1．（5分）已知复数z满足i（2﹣z）＝3+i，则|z|＝（ ） A．
B．5
C．
D．10
2．（5分）若实数x，y满足条件，则z＝2x﹣y的最大值为（ ）
A．10
3．（5分）已知双曲线
B．6 C．4 D．﹣2
，四点P1（4，2），P2（2，0），P3（﹣
4，3），P4（4，3）中恰有三点在双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ） A．
B．
C．
D．
4．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）
A．7 B．9 C．10 D．11
5．（5分）《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（ ）
A．4 B． C． D．2
6．（5分）某中学有高中生3000人，初中生2000人，男、女生所占的比例如图所示．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取女生21人，则从初中生中抽取的男生人数是（ ）
A．12 B．15 C．20
的左焦点，P为C上一点，
D．21
，则|PA|+|PF|
7．（5分）已知F是椭圆C：的最小值为（ ） A．
B．
C．4 D．
8．（5分）如图为函数y＝f（x）的图象，则该函数可能为（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
9．（5分）下面几个命题中，假命题是（ ） A．“若a≤b，则2a≤2b﹣1”的否命题
B．“∀a∈（0，+∞），函数y＝ax在定义域内单调递增”的否定 C．“π是函数y＝sinx的一个周期”或“2π是函数y＝sin2x的一个周期” D．“x2+y2＝0”是“xy＝0”的必要条件． 10．（5分）若sin（A．2
+2α）＝﹣，α∈（B．
，π），则tan（α+C．﹣2
）的值为（ ） D．﹣
11．（5分）△ABC中，AB＝5，AC＝10，一动点，且A．
＝
B．
＝25，点P是△ABC内（包括边界）的|的最大值是（ ）
D．，BD＝
，则它的外
（λ∈R），则|
C．
12．（5分）在四面体ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝1，AC＝接球的面积S＝（ ） A．4π
B．2π
C．
D．
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13．（5分）已知函数f（x）＝sin2
sinωx
（ω＞0），若f（x）在区间（π，2π）
内没有极值点，则ω的取值范围是 ．
14．（5分）已知f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）单调递增，若f（a﹣3）＜f（4），则a的取值范围为 ． 15．（5分）已知θ为锐角，且cos（θ+
）＝
，则tan（2θ﹣
）＝ ．
），
16．（5分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，O为坐标原点，点M（4，N（﹣1，
），射线MO，NO分别交抛物线C于异于点O的点A，B，若A，B，F三
点共线，则p的值为 ． 三、解答题（共5小题，共70分）
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2+c2﹣b2＝ac，且＝
c．
b
（1）求角A的大小；
（2）设函数f（x）＝1+cos（2x+B）﹣cos2x，求函数f（x）的最大值． 18．（12分）已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn＝2an﹣1（n∈N*）． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）令bn＝log2an，求数列{（﹣1）n
}前2n项的和T．
19．（12分）某城市的华为手机专卖店对该市市民使用华为手机的情况进行调查．在使用华为手机的用户中，随机抽取100名，按年龄（单位：岁）进行统计的频率分布直方图如图：
（1）根据频率分布直方图，分别求出样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数的估计值（均精确到个位）；
（2）在抽取的这100名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20人参加华为手机宣传活动，再从这20人中年龄在[30，35）和[45，50]的人群里，随机选取2人各赠送一部华为手机，求这2名市民年龄都在[30，35）内的概率．
20．（12分）如图，在四面体ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，（Ⅰ）求证：AD⊥BD；
．
（Ⅱ）若AB与平面BCD所成的角为60°，点E是AC的中点，求二面角C﹣BD﹣E的大小．
21．（12分）已知函数f（x）＝ex+m﹣ln（x+2）+ax（x+2）﹣m， （Ⅰ）若a＞0，且f（﹣1）是函数的一个极值，求函数f（x）的最小值； （Ⅱ）若a＝0，求证：∀x∈[﹣1，0]，f（x）≥0． [选修4-5：不等式选讲]
22．（10分）已知函数f（x）＝|a﹣3x|﹣|2+x|． （1）若a＝2，解不等式f（x）≤3；
（2）若存在实数a，使得不等式f（x）≤1﹣a﹣4|2+x|成立，求实数a的取值范围．
2019年安徽省滁州市定远县重点中学高考数学一模试卷
（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1．（5分）已知复数z满足i（2﹣z）＝3+i，则|z|＝（ ） A．
B．5
C．
D．10
【分析】由题意推导出z＝2﹣【解答】解：∵i（2﹣z）＝3+i， ∴z＝2﹣∴|z|＝
＝1+3i， ．
＝1+3i，由此能求出结果．
故选：C．
【点评】本题考查复数的模的求法，考查复数代数形式的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
2．（5分）若实数x，y满足条件，则z＝2x﹣y的最大值为（ ）
A．10 B．6 C．4 D．﹣2
【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，求出最优解，然后求解z的最大值即可．
【解答】解：先根据实数x，y满足条件画出可行域如图，
做出基准线0＝2x﹣y，
由图知，当直线z＝2x﹣y过点A（3，0）时， z最大值为：6． 故选：B．
【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题． 3．（5分）已知双曲线
，四点P1（4，2），P2（2，0），P3（﹣
4，3），P4（4，3）中恰有三点在双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ） A．
B．
C．
D．
【分析】先判断P3（﹣4，3），P4（4，3）中在双曲线上，则P1（4，2）一定不在双曲线上，则P2（2，0）在双曲线上，则可得a＝2，率公式计算即可．
【解答】解：根据双曲线的性质可得P3（﹣4，3），P4（4，3）中在双曲线上， 则P1（4，2）一定不在双曲线上，则P2（2，0）在双曲线上， ∴a＝2，
﹣
＝1，
﹣
＝1，求出b和c，再根据离心
解得b2＝3， ∴c2＝a2+b2＝7， ∴c＝
，
，
∴e＝＝故选：C．
【点评】本题考查了双曲线的简单性质和离心率，属于基础题 4．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）
A．7 B．9 C．10 D．11
【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i，S的值，当S＝﹣lg11时，满足条件，退出循环，输出i的值为9，从而得解． 【解答】解：模拟程序的运行，可得：
，否；
，否； ，否； ，否；
，
是，输出i＝9， 故选：B．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理．
5．（5分）《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（ ）
A．4 B． C． D．2
【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的三棱柱，代入棱柱表面积公式，可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的三棱柱， 底面面积为：×2×1＝1， 底面周长为：2+2×
＝2+2
，
）＝6+4
，
故棱柱的表面积S＝2×1+2×（2+2故选：B．
【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度基础．
6．（5分）某中学有高中生3000人，初中生2000人，男、女生所占的比例如图所示．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取女生21人，则从初中生中抽取的男生人数是（ ）
A．12 B．15 C．20 D．21
【分析】利用扇形图和分层抽样的性质能求出从初中生中抽取的男生人数． 【解答】解：由扇形图得：
中学有高中生3000人，其中男生3000×30%＝900，女生3000×70%＝2100， 初中生2000人，其中男生2000×60%＝1200，女生2000×40%＝800，
用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取女生21人，则
解得n＝50，
∴从初中生中抽取的男生人数是：50×故选：A．
【点评】本题考查从初中生中抽取的男生人数的求法，考查扇形图和分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 7．（5分）已知F是椭圆C：的最小值为（ ） A．
B．
C．4
D．
的左焦点，P为C上一点，
，则|PA|+|PF|
＝12．
，
【分析】椭圆C：，可得a＝3，c＝．设F′为椭圆的右焦点，可得|PF|
＝2a﹣|PF′|，F（﹣2，0），F′（2，0）．根据|PA|+|PF|＝|PA|+2a﹣|PF′|＝2a﹣（|PF′|﹣|PA|）≥2a﹣|AF′|，即可得出． 【解答】解：椭圆C：
，可得a＝3，c＝
＝2．
设F′为椭圆的右焦点，则|PF|＝2a﹣|PF′|，F（﹣2，0），F′（2，0）． ∴|PA|+|PF|＝|PA|+2a﹣|PF′|＝2a﹣（|PF′|﹣|PA|）≥2a﹣|AF′|＝6﹣
，三点P，A，F′共线时取等号． 故选：D．
＝
【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、三角形三边大小关系、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．（5分）如图为函数y＝f（x）的图象，则该函数可能为（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
【分析】根据题意，由f（x）的图象分析可得f（x）为奇函数，进而依次分析选项，判定选项中函数的奇偶性以及函数的符号，由排除法分析，综合即可得答案． 【解答】解：根据题意，由f（x）的图象分析可得f（x）为奇函数， 进而依次分析选项： 对于A，y＝对于B，y＝且0＜x＜对于C，y＝
，有f（﹣x）＝，有f（﹣x）＝时，f（x）＞0，
＜x＜
＝＝﹣
＝f（x），函数为偶函数，不符合题意；＝﹣f（x），函数为奇函数，
时，f（x）＜0，符合题意， ＝﹣
＝﹣f（x），函数为奇函数，
，有f（﹣x）＝
且0＜x＜π时，f（x）＞0，π＜x＜2π时，f（x）＜0，不符合题意， 对于D，y＝故选：B．
【点评】本题考查函数的图象的判断与应用，注意函数的定义域、值域以及奇偶性与单调性的分析．
，当x＞0时，f（x）≥0，反之当x＜0时，f（x）≤0，不符合题意；
9．（5分）下面几个命题中，假命题是（ ） A．“若a≤b，则2a≤2b﹣1”的否命题
B．“∀a∈（0，+∞），函数y＝ax在定义域内单调递增”的否定 C．“π是函数y＝sinx的一个周期”或“2π是函数y＝sin2x的一个周期” D．“x2+y2＝0”是“xy＝0”的必要条件． 【分析】A．利用否命题的意义即可判断出； B．利用指数函数的单调性即可得出；
C．利用正弦函数的单调性和“或命题”的意义即可判断出； D．利用实数的性质和充分必要条件即可判断出．
【解答】解：A．“若a≤b，则2a≤2b﹣1”的否命题是“若a＞b，则2a＞2b﹣1”，是真命题；
B．“∀a∈（0，+∞），函数y＝ax在定义域内单调递增”的否定为“∃a∈（0，+∞），函数y＝ax在定义域内不单调递增”，正确，例如a＝时，函数
在R上单调递减；
C．“π是函数y＝sinx的一个周期”不正确，“2π是函数y＝sin2x的一个周期”正确， 可知：“π是函数y＝sinx的一个周期”或“2π是函数y＝sin2x的一个周期”正确． D．“x2+y2＝0”⇒“xy＝0”，反之不成立，因此“x2+y2＝0”是“xy＝0”的充分不必要条件，因此不正确． 综上可知：只有D是错误． 故选：D．
【点评】本题考查了指数函数的单调性、正弦函数的单调性、简易逻辑的有关知识，属于基础题．
10．（5分）若sin（A．2
+2α）＝﹣，α∈（B．
，π），则tan（α+C．﹣2
）的值为（ ） D．﹣
【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的余弦公式、同角三角函数的基本关系求得tanα的值，再利用两角和的正切公式化简要求的式子可得结果． 【解答】解：sin（3．
+2α）＝cos2α＝
＝
＝﹣，∴tanα＝±
又α∈（故选：D．
，π），∴tanα＝﹣3，则tan（α+）＝＝﹣，
【点评】本题主要考查应用诱导公式、两角和的正切公式化简三角函数式，属于基础题 11．（5分）△ABC中，AB＝5，AC＝10，一动点，且A．
＝
B．
＝25，点P是△ABC内（包括边界）的|的最大值是（ ）
D．
（λ∈R），则|
C．
【分析】以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，根据向量的坐标运算求得y＝
（x﹣3），
|取得最大值．
＝25，
当该直线与直线BC相交时，|
【解答】解：△ABC中，AB＝5，AC＝10，
∴5×10×cosA＝25，cosA＝，∴A＝60°，B＝90°；
以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立如图所示的坐标系， 如图所示，
∵AB＝5，AC＝10，∠BAC＝60°， ∴A（0，0），B（5，0），C（5，5设点P为（x，y），0≤x≤5，0≤y≤∵
＝
﹣λ
，
）＝（3﹣2λ，﹣2
λ），
）， ，
∴（x，y）＝（5，0）﹣λ（5，5∴∴y＝
， （x﹣3），①
直线BC的方程为x＝5，②， 联立①②，得此时|
|最大，
＝
． ，
∴|AP|＝故选：B．
【点评】本题考查了向量在几何中的应用问题，建立直角坐标系是解题的关键，是中档题．12．（5分）在四面体ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝1，AC＝接球的面积S＝（ ） A．4π
B．2π
C．
D．
，BD＝
，则它的外
【分析】先由勾股定理的逆定理得出∠BAD＝∠BCD＝90°，利用直角三角形的性质得知线 段BD的中点为外接球的球心，求出外接球的半径，利用球体的表面积公式可得出答案．【解答】解：如下图所示，
∵AB＝BC＝CD＝DA＝1，
，由勾股定理可得AB2+AD2＝BD2，BC2+CD2＝BD2，
，
， ．
所以，∠BAD＝∠BCD＝90°，设BD的中点为点O，则则点O为四面体ABCD的外接球球心，且该球的半径为因此，四面体ABCD的表面积为故选：B．
【点评】本题考查球体表面积的计算，考查勾股定理的应用，考查计算能力，属于中等题．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13．（5分）已知函数f（x）＝sin2
sinωx
（ω＞0），若f（x）在区间（π，2π）
内没有极值点，则ω的取值范围是 （0，]∪[，] ．
【分析】化函数f（x）为正弦型函数，根据f（x）在区间（π，2π）内没有极值点， 得出关于ω的不等式，从而求出ω的取值范围． 【解答】解：函数f（x）＝sin2＝（1﹣cosωx）+sinωx﹣ ＝（sinωx﹣cosωx） ＝
sin（ωx﹣
），ω＞0；
sinωx
f（x）在区间（π，2π）内没有极值点， ∴2kπ﹣或2kπ+
≤ωπ﹣≤ωπ﹣
＜2ωπ﹣＜2ωπ﹣
≤2kπ+≤2kπ+
， ，k∈Z；
解得2k﹣≤ω≤k+， 或2k+≤ω≤k+，k∈Z；
令k＝0，可得ω∈[﹣，]或ω∈[，]； 又ω＞0，
∴ω的取值范围是（0，]∪[，]． 故答案为：（0，]∪[，]．
【点评】本题考查了三角恒等变换与三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题． 14．（5分）已知f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）单调递增，若f（a﹣3）＜f（4），则a的取值范围为 ﹣1＜a＜7 ．
【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化即可． 【解答】解：∵f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）单调递增， ∴不等式f（a﹣3）＜f（4）等价为f（|a﹣3|）＜f（4）， 即|a﹣3|＜4， 即﹣4＜a﹣3＜4， 得﹣1＜a＜7，
即实数a的取值范围是﹣1＜a＜7，
故答案为：﹣1＜a＜7
【点评】本题主要考查不等式的求解，结合函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．
15．（5分）已知θ为锐角，且cos（θ+
）＝
，则tan（2θ﹣
）＝ ﹣ ．
【分析】利用同角三角函数关系，诱导公式，二倍角的余弦公式，即可得到结论． 【解答】解：∵cos（θ+∴cos（2θ+∴sin（2θ﹣∵θ为锐角， ∴﹣
＜2θ﹣
＜）＝，
， ）＝
， ）﹣1＝，
）]＝﹣cos（2θ+
）＝﹣，
）＝2cos2（θ+）＝﹣sin[
﹣（2θ+
∴cos（2θ﹣
∴tan（2θ﹣）＝＝﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查同角三角函数关系，诱导公式，二倍角的余弦公式，考查学生的计算能力，属于中档题．
16．（5分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，O为坐标原点，点M（4，N（﹣1，
），
），射线MO，NO分别交抛物线C于异于点O的点A，B，若A，B，F三
点共线，则p的值为 2 ．
【分析】由题意求出OM、ON所在直线方程，与抛物线方程联立，求出A，B的坐标， 由向量共线列式求得p的值．
【解答】解：抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F（0，）， 点M（4，
），N（﹣1，
），
则射线MO的方程为y＝﹣x，
NO的方程为y＝x，
由，解得点A（﹣，）；
由
，解得B（p2，
）；
∴＝（，）， ），
＝（﹣p2，
又A，B，F三点共线， ∴
•
+p2•
＝0，
解得p＝±2， ∴p的值为2． 故答案为：2．
【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线与抛物线的位置关系应用问题，是中档题．三、解答题（共5小题，共70分）
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2+c2﹣b2＝ac，且＝
c．
b
（1）求角A的大小；
（2）设函数f（x）＝1+cos（2x+B）﹣cos2x，求函数f（x）的最大值． 【分析】（1）在△ABC中利用余弦定理求得cosB的值，可得B的值；根据b＝弦定理可得C的值，从而求得A＝π﹣B﹣C的值．
（2）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再根据正弦函数的最大值求得f（x）的最大值．
【解答】解：（1）在△ABC中，∵a2+c2﹣b2＝ac，∴cosB＝∵
b＝
c，由正弦定理可得且，∴C＝
sinB＝
sinC， ．
＝，∴B＝
．c，由正
∴sinC＝，故A＝π﹣B﹣C＝
b＝
c，
（2）∵a2+c2﹣b2＝ac，且
由（1）得f（x）＝1+cos（2x+B）﹣cos2x＝1+cos（2x+＝1+cos2x﹣
sin2x﹣cos2x＝1﹣cos2x﹣
）﹣cos2x
），
sin2x＝1+sin（2x+
∴f（x）的最大值为2．
【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，三角恒等变换，正弦函数的最大值，属于中档题．
18．（12分）已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn＝2an﹣1（n∈N*）． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）令bn＝log2an，求数列{（﹣1）n
}前2n项的和T．
【分析】（Ⅰ）由Sn＝2an﹣1（n∈N*）．n≥2时，Sn﹣1＝2an﹣1﹣1，相减可得：an＝2an﹣1，利用等比数列的通项公式即可得出． （Ⅱ）bn＝log2an＝n﹣1．数列{（﹣1）n
+
}前2n项的和T＝﹣
+
﹣
+
+……﹣
＝b1+b2+……+b2n，即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）由Sn＝2an﹣1（n∈N*）．n≥2时，Sn﹣1＝2an﹣1﹣1，相减可得：an＝2an﹣1，
n＝1时，a1＝2a1﹣1，解得a1＝1．
∴数列{an}是等比数列，公比为2，首项为1． ∴an＝2n﹣1．
（Ⅱ）bn＝log2an＝n﹣1．
于是数列{bn}是首项为0，公差为1的等差数列． 数列{（﹣1）n
}前2n项的和T＝﹣
+
﹣
+
+……﹣
+
＝b1+b2+……+b2n ＝0+1+2+……+（2n﹣1） ＝
＝n（2n﹣1）．
【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．（12分）某城市的华为手机专卖店对该市市民使用华为手机的情况进行调查．在使用
华为手机的用户中，随机抽取100名，按年龄（单位：岁）进行统计的频率分布直方图如图：
（1）根据频率分布直方图，分别求出样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数的估计值（均精确到个位）；
（2）在抽取的这100名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20人参加华为手机宣传活动，再从这20人中年龄在[30，35）和[45，50]的人群里，随机选取2人各赠送一部华为手机，求这2名市民年龄都在[30，35）内的概率．
【分析】（1）根据频率分布直方图计算平均数和中位数即可；
（2）用分层抽样法抽取4人位于[30，35）年龄段内，2人位于[45，50]年龄段内， 用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．
【解答】解：（1）根据频率分布直方图，计算平均值为：
＝（27.5×0.01+32.5×0.04+37.5×0.07+42.5×0.06+47.5×0.02）×5＝38.5≈39； 由频率分布直方图知，5×（0.01+0.04）＝0.25＜0.5， 5×（0.06+0.02）＝0.4＜0.5，
所以中位数位于区间[35，40）年龄段中， 设中位数为x，所以0.25+0.07×（x﹣35）＝0.5， 解得x≈39；
（2）用分层抽样的方法，抽取的20人，应有4人位于[30，35）年龄段内， 记为A、B、C、D，2人位于[45，50]年龄段内，记为e、f； 现从这6人中随机抽取2人，设基本事件空间为Ω，则 Ω中的基本事件为AB、AC、AD、Ae、Af、BC、BD、Be、Bf、 CD、Ce、Cf、De、Df、ef共15种不同取法；
设2名市民年龄都在[30，35）为事件A，则
A中包含的基本事件为AB、AC、AD、BC、BD、CD共6种； 所以所求的概率为P（A）＝
＝．
【点评】本题考查了频率分布直方图以及列举法求古典概型的概率问题，是基础题． 20．（12分）如图，在四面体ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，（Ⅰ）求证：AD⊥BD；
（Ⅱ）若AB与平面BCD所成的角为60°，点E是AC的中点，求二面角C﹣BD﹣E的大小．
．
【分析】（Ⅰ）推导出BD⊥BC，AB⊥BC，从而BC⊥平面ABD，BC⊥AD，再由CD⊥AD，得AD⊥平面BCD，由此能证明AD⊥BD．
（Ⅱ）过点B作Bz⊥AB，则Bz⊥平面ABC，以B为原点，建立空间直角坐标系B﹣xyz，利用向量法能求出二面角C﹣BD﹣E的大小．
【解答】证明：（Ⅰ）由已知得BC2+BD2＝CD2，∴BD⊥BC， 又AB⊥BC，BD∩AB＝B，∴BC⊥平面ABD，∴BC⊥AD， 又CD⊥AD，BC∩CD＝C，∴AD⊥平面BCD， ∴AD⊥BD．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AB与平面BCD所成的角为∠ABD，即∠ABD＝60°， 设BD＝2，则BC＝2，在Rt△ADB中，AB＝4， 由（Ⅰ）中，BC⊥平面ABD，得平面ABC⊥平面ABD，
在平面ABD内，过点B作Bz⊥AB，则Bz⊥平面ABC，以B为原点，建立空间直角坐标系B﹣xyz，
则B（0，0，0），A（4，0，0），C（0，2，0），E（2，1，0）， 由xD＝|BD|cos60°＝1，zD＝|BD|sin60°＝
，解得D（1，0，
），
∴＝（2，1，0），＝（1，0，），
设平面BDE的法向量为＝（x，y，z）， 则又
，取z＝1，解得＝（﹣
，2
，1），
＝（﹣3，0，）是平面CBD的一个法向量．
设二面角A﹣BD﹣E的大小为θ，由图知θ为锐角， 则cosθ＝|cos＜
＞|＝
＝
＝，
∴θ＝60°，即二面角C﹣BD﹣E的大小为60°．
【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 21．（12分）已知函数f（x）＝ex+m﹣ln（x+2）+ax（x+2）﹣m， （Ⅰ）若a＞0，且f（﹣1）是函数的一个极值，求函数f（x）的最小值； （Ⅱ）若a＝0，求证：∀x∈[﹣1，0]，f（x）≥0．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据函数的极值求出m的值，从而求出函数的单调性、最值问题；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论函数的单调性求出函数的最小值，从而证明结论． 【解答】解：（I）f（x）＝ex+m﹣ln（x+2）+ax2+2ax﹣m，定义域为（﹣2，+∞）， f′（x）＝ex+m﹣
+2ax+2a，
由题意知f′（﹣1）＝0，即em﹣1﹣1＝0，解得：m＝1， 所以f（x）＝ex+1﹣ln（x+2）+ax（x+2）﹣1， f′（x）＝ex+1﹣
+2ax+2a，
又y＝ex+1、y＝﹣
、y＝2ax+2a（a＞0）在（﹣2，+∞）上单调递增，
可知f′（x）在（﹣2，+∞）上单调递增，又f′（﹣1）＝0，
所以当x∈（﹣2，﹣1）时，f′（x）＜0；当x∈（﹣1，+∞）时，f′（x）＞0， 得f（x）在（﹣2，﹣1）上单调递减，f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增， 所以函数f（x）的最小值为f（﹣1）＝1﹣a﹣1＝﹣a；
（II ）若a＝0，得f（x）＝ex+m﹣ln（x+2）﹣m，f′（x）ex+m﹣
，
由f′（x）在（﹣1，0）上单调递增，可知f（x）在（﹣1，0）上的单调性有如下三种情形：①当f（x）在（﹣1，0）上单调递增时，
可知f′（x）≥0，即f′（﹣1）≥0，即em﹣1﹣1≥0，解得：m≥1， f（﹣1）＝em﹣1﹣m，令g（m）＝em﹣1﹣m，则g′（m）＝em﹣1﹣1≥0，
所以g（m）单调递增，g（m）≥g（1）＝0，所以f（x）≥f（﹣1）＝g（m）≥0； ②当f（x）在（﹣1，0）上单调递减时，
可知f′（x）≤0，即f′（0）≤0，即em﹣≤0，解得：m≤﹣ln2， 得f（0）＝em﹣ln2﹣m≥em﹣ln2+ln2＝em＞0，所以f（x）≥f（0）＞0； ③当f（x）在[﹣1，0]上先减后增时，得f′（x）在[﹣1，0]上先负后正， 所以∃x0∈（﹣1，0），f′（x0）＝0，即可知f（x）min＝f（x0）＝所以f（x）＞0；
综上①②③得：∀x∈[﹣1，0]，f（x）≥0．
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题． [选修4-5：不等式选讲]
22．（10分）已知函数f（x）＝|a﹣3x|﹣|2+x|． （1）若a＝2，解不等式f（x）≤3；
（2）若存在实数a，使得不等式f（x）≤1﹣a﹣4|2+x|成立，求实数a的取值范围． 【分析】（1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出取并集即可；
（2）由题意知这是一个存在性的问题，须求出不等式左边的最大值，可运用绝对值不等式
＝，取对数得x0+m＝﹣ln（x0+2），
+x0＝
＞0，
﹣ln（x0+2）＝﹣m＝
的性质可得最大值，再令其大于等于a，即可解出实数a的取值范围． 【解答】解：（1）a＝2时：f（x）＝|3x﹣2|﹣|x+2|≤3， 可得
或或
，
解得：﹣≤x≤；
故不等式的解集是[﹣，]；
（2）不等式f（x）≤1﹣a﹣4|2+x|成立， 即|3x﹣a|+|3x+6|≤1﹣a， 由绝对值不等式的性质可得：
||3x﹣a|+|3x+6||≥|（3x﹣a）﹣（3x+6）|＝|a+6|， 即有f（x）的最小值为|a+6|≤1﹣a， 解得：a≤﹣．
【点评】本题考查绝对值不等式，求解本题的关键是正确理解题意，区分存在问题与恒成立问题的区别，本题是一个存在问题，本题是一个易错题．
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