(一)瑞典圆弧法

（一） 瑞典圆弧法

又称为瑞典法，普通条分法，一般条分法，费伦纽斯法〔Ordinary or Fellenius method〕。

1简化条件

仅适用圆弧滑裂面；假定每一土条侧向垂直面上的作用力平行于土条底面〔亦有认为是忽略土条两侧的作用力〕，此假定会使牛顿“作用力等于反作用力〞的原理在两个土条之间得不到满足；

2坐标系和条块受力分析

① 坐标系规定：滑坡体位于坐标系原点的右侧 即 x ≥ 0

xc,yc坡面荷载yRX0MomCrestox...iXnEn21E0...nMomToei

② 典型条块受力分析

xc,ycbiQiyRQixmiPi-1hKicWiPiWiSiiNiUi

hi,宽度为bi,底滑面长度为li，底滑面倾角为i；Wi；

KcWi，Kc为地震影响系数； Ni；

UiuWiseci，

u为孔〔Ⅰ〕条块高度为 〔Ⅱ〕条块自重为〔Ⅲ〕地震力〔Ⅳ〕作用于条块底部滑裂面的有效法向力〔Ⅴ〕作用于条块底部滑裂面孔隙水压力的合力隙水压力系数；〔Ⅵ〕作用于条块底部的剪切力Si；

〔Ⅶ〕作用于条块界面条间力的合力Pi-1 Pi,平行于土条底部滑裂面； 〔Ⅷ〕作用于条块顶部的外部荷载Qix Qiy，作用点〔xpi ypi〕。 ③ 条块参数取值及符号约定 〔Ⅰ〕条块底滑面倾角i

定义条块底滑面为矢量，方向与滑体滑动方向相反，定义该矢量与正x轴的 夹角为条块底滑面倾角i，逆时针为正

y2yi1x1ixi为正值 )( 2( i为负值 )

if (x2 x1) else

iarcsin(y2y1) li落在二三象限，方法同垂直条分法求解

〔那么l(x2x1)2(y2y1)2〕

注意：一般情况下，i取值范围为〔,〕，滑面1→2落在一、四象限； 22 特殊情况，如滑面1→2落在二、三象限，那么无法利用垂直条分法求解，此时滑面不再是单值曲线，垂直条块界面和底滑面存在二个及以上的交点，因此程序设计时要进行数据合理性检验。

y2y1x1x2

〔Ⅱ〕水平、竖直方向荷载在条块底部滑面法线及切线方向投影

水平荷载Fx：

RR2αi1Fx1αiFx2( i为正值 )i为负值 )(

在法线方向投影

FxnFxcos(i)2 Fxsini在切线方向投影

FxsFxcosi ②竖直方向荷载Fy：

RFyFyR2i11i2在底滑面法线方向投影

FynFycosi 在底滑面切线方向投影

FysFysini

适用于i,，1→2属于1、2、3、4象限均可。

3平安系数计算公式

取条块底部法线方向力的平衡，可得

NiUi(QixKcWi)(sini)(QiyWi)cosi0

Ni(QixKcWi)sini(QiyWi)cosiUi那么

FxsiniFycosiUi

其中

FxQixkcWi ， FyQiyWi

NitgiCili条底剪切力 Si〔其中i，Ci为有效摩擦角和有效内聚力〕

Fs根据原体力矩平衡方程，可得：

nnnnSRWRsinKW(yiiicii1i1i1ni1cymi)Qix(ycypi)Qiy(xcxpi)i1miEn(ycyn)Xn(xcxn)E0(ycy0)X0(xcx0)MomCrestMomToe0

其中：〔x0,y0〕为1号条块端部作用力E0,X0作用点

〔xn,yn〕为n号条块端部作用力En,Xn作用点 〔xmi,ymi〕为i号条块质心坐标

所以：

1Fs

ni1(NtgCl)Riiiii1niicici1nWRsinKW(ynymi)Qix(ycypi)Qiy(xcxpi)

i1nEn(ycyn)Xn(xcxn)E0(ycy0)X0(xcx0)

记抗滑力矩：Mr(NitgiCili)R

i1 滑动力矩：

nnnMsWiRsiniKcWi(ycymi)Qix(ycypi)Qiy(xcxpi)i1i1i1

En(ycyn)Xn(xcxn)E0(ycy0)X0(xcx0)MomCrestMomToe

所以

FsMr Ms当忽略端部力，地震荷载，坡面荷载，那么上式退化成

NiWicosiuWiseci

FsWcosii1niuWisecitgiCiliWsinii1n

i4关于端部力和坡面荷载的讨论

① 滑体上端部〔1号条块右侧截面〕

滑面顶部设置拉力缝，拉力缝高度有用户手动设定为ht，拉力缝可以设置充

(1)E0水高度或不充水 当不充水时，E0X00，

xt,yt

当充水时，充水高度hyht〔其中y为充水高度比例，在0～1之间选择〕那么

E01wh2 2X00 x0xt

1y0yth

3② 滑体下端部〔n号条块左侧界面〕

坡外水位（高程为Hw）q0xt,ysXn... m个外荷载En(n)XbEbxt,ybEb,ybq1xt,yt

当不考虑坡外水位按等效置换法计算时

q0q10

EnEb

b1mmXnXb

b1xnxt

ynycb1mEb(ycyb) En当坡外水位作为水压力参加计算时，那么 If (HWyt)

坡外无水

Else if 〔HWys〕﹛q00；q1w(Hwyt)；﹜ Else

﹛q0w(Hwys)；q1w(Hwyt)；﹜

其中Hw为坡外水位高程

水压力合力Ew为：

If〔HWyt&&HWys〕 EWElse if (HWys)

1(q0q1)(Hwyt)； 21EW(q0q1)(ysyt)；

2水压力合力作用点位置〔xw,yw〕为：

xwxt

If (HWyt&&HWys) Else if〔HWys〕

212﹛ywHw(Hwyt)Hwyt；﹜

3331q1﹛ywysysyt；﹜

33(qq)01滑体下端部所受合力〔En,Xn〕及其作用点位置〔xn,yn〕为：

EnEbEW；

b1mXnXb；

b1mxnxt；

ynysb1mEbE(ysyb)w(ysyw)； EnEn③ 坡面集中荷载

两种输入方式： 方式一

QQy荷载〔Qx,Qy〕，与x、y坐标轴正向保持一致，反之为负作用点位置〔xP,yP〕 方式二

yxp,ypQx

QxQcosQyQsinQθx,yppx输入荷载力Q〔KN〕,始终为正值；

输入Q与x轴正向的夹角θ，逆时针为正，顺时针为负，取值范围[-π， π]； 输入荷载作用点坐标〔xP,yP〕

程序设计是采用方式二输入，主要便于锚固力输入。 ④ 坡面分布荷载

均可简化成多个作用于某条直线的线性荷载

q0q1①1S0第一种输入方式：〔分解成水平与竖直荷载〕

输入荷载: q0(KN/m2)，作用点〔x0,y0〕

ol

q0②So

q1(KN/m2)，作用点〔x1,y1〕 q0 q1始终为正值输入

q1

0 1〔与正x轴的夹角，逆时针为正，取值范围[-π，π]，0与尽量相同或差180°，即qq101矢量应平行〕

计算线性荷载合力及其作用点位置

Qyq1yq0ysotllsotq1xq0xQx

q0xq0cos0 q0yq0sin0 q1xq1cos1

q1yq1sin1

︾

qq1xq0xyq0yxq0xls qq1yq0yls

〔其中lx221x2y1y2〕

线性荷载合力：

q0xq1xx2lqq

0y1yy2l 作用点位置：作用点正在s局部坐标下的位置

1q1xtl ① 33q0xq1x1q1ytl

33qq0y1y②

在q0 q1平行的情况下①式和②式是相等的，因此任取其中一个方程即可求得t值。

程序设计时，当q1xq0x0时，取①式计算t值

否那么，取②式计算t值

ysltoxss所以合力作用点在原坐标系下的〔x，y〕值为

txx0(x1x0)l » 适用任意情况

tyy0(y1y0)ls

第二种常用输入方式：〔分解成垂直与切向荷载〕

q1q0soτ0lτ1输入荷载：q0(KN/m)，作用点〔x0,y0〕

2

q1(KN/m2)，作用点〔x1,y1〕垂直向下为正 切向荷载0(KN/m2)，1(KN/m2)

以起点指向末点为正，即A〔x0,y0〕→B〔x1,y1〕

⑤ 计算线性荷载合力及作用点位置

分三种情况讨论：

情况一：AB(S)落在一、四象限，定义坡面倾角为β，范围[-π，π]

If 〔x1x0〕 arcsin(y1y0) 〔一、四象限〕 ly1y0)〔二象限〕 ly1y0)〔三象限〕 lElse 〔x1x0&&y1y0〕arcsin(Else〔x1x0&&y1y0〕arcsin(其中 lxy2x(yy) 10102slβAxBAB与正x轴的夹角为坡面倾角β，逆时针为正

q1

q0lSBτ1垂直荷载合力 N

切向荷载合力 Tq0q1l 2Aτ0

012l

xNcos(90)Tcos所以：

yNsin(90)TsinxNsinTcos即

yNcosTsin情况二：情况三：ySTβxANAB(S)落在第二象限

xNsinTcos

yNcosTsinySTβxAN

AB(S)落在第三象限

xNsinTcos

yNcosTsin

yAxβTSN

情况二和情况三可以合并。

对所有情况，合力作用点位置为：

1q1tl〔如q0q10，不存在垂直向荷载，那么33q0q111tl〕 3301坐标:

txx0(x1x0)l

tyy0(y1y0)l对线性分布荷载总结如下： 程序设计是要考虑这两种输入方式，

对线性分布荷载而言，其合力和合力作用点位置可总结如下：

对S矢量，方向线性荷载q0q1〔方向平行〕

q0q1l 那么合力：Q2Qq1q0S1q1合力作用点位置： tl

33q0q1oθtl

q0loS※规定一个方向为正值，反之为负。证明如下：

qq0q1q0s lq1

合力矩：

Mnqscosds0lq02q1q0s3scosl32q02q1q0l3lcos2l3合力：Qq0q1l 2l0〔可对任意一点求矩，对O点求矩〕

所以：t1Mnq1l

Qcos33q0q1※为了维持条块力和力矩平衡，合力作用点范围可以在[0，e]范围之外 但当q0q10时，那么此时合力为0，只有纯力矩〔偶力矩〕作用，因此不存在合力作用点问题，严格地说，此时应该计算力偶矩并施加给相应的条块，目前程序做忽略处理。

※对线性荷载的程序设计：

Step1：判断条块顶部1→2是否存线性分布荷载，根据1→2坐标判断；

q0q121

x、q2x、q1y，根据1、2点与A或By与q2Step2：计算在坡面定点1、2处的q1得距离S

q0q1A12B Step3：按相应公式计算1→2线性荷载的合力和作用点 ⑥ 计算某条块i坡面合力Qx、Qy及作用点位置

F2BAOFmF1

程序处理一：

QxFjx

j1mQyFjy

j1m合力作用点位置假定为坡面重点O，此时忽略了2阶微量，是可行的。 程序处理二：

QxFjx

j1mQyFjy

j1m严格计算合力作用点〔x,y〕，对O点取矩

QyBAx,yppQx

合力矩：MFjx(y0yj)Fjy(x0xj)

j1j1mmStep1：如果合力Qx0&&Qy0&&M0，记录合力矩作用于该条块 Step2：MQx(y0y)Qy(x0x)

如果Qx0，那么取xx0，yMy0 Qx如果Qx0，那么取yy0，xx0QyM QyQQyBQxAx,yppQx

注意：不必苛求合力作用点〔x,y〕位于坡面，只求维持合力

产生力矩平衡即可。因为作用点只要位于Q延长线上一点，即可

保持力矩平衡。

5后处理

⑴ 计算指定滑面的平安系数 ⑵ 计算底滑面有效法向应力

NiUNUi，空隙水压力i,底滑面总应力i，画出lilili其分布规律〔沿x轴〕，这三个数应始终为正值，假设＜0，那么应对程

序进行检查。

SiNitgiCili⑶ 计算底滑面剪应力i，Si，画出其分布。对瑞典法

liFs而言，无法提供条块界面力Pi分布。