2021-2022学年四川省南充市八年级(上)期末数学试卷(附详解)

2021-2022学年四川省南充市八年级（上）期末数学试卷

1. 出行安全，认识交通路标非常重要，下列是部分交通路标，其中是轴对称图形的是

( )

A. B. C. D.

2. (−𝑎3)2的值是( )

A. −𝑎5 B. 𝑎6 C. 𝑎5 D. −𝑎6

3. 已知三角形的两边长分别为3𝑐𝑚和2𝑐𝑚，则第三边长可以是( )

A. 1𝑐𝑚 B. 3𝑐𝑚 C. 5𝑐𝑚 D. 7𝑐𝑚

4. 计算𝑚(𝑚+1)(𝑚+2)结果中，𝑚3项的系数是( )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

5. 如图，△𝐴𝐷𝐸≌△𝐵𝐶𝐹，𝐴𝐷=10𝑐𝑚，𝐶𝐷=6𝑐𝑚，

则𝐵𝐷的长为( )

A. 4𝑐𝑚 B. 3𝑐𝑚 C. 2𝑐𝑚 D. 不能确定

6. 如果分式

𝑚2−4𝑚−2

的值为零，那么𝑚的值是( )

A. 𝑚≠2 B. 𝑚=±2 C. 𝑚=−2 D. 𝑚=2

7. 一副透明三角板按如图叠放在一起，则图中∠𝛼的度

数是( )

A. 105° B. 90° C. 75° D. 60°

8. 若代数式

〇𝑥−1(𝑥≠0)运算结果为𝑥，则在“〇”处的运算符号应该是( ) 𝑥−1

𝑥2

𝑥

A. 除号“÷” C. 减号“−”

B. 除号“÷”或减号“−” D. 乘号“×”或减号“−”

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𝐶，𝐸在同一直线上，∠𝐵=9. 如图，点𝐵，且𝐴𝐶=𝐶𝐸，

∠𝐷=90°，𝐴𝐶⊥𝐶𝐷，下列结论不一定成立的是( )

A. ∠𝐴=∠2 B. ∠𝐴+∠𝐸=90° C. 𝐵𝐶=𝐷𝐸 D. ∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐴𝐶𝐸

10. 设𝑀=(1−22)(1−32)(1−42)…(1−𝑛2)(𝑛≥2的自然数)，如果𝑀是整数，𝑛的值

有( )

1

1

1

1

6

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

11. 计算2−2的值是______．

12. 如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶与𝑅𝑡△𝐷𝐶𝐵中，已知∠𝐴=∠𝐷=

90°，请你添加一个条件(不添加字母和辅助线)，使𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶≌𝑅𝑡△𝐷𝐶𝐵，你添加的条件是______． 13. 已知𝑎2−𝑏2=8，且𝑎−𝑏=−4，则𝑎+𝑏=______．

14. 若一个多边形的一条对角线把它分成两个四边形，则这个多边形的内角和是______

度．

15. 已知𝑥−𝑥=4，则𝑥2+𝑥2=______．

16. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=30°，𝐴𝐵=4，高𝐶𝐻=6.作

点𝐻关于𝐴𝐶，𝐵𝐶的对称点𝐷，𝐸，连接𝐷𝐸交𝐴𝐶于点𝑃，交𝐵𝐶于点𝑄；𝐻𝑃，𝐻𝑄，𝐻𝐸.下列结论：连接𝐻𝐷，①∠𝐷𝐶𝐸=60°；②𝑃𝑄=3；③五边形𝐴𝐵𝐸𝐶𝐷的面积是24；④△𝑃𝑄𝐻的周长为6.其中正确结论是______.(填写序号) 17. 计算：

(1)(12𝑎3𝑏−3𝑎)÷3𝑎； (2)(𝑎−𝑏)(𝑎+2𝑏)−(𝑎+𝑏)2．

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1

1

18. 如图，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐹为𝐴𝐷上一点，𝐸为𝐴𝐷延长

线上一点，且𝐷𝐹=𝐷𝐸． 求证：𝐵𝐸//𝐶𝐹．

19. 先化简，再求值：

20. 分解因式：

(1)4𝑚3−8𝑚2+4𝑚； (2)𝑎2(𝑎−𝑏)+(𝑏−𝑎)．

2𝑥2−𝑥𝑥2−2𝑥+1

÷

2𝑥−1𝑥−1

−1，其中𝑥=3．

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21. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐷为△𝐴𝐵𝐶的高，𝐴𝐸为△𝐴𝐵𝐶的

𝐶𝐷交𝐴𝐸于点𝐺，∠𝐵𝐶𝐷=50°，∠𝐵𝐸𝐴=110°，角平分线，求∠𝐴𝐶𝐷的大小．

22. 如图，在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中有一个△𝐴𝐵𝐶，其中点𝐴(−2,3)．

(1)若△𝐴1𝐵1𝐶1与△𝐴𝐵𝐶关于𝑥轴对称，直接写出△𝐴1𝐵1𝐶1三个顶点的坐标； (2)作△𝐴𝐵𝐶关于直线𝑚的对称图形△𝐴2𝐵2𝐶2，并写出𝐵2和𝐶2的坐标．

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23. 新型冠状病毒肺炎疫情发生后，全社会积极参与疫情防控．某呼吸机厂接到生产600

台呼吸机的任务，以每天比原来多生产5台呼吸机的速度进行生产，结果所用时间与原来生产450台呼吸机所用时间相同． (1)求该厂现在每天生产多少台呼吸机？

(2)完成这批任务后，该厂又接到在10天内至少生产2400台呼吸机的任务，问该厂每天还应该至少比现在多生产多少台呼吸机才能完成任务？

∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐶𝐷是𝐴𝐵边的高，24. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，

𝐶𝐷平分∠𝐵𝐶𝐸． 将𝐴𝐶边对折，折痕为𝐸𝐹，连接𝐶𝐸，(1)求∠𝐴的度数．

(2)连接𝐷𝐹，求证：𝐴𝐹=𝐷𝐹．

25. (1)阅读理解：问题：如图1，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，对角线𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴+∠𝐶=

180°.求证：𝐷𝐴=𝐷𝐶．

思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法𝑙：在𝐵𝐶上截取𝐵𝑀=𝐵𝐴，连接𝐷𝑀，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长𝐵𝐴到点𝑁，使得𝐵𝑁=𝐵𝐶，连接𝐷𝑁，得到全等三角形，进而解决问题．

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结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．

(2)问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接𝐴𝐶，当∠𝐷𝐴𝐶=60°时，探究线段𝐴𝐵，𝐵𝐶，𝐵𝐷之间的数量关系，并说明理由；

(3)问题拓展：如图3，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴+∠𝐶=180°，𝐷𝐴=𝐷𝐶，过点𝐷作𝐷𝐸⊥𝐵𝐶，垂足为点𝐸，请直接写出线段𝐴𝐵、𝐶𝐸、𝐵𝐶之间的数量关系．

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答案和解析

1.【答案】𝐷

【解析】解：𝐴.不是轴对称图形，故此选项不合题意； B.不是轴对称图形，故此选项不合题意； C.不是轴对称图形，故此选项不合题意； D.是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：𝐷．

利用轴对称图形的定义进行解答即可．

此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．

2.【答案】𝐵

【解析】解：由题意得：(−𝑎3)2=𝑎6． 故选：𝐵．

根据幂的乘方解决此题．

本题主要考查幂的乘方，熟练掌握幂的乘方法则解决此题．

3.【答案】𝐵

【解析】解：∵三角形的两边长为3𝑐𝑚和2𝑐𝑚，

∴第三边𝑥的长度范围是3−2<𝑥<3+2，即1<𝑥<5， 观察选项，只有选项B符合题意． 故选：𝐵．

根据三角形三边关系定理求出第三边的范围，即可解答．

本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．

4.【答案】𝐵

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【解析】解：𝑚(𝑚+1)(𝑚+2) =(𝑚2+𝑚)(𝑚+2) =𝑚3+2𝑚2+𝑚2+2𝑚 =𝑚3+2𝑚2+2𝑚．

∴计算𝑚(𝑚+1)(𝑚+2)结果中，𝑚3项的系数是1． 故选：𝐵．

根据单项式乘多项式的乘法法则、多项式乘多项式的乘法法则解决此题．

本题主要考查单项式乘多项式、多项式乘多项式，熟练掌握单项式乘多项式的乘法法则、多项式乘多项式的乘法法则是解决本题的关键．

5.【答案】𝐴

【解析】解：∵△𝐴𝐷𝐸≌△𝐵𝐶𝐹，𝐴𝐷=10𝑐𝑚， ∴𝐵𝐶=𝐴𝐷=10𝑐𝑚， ∵𝐶𝐷=6𝑐𝑚，

∴𝐵𝐷=𝐵𝐶−𝐶𝐷=10−6=4(𝑐𝑚)， 故选：𝐴．

根据全等三角形的性质得出𝐵𝐶=𝐴𝐷=10𝑐𝑚，再求出𝐵𝐷即可．

本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．

6.【答案】𝐶

【解析】解：依题意得：𝑚2−4=0且𝑚−2≠0， 即𝑚+2=0， 解得𝑚=−2． 故选：𝐶．

分子为零，但分母不等于零．

(1)分子为0；本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：(2)分母不为0.这两个条件缺一不可．

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7.【答案】𝐴

【解析】解：根据三角板角度的特殊性可知∠𝐴𝐸𝐵=45°，∠𝐵=60°，

∵∠𝛼是△𝐵𝐷𝐸的外角，

∴∠𝛼=∠𝐴𝐸𝐵+∠𝐵=45°+60°=105°． 故选：𝐴．

根据三角板上的特殊角度，外角与内角的关系解答．

本题主要考查了三角板中的特殊角度，利用外角与内角的关系，难度适中．

8.【答案】𝐵

【解析】解：=𝑥−1⋅=𝑥， −𝑥−1 𝑥−1==

𝑥2−𝑥𝑥−1𝑥2

𝑥𝑥2

𝑥−1𝑥

÷𝑥−1 𝑥−1

𝑥2

𝑥

𝑥(𝑥−1)𝑥−1

=𝑥，

𝑥2

𝑥−1𝑥−1

𝑥2−𝑥

⋅

𝑥

=(𝑥−1)2 =

𝑥(𝑥−1)(𝑥−1)2𝑥

=𝑥−1， 故选：𝐵．

先根据题意列出算式，再根据分式的减法法则、分式的乘法法则、分式的除法法则进行计算，最后根据求出的结果得出选项即可．

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本题考查了分式的运算，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键．

9.【答案】𝐷

【解析】解：∵𝐴𝐶⊥𝐶𝐷， ∴∠𝐴𝐶𝐷=90°， ∴∠1+∠2=90°， ∵∠𝐵=90°， ∴∠1+∠𝐴=90°， ∴∠2=∠𝐴，

在△𝐴𝐵𝐶和△𝐶𝐷𝐸中， ∠𝐵=∠𝐷{∠𝐴=∠2， 𝐴𝐶=𝐶𝐸

∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐷𝐸(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝐵𝐶=𝐷𝐸，∠1=∠𝐸， ∴∠𝐴+∠𝐸=90°， ∵∠1≠∠2， ∴∠𝐵𝐶𝐷≠∠𝐴𝐶𝐸．

故A，𝐵，𝐶选项不符合题意， 故选：𝐷．

证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐷𝐸(𝐴𝐴𝑆)，由全等三角形的性质得出𝐵𝐶=𝐷𝐸，∠1=∠𝐸，则可得出结论．

本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐷𝐸是解题的关键．

10.【答案】𝐶

【解析】解：∵𝑀=(1−2)(1+2)(1−3)(1+3)(1−4)(1+4)…(1−𝑛)(1+𝑛) =2×2×3×3×4×4×…(1−𝑛)(1+𝑛) =2(1+𝑛) =

𝑛+12𝑛1

1

1

3

2

4

3

5

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

，

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∴𝑀 ==

12𝑛𝑛+1

6

12(𝑛+1)−12

𝑛+1

12

=12−

12

𝑛+1

，

∵𝑛+1是整数，𝑛≥2的自然数， ∴𝑛+1可以为3，4，6，12， ∴𝑛的值可以为2，3，5，11共4个， 故选：𝐶．

根据平方差公式化简𝑀，再求出𝑀，根据𝑛+1是整数，𝑛≥2的自然数，得到𝑛+1可以为3，4，6，12，从而得到𝑛的值．

本题考查了平方差公式，分式的加减法，分式的值，掌握𝑎2−𝑏2=(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)是解题的关键．

6

12

11.【答案】4

【解析】解：2−2 =

1221

1

=． 4

故答案为：4．

根据负整数指数幂𝑎−𝑝=𝑎𝑝(𝑎≠0)即可得出答案．

本题考查了负整数指数幂，掌握𝑎−𝑝=𝑎𝑝(𝑎≠0)是解题的关键．

1

1

1

12.【答案】𝐴𝐵=𝐷𝐶

【解析】解：∵斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，

∴在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶与𝑅𝑡△𝐷𝐶𝐵中，已知∠𝐴=∠𝐷=90°，使𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶≌𝑅𝑡△𝐷𝐶𝐵，添加的条件是：𝐴𝐵=𝐷𝐶． 故答案为：𝐴𝐵=𝐷𝐶．

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根据：斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，使𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶≌𝑅𝑡△𝐷𝐶𝐵，添加的条件是：𝐴𝐵=𝐷𝐶．

此题主要考查了全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①判定定理1：𝑆𝑆𝑆--三条边分别对应相等的两个三角形全等．②判定定理2：𝑆𝐴𝑆--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．③判定定理3：𝐴𝑆𝐴--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．④判定定理4：𝐴𝐴𝑆--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．⑤判定定理5：𝐻𝐿--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．

13.【答案】−2

【解析】解：∵𝑎2−𝑏2=(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)=8，且𝑎−𝑏=−4， ∴𝑎+𝑏=−2， 故答案为：−2

已知第一个等于左边利用平方差公式化简，将第二个等式代入计算即可求出所求． 此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．

14.【答案】720

【解析】解：由题意得，

两个四边形有一条公共边，得多边形是3+3=6， 由多边形内角和定理， 得(6−2)×180°=720°． 故答案为：720．

根据一个多边形的一条对角线把它分成两个四边形，可得多边形的边数，根据多边形的内角和定理，可得答案．

本题考查了多边形的对角线，利用了多边形内角和定理，注意对角线是四边形和五边形的公共边．

15.【答案】18

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【解析】解：原式=(𝑥−𝑥)2+2， 当𝑥−𝑥=4时，

原式=42+2=16+2=18， 故答案为：18．

根据完全平方公式将原式进行变形，然后利用整体思想代入求值．

本题考查分式的化简求值，掌握完全平方公式(𝑎+𝑏)2=𝑎2+2𝑎𝑏+𝑏2的结构是解题关键．

1

1

16.【答案】①③④

【解析】解：∵𝐻，𝐷关于𝐴𝐶对称， ∴𝑃𝐷=𝑃𝐻，∠𝐷𝐶𝐴=∠𝐻𝐶𝐴，𝐶𝐷=𝐶𝐻， 同理可得𝑄𝐸=𝑄𝐻，∠𝐸𝐶𝐵=∠𝐻𝐶𝐵，𝐶𝐸=𝐶𝐻，

①∠𝐷𝐶𝐸=∠𝐷𝐶𝐻+∠𝐻𝐶𝐸=2∠𝐴𝐶𝐻+2∠𝐻𝐶𝐵=2∠𝐴𝐶𝐵=2×30°=60°， 故①正确；

④△𝑃𝑄𝐻的周长=𝑃𝐻+𝑃𝑄+𝑄𝐻=𝑃𝐷+𝑃𝑄+𝑄𝐸=𝐷𝐸， 由①知∠𝐷𝐶𝐸=60°，𝐶𝐷=𝐶𝐻=𝐶𝐸， ∴△𝐷𝐶𝐸是等边三角形， ∴𝐷𝐸=𝐷𝐶=𝐶𝐻=6， ∴△𝑃𝑄𝐻的周长为6， 故④正确；

②在△𝑃𝑄𝐻中，𝑃𝐷+𝑄𝐸=𝑃𝐻+𝑄𝐻>𝑃𝑄， ∵𝑃𝐷+𝑄𝐸+𝑃𝑄=𝐷𝐸=6， 即𝑃𝐻+𝑄𝐻=6−𝑃𝑄， ∴6−𝑃𝑄>𝑃𝑄， ∴𝑃𝑄<3， 故②错误；

③𝑆五边形𝐴𝐵𝐸𝐶𝐷=2𝑆△𝐴𝐵𝐶=2×2𝐴𝐵⋅𝐶𝐻=4×6=24， 故③正确，

故答案为：①③④．

由轴对称的性质知∠𝐷𝐶𝐸=∠𝐷𝐶𝐻+∠𝐻𝐶𝐸=2∠𝐴𝐶𝐻+2∠𝐻𝐶𝐵=2∠𝐴𝐶𝐵=2×30°=

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1

60°，故①正确；由①知∠𝐷𝐶𝐸=60°，𝐶𝐷=𝐶𝐻=𝐶𝐸，则△𝐷𝐶𝐸是等边三角形，可知④正确；在△𝑃𝑄𝐻中，由三边关系得𝑃𝐷+𝑄𝐸=𝑃𝐻+𝑄𝐻>𝑃𝑄，则6−𝑃𝑄>𝑃𝑄，可知②错误；𝑆五边形𝐴𝐵𝐸𝐶𝐷=2𝑆△𝐴𝐵𝐶=2×2𝐴𝐵⋅𝐶𝐻=4×6=24，故③正确，从而得出答案．

本题主要考查了轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，三角形三边关系等知识，证明△𝐷𝐶𝐸是等边三角形是解题的关键．

1

17.【答案】解：(1)(12𝑎3𝑏−3𝑎)÷3𝑎

=12𝑎3𝑏÷3𝑎−3𝑎÷3𝑎 =4𝑎2𝑏−1；

(2)(𝑎−𝑏)(𝑎+2𝑏)−(𝑎+𝑏)2

=𝑎2+2𝑎𝑏−𝑎𝑏−2𝑏2−(𝑎2+2𝑎𝑏+𝑏2) =𝑎2+2𝑎𝑏−𝑎𝑏−2𝑏2−𝑎2−2𝑎𝑏−𝑏2 =−𝑎𝑏−3𝑏2．

【解析】(1)根据多项式除以单项式的方法可以解答本题；

(2)根据多项式乘多项式、完全平方公式将题目中的式子展开，然后去括号，再合并同类项即可．

本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

18.【答案】证明：∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，

∴𝐵𝐷=𝐶𝐷， 在△𝐵𝐷𝐸和△𝐶𝐷𝐹中， 𝐵𝐷=𝐶𝐷

{∠𝐵𝐷𝐸=∠𝐶𝐷𝐹， 𝐷𝐸=𝐷𝐹

∴△𝐵𝐷𝐸≌△𝐶𝐷𝐹(𝑆𝐴𝑆)， ∴∠𝐵𝐸𝐷=∠𝐶𝐹𝐷， ∴𝐵𝐸//𝐶𝐹．

【解析】证明△𝐵𝐷𝐸≌△𝐶𝐷𝐹(𝑆𝐴𝑆)，由全等三角形的性质得出∠𝐵𝐸𝐷=∠𝐶𝐹𝐷，由平行线的判定可得出结论．

本题考查了平行线的判定，全等三角形的判定与性质，证明△𝐵𝐷𝐸≌△𝐶𝐷𝐹是解题的关

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键．

19.【答案】解：原式=

=𝑥−1， 当𝑥=3时， 原式=3−1=2．

3

3

𝑥

𝑥(2𝑥−1)(𝑥−1)2⋅

𝑥−1

2𝑥−1

【解析】将除法转化为乘法，然后再计算，最后代入求值．

本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序(先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的)和计算法则是解题关键．

20.【答案】解：(1)原式=4𝑚(𝑚2−2𝑚+1)

=4𝑚(𝑚−1)2；

(2)原式=𝑎2(𝑎−𝑏)−(𝑎−𝑏) =(𝑎−𝑏)(𝑎2−1) =(𝑎−𝑏)(𝑎+1)(𝑎−1)．

【解析】(1)先提公因式4𝑚，再利用完全平方公式即可；

(2)将原式变形为𝑎2(𝑎−𝑏)−(𝑎−𝑏).再提公因式(𝑎−𝑏)，最后利用平方差公式即可． 本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确应用的关键．

21.【答案】解：∵𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，

∴∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐶𝐷𝐵=90°， ∵∠𝐵𝐶𝐷=50°， ∴∠𝐵=40°，

∵∠𝐵𝐴𝐸=180°−∠𝐵−∠𝐴𝐸𝐵=180°−40°−110°=30°， ∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶， ∴∠𝐷𝐴𝐶=2∠𝐵𝐴𝐸=60°， ∴∠𝐴𝐶𝐷=90°−60°=30°．

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【解析】利用三角形内角和定理求出∠𝐵𝐴𝐸，再根据角平分线的定义求出∠𝐷𝐴𝐶，可得结论．

本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是利用三角形内角和定理解决问题．

22.【答案】解：(1)

如图所示，△𝐴1𝐵1𝐶1的三个顶点的坐标𝐴1(−2,−3)、𝐵1(−6,−5)、𝐶1(−5,1)； (2)如图所示：𝐵2(7,5)，𝐶2(6,−1)．

【解析】(1)根据关于𝑥轴对称的特点解答即可； (2)根据轴对称的性质解答即可．

此题主要考查了作图−轴对称变换，得出对应点位置是解题关键．

23.【答案】解：(1)设该厂现在每天生产𝑥台呼吸机，则原来平均每天生产(𝑥−5)台呼

吸机， 依题意，得：

600𝑥

=𝑥−5，

450

解得：𝑥=20，

经检验，𝑥=20是原方程的解，且符合题意． 答：该厂现在每天生产20台呼吸机；

(2)设该厂每天还应该比现在多生产𝑦台呼吸机， 依题意，得：(20+𝑦)×10≥2400． 解得𝑦≥220．

答：该厂每天还应该至少比现在多生产220台呼吸机才能完成任务．

【解析】(1)设该厂现在每天生产𝑥台呼吸机，则原来平均每天生产(𝑥−5)台呼吸机，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合现在生产600台呼吸机的时间与原计划生产450台呼吸机所需时间相同，即可得出关于𝑥的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

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(2)设该厂每天还应该比现在多生产𝑦台呼吸机，根据“10天内至少生产2400台呼吸机”列出不等式并解答．

本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到数量关系，列出方程或不等式．

24.【答案】(1)解：∵𝐶𝐷是𝐴𝐵边的高，

∴∠𝐶𝐷𝐸=∠𝐶𝐷𝐵=90°， ∵𝐶𝐷平分∠𝐵𝐶𝐸， ∴∠𝐸𝐶𝐷=∠𝐵𝐶𝐷， 在△𝐸𝐶𝐷和△𝐵𝐶𝐷中， ∠𝐸𝐶𝐷=∠𝐵𝐶𝐷{𝐶𝐷=𝐶𝐷， ∠𝐶𝐷𝐸=∠𝐶𝐷𝐵

∴△𝐸𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐷(𝐴𝑆𝐴)， ∴∠𝐵=∠𝐶𝐸𝐵，

设∠𝐴=𝑥，由将𝐴𝐶边对折，折痕为𝐸𝐹可知∠𝐴𝐶𝐸=𝑥， ∴∠𝐶𝐸𝐵=∠𝐴+∠𝐴𝐶𝐸=2𝑥， ∴∠𝐵=2𝑥， ∵∠𝐴𝐶𝐵=90°， ∴∠𝐴+∠𝐵=90°， ∴𝑥+2𝑥=90°， ∴𝑥=30°， 即∠𝐴=30°； (2)证明：如图：

由(1)知∠𝐴=∠𝐴𝐶𝐸=30°， ∴∠𝐶𝐸𝐵=60°，

∵将𝐴𝐶边对折，折痕为𝐸𝐹， ∴∠𝐴𝐹𝐸=90°，𝐴𝐹=𝐶𝐹， ∴∠𝐴𝐸𝐹=90°−∠𝐴=60°， ∴∠𝐶𝐸𝐹=60°=∠𝐶𝐸𝐵，

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又∠𝐶𝐹𝐸=∠𝐶𝐷𝐸=90°，𝐶𝐸=𝐶𝐸， ∴△𝐶𝐹𝐸≌△𝐶𝐷𝐸(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝐶𝐹=𝐶𝐷，

∵∠𝐴𝐶𝐷=90°−∠𝐴=60°， ∴△𝐶𝐹𝐷是等边三角形， ∴𝐷𝐹=𝐶𝐹， ∴𝐴𝐹=𝐶𝐹．

【解析】(1)由𝐶𝐷是𝐴𝐵边的高，𝐶𝐷平分∠𝐵𝐶𝐸，可证△𝐸𝐶𝐷≌△𝐵𝐶𝐷(𝐴𝑆𝐴)，即得∠𝐵=∠𝐶𝐸𝐵，设∠𝐴=𝑥，由将𝐴𝐶边对折，折痕为𝐸𝐹可知∠𝐴𝐶𝐸=𝑥，可得𝑥+2𝑥=90°，即得∠𝐴=30°；

(2)由(1)知∠𝐴=∠𝐴𝐶𝐸=30°，可得∠𝐶𝐸𝐵=60°，即知∠𝐶𝐸𝐹=60°=∠𝐶𝐸𝐵，从而𝐶𝐹=𝐶𝐷，而∠𝐴𝐶𝐷=90°−∠𝐴=60°，可得△𝐶𝐹𝐷是等边三角形，故DF=𝐶𝐹，𝐴𝐹=𝐶𝐹． 本题考查直角三角形中的折叠问题，涉及全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等，解题的关键是掌握折叠的性质．

25.【答案】解：(1)方法1：在𝐵𝐶上截取𝐵𝑀=𝐵𝐴，连接𝐷𝑀，

∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐶𝐵𝐷， 在△𝐴𝐵𝐷和△𝑀𝐵𝐷中， 𝐵𝐷=𝐵𝐷

{∠𝐴𝐵𝐷=∠𝑀𝐵𝐷， 𝐵𝐴=𝐵𝑀

∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝑀𝐵𝐷(𝑆𝐴𝑆)， ∴∠𝐴=∠𝐵𝑀𝐷，𝐴𝐷=𝑀𝐷，

∵∠𝐵𝑀𝐷+∠𝐶𝑀𝐷=180°，∠𝐶+∠𝐴=180°， ∴∠𝐶=∠𝐶𝑀𝐷， ∴𝐷𝑀=𝐷𝐶，

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∴𝐷𝐴=𝐷𝐶；

方法2：延长𝐴𝐵到𝑁，使𝐵𝑁=𝐵𝐶，连接𝐷𝑁，

∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶， ∴∠𝑁𝐵𝐷=∠𝐶𝐵𝐷， 在△𝑁𝐵𝐷和△𝐶𝐵𝐷中， 𝐵𝐷=𝐵𝐷

{∠𝑁𝐵𝐷=∠𝐶𝐵𝐷， 𝐵𝑁=𝐵𝐶

∴△𝑁𝐵𝐷≌△𝐶𝐵𝐷(𝑆𝐴𝑆)， ∴∠𝐵𝑁𝐷=∠𝐶，𝑁𝐷=𝐶𝐷，

∵∠𝑁𝐴𝐷+∠𝐵𝐴𝐷=180°，∠𝐶+∠𝐵𝐴𝐷=180°， ∴∠𝐵𝑁𝐷=∠𝑁𝐴𝐷， ∴𝐷𝑁=𝐷𝐴， ∴𝐷𝐴=𝐷𝐶；

(2)𝐴𝐵，𝐵𝐶，𝐵𝐷之间的数量关系为𝐴𝐵+𝐵𝐶=𝐵𝐷． 理由：延长𝐶𝐵到𝑃，使𝐵𝑃=𝐵𝐴，连接𝐴𝑃，

由(1)知𝐴𝐷=𝐶𝐷， ∵∠𝐷𝐴𝐶=60°， ∴△𝐴𝐷𝐶是等边三角形， ∴𝐴𝐶=𝐴𝐷，∠𝐴𝐷𝐶=60°， ∵∠𝐵𝐶𝐷+∠𝐵𝐴𝐷=180°，

∴∠𝐴𝐵𝐶=360°−180°−60°=120°，

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∴∠𝑃𝐵𝐴=180°−∠𝐴𝐵𝐶=60°， ∵𝐵𝑃=𝐵𝐴，

∴△𝐴𝐵𝑃为等边三角形， ∴∠𝑃𝐴𝐵=60°，𝐴𝐵=𝐴𝑃， ∵∠𝐷𝐴𝐶=60°，

∴∠𝑃𝐴𝐵+∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐶+∠𝐵𝐴𝐶， 即∠𝑃𝐴𝐶=∠𝐵𝐴𝐷， 在△𝑃𝐴𝐶和△𝐵𝐴𝐷中， 𝑃𝐴=𝐵𝐴

{∠𝑃𝐴𝐶=∠𝐵𝐴𝐷， 𝐴𝐶=𝐴𝐷

∴△𝑃𝐴𝐶≌△𝐵𝐴𝐷(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝑃𝐶=𝐵𝐷，

∵𝑃𝐶=𝐵𝑃+𝐵𝐶=𝐴𝐵+𝐵𝐶， ∴𝐴𝐵+𝐵𝐶=𝐵𝐷；

(3)线段𝐴𝐵、𝐶𝐸、𝐵𝐶之间的数量关系为𝐵𝐶−𝐴𝐵=2𝐶𝐸． 连接𝐵𝐷，过点𝐷作𝐷𝐹⊥𝐴𝐶于点𝐹，

∵∠𝐵𝐴𝐷+∠𝐶=180°，∠𝐵𝐴𝐷+∠𝐹𝐴𝐷=180°， ∴∠𝐹𝐴𝐷=∠𝐶， 在△𝐷𝐹𝐴和△𝐷𝐸𝐶中， ∠𝐷𝐹𝐴=∠𝐷𝐸𝐶{∠𝐹𝐴𝐷=∠𝐶， 𝐷𝐴=𝐷𝐶

∴△𝐷𝐹𝐴≌△𝐷𝐸𝐶(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝐷𝐹=𝐷𝐸，𝐴𝐹=𝐶𝐸， 在𝑅𝑡△𝐵𝐷𝐹和𝑅𝑡△𝐵𝐷𝐸中， 𝐵𝐷=𝐵𝐷{， 𝐷𝐹=𝐷𝐸

∴𝑅𝑡△𝐵𝐷𝐹≌和𝑅𝑡△𝐵𝐷𝐸(𝐻𝐿)，

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∴𝐵𝐹=𝐵𝐸，

∴𝐵𝐶=𝐵𝐸+𝐶𝐸=𝐵𝐴+𝐴𝐹+𝐶𝐸=𝐵𝐴+2𝐶𝐸， ∴𝐵𝐶−𝐵𝐴=2𝐶𝐸．

【解析】(1)方法1：在𝐵𝐶上截取𝐵𝑀=𝐵𝐴，连接𝐷𝑀，证明△𝐴𝐵𝐷≌△𝑀𝐵𝐷(𝑆𝐴𝑆)，由全等三角形的性质得出∠𝐴=∠𝐵𝑀𝐷，𝐴𝐷=𝑀𝐷，则可得出结论；

方法2：延长𝐴𝐵到𝑁，使𝐵𝑁=𝐵𝐶，连接𝐷𝑁，证明△𝑁𝐵𝐷≌△𝐶𝐵𝐷(𝑆𝐴𝑆)，由全等三角形的性质得出∠𝐵𝑁𝐷=∠𝐶，𝑁𝐷=𝐶𝐷，证出𝐷𝑁=𝐷𝐴，则可得出结论；

(2)延长𝐶𝐵到𝑃，使𝐵𝑃=𝐵𝐴，连接𝐴𝑃，证明△𝑃𝐴𝐶≌△𝐵𝐴𝐷(𝑆𝐴𝑆)，由全等三角形的性质得出𝑃𝐶=𝐵𝐷，则可得出结论；

(3)连接𝐵𝐷，过点𝐷作𝐷𝐹⊥𝐴𝐶于点𝐹，证明△𝐷𝐹𝐴≌△𝐷𝐸𝐶(𝐴𝐴𝑆)，由全等三角形的性质得出𝐷𝐹=𝐷𝐸，𝐴𝐹=𝐶𝐸，证明𝑅𝑡△𝐵𝐷𝐹≌和𝑅𝑡△𝐵𝐷𝐸(𝐻𝐿)，由全等三角形的性质得出𝐵𝐹=𝐵𝐸，则可得出结论．

本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

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