门头沟区高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

一、选择题

1． 已知函数f(x)sinx2x，且af(ln),bf(log2),cf(20.3)，则（ A．cab

B．acb

D．bac）

D．0,2,432C．abc

13）

【命题意图】本题考查导数在单调性上的应用、指数值和对数值比较大小等基础知识，意在考查基本运算能力．2． 已知全集为R，集合Ax|x2或x3，B2,0,2,4，则(ðRA)B（ A．2,0,2 3． 函数f（x）=（A．（﹣∞，0）A．1

B．2

B．2,2,4

）x2﹣9的单调递减区间为（

C．（﹣9，+∞）

）

D．（﹣∞，﹣9）

）

C．2,0,3

B．（0，+∞）C．3

D．4

4． 已知向量与的夹角为60°，||=2，||=6，则2﹣在方向上的投影为（ 5． 若集合A={x|2x＞1}，集合B={x|lgx＞0}，则“x∈A”是“x∈B”的（ A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

）

C．充要条件D．既不充分也不必要条件　

6． 函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=ex关于y轴对称，则f（x）=（ A．ex+1B．ex﹣1C．e﹣x+1D．e﹣x﹣1　

x7． 已知函数F(x)e满足F(x)g(x)h(x)，且g(x)，h(x)分别是R上的偶函数和奇函数，若x(0,2]使得不等式g(2x)ah(x)0恒成立，则实数的取值范围是（ A．(,22) 面积的最大值为4A．等腰三角形

B．(,22]

）

8． 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若

，则此时△ABC的形状为（ B．正三角形C．直角三角形

）

C．(0,22]

）

D．(22,)（acosB+bcosA）=2csinC，a+b=8，且△ABC的

D．钝角三角形

=（

）

9． 已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则

A．﹣1B．2C．﹣5D．﹣3

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10．在等差数列{an}中，a1=1，公差d0，Sn为{an}的前n项和.若向量m=(a1,a3)，n=(a13,-a3)，2S+16n=0，则n且m×的最小值为（ ）

an+39A．4 B．3 C．23-2 D．

2【命题意图】本题考查等差数列的性质，等差数列的前n项和，向量的数量积，基本不等式等基础知识，意在

考查学生的学生运算能力，观察分析，解决问题的能力．

11．与圆C1：x2+y2﹣6x+4y+12=0，C2：x2+y2﹣14x﹣2y+14=0都相切的直线有（　　）A．1条B．2条C．3条D．4条

12．某工厂产生的废气经过过虑后排放，过虑过程中废气的污染物数量P（单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）间的关系为PP0e的污染物，则需要（ A.8 B.10课标的这一重要思想.

kt（P0，k均为正常数）．如果前5个小时消除了10%的污染物，为了消除27.1%C. 15D. 18

）小时.

【命题意图】本题考指数函数的简单应用，考查函数思想，方程思想的灵活运用，体现“数学是有用的”的新

二、填空题

13．设a抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x2+ax+a=0有两个不等实数根的概率为　　　　　　．　

14．已知函数f(x)asinxcosxsinx___________．

【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想与方程思想．

15．等差数列{an}中，|a3||a9|，公差d0，则使前项和Sn取得最大值的自然数是________.16．抛物线y2=8x上到顶点和准线距离相等的点的坐标为　　　　　　．　

17．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是 大.

18．阅读如图所示的程序框图，则输出结果S的值为 ..（注：结果请用数字作答）

【命题意图】本题考查计数原理、排列与组合的应用，同时也渗透了分类讨论的思想，本题综合性强，难度较

21的一条对称轴方程为x，则函数f(x)的最大值为26第 2 页，共 17 页

【命题意图】本题考查程序框图功能的识别，并且与数列的前n项和相互联系，突出对逻辑判断及基本运算能力的综合考查，难度中等.

三、解答题

x2y219．（本小题满分12分）已知F1,F2分别是椭圆C：221(ab0)的两个焦点，且|F1F2|2，点

ab6(2,)在该椭圆上．

2（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线l与以原点为圆心，b为半径的圆上相切于第一象限，切点为M，且直线l与椭圆交于P、Q两点，问F2PF2QPQ是否为定值？如果是，求出定值，如不是，说明理由．

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20．在平面直角坐标系xOy中，经过点和Q．

（Ⅰ）求k的取值范围；

且斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点P

（Ⅱ）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

与共线？

21．（本小题满分12分）

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Snn2an(nN*)．（1）证明：数列{an1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；

n2n2015的（2）数列{bn}满足bnanlog2(an1)(nN*)，其前n项和为Tn，试求满足Tn2最小正整数n．

【命题意图】本题是综合考察等比数列及其前n项和性质的问题，其中对逻辑推理的要求很高.

∠DCB=120°，22．AC=AB，CB=CD，如图，四面体ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，点E在BD上，且CE=DE．

（Ⅰ）求证：AB⊥CE；

（Ⅱ）若AC=CE，求二面角A﹣CD﹣B的余弦值．

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23．已知{an}为等比数列，a1=1，a6=243．Sn为等差数列{bn}的前n项和，b1=3，S5=35．（1）求{an}和{Bn}的通项公式；（2）设Tn=a1b1+a2b2+…+anbn，求Tn．　

24．如图，已知边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2（Ⅰ）试在棱AD上找一点N，使得CN∥平面AMP，并证明你的结论．（Ⅱ）证明：AM⊥PM．

，M为BC的中点

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门头沟区高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参）

一、选择题

1． 【答案】D

2． 【答案】A【解析】

考点：1、集合的表示方法；2、集合的补集及交集.3． 【答案】B

【解析】解：原函数是由t=x2与y=（

）t﹣9复合而成，

∵t=x2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函数；又y=（

）t﹣9其定义域上为减函数，

）x2﹣9在（﹣∞，0）上是增函数，在（0，+∞）为减函数，

）x2﹣9的单调递减区间是（0，+∞）．

∴f（x）=（

∴函数ff（x）=（故选：B．

【点评】本题考查复合函数的单调性，讨论内层函数和外层函数的单调性，根据“同増异减”再来判断是关键．　

4． 【答案】A

【解析】解：∵向量与的夹角为60°，||=2，||=6，∴（2﹣）•=2

﹣

=2×22﹣6×2×cos60°=2，

=

．

∴2﹣在方向上的投影为故选：A．

【点评】本题考查了平面向量数量积的定义与投影的计算问题，是基础题目．　

5． 【答案】B

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【解析】解：A={x|2x＞1}={x|x＞0}，B={x|lgx＞0}={x|x＞1}，则B⊊A，

即“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，故选：B

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的关系的应用，比较基础．　

6． 【答案】D

【解析】解：函数y=ex的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为y=e﹣x，

而函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=ex的图象关于y轴对称，所以函数f（x）的解析式为y=e﹣（x+1）=e﹣x﹣1．即f（x）=e﹣x﹣1．故选D．　

7． 【答案】B【解析】

试题分析：因为函数Fxe满足Fxgxhx,且gx,hx分别是R上的偶函数和奇函数,

xegxhx,exxexexexexgxhx,gx,hx,x0,2 使得不等式

22ee22x2xg2xahx0恒成立, 即

exexeeaA2xx0恒成立, aeeexex2x2xexex2exex22xxxx22, 设tee，则函数tee在0,2上单调递增,0tee, 此时不等xxee22式t22,当且仅当t,即t2时, 取等号,a22,故选B.

tt考点：1、函数奇偶性的性质；2、不等式恒成立问题及函数的最值.

【方法点晴】本题主要考查函数奇偶性的性质、不等式恒成立问题及函数的最值，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数af(x)恒成立（af(x)min即可）或af(x)恒成立（af(x)max即可）；②数形结合；③讨论最值f(x)min0或f(x)max0恒成立；④讨论参数 .本题是利用方法①求得的最大值的.

8． 【答案】A【解析】解：∵∴∴

（acosB+bcosA）=2csinC，

（sinAcosB+sinBcosA）=2sin2C，sinC=2sin2C，且sinC＞0，

，

∴sinC=

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∵a+b=8，可得：8≥2，解得：ab≤16，（当且仅当a=b=4成立）

=4

，

∵△ABC的面积的最大值S△ABC=absinC≤∴a=b=4，

则此时△ABC的形状为等腰三角形．故选：A．　

9． 【答案】C

【解析】解：由三次函数的图象可知，x=2函数的极大值，x=﹣1是极小值，即2，﹣1是f′（x）=0的两个根，∵f（x）=ax3+bx2+cx+d，∴f′（x）=3ax2+2bx+c，由f′（x）=3ax2+2bx+c=0，得2+（﹣1）=﹣1×2=

=﹣2，

=1，

即c=﹣6a，2b=﹣3a，

即f′（x）=3ax2+2bx+c=3ax2﹣3ax﹣6a=3a（x﹣2）（x+1），则故选：C

【点评】本题主要考查函数的极值和导数之间的关系，以及根与系数之间的关系的应用，考查学生的计算能力．　

10．【答案】A

【

解

析

】

=

=

=﹣5，

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11．【答案】C

【解析】

【分析】先求出两圆的圆心和半径，判断两个圆的位置关系，从而确定与它们都相切的直线条数．【解答】解：∵圆C1：x2+y2﹣6x+4y+12=0，C2：x2+y2﹣14x﹣2y+14=0的方程可化为，

；；∴圆C1，C2的圆心分别为（3，﹣2），（7，1）；半径为r1=1，r2=6．

∴两圆的圆心距=r2﹣r1；∴两个圆外切，

∴它们只有1条内公切线，2条外公切线．故选C．12．【答案】15 【

解

析

】

二、填空题

13．【答案】　　．

【解析】解：∵a是甲抛掷一枚骰子得到的点数，∴试验发生包含的事件数6，∵方程x2+ax+a=0 有两个不等实根，∴a2﹣4a＞0，解得a＞4，∵a是正整数，∴a=5，6，

即满足条件的事件有2种结果，∴所求的概率是=，故答案为：

【点评】本题考查等可能事件的概率，在解题过程中应用列举法来列举出所有的满足条件的事件数，是解题的关键．　

14．【答案】1【

解

析

】

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15．【答案】或【解析】

试题分析：因为d0，且|a3||a9|，所以a3a9，所以a12da18d，所以a15d0，所以

a60，所以an01n5，所以Sn取得最大值时的自然数是或．

考点：等差数列的性质．

【方法点晴】本题主要考查了等差数列的性质，其中解答中涉及到等差数列的通项公式以及数列的单调性等知识点的应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据数列的单调性，得出a15d0，所以a60是解答的关键，同时结论中自然数是或是结论的一个易错点．

16．【答案】　（ 1，±2

）　．

【解析】解：设点P坐标为（a2，a）依题意可知抛物线的准线方程为x=﹣2a2+2=

，求得a=±2

）

∴点P的坐标为（ 1，±2故答案为：（ 1，±2

）．

【点评】本题主要考查了两点间的距离公式、抛物线的简单性质，属基础题．　

17．【答案】48【

解

析

】

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18．【答案】

20162017【解析】根据程序框图可知，其功能是求数列{222}的前100的和，即S(2n1)(2n1)13352111112016(1)()().20152017335201520172017三、解答题

19．【答案】

【解析】【命题意图】本题考查椭圆方程与几何性质、直线与圆的位置关系等基础知识，意在考查逻辑思维能力、探索性能力、运算求解能力，以及方程思想、转化思想的应用．

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20．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为代入椭圆方程得

．

，

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整理得①

，

．

，

直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q，等价于①的判别式△=解得

或

．即k的取值范围为

（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则由方程①，又而所以

与

共线等价于

．，

将②③代入上式，解得由（Ⅰ）知

或

． ②． ③

．

，

故没有符合题意的常数k．

【点评】本题主要考查直线和椭圆相交的性质，2个向量共线的条件，体现了转化的数学而思想，属于中档题．21．【答案】

【解析】（1）当n1时,a112a1，解得a11.当n2时，Snn2an，

①

②

（3分）（1分）

Sn1(n1)2an1，

①-②得，an12an2an1即an2an11，即an12(an11)(n2)，又a112.即an12n故an2n1（nN*）.

所以an1是以2为首项，2为公比的等比数列.

（5分）

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22．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）证明：△BCD中，CB=CD，∠BCD=120°，∴∠CDB=30°，

∵EC=DE，∴∠DCE=30°，∠BCE=90°，∴EC⊥BC，

又∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC与平面BCD的交线为BC，∴EC⊥平面ABC，∴EC⊥AB．

（Ⅱ）解：取BC的中点O，BE中点F，连结OA，OF，∵AC=AB，∴AO⊥BC，

∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，

∴AO⊥平面BCD，∵O是BC中点，F是BE中点，∴OF⊥BC，以O为原点，OB为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，设DE=2，则A（0，0，1），B（0，C（0，﹣∴

，0），D（3，﹣2

，﹣1），

，0），

，0），

=（0，﹣

=（3，﹣

，0），

设平面ACD的法向量为=（x，y，z），则

，取x=1，得=（1，

，﹣3），

又平面BCD的法向量=（0，0，1），

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∴cos＜＞==﹣，．

∴二面角A﹣CD﹣B的余弦值为

【点评】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面以及面面的垂直关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用．本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求．　

23．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵{an}为等比数列，a1=1，a6=243，∴1×q5=243，解得q=3，∴

．

∵Sn为等差数列{bn}的前n项和，b1=3，S5=35．∴5×3+

d=35，解得d=2，

bn=3+（n﹣1）×2=2n+1．（Ⅱ）∵Tn=a1b1+a2b2+…+anbn，∴

①

②

①﹣②得：

，

整理得：的合理运用．　

24．【答案】

．

【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法

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【解析】（Ⅰ）解：在棱AD上找中点N，连接CN，则CN∥平面AMP；证明：因为M为BC的中点，四边形ABCD是矩形，所以CM平行且相等于DN，所以四边形MCNA为矩形，

所以CN∥AM，又CN⊄平面AMP，AM⊂平面AMP，所以CN∥平面AMP．

（Ⅱ）证明：过P作PE⊥CD，连接AE，ME，

因为边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2所以PE⊥平面ABCD，CM=所以PE⊥AM，在△AME中，AE=所以AE2=AM2+ME2，所以AM⊥ME，所以AM⊥平面PME所以AM⊥PM．

=3，ME=

=

，AM=

=

，

，

，M为BC的中点

【点评】本题考查了线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理的运用；正确利用已知条件得到线线关系是关键，体现了转化的思想．　

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