统计学原理习题

例：某班50名学生统计学考试成绩分组如下表，要求别离用下限公式和上限公式计算众数。

按考试成绩分组（分） 60以下 60—70 70—80 80—90 90以上 合 计 [解法一]：利用下限公式计算众数 ∵考分在70-80分这一组显现的学生人数（频数）最多。 ∴70-80这一组确实是众数组。于是： L=70 f=25 f-1=12 f+1=9 i=10

学生人数（人） 2 12 25 9 2 50 MOL70ffff11ff1•i

25121074.482512259[解法二]：利用上限公式计算众数

❖ ∵考分在70-80分这一组的学生人数（频数）显现次数最多。 ❖ ∴70-80分这一组确实是众数组。于是： ❖ S=80 f=25 f-1=12 f+1=9 i=10

MOSffff•i11ff1802591074.482512259

中位数的计算

例：某班50名学生统计学考试成绩组距分组资料如下表，要求别离采纳下限公式和上限公式计算中位数。 按考试成绩分组学生人数 累计频数 （分） （人）F 向上累计 向下累计 60以下 60—70 70—80 80—90 90以上 合计（∑） 2 12 25 9 2 50 2 14 39 48 50 —— 50 48 36 11 2 —— [解法一]：用下限公式计算中位数（Me） ❖ 中位数位置=∑F/2=50/2=25 因为：向上累计频数39恰好大于中位数位置25，因此39所在组70-80分这一组确实是中位数所在组。于是：L=70 Sm-1=14 fm=25 i=10

MeL270FfmSm1•i

251410704.474.425[解法二]：用上限公式计算中位数（Me） 中位数位置=∑F/2=50/2=25

因为：向下累计频数36恰好大于中位数位置25，因此：36所在组70-80分这一组确实是中位数所在组。于是：S=80 Sm+1=11 fm=25 i=10

MeS280FfmSm1•i

251110805.674.425简单均值的计算

简单均值——要紧适用于：“未分组整理的原始数据”的计算。 设：一组数据为：X1 X2 ....XN 或x1 x2…xn 那么：简单均值的计算公式为：

XXX整体均值：

12...XNN...xnnXX

ii1nNNNxxx样本均值：

12xi1in

[例]：已知10名成年人的身高资料如下（单位：厘米）：166 169 172 177 180 170

172 174 168 173求：这10名成年人的身高的均值。 [解]：这10名成年人的身高的均值

N166169172177180170172174168173

101721172.1厘米10XX加权均值的计算

单变量分组数据计算均值

即：利用“一个变量”作为“一组”的分组数据，计算“均值”。

XF...XFXF整体加权均值：X....FF..........F1122KK12KXFXF

FFi1Kiii1iki1kiiK....xf样本加权均值：xxfxfff....f1122k12kkxfxf

ffi1i[例]：某车间100名工人日产量数据分组及有关计算如下表，要求计算这100名工人的平均日产量。 按日产量件数分组（件） （X） 工人人数（人) 各组总产量（件）（XF) (F) 20 15 300 22 20 440 24 40 960 26 25 650 合计 （∑） ∑F =100 ∑XF=2350 [解]：100名工人平均日产量为： XXF235023.5

F100[例]：某企业青年班组每一个月奖金分组数据及有关计算如下表，要求计算平均奖金。 月奖金分组 组中值 工人人数（人）F 各组奖金总额 （元） X （元） XF 500—600 600—700 700—800 800—900 900—1000 ∑ 550 650 750 850 950 —— 10 10 30 40 10 100 5500 6500 22500 34000 9500 78000 [解]：该青年班组月平均奖金为 XXFF

78000780（元）100加权均值公式变形后的计算

XFFX•FXFFFXX•

FF1FF简单算术均值”是“加权算术均值”的特殊形式。即：当：权数F1=F2=…=FK=F 时，那么：

XFXF...XFXFFF......F11K12KKF•XN•FX N例：某车间100名工人日产量的数据及有关计算如下表，要求计算平均产量。 日产量分组（件） X 各组工人人数比重（%）F/ ∑F X · F/∑F 20 15 22 20 24 40 26 25 ∑ 100 解：依照表中计算可得，平均日产量如下： XX•23.50FF

几何均值

例：某厂有4个流水作业车间，。某月它们的产品合格率别离为：98%、97%、95%和90%，那么各车间产品的平均合格率为

Gm498%97%95%90% 94.95%加权几何平均数的计算

❖ 适用条件：适用于各变量值显现次数不相同的场合。

Gm❖ 计算公式为：

NFXF•XF•...•XF12N12NFiFXii1

例：某市GDP1995-1996两年的的平均进展速度为108%，1997-1998两年的平均进展速度为%，1999年的平均进展速度为%。那么该市1995-1999年5年的平均进展速度为：.

Gm5108%•107.9%•107.8%

221.107.9%几何平均数与均值的关系

“几何均值”能够看做是“均值”的一种变形。

X•X•....•XX1•X2...XN1 lgGlgXlgX...lgXGmN1N12NmN12NlgGmlgXN能够看出：几何均值的对数是各变量值对数的算术平均数。

第四章 抽样与抽样散布 样本均值的抽样散布

例2：一个具有n=64个观看值的随机样本抽自于均值等于20，标准差等于16的整体。

（1）给出的抽样散布（重复抽样）的均值和标准差。（2）描述的抽样散布的形状。你的回答依托于样本容量吗？（3）计算标准正态统计量Z对应于的值。（4）计算标准正态统计量Z对应于的值。 解：（1）样本均值的抽样散布的均值=样本均值的数学期望=整体均值。 即：Exμ20

在重复抽样的情形下，样本均值的方差为整体方差的1/n。即：

16σσn642x224

（2）因为n6430属于大样本，因此依照中心极限定理可知，样本均值的抽样散

布近似服从均值为20，方差为4的正态散布。我的回答是依托于样本容量的。

（3）当x15.5时，标准 正态统计量的值：

Zxμ15.5204.52.25

2σn1664xμ232031.5

σn16642（4）当x23时，标准正态统计量的值：Z

第五章 参数估量 整体均值区间估量

区间估量例1：（正态整体-方差已知）

某种零件的长度服从正态散布，现从该产品中随机抽取9件，测得其平均长度为厘米。依照以往的体会，该批产品的整体标准差σ=厘米。要求以95%的置信度估量该种零件平均长度的置信区间。

例1解：依题意得：零件长度X→N(µ, n=9, x21.4 , σ= ， 1-α=， α=

查P434的“标准正态散布表”得出“临界值”为：Zα/2=2==Z1-α/2===于是：

抽样平均误差：

0.150.05

n9抽样极限误差：xZ•x1.960.050.098

x2区间估量例2：（整体散布未知或非正态整体且大样本、整体方差已知） 某财经大学从该校学生中随机抽取100人，调查取得他们平均天天参加体育锻炼的时刻为26分钟。又知整体方差为36（分钟)2，试以95%的置信水平估量该财经大学全部学生天天平均参加体育锻炼时刻的置信区间。 例2解：由于整体的散布形式未知，且整体方差σ2=36(分钟)2已知，且样本容量n=100>30

x26 10.95 为“大样本”，故能够近似地以为：整体X服从N(µ，σ2/n),依题意明白：查表取得：1.96 ，于是：

Z2抽样平均误差：

xn3660.6 抽样极限误差：10010Z•x2x

1.960.61.176区间估量例3：（整体散布未知或非正态整体且大样本、整体方差未知） 在大兴安岭林区，随机抽取了120块面积为1公顷的样地，依照调查测量求得每公顷林地

平均出材量为88（m3)，标准差为10（m3）,试在99%的置信水平下估量大兴安岭林区每公顷地平均出材量的置信区间。

例3解：整体散布形式和整体方差σ2均未知，但由于n=120>30,属于大样本，故可近似地采纳正态散布处置，并用样本方差代替整体方差。依题意又知：s10 0.01 10.99查标准正态散布表得：

110.0050.9952.58 0.010.005Z2Z2ZZ2ZZnxZ2•x于是抽样平均误差： 抽样极限误差

S102.580.91292.3550.9129n120（许诺误差）

区间估量例4（正态整体、整体方差未知且小样本） 设某上市公司的股票价钱服从正态散布，为了把握该上市公司股票的平均价钱情形，现随机抽取了26天的交易价钱进行调查，测得平均价钱为35元，方差为4(元2)，试以98%的置信度估量该上市公司股票平均交易价钱的置信区间。

例5解：因为整体服从正态散布，但n=26<30属于“小样本”，整体方差σ2未知，现在能够用“样本方差S2”近似代替。1-α= α= 查“t散布表”得出：

xtn1t261t252.4851 样本均值x35 样本方差s4

20.010.012于是抽样平均误差

xtn1•x2xS40.3922 抽样极限误差n26

2.45810.39220.964整体比率的区间估量

某城市想要估量下岗职工中女性所占的比例，随机抽取了100个下岗职工，其中65人为

女性职工。试以95%的置信水平估量该城市下岗职工中女性比例的置信区间。

p6565% 100样本比率的抽样平均误差：

例6解：依题意： n=100，p＝65% , 1-= 95%，Z/2=

pp样本比率的抽样极限误差

整体方差区间估量

Z2p1p0.650.350.0477 n100•p1.960.0477

0.0935或9.35%某生产车间生产了一批零件，现从中随机抽取100个零件调查其长度（单位：mm），测得

其标准差为，试以95%的置信度估量该批零件标准差的置信区间。 解：因为：n=100>30属于“大样本”，因此“样本标准差S”近似服从“正态散布”。 又知：S= 1-α=,α= 查表得：Zα/2==Z1-α/2==

某自动车床加工的某种零件长度X，X→N(µ ,σ2)，现随机抽查16个零件，测得其方差为(mm)2，试以95%的置信度估量该种零件方差的置信区间。 解：S2= 1-α=，α=，α/2= 查“χ2散布表”得： χ(16-1)=χ(15)= χ(16-1)=χ(15)=

第六章 假设查验 假设查验的步骤

一、 提出原假设和备择假设 二、从所研究整体中抽取一个随机样本 三、选择查验统计

量，并确信其散布形式 四、选择显著性水平，确信临界值 五、作出决策（或结论）

整体均值假设查验例1：（正态整体、整体方差已知、双侧查验）

某厂生产铜丝，其要紧质量指标为折断力X，依照历史资料统计，可假定X∼N(570,82)。今新换材料生产，抽取的样本值为：57八、57二、570、56八、57二、570、570、57二、59六、584（斤），欲查验“新材料生产的铜丝的折断力X”有无明显转变。（假定方差σ2=82仍维持不变，α=）

例1解：依题意 样本均值为：

n578572570568572570570572596584

10575.2问题可归结为正态整体均值的假设查验问题： 原假设 H0: µ= 570 备择假设H1：µ≠570

由于铜丝折断力X服从正态散布且整体方差σ2=82已知，故能够采纳“Z查验法”。

整体均值假设查验例2：（正态整体、整体方差已知、左侧查验）

完成生产线上某件工作所需的平均时刻很多于分钟，标准差为3分钟，对随机抽选的9名职工教学一种新方式，训练期终止后这9名职工完成此项工作所需的平均时刻为分钟，那个结果是不是提供了充分证据，说明用新方式所需的时刻短？设α=，并假定完成这件工作的时刻服从正态散布。

例2解：要查验的假设为： 原假设H0：µ≥ 备择假设H1:µ<

由于总体服从正态分布且总体方差已知，故采用“Z查验法”。依题意已知：n9 x13.5 σ3

xxxμ13.515.50查验统计量Z的计算为：Z2

σn39显著性水平α=时，临界值Zα==

因为：Z=-2<-Zα= ，落在“拒绝区域”，因此：应拒绝原假设H0而不拒绝备择假设H1，说明有充分的证听说明用新方式所需的时刻最短。

整体均值假设查验例3：（正态整体、整体方差已知、右边查验） 设香烟的尼古丁含量服从正态散布，按规定香烟的尼古丁平均含量不得超过毫克，标准差为5毫克，现从产品中抽得容量为8的样本，测得其尼古丁含量别离为：20、17、2一、1九、2二、2一、20、16（毫克），试查验尼古丁含量是不是增加了？（α=） 例3解：依题意，样本均值为：

n2017211922212016

819.5所查验的假设能够归结为：

xx原假设 H0：µ≤ 备择假设 H1：µ>

由于整体服从正态散布且整体方差已知，故可用“Z查验法”。

整体均值假设查验例4：（正态整体、整体方差未知且小样本、双侧查验）

某车床加工一种零件，要求长度为150mm，现从一批加工后的这种零件中随机抽取9个，测得其长度（单位：mm)为：147 150 149 154 152 153 148 151 155，若是零件长度服从正态散布，问这批零件是不是合格？（α=） 例4解：依照题中数据计算取得：样本均值x151，样本方差

s27.5 ,样本标准差s=，

n=9<30,属于小样本，故在整体方差σ²未知的情形下，采纳“t查验法”，所要查验的假设为：H0：μ=150 H1：μ≠150

txμ0Snα21511501.095

2.73930.02591t因为：t1.095tαn12.306

2当α=时，查“t

tn1t散布表”得出临界值为：82.306 0.025 因此：应不拒绝原假设H0而拒绝H1，能够以为该批零件是合格的。

整体均值假设查验例5：（正态整体、整体方差未知且小样本、右边查验）

某公司年度报表指出其应收账款的平均计算误差不超过50元，审计师从该公司年度应收账款账户中随机抽取17笔进行调查，测得应收账款的平均计算误差为56元，标准差为8元。假定应收账款的平均计算误差服从正态散布。问：当查验水平α=时，该公司应收账款的平均计算误差是不是超过50元？

例5解：依题意：x56 ，s8，整体服从正态散布，整体方差σ²未知，且n=17<30，属于小样本，故采纳t查验法。所要查验的假设为： H0:µ≤50 H1: µ>50

xμ565003.09

Sn817当α=时，查“t散布表”得出临界值为：tαn1t0.01171t0.01162.5835

查验统计量t：t因为：t3.09tn12.5835

α因此：应拒绝H0而同意H1，能够以为该公司应收账 款的平均计算误差超过50元。

整体均值假设查验例6：（正态整体、整体方差未知且小样本、左侧查验）

某番茄罐头中，维生素C的含量X服从正态散布，按规定标准，维生素C的含量不得少于21mg。现从一批罐头中随机抽取17罐，测得样本均值x23mg，样本标准差S=，试问该批罐头中维生素C的含量是不是合乎标准？（α=）

例6解：此题属于正态整体、整体方差未知且小样本（n=17<30),故采纳t查验法。 所要检验的假设为： H0:µ≥21 H1: µ<21

查验统计量t的计算如下：t当

α

=

时

，

查

“

t

xμ0S散

n23212.07

3.9817表

”

得

出

临

界

值

为

：

n1t0.05171t0.05161.7459 tα因为：t2.07布

tn11.7459

α因此：应同意H0而拒绝H1，能够以为该批罐头中维生素C的含量合乎标准。

整体比率假设查验例1：

某公司领导希望估量一下其所在城市居民参加财产保险的比例。业务科长以为大约有80%的居民参加了财产保险，而统计科统计人员随机调查了150户居民了解到有70%的居民参加了财产保险。领导希望在α=的显著性水平下查验一下业务科长的说法是不是可信？ 例1解：依题意，可成立如下假设： H: P= H1: P≠

又知：样本比例p= np=150×=105>5，属于大样本，故采纳Z查验法。查验统计量为：

ZpP0p1pn0.70.80.12.67 0.037420.70.3150关于给定的显著性水平α=，查“标准正态散布表”得出临界值因为：Z2.67Zα21.96

Zα21.96 或Z2.67Zα1.96

2因此：应拒绝H0而同意H1，由此能够判定：业务科长的说法不可信，即参加保险的户数不足80%。

整体比率假设查验例2：

某生产商向供给商购一批西红柿，两边规定假设优质西红柿的比例在40%以上按一样市场价钱收购，不然按低于市场价钱收购。现随机抽取了100个西红柿，只有34个为优质品。于是，生产商欲按低于市场价钱收购，而供给商那么以为样本比例不足40%是由随机因素引发的。请用α=进行查验并加以说明。

例2解：依题意，可成立如下假设H0:P≥ H1:P< 又知：样本比例p= np=150×=105>5，属于大样本，故采纳“Z查验法”。查验统计量为：

0.340.40.061.27

p1p0.340.660.04737n100当α=时，查“正态散布表”得出左侧查验临界值：Z1.645 αZ因为：Z1.27pP0Zα1.645

因此：同意原假设H0而拒绝备择假设H1，即：依照样本数据还不能以为优质西红柿的比例显著地低于40%，故而生产商仍应按一样市场价钱收购。

第七章 方差分析

单因素方差分析的步骤

一、提出假设 二、构造查验统计量F 三、关于给定的显著性水平，查F散布表得出F临界值 四、列出方差分析表 五、作出同意或拒绝原假设的决策

单因素方差分析举例

欲考察包装颜色对产品销量的阻碍。现将不同包装颜色的同种产品放到四家销售条件大体相同的商店销售，进行对如实验，其结果及水平均值和总均值的计算如下表：

试分析包装颜色对产品销量有无显著阻碍？（α0.05） 例解：①提出假设 原假设

μμμH：0123即：产品包装颜色对产品销售量没有显著影响

备择假设

μ、μ、μ不完全相等H：1123即：产品包装颜色对产品销售量有显著影响②计算水平均值和总均值

红色的水平均值黄色的水平均值xxni111n1i114101194

xxni133n3i38651

444114蓝色的水平均值2054xxni122n2i281437

43284全部数据的总均值xxxxnnni1i1i1i2i1123n1n2n3i3443220

44496812③计算离差平方和：SST的计算

SSTj1i1rnjxijx22214810811898881483878 886858182222222222174SSE的计算

SSEj1i1xijxj911141110111111 88387814885655515r2222222222222nj146226102注意：用每一列中的每一个数据，与其列均值离差平方，然后求和！

SSA的计算

SSAj1i1rnjxjxn•xjx2rjj12224118488458

23603672是各列的数据个数别离乘以各自列均值与总均值的离差平方，然后求和

④自由度的确信

SST的自由度n-1(444)-111SSE的自由度n-r(444)-39 SSA的自由度r-13-12注意n-1=(r-1)+(n-r)=2+9=11 假设不等，说明计算有误！ ⑤计算平均平方：组间方差和组内方差

离差平方和SSA7236自由度r131（SSA的平均平方）组间方差MSA组内方差MSE离差平方和SSE10211.33自由度nr123(SSE的平均平方）注意：与前面的方差计算的大体思想是完全一致的！

⑥计算F统计量的值

统计量F组间方差SSA/r1组内方差SSE/nr

MSA72/236MSE102/911.333.18服从Fα2,9自由度 df r-1=2 n-r=9 n-1=11 平均平方 MS MSA=36 MSE= ———— F值 F= —— —— ⑦列出方差分析表 方差来源 离差平方和SS 组间差异 组内差异 总差异 ⑧作出决策 SSA=72 SSE=102 SST=174 对于给定的显著性水α平0.05，查F分布表得出临界值:Fαr1,nrF0.052,94.26F3.18Fαr1,nr4.26检验得知2μ，说明产品包装颜色μ1μ3对产品销售量没有显影著响。

应不拒绝原假设H0而拒绝备择假设H1，即：

第八章 相关与回归分析 相关系数

例：随机抽取某班10同窗的身高和体重资料如下表，要求计算相关系数。 x2 y2 xy 学 生 身高 x 体重 y A B C D E F G H I J 158 160 162 164 166 168 170 172 174 176 47 50 48 55 62 60 52 61 70 65 24964 25600 26244 26896 27556 28224 28900 29584 30276 30976 2209 2500 2304 3025 3844 3600 2721 3721 4900 4225 33032 7426 8000 7776 9020 10292 10080 8840 10492 12180 11440 95546 1670 570 279220 Σ 解：10名同窗身高和体重的相关系数为： rnxyx•y2nxx•nyy10955461670570102792202221670•210330325702

0.84180.8计算结果说明：这10名同窗的身高和体重之间呈高度的线性正相关关系。

相关系数的显著性查验

例：以前面10名同窗身高和体重的相关系数查验为例（α=）

解：提出假设H0：ρ0，H1：ρ0根据前题计算可知：r0.8418，n10则检验统计量：trn21r2

0.841810210.841824.411对于给定的显著性水α平0.05，查表得临界值tn2tα20.025102t0.02582.31

t4.411t0.02582.31上显著的，亦即:这10名同学的身高和体重之间存在显著的线相性关关系。拒绝原假设，表明样相本关系数在统计[例]：假设对15户居民家庭的人均月收入和人均月食物消费支出进行调查，试就表中资料计算简单样本线性相关系数，并进行查验。

例解（1）计算样本相关系数

rnxyxynx2(x)2ny2(y)2154463215164231516365415161512311423220.94140.8计算结果表明：人均收月入(x)与食品支出(y)之间呈高度的线性正相关系。

（2）样本相关系数显著性查验 提出假设： H0:ρ=0 ,H1:ρ≠0

trn21r20.941415210.9414219.5786

关于给定的显著性水平α=，查t散布表，得出临界值t(a/2)=t(15-2)= ∵ |t|= > αn22.1604

t2∴ 拒绝原假设H0，说明样本线性相关系数在统计上是显著的。

回归系数的估量

例：仍以前面10名同窗身高和体重的有关资料，拟合样本线性回归方程。

根据前体表中计算可：知n10,x1670,y570,x279220,xy95546,则：nxyxy10955461670570ˆβnxx1027922016702222

1.079ˆαyˆx5701.0791670nβn10102123.19于是样本线性回归方为程：ˆ123.191.079xyˆ123.19，式中：α为样本回归直线在纵上轴的截距，ˆ1.079表明身高每βx增加1厘米，体重平均增加1.079千克。

可决系数

例：仍以前面10名同窗的身高和体重资料为例计算样本可决系数（r2）

前面计算可知：n10,x1670,y570,y33032,2x2ˆ1.079则：ˆ123.193,279220,αβxy95546,2yyn10ˆxyˆyβSSEeyyˆyαSSTy2222iy330325705422233032(123.193)5701.07995546157.876样本可决系数SSRSSE157.8761110.29130.7087rSSTSST542ˆ123.1931.079x的拟合程计算结果表明：样本归回方程y度2

较高，代表性较好。回归系数显著性查验

例1：仍以前面10名同窗的身高和体重资料为例，进行回归系数的显著性查验

第一步：提出假设H0：β0......H1：β0第二步：计算检验统计量Z。前面计算可知：xˆσβ2279220,n10x1670,ˆ的标准差为：则回归系数βσxx22σx22xn2202792201670102

0.246则统计量ˆββˆ01.079 βZ4.390.246ˆˆσσββ第三步：对于给定的著显性水平α0.05，查标准正态分布表得临出界值Zα1.962第四步：作出决策。Z4.39Zα1.96...2

拒绝原假设，表明身x和高体重y之间存在显著的线性相关关系。

例2：仍以前面10名同窗的身高和体重资料为例，进行回归系数的显著性查验

第一步：提出假设H0：β0......H1：β0第二步：计算检验统计量Z。前面计算可知：x2279220,n10x1670,ˆ的标准差为：则回归系数βˆσβSxx22Sx222xn4.44167027922022100.244则统计量ˆββˆ01.079 βt4.420.244ˆˆσσββ第三步：对于给定的著显性水平α0.05，查标准正态分布表得临出界值tαn12t0.0251012.2622第四步：作出决策。t4.42t0.02592.2622拒绝原假设，表明身x和高体重y之间存在显著的线性相关关系。

线性关系查验步骤

1.提出假设 H0：1=2p =0 线性关系不显著 H1：1，2，，p至少有一个

不等于0

2. 计算查验统计量F

SSRpFSSEnp1ˆyi1niy22p~F(k,nk1)

yi1niˆynk13. 确信显著性水平和分子自由度p、分母自由度n-p-1找出临界值F 

4. 作出决策：假设F>F ，拒绝H0

回归系数的查验

1.提出假设 H0： bi = 0 (自变量 xi 与 因变量 y 没有线性关系) H1： bi  0 (自变量 xi 与 因变量 y有线性关系)

ˆβ2.计算查验的统计量 t ti~t(nk1)

Sβˆi3.确信显著性水平，并进行决策  t>t，拒绝H0；  t第九章 时刻序列分析

线性趋势方程的最小二乘估量 例：拟合某公司1991-2000年销售额的趋势方程有关计算如下表，请拟合趋势方程并预测2005年的销售额。 年 份 时间t 销售额 yt ytt t2 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 40 100 70 40 130 100 130 190 160 10 80 300 280 200 780 700 1040 1710 1600 6700 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 385 Σ 55 970 解：有关趋势方程拟合进程及预测如下： 从上表可知：n10,t55,Yt970,ytt6700,t2

385，于是：tt222nn1010则直线趋势方程为：ˆt5.97516.55t ytt10670097055b16.55

ntt1038555ybt97016.55555.975

aybttnyty预测2005年的销售额时，t15

则：ˆ20052.97516.5515254.23（万元）y

ytaytn线性趋势方程拟合的简捷方式 于是： tytb2t例：仍以前例为例 年 份 时间t 销售额 yt ytt t2 81 49 25 9 1 1 9 25 49 81 330 1991 -9 10 -90 1992 -7 40 -280 1993 -5 100 -500 1994 -3 70 -210 1995 -1 40 -40 1996 1 130 130 1997 3 100 300 1998 5 130 650 1999 7 190 1330 2000 9 160 1440 0 970 2730 Σ 解：简捷法拟合线性趋势方程及预测2005年的销售额。 abynt97097，1027308.27330yttt2 那么线性趋势方程为：

ˆyt978.27t

预测2005年销售额时，此时的t19则：ˆ2005978.2719254.13y

与前一种方式的预测结果大体相同

第十章 统计指数

例：三种商品的销售量和价钱资料及有关计算如下表 商 计 价 格 量 基 报 品 单 期 告 位 p。 期甲 乙 丙 Σ p1 件 支 个 --- ---- ---- 销 售 量 基 期 q。 销售额（万元） p。q1 p1q。 p1q1 200 400 18000 18600 480 480 15000 15960 400 600 18000 19000 报 告 期 q1 p。q。 240 320 15000 15560 120 100 800 1000 100000 120000 ------- -------- 要求计算：（1）拉氏销售量综合指数；（2）拉氏价钱综合指数；（3）帕氏销售量综合指数；（4）帕氏价钱综合指数。

解：（1）计算三种商品的拉氏销售量综合指数：

Iqpqpq001018600100% 15560119.54%计算结果说明：三种商品的销售量报告期与基期相较总的增加（上升）或平均增加（上

升）了%，在价钱不变的情形下，使得销售额增加的绝对额 =Σp。q1-Σp。q。==3040元。 （2）计算三种商品的拉氏价钱综合指数：

Ippqpq100015960100% 15560102.57%计算结果说明：三种商品的价钱报告期与基期相较总的增加（上升）或平均增加（上升）了%，

在商品销售量不变的情形下，使得销售额增加的绝对额 = Σp1q。-Σp。q。==400元。 （3）计算三种商品的帕氏销售量综合指数

Iqpqpq111019000100% 15960119.05%计算结果说明：三种商品的销售量报告期与基期相较总的增加（上升）或平均增加（上升）

了%，在价钱不变的情形下，使得销售额增加的绝对额=Σp1q1-Σp1q。==3040元。 （4）计算三种商品的帕氏价钱综合指数

Ippqpq101119000100% 18600102.15%计算结果说明：三种商品的价钱报告期与基期相较总的增加（上升）或平均增加（上升）

了%，在商品销售量不变的情形下，使得销售额增加的绝对额= Σp1q1-Σp0q1==400元。

❖ 拉氏指数—采纳了基期加权

❖ 帕氏指数—那么采纳了报告期加权

例1：某公司三种商品的有关资料及其计算表如下： 商计 销售量（q) 价格（元）p 销 售 额 (万元） 品名量单基期 报告期 基期 报告期 基 期 报告期 假 定 称 位 q0 q1 p0 p1 q0p0 q1p1 q1p0 甲件乙丙 米台 100 300 200 150 300 180 50 80 100 55 90 98 5000 24000 20000 49000 8250 27000 17640 52890 7500 24000 18000 49500 Σ --- ----- ------ ----- ------ 要求：利用指数体系，进行三种商品销售额变更的因素分析。 例1解： （1）计算三种商品的销售额总指数

Iqpqpqp101052890100% 49000107.94%计算结果说明：三种商品的销售额报告期与基期相较总的增加（或平均增加）了%，销售

额增加的绝对额=Σq1p1-Σp0q0=52890-49000=3890（元） （2）计算三种商品的销售量总指数

Iqqpqp100049500100% 49000101.02%计算结果说明：三种商品的销售量报告期与基期相较总的增加（或平均增加）了%，在价钱

不变的情形下，使得销售额增加的绝对额=Σq1p0-Σq0p0=49500-49000=500（元） （3）计算三种商品的价钱总指数

Ipqpqp111052890100% 49500106.85%计算结果说明：三种商品的价钱报告期与基期相较总的增加（或平均增加）了%，在销售量

不变的情形下，使得销售额增加的绝对额=Σq1p1-Σq1p0=52890-49500=3390元。 （4）综合分析 101.02%106.85%107.94%

50033903890

计算结果说明：由于三种商品的销售量平均增加了%，使得销售额增加了500元；三种商品的价钱平均上涨了%，使得销售额增加了3390元。两个因素一起作用的结果，使得销售额平均增加了%，销售额增加的绝对额为3890元。

例2：已知某地域三种商品的有关资料如下： 商品名称 基期销售额 销售量增减率（%） （元） p0q0 5600 +12 甲 4100 -5 乙 6200 +9 丙 要求： （1）计算三种商品的销售量总指数，并分析由于销售量变更对销售额的阻碍。（2）假定报告期三种商品的销售总额为17500元，计算三种商品的销售额总指数。（3）利用指数体系，求三种商品的价钱总指数。 例2解：（1）计算三种商品的销售量总指数 ，于是：令:销售量增长率为α，则销售量q1q01αIqpqpq1α5600112%410015%620019%

560041006200pqpq0100000016925100%106.45%

15900三种商品的销售量报告期与基期相比平均增长了6.45%，

从而使得销售额增加的绝对额计算结果说明： 在价格不变的情况下，p0q1p0q016925159001025元。（2）计算三种商品的销售额总指数。

Ipqpqpq101017500100%110.06%

15900

计算结果说明：

三种商品的销售额报告期与基期相比平均增长了10.06%，增加的绝对额p1q1p0q01750015900

1600元。（3）利用指数体系，求三种商品的价钱总指数。

IpqIpIq

IpIpqIqpqpq1011

pqpqpqpq100010101750017500100%103.40% 15900169251692515900计算结果表明：三种商品的价格报告期与基期相比平均增长了3.40%，在销售量不变的情况下使得销售额增加 的绝对额总之，由于价钱平均增加了%，销售量平均增加了%，两个因素一起作用的结果使得销售额平均增加了%，销售额增加的绝对额=575+1025=1600