定积分习题参考答案

定积分习题参考答案

习题5-1 (A)

12(b2a21.(1)) (2)e1

42.3

323.(1)2 (2)2R (4)

0sinxdx20sinxdx2

T24.

QTI(e)dt1

5.88.2KN

l6.

M0(x)dx

28.(1)2231xdx1xdx 2(3)1lnxdx2(lnx)21dx  (3)2cosxdx22cosxdx20(2)20xdx20sinxdx

4(4)3lnxdx43(lnx)2dx

11(5)0xdxln(x1)dx0

e2112(ee)dxe2e1exdxeelnx09.(1) (2)2

12(3)

21xarctanxdx9333 (4)

2e2ex22xdx2e14

习题5-1 (B)

1.(1)可积 (2)可积 (3)不可积 (4)可积

11bdx(x)dxxdx20a3.(1)0 (2)1x (3)ba

115.

V(R2x2)dxRR

6.约6.7升/分

习题5-2 (A)

1.sinx,

22

3x24121x2x1x2.(1) (2)

2x21x8 (3)(sinxcosx)cos(sinx)

(4)2x'(x2)sin[(x2)]2'(x)sin[(x)]2

3.tcott

cosx4.

ey2

5.极小值I(0)0

6.(0,14)

87.3a3

8. -1；2

219.(1)8 (2)3a (3)41(5)

14 (6)

atctan(e2)4 8(8)42 (9)15(122) 10.(1)0; 0 (2) (3)0 (4)-1

1(1e1(7)2)

(10)e21cos4cos2

(4)0(kl),(kl)

2111.(1)1 (2)2 (3)3 (4)3

习题5-2 (B)

121.(1)ln2 (2)k1 (3)

2.f(x)在x0处连续，可导，且f'(0)0

13.f(x)3x2ex1，e

14.2，2

12当0x1时(x)x315.

2x22x116当1x2时

8. 2；5

9. -1

习题5-3 (A)511.(1)512 (2)



43 (3)1e12 (4)0

32ln(23)231234(5)12ln2 (6) (7) (8)

322.(1)3 (2) (3)324 (4)42

131312()ln(2e31)222 3.(1)9 (2)w (3)4911(e1)2(1e)542 (4) (5) (6)

158(7)16 (8)35

8.e

习题5-3 (B)

1.(1)424 (2)2(2) (3)2

11(esin1ecos11)ln2(4)2 (5)84 (6)8

e1(7)2 (8)0 (9)4 (10)4

m!!m!!(11)当m为奇数，(m1)!!2 当m为偶数，(m1)!!

(m1)!!2m!!2Jm(m1)!!m为偶数m为大于1的奇数(12)J1,

m!!2.f(xb)f(xa)

13.4

124.2lnx

8.ln(1e)

19.2652

47!!10.0,

448!!2

1. 145.6(平方米)

2.(1)0.7188 3.(1)1.3890

习题5-4

(3)0.6931

(3)1.3506

(2)0.6938 (2)1.3506

习题5-5(A)

1.(1)收敛，-1 (2)收敛，1ln2

ab1(be) b0b0(3)时发散，时收敛于

1ln2(4)收敛于2 (5)收敛于2 (6)收敛于42

2.(1)收敛，3 (2)收敛，1 (3)发散

8(4)收敛，2 (5)收敛，3 (6)收敛，3

e3.2

4.n!

习题5-5(B)

1ln21.(1)3 (2)发散 (3)发散 (4)0

2ln(32)(5)发散 (6)2 (7)2 (8)2

1(lnlna)12.1时发散，1时收敛于1

11k1k1lnln2时取最小值 3.k1时发散，k1时收敛于(k1)(ln2)，

4.2

1.(1)发散 (2)收敛(6)发散 (7)发散 12.(1)(1),0 一.1.D 2.A 5.C 6.D 二.1.3f(cos3x)sin3x 13.y2x 4.12 48.15 9.ln3 习题5-6

(3)收敛 (4)收敛 (5)收敛

收敛 (9)发散 (10)绝对收敛

(2)(p1),p1

总复习题五

3.B 4.B

7.D 8.C

2.0x2cost2dt2x2cosx4

5.sinx2 6.> 7.4

410.11 11.2 12.2

(8)

111(1x)21(1x)2三.1.2 2.当1x0时，2，当x0时，2

311ln(23)ln222(13e) 2333. 4. 5. 6.

23337.38 8.2 9.0 10.4

1'12f(0)a1,b0,c2 13. 11.2n 12.

六.(定积分)练习题选解

1. 习题5-5(B) 4.设f(x)与g(x)在[a,b]上连续，证明：

(1)

f(x)dx0若在[a,b]上f(x)0，且a，则在[a,b]上f(x)0.

b(2)

f(x)dx0若在[a,b]上f(x)0，且f(x)不恒为零，则a.

b(3)

若在[a,b]上f(x)g(x)，且abf(x)dxg(x)dxab，则在[a,b]上f(x)g(x).

证：(1)用反证法.假设f(x)在[a,b]不恒为零，则至少存在一点x0[a,b] 使f(x0)A0.不妨设x0(a,b)，由f(x)在xx0处连续及极限的局部保号性，存在0，使

(x0,x0)(a,b)，且在

(x0,x0)上

f(x)A2，于是

baf(x)dxx0x0f(x)dxx0x0AAdx2022.

这与题设abf(x)dx0矛盾.

(2)由在[a,b]上

f(x)0f(x)dx0ab.

而如果baf(x)dx0f(x)dx0[a,b]f(x)0a，则由(1)知在在上与条件矛盾，故只有.

b(3)由(1)即得.

2.习题5-2(B). 3.设f(x)是连续函数，且满足

f(x)3x2exf(x)dx01f(x)dxf(x)0，求与.

1解：设0即

1f(x)dxI，由题设f(x)3xeI，两边在[0,1]上02x1f(x)dx3x2dxIexdx0011，

I1I(e1)I1e.

即

10f(x)dx12x1e，而f(x)3xe.

'ff(x)[a,b](a,b)3.习题5-2(B). 6.设在上连续，在内可导，且(x)0，'F(a,b)证明在内(x)0.

F(x)1xf(t)dtaxa.

证明：设x(a,b)，

F(x)'(xa)f(x)f(t)dt(xa)a2x(xa)f(x)f()(xa)(xa)2

f(x)f()xaaxb，而由条件在在[a,b]上f(x)单调不增，

f(x)f()F'(x)0.

4.习题5-2(B). 8.已知函数g(x)连续，且g(1)5，01g(t)dt2，设

f(x)1x2(xt)g(t)dt20.

证明：

f'(x)xg(t)dttg(t)dt00xx'''''f(1)f，从而计算，(1).

xxx1f(x)[x2g(t)dt2xtg(t)dtt2g(t)dt]0002证明：

xx1f'(x)[2xg(t)dtx2g(x)2tg(t)dt2x2g(x)x2g(x)]002

xg(t)dttg(t)dt00xx

xf''(x)g(t)dtxg(t)xg(t)g(t)dt00x

f(1)g(t)dt20''1

f'''(x)g(x)，f'''(1)g(1)5.

2f(x)dxtf(xt)dt1cosxf(x)5.习题5-2(B). 9.已知连续，0，求0.

x解：

x0tf(xt)dt中令

xtu，得

x0tf(xt)dt(xu)f(u)dux0

xxx(xu)f(u)duxf(u)duuf(u)du000.

于是

xf(u)duuf(u)du1cosx00xx

两边求导，得x0f(u)dusinx

 于是

20f(x)dxsin21.

1206.习题5-2(B). 10.设f(x)在[0,1]上可微，且满足

f(1)2xf(x)dx.

'f()f()0. (0,1)试证:存在使得

11[0,]2使 证明：设F(x)xf(x)，由定积分中值定理，

120xf(x)dxF(x)dx1201F(1)2，由已知条件，有

1f(1)2xf(x)dx2F(1)F(1)2.

120 又由于F(1)1f(1)F(1)，且F(x)在[1,1]上连续，在(1,1)

'F(,1)(0,1)1 内可导，故由罗尔定理，，使得()0.

'f()f()0. 即

7. 习题5-3(B). 1.(1)01sinxdx=

0sin2xxxxcos22sincosdx2222

=

0xxxsincosdx2sin()dx02224

xx22sin()dx2sin()dx0024242=

=4(21).

8. 习题5-3(B). 1.(8)

20cosxsinxdxxt1sinxcosx 令2，

0sintcostcosxsinxdt2sintcostdtI2dx01sintcostI 01sinxcosx21costsintI20cosxsinxdx01sinxcosx.

cosx12(cosxsinx)(cosxsinx)2dxdx0sinxcosx02sinxcosx9. 习题5-3(B). 1.(9)

12112][dx2d(sinxcosx)][lnsinxcosx00sinxcosx20224.

10. 习题5-3(B). 1.(12)计算

Jmxsinmxdx0 (m为自然数).

解：

Jmxsinxdx0m20sinmxdx 令

x2t

有

20sinxdxm22mm002cosxdx2sinmxdxcostdt2

m1m3312mm2422m1m342Jmmm253于是

当m为偶数时当m为大于1的奇数时当m1时.

'ff(x)f(0)0x011. 习题5-3(B). 3.设在点的某个领域内连续，且，(0)1.试求

tf(xlim0x0x2t2)dtx4.

1x2222f(xt)d(xt)20

解：

x0tf(x2t2)dt

1x2f(u)du20

令x2t2u10f(u)du2x2

1x212f(u)duf(x)2xtf(xt)dt0lim0lim2lim244x0x0xx4x3于是，x0

x22f(x2)f(0)1'1limf(0)44. 4x2 x0

xxt12.习题5-3(B). 6.设f(x)为连续函数.证明：0f(t)(xt)dt[f(u)du]dt00.

证明：设0tf(u)du(t)，则0x[f(u)du]dt(t)dt(t)t0t'(t)dt000ttxx

(x)xtf(t)dtxf(u)dutf(t)dt000xxx

xf(t)dttf(t)dt(xt)f(t)dt000xxx.

13. 习题5-3(B). 7.设

In4tannxdx,nN且n10.

证明：(1)

InIn2111Inn1 (2) 2n22n2

00证明：(1)

InIn24tannxdx4tann2xdx4tann2x(tan2x1)dx0

4tann2xdtanx01n1.

(2) 由(1)知，

InIn211In2Inn1，n1

[0,]n2nn2而在4上，tanxtanxtanx

于是In2InIn2，In2In2InInIn2

1111In2In2(n1). n1，2(n1)即n114. 习题5-5(B). 1.(7)(xx)exdx2xexdx0

2xde0x2[xex0exdx]20

15. 习题5-5(B) . 1.(8)

2dxx2101dx1x202dxx211

arcsinx0llnxx112212ln(23).

16. 习题5-5(B). 4.已知

02sinxsinxdxdx20x2.求x.

解：

0sinx1sinx2dxsinxdx0xx2220012sinxcosxdxx

0sin2xsintsin2xdxd2xdt00x2xt2.

17. 总复习题五. 一(5). 题目(略)

解：

F(x)x2f(t)dtt2f(t)dt00xx

F'(x)2xf(t)dtx2f(x)x2f(x)2xf(t)dt00xx

x现要求k使x0xlim2xf(t)dt0xkl0

lim2xf(t)dt0x0xklim2f(t)dt0xx0xk1，显然k10 (否则极限为0)

用罗必达法则，上式

lim2f(x)2f(x)f(0)limx0(k1)xk2k1x0xk2

2f'(0)0当k21时上式为k1，故k3.

18. 总复习题五. 一(7). 题目(略)

st0解：令txu，则

Itf(tx)dxf(u)du0s

故I的值依赖于s，不依赖于t.

19. 总复习题五. 三.(2) 设x1.求1x(1t)dt.

11(1t)dt(1t2)(1x)21221解：当1x0时，原式

xx0x1(1t)dt(1t)dt1(1x)202当x0时，原式1.

20. 总复习题五. 三.(7)

dxdx(x1)4x22x

3解：原式

3(x1)4(x1)21令x1sect

secttant3sec4ttantdt2

2(1sin2t)costdt323338.

sintdtf(x)dxt，计算0.

21. 总复习题五. 三.(8) 设

f(x)x0解：

0f(x)dxxf(x)0xf(x)dx0'0sintsinxdtxdx0tx

0xsinxdxsinxdx20x.

axsinxcx0xln(1t3)dtba,b,ct22. 总复习题五. 三.(12) 确定常数使.

lim解：首先因为

lim(axsinx)0x0，必须x0limxbln(1t3)dt0b0t

axsinxacosxx(acosx)acosxlimlimlimc2x0xln(1t3)x0ln(1x3)x0ln(1x3)x0xdtbtx于是

lim必须a1，从而可得极限

c12.

2nnsin)lim(x0n111nn2n. 23. 总复习题五. 三.(13) 求极限

sinsin2nnnsin1(sinsin2sin)1sinin11nn1nnni1nn2n解：，

sinsin11ni2limsinsinxdx0nnn i1而

另一方面，

2nnnsin1(sinsin2sin)n1sinin11n1n1nnn1ni1nn2n

sin1n1ni2limsinsinxdx0nn1nn i1而

sin原式2.

24. 总复习题五. 四.(4) 设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且

'f(0,1)c在内存在一点，使(c)0.

32f(x)dxf(0)31.证明

证明：由积分中值定理，

1231f(x)dxf(),3213

1即

f()32f(x)dxf(0)3，再由罗尔定理c(0,)(0,1)

'f使(c)0.

25. 总复习题五. 四.(5) 设f(x)在[a,b]上连续，g(x)在[a,b]连续且不变号.证明至少存在一点[a,b]，使下式成立baf(x)g(x)dxf()bag(x)dx (积分第一中值定理)

证明：不妨设g(x)0 (axb) (g(x)0时证明类似)

由f(x)在[a,b]上连续得 mf(x)M.

由g(x)0得 mg(x)f(x)g(x)Mg(x)，

bbb

mag(x)dxaf(x)g(x)dxMag(x)dx

bmaf(x)g(x)dxbM而ag(x)dx0，(1)当bag(x)dx0时，

bag(x)dx

bf()af(x)g(x)dx由介值定理，[a,b]，使

bag(x)dx

b即af(x)g(x)dxf()bag(x)dx

b(2)当ag(x)dx0时，g(x)0.等式也成立.

26. 总复习题五. 四.(6) 设f(x),g(x)在[a,b]上都连续.

证明：(1)

(f(x)g(x)dx)f(x)dxg2(x)dxaaab2b2b (柯西-许瓦兹不等式)

(2)

([f(x)g(x)]dx)(f(x)dx)(g(x)dx)aaab22b212b212 (闵可夫斯基不等式).

证明：(1)对实数t，

[f(x)tg(x)]20[f(x)tg(x)]2dx0ab

即abf2(x)dx2tf(x)g(x)dxt2g2(x)dx0aabb

于是判别式

[2f(x)g(x)dx]24f2(x)dxg2(x)dx0aaabbb

即

[f(x)g(x)dx]2f2(x)dxg2(x)dxaaabbb.

(2)

([f(x)g(x)]dx)f(x)dx2f(x)g(x)dxg2(x)dxaaaab22b2bb

f(x)dx2ab2baf(x)dxg(x)dxg2(x)dxaa2b2b

b(baf(x)dx2bag2(x)dx)2

12 即

([f(x)g(x)]dx)(f(x)dx)(g(x)dx)aaa22b212b2.

27. 总复习题五. 四.(7) 设f(x),g(x)在[a,a]上都连续，g(x)为偶函数，

且f(x)满足条件f(x)f(x)A (A为常数).

(1)

证明aaf(x)g(x)dxAg(x)dx0a

(2) 利用(1)的结论计算积分

2sinxarctanexdx2.

证明：(1)aaf(x)g(x)dxf(x)g(x)dxf(x)g(x)dxa00a

0af(x)g(x)dx令xtf(t)g(t)dtf(x)g(x)dxa00a

于是aaf(x)g(x)dxf(x)g(x)dxf(x)g(x)dx00aa

[f(x)f(x)]g(x)dxAg(x)dx00aa.

(2)取f(x)arctane，g(x)sinx，

xa2，则f(x),g(x)在

[,]22 上连续，且g(x)为偶

函数.

xx(arctanearctane)'0arctanexarctanexA 又由

令x0得2arctan1A，

A2，即

f(x)f(x)2.

于是

2sinxarctanedxx2022sinxdx202sinxdx2.