专题17万有引力与航天汇总

专题17 万有引力定律与卫星航天知识

【考纲要求】环绕速度 Ⅱ 第二宇宙速度和第三宇宙速度 Ⅰ

解读：1.明确卫星的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系，特别是地球同步卫星的运行特点。2. 了解卫星（飞船）的发射、变轨与交会对接问题。

【要点难点】

1.三个宇宙速度：

（1）明确第一、第二、第三宇宙速度（v1 v2 v3 ）的意义

（2）当发射速度v与宇宙速度分别有如下关系时，被发射物体的运动情况： ①当v＜v1时，被发射物体最终仍将落回地面；

②当v1≤v＜v2时，被发射物体将环绕地球运动，成为地球卫星；

③当v2≤v＜v3时，被发射物体将脱离地球束缚，成为环绕太阳运动的“人造行星”； ④当v≥v3时，被发射物体将从太阳系中逃逸。

2.卫星（飞船）的发射、变轨与交会对接

【问题1】如图所示，在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，然后在Q点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ.若卫星的发射速度为v0，第一宇宙速度为v1，在同步轨道Ⅱ上的运行速度为v2，则( ) A．v0>v1>v2

B．若卫星的发射速度为2v0，卫星最终围绕地球运行的轨道半径将变大 C．在轨道Ⅰ上，卫星在P点的速度等于在Q点的速度 D．卫星在Q点通过加速实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ

思考1.卫星的发射速度与运行的高度关系？

2.卫星由低（高）轨道运行到高(低)轨道需要加速还是减速？

【探究突破】1.人造卫星 宇宙速度 【例题1】我国自行研制的“风云一号”、“风云二号”气象卫星运行的轨道是不同的。“一号”是极地圆形轨道卫星，其轨道平面与赤道平面垂直，周期是12h；“二号”是地球同步卫星。两颗卫星相比 号离地面较高； 号观察范围较大； 号运行速度较大。若某天上午8

系上鞋带，健步如飞，其实束缚也是一种爱。

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点“风云一号”正好通过某城市的上空，那么下一次它通过该城市上空的时刻将是 。 练习1.在地球（看作质量均匀分布的球体）上空有许多同步卫星，下面说法中正确的是（ ） A．它们的质量可能不同 B．它们的速度可能不同 C．它们的向心加速度可能不同 D．它们离地心的距离可能不同 2.人造天体在运动过程中的能量关系

【例题2】2013年我国相继完成“神十”与“天宫”对接、“嫦娥”携“玉兔”落月两大航天工程。某航天爱好者提出“玉兔”回家的设想：如图，将携带“玉兔”的返回系统由月球表面发射到h高度的轨道上，与在该轨道绕月球做圆周运动的飞船对接，然后由飞船送“玉兔”返回地球。设“玉兔”质量为m，月球半径为R，月面的重力加速度为g月。以月面为零势能面，“玉兔”在h高度的引力势能可表示为EPGMmh，其中G为引力常量，M为月球质量。若忽略月

RRh球的自转，从开始发射到对接完成需要对“玉兔”做的功为 A．

mg月RmgRh2R B．月h2R RhRhC．

mg月RmgR21h D．月RhR Rh2Rh2练习2. 地球质量为M，半径为R，自转角速度为.万有引力恒量为G，如果规定物体在离地球无穷远处势能为0，则质量为m的物体离地心距离为r时，具有的万有引力势能可表示为

EpGMm.国际空间站是迄今世界上最大的航天工程，它是在地球大气层上空绕地球飞行r的一个巨大人造天体，可供宇航员在其上居住和科学实验。设空间站离地面高度为h，如果杂该空间站上直接发射一颗质量为m的小卫星，使其能到达地球同步卫星轨道并能在轨道上正常运行，由该卫星在离开空间站时必须具有多大的动能？

3.双星及三星问题

【例题3】如图所示，双星系统中的星球A、B都可视为质点，A、B绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，A、B之间距离不变，引力常量为G，观测到A的速率为v、运行周期为T，二者质量分别为m1、m2.求 (1)B的周期和速率．

(2)A受B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体对它的引力，试

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求m′.(用m1、m2表示)

思考：双星的周期、角速度有什么特点？

练习3.我们知道在一个恒星体系中，各个行星围绕着该恒星的运转半径r与运转周期T之间一r

般存在以下关系：2＝k，k的值由位于中心的恒星的质量决定．现在，天文学家又发现了相互

T绕转的三颗恒星，可以将其称为三星系统．如图所示，假设三颗恒星质量相同，为m，间距也相同，它们仅在彼此的引力作用下绕着三星系统的中心点O做匀速圆周运动，运转轨迹完全相同．它们自身的大小与它们之间的距离相比可以忽略．请你通过计算定量说明：三星系统的运转半径的三次方及运转周期的二次方的比值应为多少．(引力常量为G)

均3

【巩固提高】

1．甲、乙为两颗地球卫星，其中甲为地球同步卫星，乙的运行高度低于甲的运行高度，两颗卫星轨道均可视为圆轨道．以下判断正确的是( )

A．甲的周期大于乙的周期 B．乙的速度大于第一宇宙速度 C．甲的加速度小于乙的加速度 D．甲在运行时能经过北极的正上方

2．2011年11月26日美国宇航局的“好奇号”火星探测器发射成功，顺利进入飞往火星的轨道以探寻火星上的生命元素．已知质量为m的探测器在接近火星表面轨道上飞行，可视为匀速圆周运动．火星质量为M，半径为R1，火星表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑火星自转的影响，则探测器的( ) A.线速度v＝

GM

B.角速度ω＝gR C.运行周期T＝2πR

RGm D.向心加速度a＝2 gR

3.(2015新课标I-21). 我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后，先在月球表面附近的

近似圆轨道上绕月运行；然后经过一系列过程，在离月面4m高处做一次悬停（可认为是相对于月球静止）；最后关闭发动机，探测器自由下落，已知探测器的质量约为1.3×103kg，地球质量约为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的3.7倍，地球表面的重力加速度约为9.8m/s2,则此探测器

A. 着落前的瞬间，速度大小约为8.9m/s B. 悬停时受到的反冲作用力约为2×103N

C. 从离开近月圆轨道这段时间内，机械能守恒

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D. 在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度

4.【2015广东-20】20.在星球表面发射探测器，当发射速度为v时，探测器可绕星球表面做匀速圆周运动；当发射速度达到

v时，可摆脱星球引力束缚脱离该星球，已知地球、火星两星

球的质量比约为10 :1半径比约为2:1，下列说法正确的有 A.探测器的质量越大，脱离星球所需的发射速度越大 B.探测器在地球表面受到的引力比在火星表面的大 C.探测器分别脱离两星球所需要的发射速度相等 D.探测器脱离星球的过程中势能逐渐变大

5．地球赤道上有一物体随地球自转，所受向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)，所受向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2，角速度为ω2；地球同步卫星所受向心力为F3，向心加速度为a3，线速度为v3，角速度为ω3；地球表面的重力加速度为g，第一宇宙速度为v0，假设三者质量相等，则( ) A．F1＝F2>F3 B．a1＝a2＝g >a3 C．v1＝v2＝v0 >v3 D．ω1＝ω3<ω2

6.【2015山东-15】．如图，拉格朗日点L1位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动。据此，科学家设想在拉格朗日点L1建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动。以a1、a2分别表示该空间站和月球向心加速度的大小，a3表示地球同步卫星向心加速度的大小。以下判断正确的是 A．a2a3a1 B．a2a1a3 C．a3a1a2 D．a3a2a1

GMm

7．质量为m的人造地球卫星与地心的距离为r时，引力势能可表示为Ep＝－，其中G为

r

引力常量，M为地球质量，该卫星原来在半径为R1的轨道上绕地球做匀速圆周运动，由于受到极稀薄空气的摩擦作用，飞行一段时间后其圆周运动的半径变为R2，此过程中因摩擦而产生的热量为( )．

1111GMm11GMm11－ B．GMm－ C.－ D.－ A．GMmR2R1R1R22R2R12R1R28.中国志愿者王跃参与人类历史上第一次全过程模拟从地球往返火星的一次实验“火星

—500”活动，王跃走出登陆舱，成功踏上模拟火星表面，在火星上首次留下中国人的足迹。假设将来人类一艘飞船从火星返回地球时，经历了如图所示的变轨过程，则下列说法中正确的是( )

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A.飞船在轨道Ⅱ上运动时，在P点速度大于在Q 点的速度

B.飞船在轨道Ⅰ上运动时的机械能大于在轨道Ⅱ上运动时的机械能

C.飞船在轨道Ⅰ上运动到P点时的加速度等于在轨道Ⅱ上运动到P点时的加速度

D.飞船绕火星在轨道Ⅰ上运动周期跟飞船返回地面的过程中绕地球以轨道Ⅰ同样半径运动的周期相同

【我的反思】

专题17万有引力定律与卫星航天知识参考答案

问题1解析 AD [解析] 第一宇宙速度为v1是地球卫星的最小发射速度，也是卫星绕地球圆周运动的最大运行速度，选项A正确；卫星的发射速度v0大于第一宇宙速度7.9 km/s，则2v0必大于第二宇宙速度11.2 km/s，卫星将远离地球进入绕日轨道或脱离太阳系，选项B错误；由开普勒第二定律，卫星在椭圆轨道Ⅰ运动时，近地点P处的速度最大，远地点Q处的速度最小，选项C错误；卫星在轨道Ⅰ的Q点时万有引力提供的向心力大于需要的向心力，在轨道Ⅱ的Q点时万有引力提供的向心力等于需要的向心力，所以卫星在Q点通过加速实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ，选项D正确． 【例1】解析：根据周期公式T=2r3GM知，高度越大，周期越大，则“风云二号” 气象卫星

GMr离地面较高；根据运行轨道的特点知，“风云一号” 观察范围较大；根据运行速度公式V=

知，高度越小，速度越大，则“风云一号” 运行速度较大，由于“风云一号”卫星的周期是12h，每天能对同一地区进行两次观测，在这种轨道上运动的卫星通过任意纬度的地方时时间保持不变。则下一次它通过该城市上空的时刻将是第二天上午8点。

练习1。解析：同步卫星绕地球近似作匀速圆周运动所需的向心力由同步卫星的地球间的万有引力提供。设地球的质量为M，同步卫星的质量为m，地球半径为R，同步卫星距离地面的高度

242GMT为h，由F引=F向， G=m2（R+h）得：h=3-R，可见同步卫星离地心的距

22T4(Rh)mM离是一定的。

GMv2由G=m得：v=,所以同步卫星的速度相同。

2RhRh(Rh)mM由GmM(Rh)2=ma得：a= GM(Rh)2即同步卫星的向心加速度相同。

由以上各式均可看出地球同步卫星的除质量可以不同外，其它物理量值都应是固定的。选A。

【例2】选D

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Mmmv212Mm练习2解析：由G2得，卫星在空间站上动能为EkmvG

r22(Rh)r卫星在空间站上的引力势能为EPGMmMm机械能为E1EkEpG

(Rh)2(Rh)同步卫星在轨道上正常运行时有GMmm2r 故其轨道半径r32rMG2

由上式可得同步卫星的机械能E2GMm1m3G2M22 2r2卫星运动过程中机械能守恒，故离开航天飞机的卫星的机械能应为E2设离开航天飞机时卫星的动能为Ekx 则Ekx＝E2EpMm13mG2M22G

Rh22

例3.解析 (1)设A、B的轨道半径分别为r1、r2，它们做圆周运动的周期T、角速度ω都相同，根据牛顿第二定律有FA＝m1ωr1，FB＝m2ωr2，即＝.故B的周期和速率分别为：TB＝TA＝T，

2

r1m2

r2m1

vB＝ωr2＝ω

m1r1m1v＝. m2m2

m1＋m2m1m2m1m′

r1，根据万有引力定律有FA＝G2＝G2， m2rr1

(2)A、B之间的距离r＝r1＋r2＝所以m′＝

m32m1＋m2

2.

答案 (1)T

m1v (2)m2

m32

2

m1＋m2

3Gm

练习3.2 [解析] 设三星系统的运转半径为r，运转周期为T，由几何关系可知：两个天

12π体间的距离应为d＝2rcos30°.

2Gm4π

对任意一颗卫星受力分析，由牛顿第二定律，有：2·cos30°＝mr2 dT

r3Gm

解得：2＝2.

T12π

1．AC [解析] 甲的轨道半径较大，由开普勒第三定律知，甲的周期大于乙的周期，选项A正Mm

确；由牛顿第二定律知G2＝ma，故甲的加速度小于乙的加速度，选项C正确；绕地球圆周运

r动的卫星的运行速度总小于或等于第一宇宙速度，选项B错误；地球同步卫星只能在赤道上空

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3

2

2

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2

运行，选项D错误．

Mmmv

2．AC [解析] 根据牛顿第二定律有G2＝，解得v＝

RR解得ω＝GM2

，选项A正确；根据mg＝mωR，R

RMm，选项C正确；根据G2gR

2π2g，选项B错误；根据mg＝m·R，解得T＝2π

RT

GM

＝ma，解得a＝2，选项D错误．

R3【答案】 B、D

【考点】万有引力定律及共应用；环绕速度 【解析】在中心天体表面上万有引力提供重力：

= mg , 则可得月球表面的重力加速度

g月 =

≈ 0.17g地 = 1.66m/s2 .根据平衡条件，探测器悬停时受到的反作用力F = G探 = m探g月 ≈

2×103N，选项B正确；探测器自由下落，由V2=2g月h ,得出着落前瞬间的速度v ≈3.6m/s ,选项

A错误；从离开近月圆轨道，关闭发动机后，仅在月球引力作用下机械能守恒，而离开近月轨道后还有制动悬停，发动机做了功，机械能不守恒，故选项C错误；在近月圆轨道万有引力提供向心力：

= m ,解得运行的线速度V月 =

=

<

,小于近地卫星线

速度，选项D正确。 4.【答案】BD

【考点】万有引力定律及其应用；环绕速度

【解析】本题考点是万有引力定律及其应用。由于v是探测器在星球表面上做匀速圆周运动的速度，万有引力提供所需的向心力：

=

,可得v =

,R为星球的半径，M为星球的

质量，G为万有引力常量，可知发射速度与探测器的质量无关，选项A错误；探测器在星球表面所受的万有引力 F万 =

，代入地球、火星的质量比和半径比，可知在地球表面的引力更大，选项B正确；

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探测器可摆脱星球引力束缚脱离该星球的发射速度为v = ，地球和火星的M与R比

值不同，所以发射速度不同，选项C错误；由于探测器在脱离星球过程中要克服引力做功，引力势能增大，选项D正确。

5．解析 地球同步卫星的运动周期与地球自转周期相同，角速度相同，即ω1＝ω3，根据关系

2

式v＝ωr和a＝ωr可知，v1Mmmv2GMMGM2

的地球的引力提供向心力，即G2＝mωr＝＝ma可得v＝ 、a＝G2、ω＝ ，可

rrrrr3见，轨道半径大的线速度、向心加速度和角速度均小，即v2>v3、a2>a3、ω2>ω3；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星的线速度就是第一宇宙速度，即v2＝v，其向心加速度等于重力加速度，即a2＝g；所以v＝v2>v3>v1，g＝a2>a3>a1，ω2>ω3＝ω1，又因为F＝ma，所以F2>F3>F1.由以上分

析可见，选项A、B、C错误，D正确．

5. 由于C和A周期相同，即角速度相同，由v＝ωr知，vC>vA，A错、B对．卫星B和C的加速度都是由万有引力提供的，由牛顿第二定律可得答案 BC 6.【答案】D

GMm＝ma，故aB＝aC，C对、D错． r2考点：万有引力定律的应用.

Mmv212GMm7.解析 由万有引力提供向心力知G2＝m，所以卫星的动能为mv＝，则卫星在半经为rrr22r12GMmGMmGMmGMm的轨道上运行时机械能为E＝mv＋Ep＝－＝－.故卫星在轨道R1上运行：E1＝－，22rr2r2R1在轨道R2上运行：E2＝－

GMmGMm11，由能的转化和守恒定律得产生的热量为Q＝E1－E2＝－，2R22R2R1

故正确选项为C.

8．AC 解析：由飞船在轨道Ⅱ上运动时机械能守恒可知，飞船在P点速度大于在Q点的速度，

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选项A正确；飞船从轨道Ⅰ加速过渡到轨道Ⅱ，所以飞船在轨道Ⅰ上运动时的机械能小于轨道Ⅱ上运动的机械能，选项B错误；飞船在空间同一点所受万有引力相同，所以飞船在轨道Ⅰ上运动到P点时的加速度等于飞船在轨道Ⅱ上运动到P点时的加速度，选项C正确；飞船绕火星在轨道Ⅰ上运动周期跟飞船返回地面的过程中绕地球以轨道Ⅰ同样半径运动的周期不相同，选项D错误。

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