高一数学 1.8 充分条件与必要条件(2)教案

教学目的：

1．使学生理解充要条件的概念，掌握充要条件的判断；

2．在师生、学生间的数学交流中增强逻辑思维活动，为用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基础.

教学重点：正确理解三个概念，并在分析中正确判断 教学难点：充分性与必要性的推导顺序 授课类型：新授课

课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：

这一节是在上一节学习了充分条件、必要条件概念的基础上，进一步学习充要条件的有关知识．重点是充要条件． 关于充分条件、必要条件与充要条件，还是控制在对初中代数、几何的有关问题的理解上为宜．

教学过程： 一、复习引入：

⒈什么叫做充分条件？什么叫做必要条件？ 若pq（或若┐q┐p），则说p是q的充分条件，q是p的必要条件. ⒉指出下列命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件： ⑴p：x>2，q：x>1；⑵p：x>1,q：x>2；

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⑶p：x>0 ,y>0，q：x+y<0；⑷p：x=0，y=0，q：x+y=0.

解：⑴∵x>2x>1，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件.

⑵∵x>1x>2，但x>2x>1，∴p是q的必要条件，q是p的充分条件. ⑶∵x>0 ,y>0x+y<0，x+y<0x>0 ,y>0，∴p不是q的充分条件，p也不是q的必要条件；q不是p的充分条件，q也不是p的必要条件.

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⑷∵x=0，y=0x+y=0，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；又22

x+y=0x=0，y=0，∴q是p的充分条件，p是q的必要条件.

⒊在问题⑷中，p既是q的充分条件，p又是q的必要条件，此时，我们统说，p是q的充分必要条件，简称充要条件.下面我们用数学语言来表述这个概念.

二、讲解新课：

⒈什么是充要条件？

用心 爱心 专心

如果既有pq，又有qp，就记作pq.此时，p既是q的充分条件，p又是q的必要条件，我们就说，p是q的充分必要条件，简称充要条件.（当然此时也可以说q是p的充要条件）

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例如，“x=0，y=0”是“x+y=0”的充要条件；“三角形的三条边相等”是“三角形的三个角相等”的充要条件.

说明：⑴符号“”叫做等价符号.“pq”表示“pq且pq”；也表示“p等价于q”. “pq”有时也用“pq”；

⑵“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”，“仅当”表示“必要”.

⒉几个相关的概念 若pq，但pq，则说p是q的充分而不必要条件； 若pq，但pq，则说p是q的必要而不充分条件； 若pq，且pq，则说p是q的既不充分也不必要条件. 例如，“x>2”是“x>1”的充分而不必要的条件；“x>1”是“x>2”的必要而不充分的条件；“x>0 ,y>0”是“x+y<0”的既不充分也不必要的条件.

⒊充要条件的判断方法

四种“条件”的情况反映了命题的条件与结论之间的因果关系，所以在判断时应该：

⑴确定条件是什么，结论是什么； ⑵尝试从条件推出结论，从结论推出条件（方法有：直接证法或间接证法）； ⑶确定条件是结论的什么条件. 4.怎样用集合的观点对“充分”、“必要”、“充要”三种条件进行概括？ 答：有两种说法：⑴若AB，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件（此时B也是A的充要条件）.

在含有变量的命题中，凡能使命题为真的变量x的允许值集合，叫做此命题的真值集合.

⑵若pq，说明p的真值集合q的真值集合，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若pq，说明p，q的真值集合相等，即p，q等价，则p是q充要条件（此时q也是p的充要条件）. 三、范例

例(P35例2)指出下列各组命题中，p是q的什么条件（在“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不 必要条件”中选出一种）？

⑴p：(x-2)(x-3)=0；q：x-2=0.

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⑵p：同位角相等；q：两直线平行.⑶p：x=3；q：x=9. ⑷p：四边形的对角线相等；q：四边形是平行四边形.

解：⑴∵(x-2)(x-3)=0x-2=0，(x-2)(x-3)=0x-2=0，

用心 爱心 专心

∴p是q的必要而不充分的条件；

⑵∵同位角相等两直线平行，∴p是q的充要条件；

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⑶∵x=3x=9， x=3x=9，∴p是q的充分而不必要的条件；

⑷∵四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形的对角线相等四边形是平行四边形，

∴p是q的既不充分也不必要的条件. 四、练习：1习题：3.⑴假；⑵假；⑶假；⑷真.

课本P36练习：1，2；P36-38习题：3.

答案：练习：1.⑴；⑵；⑶；⑷. 2.⑴充分而不必要的条件；⑵充分而不必要的条件； ⑶充要条件；⑷必要而不充分的条件. 五、小结：

六、作业：

(一)复习：课本P34-36内容，进一步熟悉和巩固有关概念和方法.

(二)书面：课本P36-37习题1.8：1，2.

答案：1.⑴p：x>0，y>0；q：x+y>0. （∵） ⑵p：x>3；q：x>5.（∵）

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⑶p：判别式b-4ac0；q：方程ax+bx+c=0(a0)有实根.（∵）

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⑷p：x>y；q：x>y. (∵)

2.⑴充分而不必要的条件；⑵必要而不充分的条件； ⑶必要而不充分的条件；⑷充要条件；

⑸必要而不充分的条件；⑹必要而不充分的条件.

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(三)思考题：试寻求关于x的方程x+mx+n=0有两个小于1的正根的

一个充要条件.(练习册P15探索题2)

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解法1：关于x的方程x+mx+n=0有两个小于1的正根方程在(0，1)

0m24n0m24n0m012m02m0内有实根. 2f(0)0n00n11mn01mn0f(1)0解法2：

0m24n0xx0122m0方程在(0，1)内有实根x1x20 (x1)(x1)0n0211mn0(x1)(x1)021用心 爱心 专心

用心 爱心专心m24n02m0. 0n11mn0七、板书设计（略） 八、课后记：