2016届海淀高三数学(理)试卷

海淀区高三年级第一学期期末练习

数学（理科）2016.1

本试卷共 4 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项。

1. 已知(1 bi)i  1 i(bR) ，则b 的值为

A.1

B. 1 C. i D. i

2. 抛物线 x2  4 y 的准线与 y 轴的交点的坐标为

1

A. (0,  )

2

B. (0, 1) C. (0, 2) D. (0, 4)

D E C

3. 如图，正方形 ABCD 中， E 为 DC 的中点，若 AD   AC   AE ， 则   的值为 A. 3

B. 2

C. 1

D. 3

开始 A B

4. 某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的a 值为 1，则输出的a 值为 A.1

B. 2

C. 3

D. 5

输入

5. 已知数列 A: a1,a2 ,a3,a4 ,a5 ，其中ai {1,0,1},i  1,2,3,4,5 , 则满足a1  a2  a3  a4  a5  3 的不同数列 A 一共有

否 A. 15 个

B. 25 个 C. 30 个 D. 35 个

是 输出 结束

6. 已知圆C：(x  2)2  y2  4 , 直线l l2 : y  kx 1 1 : y 3 x ，

若l1,l2 被圆C 所截得的弦的长度之比为1: 2 ，则k 的值为

A. 3 B.1 C.

1 2 3D.

3

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 x  y+2  0, 

7. 若 x, y 满足x  y  4  0, 则 z  y  2 | x | 的最大值为

y  0, 

A. 8 B. 4 C.1 D. 2

8. 已知正方体 ABCD  A' B'C ' D' ，记过点 A 与三条直线 AB, AD, AA' 所成角都相等的直线条数为m , 过点 A 与三个平面．．AB', AC, AD' 所成角都相等的直线的条数为n ，则下面结 论正确的是 A. m  1,n  1 C. m  3,n  4

2

B. m  4,n  1 D. m  4,n  4

二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。

2

y

9. 已知双曲线 x  2  1(b  0) 的一条渐近线过点(1,2) ,则b , 其离心率为 . b 1 6

.（用数字作答） 10. 在( x  2 )的展开式中，常数项为

x

11. 已知等比数列an 的公比为2 ，若a2  a3  4 ，则a1  a4 

.

2 12. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥中最长棱的棱长为 .

2 主视图 1 1 左视图

x 2 a, x  0,

若 f (x) 的最小值是a ， 13. 已知函数 f ( x)  2

x  0. x ax,

俯视图 则 a  .

cos A cos B cos C    1 则称A B C 是ABC 的 14. 已知ABC ，若存在A B C ，满足 ,1 1 1 1 1 1 sin A sin B sin C

1 1 1

一个“友好”三角形.

(i) 在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是 条件的序号）

① A  90 , B  60 ,C  30 ；② A  75 , B  60 , C  45 ；

：（请写出符合要求的

③ A  75 , B  75 ,C  30 .

(ii) 若等腰ABC 存在“友好”三角形，则其顶角的度数为 .

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三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 15. （本小题满分 13 分）

π

已知函数 f (x)  2 2 cos x sin( x  ) 1 .

4

（Ⅰ）求函数 f (x) 的最小正周期；

π ，π ] 上的最大值与最小值的和. （Ⅱ）求函数 f (x) 在区间 [ 12 6

16. （本小题满分 13 分）

1

已知某种动物服用某种药物一次后当天出现 A 症状的概率为 . 为了研究连续服用该

3

药物后出现A 症状的情况，做药物试验.试验设计为每天用药一次，连续用药四天为一个用药周期. 假设每次用药后当天是否出现 A 症状的出现与上次用药无关. （Ⅰ）如果出现 A 症状即停止试验”，求试验至多持续一个用药周期的概率；

（Ⅱ）如果在一个用药周期内出现 3 次或 4 次 A 症状，则这个用药周期结束后终止试验，试验至多持续两个周期. 设药物试验持续的用药周期数为 ，求 的期望.

17. （本小题满分 14 分）

如图，在四棱锥 P  ABCD 中， PB  底面 ABCD ，底面 ABCD 为梯形， AD BC ，

AD  AB ，且 PB  AB  AD  3, BC  1 . 1

（Ⅰ）若点 F 为 PD 上一点且 PF  PD ，

3

证明： CF 平面 PAB ； （Ⅱ）求二面角 B  PD  A 的大小；

（Ⅲ）在线段 PD 上是否存在一点 M ，使得CM  PA ?

若存在，求出 PM 的长；若不存在，说明理由.

P F A B C

D

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18. （本小题满分 13 分）

1

已知函数 f (x)  kx  (k 1) ln x  .

x

1

（Ⅰ）当k  时，求函数 f (x) 的单调区间和极值；

2

（Ⅱ）求证：当0  k  1时，关于 x 的不等式 f (x)  1在区间[1,e] 上无解.

（其中e  2.71828

）

19. （本小题满分 14 分）

2 x2

2 2 已知椭圆W :  y  1(a  b  0) 的离心率为 3 ，其左顶点 A 在圆O : x  y 16

a2 b2 2

上.

（Ⅰ）求椭圆W 的方程；

（Ⅱ）若点 P 为椭圆W 上不同于点 A 的点，直线 AP 与圆O

的另一个交点为Q . 是否存在点 P ，使得

A y O B x | PQ |

 3 ?

| AP |

若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由.

20. （本小题满分 13 分）

若实数数列{a  N*) ，则称数列{a P 数列”. n }满足a n2  a n1  a n (n n }为“

（Ⅰ）若数列{an }是 P 数列，且a1  0,a4  1 ，求a3 ， a5 的值；

(Ⅱ) 求证：若数列{an }是 P 数列，则{an }的项不可能全是正数，也不可能全是负数； (Ⅲ) 若数列{an }为 P 数列，且{an }中不含值为零的项，记{an }前2016 项中值为负数的项

的个数为m ，求m 所有可能取值.

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