人中各抽查多少工人？ (2)从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2. 表1 小学+初中+高中 小学+初中+高中 生产能 力分组 人数 表2 生产能 力分组 人数 ①先确定x，y，再补全下列频率分布直方图．就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？(不用计算，可通过观察直方图直接回答结论) [110,120) 6 [120,130) [130,140) 36 [140,150) 18 [100,110) [110,120) [120,130) [130,140) [140,150) 4 8 x 5 3 y 图1 A类工人生产能力的频率分布直方图 图2 B类工人生产能力的频率分布直方图 ②分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)． 19．(12分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据. 小学+初中+高中 小学+初中+高中 x y 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5 ^ ^ ^ (1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程y ＝bx＋a ； (2)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出回归直线方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ (参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5) 参考公式 n(xix)(yiy)i1bn(xix)2i1aybx.xyii1nninxy,nx2 xi12i 20. (12分)先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b. (1)求直线ax＋by＋5＝0与圆x＋y＝1相切的概率； (2)在区间[0，6]内任取2个实数x，y，求事件“x＋y>(a－b)恒成立”的概率． 21．（12分）已知圆C过定点F(1,0)，且与直线x＝-1相切，圆心C的轨迹为E，曲线E与直线l：y＝k(x-1)(k∈R)相交于A，B两点． (1)求曲线E的方程； (2)当△OAB的面积等于22时，求k的值． 2 2 2 2 2 x2y21y2222．(12分)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线－xab22 ＝1的焦点重合，过点P(4，0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A，B两点． (1)求椭圆C的方程； →→ (2)求OA·OB的取值范围． 小学+初中+高中 小学+初中+高中 小学+初中+高中 小学+初中+高中 2017年下期永州四中、祁阳一中宁远一中高二期中联考文科数学 参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为( C ) A．50 B．40 C．25 D．20 2．某品牌空调在元旦期间举行促销活动，如图所示的茎叶图表示某专卖店记录的每天销售量情况(单位：台)，则销售量的中位数是( C ) A．13 B．14 C．15 D．16 3．已知变量x，y呈线性相关关系，线性回归方程为y＝2x＋0.5，则变量x，y是( A ) A．线性正相关关系 B．由回归方程无法判断其正负相关 C．线性负相关关系 D．不存在线性相关关系 4. 设m∈R，命题“若m>0，则方程x＋x－m＝0有实根”的逆否命题是( D ) A．若方程x＋x－m＝0有实根，则m>0 B．若方程x＋x－m＝0有实根，则m≤0 C．若方程x＋x－m＝0没有实根，则m>0 D．若方程x＋x－m＝0没有实根，则m≤0 1 5．下左边是一个算法的程序框图，当输入的x值为3时，输出y的结果恰好是，则 3处的关系式是( C) 2222 2 小学+初中+高中 小学+初中+高中 I＝1 WHILE I<8S＝2I＋3I＝I＋2 WENDPRINT SEND B．y＝x B．y＝3 C．y＝3 3 －xx D．y＝ x13 6．上右图的程序语句输出的结果S为( A) A．17 B．19 C．21 D．23 7. 已知命题p：“m1”，命题：“直线xy0与直线xm2y0互相垂直”，则命题p是命题的（ A ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 2228.已知命题p：xR,xx10;命题q：若ab,则a A．pq B.pq C.pq D.pq x2y2π 9. 若双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线C的离心率 ab6 为( B ) 2323 A．2或3 B． C．2或 D．2 33 10．从一批产品(其中正品、次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数和次品件数，下列事件是互斥事件的是( D ) ①恰好有1件次品和恰好有两件次品； ②至少有1件次品和全是次品； ③至少有1件正品和至少有1件次品； ④至少1件次品和全是正品． A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 1ππ11．在区间－，上随机取一个数x，cos x的值介于0到之间的概率为( A ) 222小学+初中+高中 小学+初中+高中 1212A. B. C. D. 3π23 12．在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCDA1B1C1D1 内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为( ) A. ππππ B．1－ C. D．1－ 121266 解析：选B.点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心，以1为半径的半球外．记“点14π33 2－××1 23π P到点O的距离大于1”为事件M，则P(M)＝＝1－. 3 212 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分） 13．将十进制数15转换成二进制数所得结果为______________答案 1111(2) 14．样本中共有五个个体，其值分别为0，1，2，3，m.若该样本的平均值为1，则其样本方差＝________.2 15.已知抛物线y＝4x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．4 2 x2y2 16．已知F1、F2是椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1 ab⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，则b＝________．3 三、解答题（本大题共6小题，共70分。） 17.（10分）已知p：1－ x－122 ≤2，q：x－2x＋1－m≤0(m＞0)，且p是q的充分而3 不必要条件，求实数m的取值范围． 解：由q：x－2x＋1－m≤0，得1－m≤x≤1＋m， 所以 q：Q＝{x|1－m≤x≤1＋m}， 2分 由1－ 2 2 x－1≤2，解得－2≤x≤10， 3 所以 p：P＝{x|－2≤x≤10}， 4分 因为p是q的充分而不必要条件， 小学+初中+高中 小学+初中+高中 所以 Pm＞0，m＞0， Q，所以 1－m＜－2，或1－m≤－2， 8分 1＋m≥101＋m＞10， 即m≥9或m＞9.所以 实数m的取值范围是m≥9. 10分 18．(12分)某工厂有工人1 000名，其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人)．现用分层抽样方法(按A类，B类分二层)从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力(生产能力指一天加工的零件数)． (1)A类工人中和B类工人中各抽查多少工人？ (2)从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2. 表1 生产能 力分组 人数 表2 生产能 力分组 人数 ①先确定x，y，再补全下列频率分布直方图．就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小？(不用计算，可通过观察直方图直接回答结论) ②分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)． 解 (1)A类工人中和B类工人中分别抽查25名和75名． 2分 (2)①由4＋8＋x＋5＋3＝25，得x＝5，6＋y＋36＋18＝75，得y＝15. 频率分布直方图如下： [110,120) 6 [120,130) [130,140) 36 [140,150) 18 [100,110) 4 [110,120) 8 [120,130) [130,140) [140,150) x 5 3 y 小学+初中+高中 小学+初中+高中 图1 A类工人生产能力的频率分布直方图 4分 图2 B类工人生产能力的频率分布直方图 6分 从直方图可以判断：B类工人中个体间的差异程度更小． 7分 48553 ②xA＝×105＋×115＋×125＋×135＋×145＝123，9分 2525252525 xB＝×115＋×125＋×135＋×145＝133.8， 11分 x＝ 2575 ×123＋×133.8＝131.1. 100100 675157536751875 A类工人生产能力的平均数，B类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数 的估计值分别为123,133.8和131.1. 12分 19．(12分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据. x y 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5 ^ ^ ^ (1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程y ＝bx＋a ； (2)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出回归直线方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ (参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5) 小学+初中+高中 小学+初中+高中 n(xix)(yiy)i1bn(xix)2i1aybx.参考公式xyii1ni1ninxy,(1) xi2nx2 3＋4＋5＋62.5＋3＋4＋4.5 解析：(1)x＝＝4.5，y＝＝3.5， 2分 44 4 i＝14 ∑xiyi＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5， ∑xi＝3＋4＋5＋6＝86， 4 ^2 2 2 2 2 i＝1 ∴b＝ ^ i＝1 ∑xiyi－4x y4 ＝2 2 ∑xi－4xi＝1 ^ 66.5－4×3.5×4.5 ＝0.7， 6分 2 86－4×4.5 a＝y－b x＝3.5－0.7×4.5＝0.35. ^ ∴y ＝0.7x＋0.35. ^ ∴所求的回归直线方程为y ＝0.7x＋0.35. 8分 (2)现在生产100吨甲产品用煤 ^ y ＝0.7×100＋0.35＝70.35， 10分 ∴90－70.35＝19.65. ∴生产能耗比技改前降低约19.65吨标准煤． 12分 20. (12分)先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b. (1)求直线ax＋by＋5＝0与圆x＋y＝1相切的概率； (2)在区间[0，6]内任取2个实数x，y，求事件“x＋y>(a－b)恒成立”的概率． 解：(1)先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b包含的基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，…，(6,5)，(6,6)，共36个． 2分 ∵直线ax＋by＋5＝0与圆x＋y＝1相切， ∴ 5 2 2 2 2 2 2 2 a＋b22 ＝1，整理得：a＋b＝25. 4分 22 由于a，b∈{1,2,3,4,5,6}，∴满足条件的情况只有a＝3，b＝4，或a＝4，b＝3两种情况．∴直线ax＋by＋5＝0与圆x＋y＝1相切的概率是（2）记“x＋y>(a－b)恒成立”为事件B， 小学+初中+高中 2 2 2 2 2 21 ＝. 6分 3618 小学+初中+高中 则事件B等价于“x＋y>25恒成立”， 8分 (x，y)可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为Ω＝{(x，y)|0≤x≤6，0≤y≤6，x，y∈R}， 而事件B构成的区域为B＝{(x，y)|x＋y>25，(x，y)∈Ω}． π 所以所求的概率为P(B)＝1－. 12分 4 21．（12分）已知圆C过定点F(1,0)，且与直线x＝-1相切，圆心C的轨迹为E，曲线E与直线l：y＝k(x-1)(k∈R)相交于A，B两点． (1)求曲线E的方程； (2)当△OAB的面积等于22时，求k的值． 解：(1)由题意，点C到定点F(1,0)和直线x＝-1的距离相等， 故点C的轨迹E的方程为y＝4x. 4分 2y4x(2)由方程组消去x后， yk(x1)2 2 2 2 2 整理得ky－4y－4k＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由根与系数的关系有y1＋y2＝ 2 4，y1y2＝－4. 6分 k设直线l与x轴交于点F，所以S△OAB＝S△OAF ＋S△OBF 11 ＝|OF ||y1|＋|OF||y2|， 22 1112 ＝|OF ||y1－y2|＝×1×（y1＋y2）－4y1y2=212 10分 22 k因为S△OAB＝22，所以211k2＝22，解得k＝±1. 12分 x2y21y2222．(12分)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线－xab22 ＝1的焦点重合，过点P(4，0)且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A，B两点． (1)求椭圆C的方程； →→ (2)求OA·OB的取值范围． c1 解：(1)由题意知e＝＝， a2 小学+初中+高中 小学+初中+高中 c2a2－b21422 所以e＝2＝2＝，所以a＝b. 2分 aa43 2 因为双曲线－x＝1的焦点坐标为(0，±3)， 2所以b＝3，所以a＝4， 4分 所以椭圆C的方程为＋＝1. 6分 43 →→ (2)当直线l的倾斜角为0°时，不妨令A(－2，0)，B(2，0)，则OA·OB＝－4， 7分 当直线l的倾斜角不为0°时，设其方程为x＝my＋4， 由 x＝my＋4， 2 2 2 y2 2 x2y2 ⇒得(3m＋4)y＋24my＋36＝0， 3x＋4y＝12 2 2 2 2 2 由Δ>0⇒(24m)－4×(3m＋4)×36>0⇒m>4， 设A(my1＋4，y1)，B(my2＋4，y2)． 24m36 因为y1＋y2＝－2，y1y2＝2， 9分 3m＋43m＋4 116→→2 所以OA·OB＝(my1＋4)(my2＋4)＋y1y2＝my1y2＋4m(y1＋y2)＋16＋y1y2＝2－4，11分 3m＋413→→2 因为m>4，所以OA·OB∈－4，. 4 13→→综上所述，OA·OB的取值范围为－4，. 12分 4 小学+初中+高中 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容