人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷含答案解析(64)

人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷（共22题）

一、选择题（共10题）

1. 方程 log2𝑥+𝑥=2 的解所在的区间为 (  )

2. 已知 𝑎，𝑏，𝑐，𝑑 都是常数，𝑎>𝑏，𝑐>𝑑，若函数 𝑓(𝑥)=2017−(𝑥−𝑎)(𝑥−𝑏) 的零点为 𝑐，𝑑，则下列不等式正确的是 (  )

3. 用二分法研究函数 𝑓(𝑥)=𝑥5+8𝑥3−1 的零点时，第一次经过计算得 𝑓(0)<0，𝑓(0.5)>0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为 (  )

4. 如果函数 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥(𝑎>1) 的图象经过点 𝐴(3,8)，那么实数 𝑎 的值为

5. 已知函数 𝑦=𝑓(𝑥)，𝑥∈𝐴，若对任意 𝑎,𝑏∈𝐴，当 𝑎<𝑏 时，都有 𝑓(𝑎)<𝑓(𝑏)，则方程 𝑓(𝑥)=0 的根 (  )

6. 下列函数中一定是指数函数的是 (  )

2𝑥−1,𝑥≤1

7. 若曲线 𝑦={2 与直线 𝑦=𝑘𝑥−1 有两个不同的交点，则实数 𝑘 的取值范围是

,𝑥>1

1−𝑥

A． (0.5,1) B． (1,1.5) C． (1.5,2) D． (2,2.5)

A． 𝑎>𝑐>𝑏>𝑑 B． 𝑎>𝑏>𝑐>𝑑 C． 𝑐>𝑑>𝑎>𝑏 D． 𝑐>𝑎>𝑏>𝑑

A． (0,0.5)，𝑓(0.125) C． (0.5,1)，𝑓(0.75)

B． (0.5,1)，𝑓(0.25) D． (0,0.5)，𝑓(0.25)

A．2 B．3 C．4 D．24

A．有且只有一个 B．可能有两个 C．至多有一个 D．有两个以上

A． 𝑦=2𝑥+1 B． 𝑦=𝑥2 C． 𝑦=3−𝑥 D． 𝑦=−2⋅3𝑥

(  )

A． (5−2√6,5+2√6) C． (−∞,5−2√6)

B． (0,5−2√6)

D． (−∞,0)∪(0,5−2√6)

8. 若 𝑎>𝑏>0，且 𝑎𝑏=1，则下列不等式成立的是 (  )

9. 已知 𝑎=2−3，𝑏=log23,𝑐=log13，则 (  )

2

1

A． 𝑎+𝑏<2𝑎𝑏1

𝑏2𝑎

1𝑏

B． 2𝑎𝑏1

𝑏2𝑎

𝑏1

11

1

A． 𝑎>𝑏>𝑐

1√9−3𝑥B． 𝑎>𝑐>𝑏 C． 𝑐>𝑎>𝑏 D． 𝑐>𝑏>𝑎

10. 函数 𝑓(𝑥)=

的定义域为 (  )

B． (−∞,2)

C． (0,2]

D． (0,2)

A． (−∞,2]

二、填空题（共6题）

11. 函数 𝑦=ln(𝑥−2) 的定义域为 ．

12. 若函数 𝑓(𝑥)=∣2𝑥−2∣−𝑏 有两个零点，则实数 𝑏 的取值范围是 ．

13. 定义区间 [𝑥1,𝑥2] 的长度为 𝑥2−𝑥1．若函数 𝑦=∣log2𝑥∣ 的定义域为 [𝑎,𝑏]，值域为 [0,3]，则区

间 [𝑎,𝑏] 长度的最大值为 ．

14. 若函数 𝑓(𝑥)=2∣𝑥−𝑎∣+1 在 [1,+∞) 上是增函数，则实数 𝑎 的取值范围是 ．

15. log425−2log410+log45⋅log516 的值是 ．

16. 已知实数 𝑎，𝑏 满足等式 ()=()，给出下列五个关系式：

22

① 0<𝑏<𝑎； ② 𝑎<𝑏<0； ③ 0<𝑎<𝑏； ④ 𝑏<𝑎<0； ⑤ 𝑎=𝑏．

其中不可能成立的关系式为 （填序号）．

三、解答题（共6题）

17. 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．

(1) 𝑓(𝑥)=

𝑥+3𝑥

1𝑎

1𝑏

；

(2) 𝑓(𝑥)=𝑥2+2𝑥+4．

18. 计算下列各式：

(1) (−𝑥3𝑦−3)(3𝑥−2𝑦3)(−2𝑥6𝑦3)； (2) 2𝑥(−3𝑥𝑦)÷(−6𝑥𝑦)．

2

1

4

14

1

1

1

2

1

2

−

13−

32

−

43

19. 已知函数 𝑓(𝑥)=1−

(1) 求实数 𝑎 的值.

(2) 当 𝑥∈[1,+∞) 时，𝑚𝑓(𝑥)≤2𝑥+2 恒成立，求实数 𝑚 的取值范围．

20. 求 22+log23+32−log39 的值．

21. 已知 log23=𝑎，log37=𝑏，用 𝑎，𝑏 表示 log1456．

22. 2019 年滕州某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本 2500

万元．每生产 𝑥（百辆）新能源汽车，需另投入成本 𝐶(𝑥) 万元，且 𝐶(𝑥)=10𝑥2+100𝑥,0<𝑥<40{．由市场调研知，每辆车售价 5 万元，且生产的车辆当年能10000501𝑥+−4500,𝑥≥40

𝑥

22𝑎𝑥−1+1

（𝑎>0，且 𝑎≠1）是定义在 𝐑 上的奇函数．

全部销售完．

(1) 求出 2019 年的利润 𝐿(𝑥)（万元）关于年产量 𝑥（百辆）的函数关系式．（利润 = 销售额

− 成本）

(2) 2019 年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．

3

答案

一、选择题（共10题） 1. 【答案】B

【知识点】对数函数及其性质、零点的存在性定理

2. 【答案】D

【解析】令 𝑔(𝑥)=(𝑥−𝑎)(𝑥−𝑏)，则 𝑓(𝑥)=2017−𝑔(𝑥)， 易知 𝑔(𝑥)=0 的两个根是 𝑎，𝑏，

由题意知 𝑓(𝑥)=0 的两个根是 𝑐，𝑑，即 𝑔(𝑥)=2017 的两个根是 𝑐，𝑑．

令 𝑔(𝑥)=(𝑥−𝑎)(𝑥−𝑏)，则 𝑔(𝑥)=0 的两根为 𝑎，𝑏，𝑦=𝑔(𝑥) 与 𝑦=2017 图象交点的横坐标为 𝑐，𝑑，由图象可得结果，应用了数形结合思想．

在同一平面直角坐标系中，作出函数 𝑔(𝑥) 的大致图象及直线 𝑦=2017，如图． 由图得，𝑐>𝑎>𝑏>𝑑．

【知识点】函数的零点分布

3. 【答案】D

【解析】因为 𝑓(0)<0，𝑓(0.5)>0，所以其中一个零点所在的区间为 (0,0.5)，第二次应计算的函数值为 𝑓(0.25)． 故选D．

【知识点】二分法求近似零点

4. 【答案】A

【知识点】幂的概念与运算

5. 【答案】C

【解析】由题意知 𝑓(𝑥) 在 𝐴 上是增函数．若 𝑦=𝑓(𝑥) 与 𝑥 轴有交点，则有且只有一个交点，故方程 𝑓(𝑥)=0 至多有一个根．

【知识点】零点的存在性定理、函数的单调性

6. 【答案】C

【解析】只有 𝑦=3

−𝑥

1𝑥

=(3) 符合指数函数的概念，A、B、D中函数都不符合 𝑦=𝑎𝑥（𝑎>0，

且 𝑎≠1）的形式，故选C．

4

【知识点】指数函数及其性质

7. 【答案】D

【知识点】函数的零点分布

8. 【答案】B

【解析】特值法：令 𝑎=2，𝑏=，可排除A，C，D．故选B．

21

【知识点】对数函数及其性质

9. 【答案】C

【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质

10. 【答案】B

【解析】要使函数有意义，则 𝑥 需满足 9−3𝑥>0，解得：𝑥<2， 所以函数 𝑓(𝑥) 的定义域是 (−∞,2)．

【知识点】函数的定义域的概念与求法、指数函数及其性质

二、填空题（共6题） 11. 【答案】 (2,+∞)

【知识点】对数函数及其性质、函数的定义域的概念与求法

12. 【答案】 (0,2)

【解析】 因为

可知当 0<𝑏<2 时，函数 𝑦=∣2𝑥−2∣ 与函数 𝑦=𝑏 的图象有两个交点， 即实数 𝑏 的取值范围是 (0,2)．

【知识点】函数的零点分布

13. 【答案】

638

【解析】由题知函数 𝑦=∣log2𝑥∣ 的定义域为 [𝑎,𝑏]，值域为 [0,3]，要使定义域区间的长度最大，则 −3≤log2𝑥≤3，解得 8≤𝑥≤8，此时 [𝑎,𝑏] 为 [8,8]．

5

1

1

故区间 [𝑎,𝑏] 长度的最大值为 8−8=

14. 【答案】 (−∞,1]

1638

．

【知识点】函数的值域的概念与求法、对数函数及其性质

【解析】因为函数 𝑓(𝑥)=2∣𝑥−𝑎∣+1 的对称轴为 𝑥=𝑎， 所以函数 𝑓(𝑥)=2∣𝑥−𝑎∣+1 在 [𝑎,+∞) 上是增函数；

又函数 𝑓(𝑥)=2∣𝑥−𝑎∣+1 在 [1,+∞) 上是增函数，所以 𝑎≤1． 【知识点】函数的单调性、指数函数及其性质

15. 【答案】 1

log425−2log410+log45⋅log516=log425−log4100+

【解析】

=log4

251001

lg5lg4

lg16lg5

×

+

lg16lg4

=log44+log416=−1+2=1.

【知识点】对数的概念与运算

16. 【答案】③④

【解析】画出函数 𝑦=(2) 和 𝑦=(3) 的图象，如图所示， 借助图象进行分析．

由于实数 𝑎，𝑏 满足等式 (2)=(3)， 所以若 𝑎，𝑏 均为正数，则 𝑎>𝑏>0； 若 𝑎，𝑏 均为负数，则 𝑎<𝑏<0； 若 𝑎=𝑏=0，则 (2)=(3)=1， 故③④不可能成立．

1𝑎

1𝑏1𝑎

1𝑏

1𝑥

1𝑥

【知识点】指数函数及其性质

三、解答题（共6题）

6

17. 【答案】

(1) 令

𝑥+3𝑥

=0，解得 𝑥=−3，

𝑥+3𝑥

所以函数 𝑓(𝑥)=

的零点是 𝑥=−3．

(2) 令 𝑥2+2𝑥+4=0，由于 𝛥=22−4×1×4=−12<0， 所以方程 𝑥2+2𝑥+4=0 无实数根， 所以函数 𝑓(𝑥)=𝑥2+2𝑥+4 不存在零点． 【知识点】函数零点的概念与意义

18. 【答案】

(−𝑥3𝑦−3)(3𝑥−2𝑦3)(−2𝑥6𝑦3)

(1) =[−1×3×(−2)]𝑥

=6𝑥0𝑦1=6𝑦.

1

1

1

111−+3261

1

1

2

1

2

𝑦

−++

122333

2𝑥4(−3𝑥4𝑦−3)÷(−6𝑥−2𝑦−3)

14113

(2) ++−3+3 442[()()]=2×−3÷−6𝑥𝑦

2

=𝑥𝑦.【知识点】幂的概念与运算

19. 【答案】

(1) 因为 𝑓(0)=1−所以 𝑎=2． (2) 𝑓(𝑥)=1−

𝑥

22𝑥+1

22𝑎−1+1

34

=0，

=

2𝑥−12𝑥+1

，

(2𝑥+2)(2𝑥+1)

2𝑥−1

6

由 𝑚𝑓(𝑥)≤2+2 得：𝑚≤设 𝑡=2𝑥−1，则 𝑚≤

，

(𝑡+3)(𝑡+2)

𝑡

=𝑡+6+5≥2√6+5．

所以 𝑚∈(−∞,2√6+5]．

【知识点】指数函数及其性质、函数的单调性、函数的奇偶性

20. 【答案】 2

2+log23

32

99

+3

2−log39

=2×2

2

log23

+

3

=12+1=13． log39=4×3+

【知识点】对数的概念与运算

7

21. 【答案】 log1456=

log256log214

=

log27+log28log27+log22

=

log27+3log27+1

，

因为 log23=𝑎，log37=𝑏， 所以 log23⋅log37=log27=𝑎𝑏， 所以 log1456=

【知识点】对数的概念与运算

22. 【答案】

(1) 当 0<𝑥<40 时，

𝐿(𝑥)=5×100𝑥−10𝑥2−100𝑥−2500=−10𝑥2+400𝑥−2500； 当 𝑥≥40 时，

𝐿(𝑥)=5×100𝑥−501𝑥−

10000𝑥

10000𝑥

log27+3log27+1

=

𝑎𝑏+3𝑎𝑏+1

．

+4500−2500=2000−(𝑥+)，

−10𝑥2+400𝑥−2500,0<𝑥<40

所以 𝐿(𝑥)={． 10000

2000−(𝑥+𝑥≥40),(2) 当 0<𝑥<40 时，𝐿(𝑥)=−10(𝑥−20)2+1500，

当 𝑥=20 时，𝐿(𝑥)max=1500， 当 𝑥≥40 时， 𝐿(𝑥)=2000−(𝑥+

10000𝑥𝑥

𝑥

)

≤2000−2√𝑥⋅=2000−200=1800,

10000

当且仅当 𝑥=

10000𝑥

，即 𝑥=100 时，“=”成立，

因为 1800>1500，

所以 2019 年产量为 100 百辆时利润最大，最大利润为 1800 万元． 【知识点】建立函数表达式模型、均值不等式的实际应用问题

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