人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷含答案解析(4)

人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷（共22题）

一、选择题（共10题）

1. 在算式 2大+2庆+2精+2神=29 中，“大、庆、精、神”分别代表四个不同的数字，且依次从大到小排列，则“庆”字所对应的数字为 (  )

2. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵．记鲑鱼的游速为 𝑣（单位：m/s），鲑鱼的耗氧量的单位数为 𝑄．科学研究发现 𝑣 与 log3100 成正比．当 𝑣=1 m/s 时，鲑鱼的耗氧量的单位数为 900．当 𝑣=2 m/s 时，其耗氧量的单位数为 (  )

3. 下列各式中错误的是 (  )

4. 设 𝑥>0，且 1<𝑏𝑥<𝑎𝑥，则 (  )

5. “𝑎>𝑏”是“𝑎+ln𝑎>𝑏+ln𝑏”的 (  )

6. 已知 𝑠 是函数 𝑓(𝑥) 的一个零点，且 𝑥1<𝑠<𝑥2，则 (  )

7. 下列函数是幂函数的是 (  )

8. 下列图象中，是函数 𝑦=2−𝑥 的大致图象的是 (  )

A． 𝑦=2𝑥

2

1𝑄

A． 4 B． 3 C． 2 D． 1

A． 1800 B． 2700 C． 7290 D． 8100

A． log𝑎𝑏=log𝑎𝑛𝑏𝑛 C．

log𝑎𝑀log𝑎𝑁

B． log𝑎𝑏=log𝑎

𝑏

=log𝑎𝑁

𝑀

D． log𝑎𝑏⋅log𝑏𝑐⋅log𝑐𝑑=log𝑎𝑑

A． 0<𝑏<𝑎<1 B． 0<𝑎<𝑏<1 C． 1<𝑏<𝑎 D． 1<𝑎<𝑏

A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

A． 𝑓(𝑥1)⋅𝑓(𝑥2)>0 C． 𝑓(𝑥1)⋅𝑓(𝑥2)=0

B． 𝑓(𝑥1)⋅𝑓(𝑥2)<0 D．以上答案都不对

B． 𝑦=𝑥+𝑥

3

C． 𝑦=3

𝑥

D． 𝑦=𝑥

1

2

1

A． B．

C． D．

9. 已知 𝑎=log23−1，()=5，𝑐=log32，则 𝑎，𝑏，𝑐 的大小关系为 (  )

2

𝑥−4,𝑥≥4𝑘

10. 已知函数 𝑓(𝑥)={．若存在正实数 𝑘，使得方程 𝑓(𝑥)= 有三个互不相等的实根

𝑥−𝑥+4,𝑥<4

𝑥1，𝑥2，𝑥3，则 𝑥1+𝑥2+𝑥3 的取值范围是 (  )

二、填空题（共6题）

11. 关于 𝑥 的方程 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0) 有一个正根和一个负根的充要条件是 ．

12. 下列所给出的函数中，是幂函数的是 （填序号）．

① 𝑦=−𝑥3；② 𝑦=𝑥−3；③ 𝑦=2𝑥3；④ 𝑦=𝑥3−1

13. 判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）√𝑎𝑛=(√𝑎)=𝑎(𝑛∈𝐍∗)．(  )

（2）分数指数幂 𝑎 可以理解为 个 𝑎 相乘．(  )

𝑛

𝑚

𝑛𝑛

𝑛

1𝑏

A． 𝑐<𝑏<𝑎 B． 𝑏<𝑎<𝑐 C． 𝑎<𝑐<𝑏 D． 𝑎<𝑏<𝑐

A． (4,2+2√2) C． (6,4+2√2)

B． (4,6+2√2) D． (8,6+2√2)

𝑛

𝑚

（3）函数 𝑦=3⋅2𝑥 与 𝑦=2𝑥+1 都不是指数函数．(  ) （4）若 𝑎𝑚<𝑎𝑛（𝑎>0，且 𝑎≠1），则 𝑚<𝑛．(  )

14. 函数 𝑦=ln(𝑥−2) 的定义域为 ．

15. 某商人将每台彩电先按原价提高 40%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电

2

比原价多了 270 元，则每台彩电原价是 元．

16. 对于函数 𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑎𝑥+4，若存在 𝑥0∈𝐑，使得 𝑓(𝑥0)=𝑥0，则称 𝑥0 是 𝑓(𝑥) 的一个不动

点，已知 𝑓(𝑥) 在 𝑥∈[1,3] 恒有两个不同的不动点，则实数 𝑎 的取值范围 ．

三、解答题（共6题）

17. 求下列函数的定义域与值域：

(1) 𝑦=()

3

1√𝑥−2；

(2) 𝑦=(2)+1(−1≤𝑥≤1)； (3) 𝑦=10𝑥； (4) 𝑦=3∣𝑥+1∣．

18. 已知函数 𝑓(𝑥)=log2𝑥+1，𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥2)+[𝑓(𝑥)]2．

(1) 求方程 𝑔(𝑥)=2 的解集；

(2) 若 𝑓(𝑥) 的定义域是 [1,16]，求函数 𝑔(𝑥) 的最值．

(3) 若不等式 [𝑓(𝑥)]2+log2𝑥+4>𝑚⋅𝑓(𝑥) 对于 ∀𝑥∈[1,16] 恒成立，求 𝑚 的取值范围．

19. 已知 𝑎=𝑚，𝑎=𝑛，𝑚⋅𝑛=𝑎，其中 𝑎>0 且 𝑎≠1．求证：𝑥𝑦𝑧=1．

20. 某厂生产某种产品 𝑥（百台），总成本为 𝐶(𝑥)（万元），其中固定成本为 2 万元，每生产 1 百台

成本增加 1 万元，销售收入为 𝑅(𝑥)（万元）．且 𝑅(𝑥) 与 𝑥 之间的函数关系式为：𝑅(𝑥)=4𝑥−𝑥2−,0≤𝑥≤4

22{． 7.5,𝑥>4假定该产品产销平衡．

(1) 该厂若要不亏本，产量 𝑥 应控制在什么范围内？ (2) 生产多少台时，可使利润最大？

(3) 求利润最大时产品的售价（保留三位有效数字）．

21. 某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为 1 万元/辆，出厂价为 1.2 万元/辆，年销售

量为 10000 辆．本年度为适应市场需求，计划适度增加投入成本，提高产品档次．若每辆车投入成本增加的比例为 𝑥(0<𝑥<1)，则出厂价相应的提高比例为 0.75𝑥，同时预计年销售量增加的比例为 0.6𝑥．

已知年利润=(出厂价−投入成本)×年销售量．

3

1

1

𝑥

𝑦

𝑦

𝑥

2

𝑧

1

1𝑥

(1) 写出本年度预计的年利润 𝑦 与投入成本增加的比例 𝑥 的关系式； (2) 投入成本增加的比例多大时，本年度预计的年利润最大？最大值是多少？

22. 设 𝑓(𝑥)=log31+2sin𝑥．

(1) 求函数 𝑓(𝑥) 的定义域； (2) 判断函数 𝑓(𝑥) 的奇偶性．

1−2sin𝑥

4

答案

一、选择题（共10题） 1. 【答案】B

【解析】由 29=16+8+4+1=24+23+22+20，可得“庆”字所对应的数字为 3．故选B． 【知识点】幂的概念与运算

2. 【答案】D

【知识点】函数模型的综合应用

3. 【答案】C

【知识点】对数的概念与运算

4. 【答案】C

【解析】因为 𝑥>0 时，1<𝑏𝑥，所以 𝑏>1． 因为 𝑥>0 时，𝑏𝑥<𝑎𝑥，所以 𝑥>0 时，(𝑏)>1． 所以 𝑏>1，所以 𝑎>𝑏，所以 1<𝑏<𝑎． 【知识点】指数函数及其性质

5. 【答案】B

【知识点】对数函数及其性质

6. 【答案】D

【解析】零点存在定理的逆命题不一定成立，故 𝑓(𝑥1)⋅𝑓(𝑥2) 的值不确定． 【知识点】零点的存在性定理

7. 【答案】D

【解析】 𝑦=2𝑥2，𝑦=𝑥3+𝑥 不是幂函数；𝑦=3𝑥 是指数函数；𝑦=𝑥2 是幂函数． 【知识点】指数函数及其性质

8. 【答案】B

【解析】 𝑦=2故选B．

【知识点】指数函数及其性质

9. 【答案】B

5

−𝑥

1𝑥

1

𝑎𝑥

𝑎

=(2)．

【解析】由 ()=5，得 𝑏=log15=−log25，

2

21𝑏

又 𝑎=log23−1=−log23，

则有 −log25<−log23<0【知识点】指数函数及其性质、对数函数及其性质

10. 【答案】D

【解析】方程 𝑓(𝑥)=𝑥 可化为 𝑥𝑓(𝑥)=𝑘，

𝑥2−4𝑥,𝑥≥4

令 𝑔(𝑥)=𝑥𝑓(𝑥)，则 𝑔(𝑥)={2，

−𝑥+4𝑥,𝑥<4且𝑥≠0作出 𝑔(𝑥) 的图象，如图所示．

由图可知，若方程 𝑥𝑓(𝑥)=𝑘 有三个互不相等的实根 𝑥1，𝑥2，𝑥3，则函数 𝑔(𝑥) 的图象与直线 𝑦=𝑘 有 3 个交点，则 0<𝑘<4．

不妨设 𝑥1<𝑥2<𝑥3，由二次函数 𝑦=−𝑥2+4𝑥 的图象关于直线 𝑥=2 对称可知，易知 𝑥3>4．

令 𝑥2−4𝑥=4，得 𝑥=2±2√2， 所以 4<𝑥3<2+2√2，

所以 𝑥1+𝑥2+𝑥3=4+𝑥3∈(8,6+2√2)． 故选D．

𝑥1+𝑥22

𝑘

=2，

【知识点】函数的零点分布

二、填空题（共6题） 11. 【答案】 𝑎𝑐<0

𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐>0,

【解析】 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0) 有一个正根和一个负根的充要条件是 {𝑐 即

<0.𝑎

2

𝑎𝑐<0．

【知识点】函数的零点分布、充分条件与必要条件

12. 【答案】②

6

【知识点】幂的概念与运算

13. 【答案】 × ； × ； √ ； ×

【知识点】幂的概念与运算、指数函数及其性质

14. 【答案】 (2,+∞)

【知识点】对数函数及其性质、函数的定义域的概念与求法

15. 【答案】 2250

【解析】设彩电原价是 𝑥 元，

根据题意可列：(1+40%)𝑥⋅80%−𝑥=270，解得 𝑥=2250， 故彩电原价是 2250 元． 【知识点】函数模型的综合应用

16. 【答案】 [−

【解析】由 𝑓(𝑥) 在 𝑥∈[1,3] 恒有两个不同的不动点知：𝑥2+𝑎𝑥+4=𝑥 在 [1,3] 上恒有两个不同解，

即 𝑥2+(𝑎−1)𝑥+4=0 在 [1,3] 上恒有两个不同解，令 𝑔(𝑥)=𝑥2+(𝑎−1)𝑥+4， 𝑔(1)=1+𝑎−1+4=𝑎+4≥0,

𝑔(3)=9+3𝑎−3+4=3𝑎+10≥0,10

所以 解得：−≤𝑎<−3 𝑎−1

3

1<−2<3,

{𝛥=(𝑎−1)2−16>0,所以 𝑎 的取值范围为 [−

103

103

,−3)

,−3)．

【知识点】函数的零点分布

三、解答题（共6题） 17. 【答案】

(1) 由 𝑥−2≥0，得 𝑥≥2， 所以定义域为 {𝑥∣ 𝑥≥2}． 当 𝑥≥2 时，√𝑥−2≥0， 又因为 0<<1，

31

所以 𝑦=(3)

1√𝑥−2 的值域为 {𝑦∣ 0<𝑦≤1}．

3

(2) 定义域为 [−1,1]，值域为 [2,3]．

7

(3) 𝑦=10 定义域为 {𝑥∣ 𝑥≠0}，值域为 {𝑦∣ 𝑦>0且𝑦≠1}． (4) 𝑦=3∣𝑥+1∣ 定义域为 𝐑，值域为 {𝑦∣ 𝑦≥1}．

【知识点】函数的定义域的概念与求法、指数函数及其性质、函数的值域的概念与求法

18. 【答案】

𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥2)+[𝑓(𝑥)]2

(1) =log2𝑥2+1+(log2𝑥+1)2

=(log2𝑥)2+4log2𝑥+2.因为 𝑔(𝑥)=2，即 (log2𝑥)2+4log2𝑥+2=2， 即 log2𝑥=0 或 log2𝑥=−4， 所以 𝑥=1 或 𝑥=2−4， 方程的解集为 {1,2−4}．

(2) 因为 𝑓(𝑥) 的定义域是 [1,16]， 所以 0≤log2𝑥≤4，

又 𝑔(𝑥)=(log2𝑥)2+4log2𝑥+2， 设 𝑡=log2𝑥(0≤𝑡≤4)，

则 𝑔(𝑡)=𝑡2+4𝑡+2(0≤𝑡≤4)，

所以 𝑔(0)≤𝑔(𝑡)≤𝑔(4)，即 2≤𝑔(𝑡)≤34， 所以 𝑔(𝑥)min=2，𝑔(𝑥)max=34． (3) 设 𝑘=𝑓(𝑥)(1≤𝑘≤5)，

所以不等式 [𝑓(𝑥)]2+log2𝑥+4>𝑚⋅𝑓(𝑥)，

对于 ∀𝑥∈[1,16] 恒成立等价于不等式 𝑘2+𝑘+3>𝑚𝑘 对于 ∀𝑘∈[1,5] 恒成立， 即 𝑘2+(1−𝑚)𝑘+3>0 在 ∀𝑘∈[1,5] 恒成立，

第一种情况：当 𝛥<0 时，即 (1−𝑚)2−12<0，1−2√3<𝑚<1+2√3 满足条件， 第二种情况：当 𝛥=0 时，即 𝑚=1±2√3，4<1+2√3<5，所以舍去 1+2√3，即 𝑚=1−2√3 满足条件，

第三种情况：当 𝛥>0 时，即 1+2√3<𝑚 或者 𝑚<1−2√3 时， ≤1,

（i）{2

2

1+1−𝑚+3>0.解得 𝑚<1−2√3．

≥5,

（ii）{2

2

5+(1−𝑚)⋅5+3>0.解得：无解．

综上所述：𝑚<1+2√3．

【知识点】对数函数及其性质、函数的最大（小）值

19. 【答案】 log𝑎(𝑚𝑦⋅𝑛𝑥)=𝑦log𝑎𝑚+𝑥log𝑎𝑛=𝑧．

【知识点】简单的指数方程与不等式（沪教版）、对数的概念与运算

8

2

𝑚−1𝑚−1

1

𝑥

20. 【答案】

(1) 由题意，成本函数为 𝐶(𝑥)=2+𝑥， 设利润为 𝐿(𝑥)（万元），

2

则利润函数为 𝐿(𝑥)=𝑅(𝑥)−𝐶(𝑥)={3𝑥−0.5𝑥−2.5,0≤𝑥≤4

5.5−𝑥.𝑥>4

要不亏本，即要 𝐿(𝑥)≥0，分段解不等式 𝐿(𝑥)≥0，得 1≤𝑥≤5.5． 故要不亏本，产量 𝑥 应控制在 1≤𝑥≤5.5 的范围内． (2) 当 0≤𝑥≤4 时，从二次函数 𝐿(𝑥) 的性质可知： 当 𝑥=−2𝑎=3 时，函数取得最大值 𝐿max=2； 当 𝑥>4 时，𝐿(𝑥)=5.5−𝑥<5.5−4=1.5． 所以取 𝑥=3，即生产 300 台时，可使利润最大． (3) 由（2）知当 𝑥=3 时，利润最大，设售价为 𝑃． 此时的售价 𝑃=

𝑅(3)3

𝐿(3)+𝐶(3)

3

2+53

𝑏

==≈2.33（万元/百台），

即利润最大时售价为 233 元/台． 【知识点】函数模型的综合应用

21. 【答案】

𝑦=[1.2(1+0.75𝑥)−(1+𝑥)]×10000(1+0.6𝑥)

(1) =10000(0.2−0.1𝑥)(1+0.6𝑥)

2

=200(−3𝑥+𝑥+10),0<𝑥<1.

(2) 函数 𝑦=200(−3𝑥2+𝑥+10) 的图象开口向下，对称轴为直线 𝑥=6． 所以当 𝑥= 时，𝑦 取得最大值

6

1

1

60503

1

.

60503

所以投入成本增加的比例为 6 时，本年度预计的年利润最大，最大值是 【知识点】建立函数表达式模型、函数模型的综合应用

22. 【答案】

(1) 因为 1+2sin𝑥>0， 所以 −2所以 𝑘π−6

6

π

π

1

1

1−2sin𝑥

万元．

所以该函数的定义域为

{𝑥∣ 𝑘π−69

π

π

(2) 由（1）知定义域关于原点对称， 又 𝑓(−𝑥)=log3

1+2sin𝑥1−2sin𝑥

=log3(

1−2sin𝑥−1

)1+2sin𝑥

=−log3

1−2sin𝑥1+2sin𝑥

=−𝑓(𝑥)．

所以该函数为奇函数．

【知识点】对数函数及其性质、正弦函数的性质、函数的定义域的概念与求法、函数的奇偶性

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