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1. 抛物线定义:
平面内与一个定点和一条直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点叫做抛物线的焦点,直线叫做抛物线的准线,定点不在定直线上。
2. 抛物线的标准方程有四种形式,参数的几何意义,是焦点到准线的距离,掌握不同形式方程的几何性质(如下表):
其中
为抛物线上任一点。
3. 对于抛物线上的点的坐标可设为,以简化运算。
4. 抛物线的焦点弦:设过抛物线
,直线
,
,
与
的斜率分别为,
,
的焦点的直线与抛物线交于
,
。
,直线的倾斜角为,则有
,
抛物线部分是每年高考必考内容,考点中要求掌握抛物线的定义、标准方程以及几何性质,多出现在选择题和填空题中,主要考查基础知识、基础技能、基本方法,分值大约是5分。
考查通常分为四个层次:
层次一:考查抛物线定义的应用;
层次二:考查抛物线标准方程的求法;
层次三:考查抛物线的几何性质的应用;
层次四:考查抛物线与平面向量等知识的综合问题。
解决问题的基本方法和途径:待定系数法、轨迹方程法、数形结合法、分类讨论法、等价转化法。
【典型例题分析】
例1. 已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为轴,且与圆等于
,求此抛物线的方程。
相交的公共弦长
解析:设所求抛物线的方程为或
设交点(y1>0)
则,∴,代入得
∴点在上,在上
∴或,∴
故所求抛物线方程为或。
例2. 设抛物线抛物线的准线上,且
的焦点为,经过的直线交抛物线于
∥轴,证明直线
经过原点。
两点,点在
解析:由题意知抛物线的焦点
故可设过焦点的直线的方程为
由,消去得
设,则
∵∥轴,且在准线上 ∴点坐标为
于是直线的方程为
要证明经过原点,只需证明,即证
注意到知上式成立,故直线经过原点。
例3. (2006江西)设为坐标原点,为抛物线若
,则点的坐标为( )
的焦点,为抛物线上一点,
A. B. C. D.
答案:B 解析:解法一:设点坐标为,则
,
解得或(舍),代入抛物线可得点的坐标为。
解法二:由题意设,则,
即,,求得,∴点的坐标为。
例4. (2006安徽)若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,则的
值为( )(本题考查抛物线与椭圆的标准方程中的基本量的关系)
A. -2 B. 2 C. -4 D. 4
答案:D 解析:椭圆,则
。
的右焦点为,所以抛物线的焦点为
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