第⼆节 ⼆重积分的计算
教学⽬的：掌握⼆重积分的计算⽅法，能正确计算⼆重积分 教学重点： ⼆重积分计算教学难点： 利⽤极坐标计算⼆重积分、应⽤ 教学时数：6 教学内容：
⼀般情况下，直接利⽤⼆重积分的定义计算⼆重积分是⾮常困难的，⼆重积分的计算可以归结为求⼆次定积分（即⼆次积分）。现在我们由⼆重积分的⼏何意义导出⼆重积分的计算⽅法。⼀、利⽤直⾓坐标系计算⼆重积分
若⼆重积分存在，和式极限值与区域D 的分法⽆关，故在直⾓坐标系下我们⽤与坐标轴平⾏的两组直线把D 划分成各边平⾏于坐标轴的⼀些⼩矩形（如图所⽰），于是⼩矩形的⾯积y x ??=?σ，因此在直⾓坐标系下，⾯积元素为：dxdy d =σ
于是⼆重积分可写成=??Dd y x f σ),(??Ddxdy y x f ),(
现在，我们根据⼆重积分的⼏何意义，结合积分区域的⼏种形状，推导⼆重积分的计算⽅法。1．积分区域D 为：b x a ≤≤，)()(21x y x ??≤≤
其中函数)(1x ?，)(2x ?在],[b a 上连续（如图所⽰）。
不妨设0),(≥y x f ，由⼆重积分的⼏何意义知，D
dxdy y x f ),(表⽰以D 为底，以曲
⾯),(y x f z =为顶的曲顶柱体的体积（如图所⽰）．我们可以应⽤第五章中计算“平⾏截⾯⾯积为巳知的⽴体的体积”的⽅法，来计算这个曲顶柱体的体积．
先计算截⾯⾯积。在区间],[b a 中任意取定⼀点0x ，过0x 作平⾏于yoz ⾯的平⾯0x x =，这个平⾯截曲顶柱体所得截⾯是⼀个以区间)](),([0201x x ??为底，曲线),(0y x f z =为曲边的曲边梯形（图中阴影部分），其⾯积为 ?=)()
(000201),()(x x dy y x f x A ??
⼀般地，过区间],[b a 上任意⼀点x 且平⾏于yoz ⾯的平⾯截曲顶柱体所得截⾯的⾯积为=)()
(21),()(x x dy y x f x A ??
于是，由计算平⾏截⾯⾯积为已知的⽴体体积的⽅法，得曲顶柱体的体积为==baba
dx x A V [)(?)()
(21),(x x dy y x f ??dx ]即D
dxdy y x f ),(?=ba[?)()
(21),(x x dy y x f ??
dx ]
上式右端是⼀个先对y 、再对x 的⼆次积分．就是说，先把x 看作常数，把),(y x f 只
看作y 的函数，并对y 计算从)(1x ?到)(2x ?的定积分，然后把所得的结果（是x 的函数）再对x 计算从a 到b 的定积分．这个先对y 、再对x 的⼆次积分也常记作badx ?)()
(21),(x x dy y x f ??
从⽽把⼆重积分化为先对y ，再对x 的⼆次积分的公式写作Ddxdy y x f ),(?=badx ?)()
(21),(x x dy y x f ??
在上述讨论中，我们假定0),(≥y x f ．但实际上公式的成⽴并不受此条件限制。 2．积分区域D 为：)()(21y x y ψψ≤≤，d y c ≤≤
其中函数)(1y ψ，)(2y ψ在区间],[d c 上连续（如图所⽰）。
仿照第⼀种类型的计算⽅法，有D
dxdy y x f ),(??=d
c
y y dy dx y x f )()
(21]),([ψψ??=dc
y y dx y x f dy )()(21),(ψψ
这就是把⼆重积分化为先对x 、再对y 的⼆次积分的公式。
3．如果积分区域D 不能表⽰成上⾯两种形式中的任何⼀种，那么，可将D 分割，使其各部分符合第⼀种类型或第⼆种类型（如图所⽰）。
例1： 计算积分+Ddxdy y x 2
)(，其中D 为矩形区域：10≤≤x ，20≤≤y 。 解法⼀：矩形区域既属于第⼀种类型，也属于第⼆种类型，所以，可以先对x 积分，也可
以先对y 积分。先选择先对y 积分。+Ddxdy y x 2
)(??+=10202)(dy y x dx ?+=10203)(31dx y x dx x x ]33)2([31
03-+=?104104121)2(121x x -+=316=解法⼆：再选择先对x 积分()()()()()22122
30
2343401103211111611033443D
x y dxdy dy x y dx x y dyy y dy y y +=+=+=+-=+-=
例2： 计算积分Dxy
dxdy xe ，其中D 为矩形区域：10≤≤x ，01≤≤-y 。
解： 积分区域虽然是矩形区域，但先对x 进⾏积分，需要⽤分步积分法，⽐较⿇烦。如果先对y 积分，则⽐较简单。所以此题选择先对y 积分。Dxy
dxdy xe ??-=100
1dy xe dx xy ?-=101
dx e xy ?---=01)1(dx e xee x x 1)(1=
+=- 例3： 计算--Ddxdy y x )2(21
，其中D 是直线x y =与抛物线2x y =围成的区域。 解： 积分区域D 如图所⽰。直线x y =与抛物线2x y =的交点是)0,0(与)1,1(。
(1) 若先对y 后对x 积分，则积分区域D 表⽰为：10≤≤x ，x y x ≤≤2故--Ddxdy y x )2(21
--=102)2(21x x dy y x dx--=1022)41
21(dx y xy y xx=++-=10432120
11)274(41dx x x x x (2) 若先对x 后对y 积分，则积分区域D 表⽰为：10≤≤y ，y x y ≤≤故--Ddxdy y x )2(21
--=10)2(21y y dx y x dy ?--=102)2141(dy xy x x yy=+--=10212011
)3254(41dy y y y y y 例4 ： 计算⼆重积分
Ddxdy y 2
，其中D 是抛物线2y x =，直线012=--y x 所围成。 解： 画出积分区域的图形（如图所⽰），解⽅程组
=--=0122
y x y x 得抛物线和直线的两个交点 )1,1(，)21,41(-。
选择先对x 积分，后对y 积分，则积分区域D 表⽰为：121≤≤-y ，212+≤≤y x y
D dxdy y 2-+=1212122y ydx y dy ?--+=12122)21(
dy y y y ?--+=12142
3)22(dy y y y 64063)516181(12
1534=-+=-y y y 当然，这个积分也可以选择另⼀种积分次序，即先对y 后对x 积分，如图所⽰。但必须把积分区域D 划分成两个区域1D和2D ，分别表⽰为：1D ：410≤
≤x ，x y x ≤≤- 2D ：141
≤≤x ，x y x ≤≤-12
D dxdy y 2
=12D dxdy y +22D dxdy y ??--+=411411222xxx
x dy y dx dy y dx 64063=
例5： 计算⼆重积分dxdy y x D22
，其中D 是由直线2=x ，x y =及双曲线1=xy 所围成的区域（如图所⽰）。
解： 直线x y =与双曲线1=xy 在第⼀象限的交点为 )1,1(，选择先对y 后对x 积分，则积分区域D 可表⽰为：21≤≤x ，x y x≤≤1
于是dxdy y x D
22dx y x dy yx dx x x xx -==211211222
)1(?=+-=21349)(dx x x 当然，这个积分也可以选择另⼀种积分次序，即先对x 后对y 积分。但必须把积分区域D 划分成两个区域，分别表⽰为：121≤≤y ，21≤≤x y
21≤≤y ，2≤≤x ydxdy y x D224921222
1212122=+=dx y x dy dx y
x dy y y 从例4、例5两例可以看出，积分次序的选择直接影响着⼆重积分计算的繁简程度。显然，积分次序的选择与积分区域有关。 例6 ： 计算dxdy e Dy-2
，其中D 是由直线0=x ，x y =，1=y 围成的（如图所⽰）。 解： 选选对x 后对y 积分，则积分区域D 表⽰为：
10≤≤y ，y x ≤≤0
dxdy e Dy ??-2dy ye dx e dy yy
y --==101022)11(212112ee y-=
-=- 如果改变积分次序，即先对y 积分，后对x 积分，则得dxdy e Dy ??-2=??-=1012xy
dy e dx 由于2y e
-的原函数不能⽤初等函数表⽰，所以⽆法计算出⼆重积分的结果．
从例6知道，选择积分次序也要考虑到被积函数的特点。从我们所作的这些例题看到，
计算⼆重积分关键是如何化为⼆次积分，⽽在化⼆重积分为⼆次积分的过程中⼜要注意积分次序的选择。由于⼆重积分化为⼆次积分时，有两种积分顺序，所以通过⼆重积分可以将已给的⼆次积分进⾏更换积分顺序，这种积分顺序的更换，有时可以简化问题的计算。 ⼆、利⽤极坐标计算⼆重积分
对于某些被积函数和某些积分区域，利⽤直⾓坐标系计算⼆重积分往往是很困难的，⽽在极坐标系下计算则⽐较简单。下⾯介绍在极坐标系下，⼆重积分
D
d y x f σ),(的计算⽅法。
在极坐标系下计算⼆重积分，只要将积分区域和被积函数都化为极坐标表⽰即可。为此，分割积分区域，⽤r 取⼀系列的常数（得到⼀族中⼼在极点的同⼼圆）和θ取⼀系列的常数（得到⼀族过极点的射线）的两组曲线将D 分成⼩区域σ?。如图所⽰。
设σ?是半径为r 和r r ?+的两个圆弧及极⾓θ和θθ?+的两条射线所围成的⼩区域，其⾯积可近似地表⽰为θσ=?r r
因此在极坐标系下的⾯积元素为
θσrdrd d = 再分别⽤θcos r x =，θsin r y =代替被积函数中的x ，y 。于是得到⼆重积分在极坐标系下的表达式D
d y x f σ),(??=Drdrd r r f θθθ)sin ,cos (
下⾯分三种情况，给出在极坐标系下如何把⼆重积分化成⼆次积分
1．极点O 在区域D 之外，D 是由αθ=，βθ=，)(1θr r =和)(2θr r =围成（如图所⽰），这时有公式D
rdrd r r f θθθ)sin ,cos (??=βαθθθθθ)()
(21)sin ,cos (r r rdr r r f d
2．极点O 在区域D 的边界上，D 是由αθ=，βθ=，)(θr r =围成（如图所⽰），这时有公式D
rdrd r r f θθθ)sin ,cos (??=βαθθθθ)(0
)sin ,cos (r rdr r r f d
3．极点O 在区域D 之内，区域是由)(θr r =所围成（如图所⽰），这时有公式D
rdrd r r f θθθ)sin ,cos (??=πθθθθ20)(0
)sin ,cos (r rdr r r f d
例7： 计算⼆重积分σd y x D
+22，其中D ：222)(a y a x ≤+- )0(>a 。
解： 积分区域D （如图所⽰），D 的边界曲线222)(a y a x ≤+- )0(>a 的极坐标⽅程为θcos 2a r = )0(>a 。属于第⼆种情况，于是σd y x D+22=
-22cos 202ππθ
θa dr r d ?-=2233cos 38π
πθθd a ?--=2223
cos )sin 1(38ππθθθd a ?--=22
23sin )sin 1(38ππθθd a32233
932)sin 31(sin 38a a =-=-ππθθ
例8： 计算⼆重积分dxdy y x D
+2
2sin ，其中D 为⼆圆222π=+y x 和 2224π=+y x 之间的环形区域。
解： 积分区域D （如图所⽰），属于第⼀种情况。在极坐标下D 可表⽰为：πθ20≤≤，ππ2≤≤r
于是dxdy y x D+2
2sin =πππθ202sin rdr r d ?+-=πππθ20
2)sin cos (d r r r-=πθπ20)3(d 22063ππθπ-=-=
例9： 计算球体22224a z y x ≤++被圆柱⾯ax y x 222=+ )0(>a 所截得的（含在圆柱⾯内的部分）⽴体的体积（如图所⽰）。解：由对称性--=D
dxdy y x a V 22244其中D 为半圆周22x ax y -=
及x 轴所围成的区域，在极坐标系中，D 可表⽰为：20πθ≤
≤，θcos 20a r ≤≤
于是--=Ddxdy y x a V 22244??-=20cos 202244πθ
θa rdr r a d-=2033)sin 1(332π
θθd a )322(3323-=
πa ⼀般说来，当被积函数为)(22y x f +的形式，⽽积分区域为圆形，扇形，圆环形时，在直⾓坐标系下计算往往很困难，通常都是在极坐标系下来计算。 三、⽆界域上的反常⼆重积分
和⼀元函数⼀样，可以引进⽆界域上的反常⼆重积分。它是在概率统计中有⼴泛应⽤的
⼀种积分形式，⼀般可先在有界域上积分，然后令有界域趋于原⽆界域时取极限求解。 例10：计算⼆重积分xD
xye dxdy ??，其中D是以曲线y =
和y =及y 轴为边界的⽆界区域。 解：令a D由曲线y和y =
及(01)x a a =<<围成，则0lim a a D D +
→= 于是lim ax xa D
D e xydxdy e xydxdy +→=11
lim lim xxaa
a a dx xye dy e dx ++→→==?
112210011lim (1)lim[(1)2]22x x x
a a a a a x e dx x e xe dx ++→→=-=-+?? 1100111(12lim )[12lim (1)]222x x a
a a a xe dx x e ++→→=-+=-+-=?
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