高考数学一轮复习 最值求法知识梳理 苏教版

函数最值求法及运用

一.经验系统梳理:

1).问题思考的角度: 1. 几何角度 2. 代数角度 2).问题解决的优化策略:

Ⅰ。优化策略代数角度:

1.消元 2.换元 3.代换

4.放缩①经验放缩,

②公式放缩.

③条件放缩.(显在条件、隐含条件)]

Ⅱ。几何角度:经验特征策略分析问题的几何背景 .线性规划、斜率、距离等

3).核心思想方法:

划归转化思想;等价转化思想.

a2b22________abb0 若ab0 ，则a112ab二、体验训练： 1.线性规划问题

x2y21求xy的最小值 已知双曲线方程为42.斜率问题

已知函数f(x)的定义域为2,，且f(2)1,f(0)1,f(4)1,f(x),为f(x)的

'导函数，函数yf(x)的图像如图所示.若两正数x,y满足f(2xy)1，则X围是▲．

'y3的取值x3

37, 53

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word 3.距离问题

【如皋江安第一次月考】3、由直线yx1上的一点向圆(x3)y1引切线，则切线长的最小值为▲． 7

练习：【海门09-10期末】13．已知点P(x,y)是直线kxy30(k0)上动点，PA、

22PB是圆C:x2y24y30的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面

积是2，则k▲．2

x022练习：【苏北大联考】7、已知实数x,y满足不等式组y0，则xy2x2y的最

xy1小值为 ★ ；

4.消元法

已知函数f(x)4x24，若0mn且f(m)f(n),则mn的取值X围为0,4

练习：设函数f(x)x22x1，若ab1,且f(a)f(b),则abab的取值X围为 .1,1

5.换元法

1.求下列函数的最大值或最小值：

（1） y432xx2； （2） yx12x；

（3）【11年1月某某】14.若函数f(x)x132mx,mN*的最大值是正整数M，则M=____▲____ 7

2解：（1）y432xx24(x1)4，由32xx0得1x3，

23 2∴当x1时，函数取最小值2，当x1 or x3时函数取最大值4．

1t21t211t(t1)21， （2）令12xt (t0,x)，则x，∴y222211当t0，即x时取等号，∴函数取最大值，无最小值．

222.已知OAOB1,且夹角为120如图点C在以O为圆心的圆弧上动.若

OCxOAyOB,x,yR则求xy的最大值.

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word BCoA

6.代换法

y2设x,y,z为正实数，满足x2y3z0，则的最小值是▲ 3

xzy2x3z【解析】本小题考查二元基本不等式的运用．由x2y3z0得y，代入得

xz2x29z26xz6xz6xz3，当且仅当x＝3z时取“＝”．

4xz4xz设正实数x,y,z满足(xy).(xz)2则xyz(xyz)的最大值为▲ 1 ．

7.公式放缩法

函数ysinx24，x0,的最小值为：_________ 5 2sinx2错解：∵x0,∴sinx0,1，sinx0,1

又sinx244为定值故利用基本不等式得y244 2sinx即y的最小值为4

点评：利用基本不等式必须满足三个条件：即“一正、二定、三等”，而本题只满足前两个条件，不满足第三个条件，即sinx

（某某理16）设x,y为实数，若4xyxy1,则2xy的最大值是。

2224不成立。

sin2x2105

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word

8.放缩法、换元法

已知二次函数f(x)ax2xc的值域是0，.那么

2ca的最小值是22a1c1▲．

9.综合探讨：

（08某某）13．满足条件AB2,AC2BC的三角形ABC的面积的最大值▲

【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设BC＝x，则AC＝2x， 根据面积公式得SABC=

1ABBCsinBx1cos2B，根据余弦定理得 2AB2BC2AC24x22x24x2cosB，代入上式得

2ABBC4x4x128x2124x2SABC=x1 164x22xx2由三角形三边关系有解得222x222，

x22x故当x22时取得SABC最大值22 解析2：若AB2,AC2BC，则SABC的最大值▲。

【解析】本小题考查三角形面积公式及函数思想。

因为AB=2（定长），可以以AB所在的直线为x轴，其中垂线为y轴建立直角坐标系，则

A(1,0),B(1,0)，设C(x,y)，由AC2BC可得(x1)2y22(x1)2y2，化简得(x3)y8，即C在以（3，0）为圆心，22为半径的圆上运动。又

221SABCABycyc22。

2答案22 【某某市六所省重点高中联考】7、设x(0,的最小值是▲

22)，则函数(sinx112)(cosx)sin2xcos2x25 44 / 6

word

【某某市四星级高中2010届高考押题】17．（本题满分14分）

如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池ABCD的池底水平铺设污水净化管道

(RtFHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.设

计要求管道的接口H是AB的中点，E,F分别落在线段BC,AD上.已知

AB20米，AD103米，记BHE.

（1）试将污水净化管道的长度L表示为的函数,并写出定义域； （2）若sincos2，求此时管道的长度L；

（3）问：当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时 管道的长度.

EH解：（1）

1010FHcos，sin…………2分

10sincos………………………………4分

EF由于BE10tan103，

AF10103tan

3tan3[,]363…………………………5分 ，L101010[,]cossinsincos，63.………………6分

sincos12L20(21);

(2) sincos2时，

L（3）

101010sincos110()cossinsincos=sincos

t21sincos2 sincost设则

[,]由于

tsincos2sin()[463，所以

31,2]2

L313120[,2]t,2时t1在263时 内单调递减，于是当

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word L的最大值20(31)米.

6或

答：当

3时所铺设的管道最短，为20(31)米.

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