2018-2019学年江苏省苏州市高一下学期期末数学试题(解析版)

一、单选题

1．在平面直角坐标系xOy中，直线l:xy0的倾斜角为（ ） A．0 【答案】B

【解析】设直线l:xy0的倾斜角为，[0，180)，可得tan1，解得．【详解】

设直线l:xy0的倾斜角为，[0，180)．

B．45

C．90

D．135

tan1，解得45．

故选：B． 【点睛】

本题考查直线的倾斜角与斜率之间的关系、三角函数求值，考查推理能力与计算能力，属于基础题．

2．从A，B，C三个同学中选2名代表，则A被选中的概率为（ ） A．

1 3B．

1 4C．

1 2D．

2 3【答案】D

【解析】先求出基本事件总数，A被选中包含的基本事件个数2，由此能求出A被选中的概率． 【详解】

从A，B，C三个同学中选2名代表， 基本事件总数为：AB,AC,BC，共3个，

A被选中包含的基本事件为：AB,AC，共2个，

A被选中的概率p故选：D． 【点睛】

本题考查概率的求法，考查列举法和运算求解能力，是基础题．

3．正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线AA1与BC所成角的大小为（ ）

2． 3第 1 页 共 16 页

A．30° 【答案】D

B．45 C．60 D．90

【解析】利用异面直线AA1与BC所成角的的定义，平移直线BC，即可得答案． 【详解】

在正方体ABCDA1B1C1D1中，易得A1AD90．

QAD//BC

异面直线AA1与BC垂直，即所成的角为90.

故选：D． 【点睛】

本题考查异面直线所成角的定义，考查对基本概念的理解，属于基础题.

4．甲、乙、丙、丁四名运动员参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示，从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是（ ） 人 甲 数据 平均数x 方差s2 A．甲 【答案】C

【解析】甲，乙，丙，丁四个人中乙和丙的平均数最大且相等，甲，乙，丙，丁四个人中丙的方差最小，说明丙的成绩最稳定，得到丙是最佳人选． 【详解】

B．乙

C．丙

D．丁

8.6 3.5 8.9 3.5 8.9 2.1 8.2 5.6 乙 丙 丁 Q甲，乙，丙，丁四个人中乙和丙的平均数最大且相等，

甲，乙，丙，丁四个人中丙的方差最小， 说明丙的成绩最稳定，

综合平均数和方差两个方面说明丙成绩即高又稳定， 丙是最佳人选，

故选：C．

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【点睛】

本题考查平均数和方差的实际应用，考查数据处理能力，求解时注意方差越小数据越稳定.

5．在平面直角坐标系xOy中，点P（2，–1）到直线l：4x–3y+4=0的距离为（ ） A．3 【答案】A

【解析】由点到直线距离公式计算． 【详解】

B．

11 5C．1

D．35 d423(1)44(3)223．

故选：A． 【点睛】

本题考查点到直线的距离公式，掌握距离公式是解题基础．点P(x0,y0)到直线

AxByC0的距离为dAx0By0CAB22．

6．在VABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2，A的值为（ ） A．4 【答案】B

【解析】由正弦定理可得，【详解】 ∵a2，AB．

3，则

csinC43 3C．23 D．

3 4ac，代入即可求解． sinAsinCac， sinAsinC3，∴由正弦定理可得，

c243则sinC3. 32故选：B． 【点睛】

本题考查正弦定理的简单应用，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题．7．用斜二测画法画一个边长为2的正三角形的直观图，则直观图的面积是：

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A．

3 2B．3 4C．

6 4D．

6 2【答案】C

【解析】分析：先根据直观图画法得底不变，为2，再研究高，最后根据三角形面积公式求结果.

详解：因为根据直观图画法得底不变，为2，高为3126 ， =224所以直观图的面积是选C.

166 2=，244点睛：本题考查直观图画法，考查基本求解能力.

8．某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率如下： 排队人数 0 1 2 3 4 5 0.04 概率

0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 则至少有两人排队的概率为（ ） A．0.16 【答案】D

【解析】利用互斥事件概率计算公式直接求解． 【详解】

由某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率表，得： 至少有两人排队的概率为：

B．0.26

C．0.56

D．0.74

P1P(X0)P(X1)10.10.160.74．

故选：D． 【点睛】

本题考查概率的求法、互斥事件概率计算公式，考查运算求解能力，是基础题． 9．在△ABC中，如果sinA:sinB:sinC2:3:4，那么cosC等于 （ ） A．

2 3B．2 3C．1 3D．1 4第 4 页 共 16 页

【答案】D

【解析】解：由正弦定理可得；sinA：sinB：sinC=a：b：c=2：3：4 可设a=2k，b=3k，c=4k（k＞0）由余弦定理可得，CosC=-1,选D 414 3 10．若长方体三个面的面积分别为2，3，6，则此长方体的外接球的表面积等于（ ）A．49 【答案】C

【解析】设长方体过一个顶点的三条棱长分别为a，b，c，由已知面积求得a，b，c的值，得到长方体对角线长，进一步得到外接球的半径，则答案可求． 【详解】

设长方体过一个顶点的三条棱长分别为a，b，c，

B．

49 4C．14

D．

ab2则bc3，解得a2，b1，c3． ac6长方体的对角线长为22123214．

则长方体的外接球的半径为

14， 2此长方体的外接球的表面积等于4(14)214．

2故选：C． 【点睛】

本题考查长方体外接球表面积的求法，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意长方体的对角线长为长方体外接球的直径.

11．已知平面平面，直线m平面，直线n平面，Il，在下列说法中，

①若mn，则ml；②若ml，则m；③若m，则mn. 正确结论的序号为（ ） A．①②③ 【答案】D

【解析】由面面垂直的性质和线线的位置关系可判断①；由面面垂直的性质定理可判断②；由线面垂直的性质定理可判断③． 【详解】

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B．①②

C．①③

D．②③

平面平面．直线m平面，直线n平面，Il， ①若mn，可得m，l可能平行，故①错误；

②若ml，由面面垂直的性质定理可得m，故②正确； ③若m，可得mn，故③正确． 故选：D． 【点睛】

本题考查空间线线和线面、面面的位置关系，主要是平行和垂直的判断和性质，考查推理能力，属于基础题．

12．已知VABC中，则BC边上的中线AM的长度为（ ）BC3，CA4，AB2，A．

31 2B．31 C．231 D．

31 4【答案】A

【解析】利用平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和，求AM的长． 【详解】

延长AM至D，使MDAM，连接BD、CD，如图所示；

由题意知四边形ABDC是平行四边形，且满足ADBC2(ABAC)， 即3(2AM)2(24)，

22222222解得AM31， 231． 2所以BC边上的中线AM的长度为故选：A． 【点睛】

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本题考查平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和应用问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．

二、填空题

13．在平面直角坐标系xOy中，若直线xay2a2与直线xy10平行，则实数a的值为______. 【答案】1

【解析】由a10，解得a，经过验证即可得出． 【详解】

由a10，解得a1．

经过验证可得：a1满足直线xay2a2与直线xy10平行， 则实数a1． 故答案为：1． 【点睛】

本题考查直线的平行与斜率之间的关系，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 14．如图，某人在高出海平面方米的山上P处，测得海平面上航标A在正东方向，俯角为30°，航标B在南偏东60，俯角45，且两个航标间的距离为200米，则

h__________米.

【答案】200

【解析】根据题意利用方向坐标，根据三角形边角关系，利用余弦定理列方程求出h的值． 【详解】

航标A在正东方向，俯角为30°，由题意得APC60，PAC30． 航标B在南偏东60，俯角为45，则有ACB30，CPB45． 所以BCPCh，ACPC3h；

tan30由余弦定理知AB2BC2AC22BCgACgcosACB，

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即40000h23h22hg3hg可求得h200（米)． 故答案为：200． 【点睛】

3， 2 本题考查方向坐标以及三角形边角关系的应用问题，考查余弦定理应用问题，是中档题．15．一个封闭的正三棱柱容器，该容器内装水恰好为其容积的一半（如图1，底面处于水平状态），将容器放倒（如图2，一个侧面处于水平状态），这时水面与各棱交点分别为E，F、E1，F1，则

AE的值是__________. EB

【答案】21

VAEFA1E1F11AEEFk2，由此能求出AE的k，则k，由题意得：【解析】设

VABCA1B1C12EBABBC值． 【详解】

AEEFk，则k， ABBC1VAEFA1E1F12AEEFsinAEFAA11k2，解得k2， 由题意得：

VABCA1B1C11ABBCsinABCAA2212设

AE221． EB22故答案为：21． 【点睛】

本题考查两线段比值的求法、三棱柱的体积等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

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16．在平面直角坐标系xOy中，已知直角VABC中，直角顶点A在直线xy60上，顶点B，C在圆xy10上，则点A横坐标的取值范围是__________. 【答案】[4,2]

【解析】由题意画出图形，写出以原点为圆心，以25为半径的圆的方程，与直线方程联立求得x值，则答案可求． 【详解】

如图所示，当点A往直线两边运动时，BAC不断变小，

当点A为直线上的定点时，直线AB,AC与圆相切时，BAC最大， ∴当ABOC为正方形，则OA25，

则以O为圆心，以25为半径的圆的方程为xy20．

2222yx6联立2，得x26x80． 2xy20解得x4或x2．

点A横坐标的取值范围是[4,2]．

故答案为：[4,2]．

【点睛】

本题考查直线与圆位置关系的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意坐标法的应用.

三、解答题

17．在平面直角坐标系xOy中，已知点P是直线2xy0与直线xy30的交点. （1）求点P的坐标；

（2）若直线l过点P，且与直线3x2y10垂直，求直线l的方程. 【答案】（1）(1,2)；（2）2x3y40

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【解析】（1）由两条直线组成方程组，求得交点坐标；

（2）设与直线3x2y10垂直的直线方程为2x3ym0，代入点P的坐标求得m的值，可写出l的方程． 【详解】

（1）由直线2xy0与直线xy30组成方程组，

得2xy0，

xy30x1解得，

y2所以点P的坐标为(1,2)；

（2）设与直线3x2y10垂直的直线l的方程为2x3ym0， 又直线l过点P(1,2)，所以26m0，解得m4， 直线l的方程为2x3y40． 【点睛】

本题考查直线方程的求法与应用问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.

B，C所对的边分别为a，b，c.已知A30，B105，a10. 18．在VABC中，角A，（1）求c：

（2）求VABC的面积.

【答案】（1）102；（2）25325

【解析】（1）由已知可先求C，然后结合正弦定理可求c的值；

（2）利用两角和的正弦函数公式可求sinB的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．【详解】

（1）QA30，B105，C45，

Qa10，由正弦定理

acagsinC，可得：csinAsinCsinA101222102.

（2）Qsin105sin(6045)sin60cos45cos60sin4562， 4第 10 页 共 16 页

SABC【点睛】

1162acsinB1010225325． 224本题考查正弦定理，三角形的面积公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.

19．某地区2012年至2018年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：年份 年份代号x 人均纯收入y

（1）已知y与x线性相关，求y关于x的线性回归方程；

（2）利用（1）中的线性回归方程，预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入.

2012 1 2.9 2013 2 3.3 2014 3 3.6 2015 4 4.4 2016 5 4.8 2017 6 5.2 2018 7 5.9 ˆbxa中，b（附：线性回归方程yxynxyxxyyiiiii1nnni1xi12inx2xxii1n，

2aybx，其中x,y为样本平均数）

ˆ0.5x2.3；【答案】（1）y（2）6.8千元．

【解析】（1）由表中数据计算x、y，求出回归系数，得出y关于x的线性回归方程；

ˆ的值，即可得出结论． （2）利用线性回归方程计算2020年对应x9时y【详解】

（1）由表中数据，计算x1(1234567)4， 71y(2.93.33.64.44.85.25.9)4.3，

7(xx)(yy)iii173(1.4)(2)(1)(1)(0.7)00.510.921.6314，

(xx)ii172(3)2(2)2(1)20212223228，

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b(xx)(yy)iii17(xx)ii172140.5， 28aybx4.30.542.3，

y关于x的线性回归方程为：yˆ0.5x2.3；

ˆ0.592.36.8（千元）（2）利用线性回归方程，计算x9时，y， 预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．

【点睛】

本题考查线性回归方程的求法与应用问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查数据处理．

20．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，AB2，AA，点N为12AB中点，点M在边AB上.

（1）当点M为AB中点时，求证：C1N//平面ACM； 1. （2）试确定点M的位置，使得AB1平面ACM1【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】（1）推导出C1N//CM，由此能证明C1N//平面ACM． 1（2）当点M是AB中点时，推导出AA1CM，ABCM，从而CM平面

AA1B1B，进而A1MCM，推导出△AA1M∽BAB1，从而AB1A1M，由此能证

明AB1平面ACM． 1【详解】

（1）Q在直三棱柱ABCA1B1C1中， 点N为A1B1中点，M为AB中点，

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C1N//CM，

QC1N平面ACM，CM平面ACM， 11C1N//平面ACM． 1（2）当点M是AB中点时，使得AB1平面ACM． 1证明如下：

Q在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，AB2，AA12，

点N为A1B1中点，点M是AB中点，

AA1CM，ABCM，

QAA1ABA，CM平面AA1B1B， QA1M平面AA1B1B，A1MCM，

QAM12(2)23，AB22(2)26，

11A1MAA1，△AA1M∽BAB1， AB1ABAA1MBAB1，AMA1AB1B，

AB1A1M，

QA1MCMM，AB1平面ACM． 1【点睛】

本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

21．在平面直角坐标系xOy中，已知点P(0,6)，圆C:x2y210x10y0. （1）求过点P且与圆C相切于原点的圆的标准方程； （2）过点P的直线l与圆C依次相交于A，B两点. ①若AOPB，求l的方程；

②当VABC面积最大时，求直线l的方程.

①8x5y300；②x0或y(x3)(y3)18；【答案】（1）（2）

2248x6． 55【解析】（1）设所求圆的圆心为C1，而所求圆的圆心与C、O共线，故圆心C1在直线

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yx上，又圆C1同时经过点O与点P(0,6)，求出圆C1的圆心和半径，即可得答案；

（2）①由题意可得OB为圆C的直径，求出B的坐标，可得直线l的方程；

②当直线l的斜率不存在时，直线方程为x0，求出A，B的坐标，得到ABC的面积；当直线l的斜率存在时，设直线方程为ykx6．利用基本不等式、点到直线的距离公式求得k，则直线方程可求． 【详解】

2222（1）由xy10x10y0，得(x5)(y5)50，

圆C的圆心坐标(5,5)，设所求圆的圆心为C1．

而所求圆的圆心与C、O共线，故圆心C1在直线yx上， 又圆C1同时经过点O与点P(0,6)，

圆心C1又在直线y3上，则有：x3yx ，解得：，即圆心C1的坐标为(3,3)，

y3y3又|OC1|323232，即半径r32， 故所求圆C1的方程为(x3)(y3)18；

（2）①由AOPB，得OB为圆C的直径，则OB过点C，OB的方程为yx，

22yx联立，解得B(10,10)， 22(x5)(y5)50直线l的斜率k1068，

10058则直线l的方程为yx6，即8x5y300；

5②当直线l的斜率不存在时，直线方程为x0，此时A(0,0)，B(0,10)，C(5,5)，

1SABC10525；

2当直线l的斜率存在时，设直线方程为ykx6．

再设直线被圆所截弦长为2a，则圆心到直线的距离d50a2， 则SABC1a250a22222g2ag50aa(50a)„()25． 22当且仅当a250a2，即a5时等号成立． 此时弦长为10，圆心到直线的距离为5，由|5k56|1k25，解得k48．

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直线方程为y48x6． 5548x6． 55当ABC面积最大时，所求直线l的方程为：x0或y【点睛】

本题考查圆的方程的求法、直线与圆的位置关系应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 22．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,0)，B(10,0)，C(11,3)，D(10,6).

（1）①证明：cosABCcosADC0；

②证明：存在点P使得PAPBPCPD.并求出P的坐标；

（2）过C点的直线l将四边形ABCD分成周长相等的两部分，产生的另一个交点为E，求点E的坐标.

【答案】（1）①见解析；②见解析，(6,3)；（2）(143,). 55【解析】（1）①利用夹角公式可得cosABCcosADC0；②由条件知点P为四边形ABCD外接圆的圆心，根据ABgBC0，可得ABBC，四边形ABCD外接圆的圆心为AD的中点，然后求出点P的坐标；

uuuruuuruuuruuur10x9(x2)(x,y)（2）根据条件可得ED9AE，然后设E的坐标为，根据，

6y9y可得E的坐标． 【详解】

（1）①QA(2,0)，B(10,0)，C(11,3)，D(10,6)，

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uuuruuuruuuruuurBA(8,0)，BC(1,3)，DA(8,6)，DC(1,3)，

uuuruuurBAgBC810cosABCuuuuruuuuur，

10|BA||BC|810uuuruuurDAgDC1010ruuuuurcosADCuuuuu，

10|DA||DC|1010cosABCcosADC0；

②由PAPBPCPD知，点P为四边形ABCD外接圆的圆心，

uuuruuuruuuruuurQAB(8,0)，BC(0,6)，ABgBC0，

ABBC，四边形ABCD外接圆的圆心为AD的中点，

点P的坐标为(6,3)；

（2）由两点间的距离公式可得，AB8，BCCD10，AD10，

Q过C点的直线l将四边形ABCD分成周长相等的两部分，

uuuruuurED9AE，

设E的坐标为(x,y)，则ED(10x,6y)，AE(x2,y)，

uuuruuur14x10x9(x2)5，，

36y9yy5143点E的坐标为(,)．

55【点睛】

本题考查向量的夹角公式、向量相等、向量的运算性质、两点间的距离公式等，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.

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