数列高考常见题型分类汇总

数列通项与求和 一、数列的通项

方法总结：

对于数列的通项的变形， 除了常见的求通项的方法，还有一些是需要找规律的，算周期或者根 据图形进行推理。其余形式我们一般遵循以下几个原则：

①对于同时出现 an ,n , Sn 的式子，首先要对等式进行化简。 同除一个式子，同加，同减，取倒数等，

②利用 an 项方法求出通项；

③根据问题在等式中构造相应的形式，使其变为我们熟悉的等差数列或等比数列；

④对于出现

2 n

2 n

常用的化简方法是因式分解，或者

如果出现分式，将分式化简成整式；

Sn Sn 1关系消掉 Sn （或者 an ），得到关于 an 和 n的等式，然后用传统的求通

a 或 S （或更高次时）应考虑因式分解，最常见的为二次函数十字相乘法，提

时还会两边同除 an

取公因式法；遇到 an a

an 1 .

n 1

1. 规律性形式求通项

1-1.数列 { an} 满足an+1= ，若 a1= ，则a2016 的值是（

）

A． B． C． D．

?B ?曼德尔布罗特（ Benoit B ．Mandelbrot ）在 20 世纪70 年

1-2.分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦

代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．下图照 按

的分形规律生长成一个树形图，则第 12 行的实心圆点的个数是（ ）

A． 55 B． C．144 D．233

第 n 行有 n 个数

，

，

1-3.如图所示的三角形数阵叫 “莱布尼兹调和三角形 ”，它们是由整数的倒数组成的， 且两端的数均为

（n≥ 2），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如

1

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，⋯ ，则第 10 行第 4 个数（从左往右数）为（ ）

A． B． C． D ．

2.出现an , n, Sn 的式子

2

( n

2

1) s

n

n

( n

2

) 0

1-4.正项数列 {an} 的前项和{an} 满足: s

n

n

(1)求数列 {an} 的通项公式 an;

n 1

(2)令

2

2

*

n

5

.

b

n

,数列 {b n}的前 n项和为 Tn .证明:对于任意的

n N ,都有 T

n 2 a

n

1-5.设数列

(1)

an 的前 n项和为 Sn .已知 a1 1,

2S n

1

2

n

*

2 ,

n N .

; 求 a2 的值

a

n 1

n 3

n

3

(2) 求数列

an 的通项公式 .

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2

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*

1-6.已知首项都是 1 的两个数列 an ， bn (bn

(1)令

0,n N ) 满足 anbn 1 an 1bn 2bn 1bn 0 .

a

n

c

n

，求数列 cn 的通项公式；

b

(2)若

n

n 1

b

n

3 ，求数列 an 的前 n 项和 Sn .

牛刀小试：

3.已知数列 { an } 的前 n 项和为 Sn，a1＝1，且 2nSn 足 b

n 2

1

2(n 1) Sn n( n 1)( n N*) ，数列 { bn } 满

2b

n

1

b

n

0(n N*) ，b3 5 ，其前 9 项和为 63.

（1）求数列数列 { an } 和{ bn } 的通项公式；

4.已知数列

an 的前 n 项和为 Sn ,且

1

a

1

, a

n

n 1

1

. a

n

2

(1)求

2n

an 的通项公式 ;

*

*

(2)设

b

n

n 2 S ,n N ，若集合M

n

n b

n

,n N 恰有 4个元素 ,求实数 的取值范

围.

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3

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5.需构造的（证明题） 1-7.已知数列

an 的前 n 项和为 Sn ,且满足an 2Sn Sn 1 0 n 2 ,

1

.

1

a

(1) 求证 :

1 是等差数列 ;

S

n

(2)求 an 表达式；

n

1-8.设数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，且首项 a1≠3，an+1=Sn+3

*

）．

（n∈N

n

（1）求证： { Sn﹣3 } 是等比数列；

（2）若 { an} 为递增数列，求 a1 的取值范围．

牛刀小试

1．已知数列 { an } 中， a 2 ，

2a

1

3

n

．

a

(n N ) n 1

a

1

n

1

1）证明：数列

1 是等比数列；

（2）求数列

n

（a

a

的前 n 项和为n

n

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2

Sn ．

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4

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1

6.数列 { an } 中， a1

1， an

1

2

，b

n

1

4a

n

( ) n N ．

2an 1

（1）求证：数列 { bn } 是等差数列；

二、数列求和与放缩

数列求和的考察无外乎错位相减、裂项相消或者是分组求和等，但有一些通项公式需要化简才 可以应用传统的方法进行求和。对于通项公式是分式形式的一般我们尝试把“大”分式分解成次数 （分母的次数）相等的“小”分式，然后应用裂项相消的方法进项求和。 一般我们不可求和的放缩为可求和的，分式形式，分母是主要化简对象。

n 1

放缩，怎么去放缩是重点，

2 a

n

2-1.

a 数列 an 满足

1

(

2,a

n 1

)

n N

.

1

n

n

2

（1）设

n n

a

n

2

，求数列

bn 的通项公式 .

b

n

2 a

a

的前 n 项和为 S ，不等式 ，数列 c n n

1 2 1 对一切 n N 成立，

m 4 m S n 4

（2）设

1

n

c

n n

1

n 1

求 m 的范围 .

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2-2.设数列

an 满足 a1

0 且

1

1

1 1 a n

1 a n

1.

（1）求 a

n

的通项公式；

（2）设

1

n

a

n

n 1

b

,记S

n

b ,证明：S

k

n

1.

n

k 1

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5

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2-3

2-4

2-5

牛刀小试：

6

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7.已知等差数列 { an}的公差为 2，前 n 项和为 Sn，且 S1，S2，S4 成等比数列． (1)求数列 { an}的通项公式；

n－1

4n

，求数列 { bn} 的前 n 项和 Tn.

＋

(2)令 bn＝(－1)

anan

1

三、数列与不等式问题

在这类题目中一般是要证明

a

n

f n 或者一个常数

，一般思路有两种： 1.若{ an} 可求和 Sn ，

则可直接求出其和，再转化为

S

n

f n

，而后一般转化为函数，或单调性来比较大小；

1 的过程。

2.若{ an}

不可求和，则利用放缩法转化为可求和数列，再重复

2.应用放缩法证明，将不规则的数列变成规则的数列，将其放大或是缩小。但如果出界了怎么

办（放的太大或缩的太小），一般情况下，我们从第二项开始再放缩，如果还大则在尝试从第三项 开始放缩。

3.应用数列单调性求数列中的最大或最小项。我们一般将数列中的 n 看做自变量， an 看做因变

an 量

f (n)n N ，用函数部分求最值方法来求数列的最值；或者可以利用做商比较大小（一般

出现幂时采取这个方法）；也可相减做差求单调性。

3-1.设各项均为正数的数列

an 的前 n

项和为 Sn ，且 Sn 满足

2 n

2

3 n

S

n

2

S n

3 n n 0，

n N .

（1）求 a 的值；

1

（2）求数列

an 的通项公式；

n ，有

1

1

2

（3）证明：对一切正整数

1 a a

2

1

1

an an 1

1 3

a a 1

1

.

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7

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3-2．记公差不为 0 的等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ， S

3

9 ， a3， a5，a8 成等比数列．

(1) 求数列 { an} 的通项公式an 及 Sn ； (2) 若 c

n

2 n

2 (

a

n

) ，n=1，2，3，⋯ ，问是否存在实数 ，使得数列 {cn} 为单调递减数列？若存

在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

牛刀小试：

1

8.数列

an

的前 n项和为

Sn ，已知

1

S

，

n

2

n a

n

* ( 1)

n n ( n N ).

a

2

(1) 求 a2, a3 ； (2)

求数列

an 的通项；

b

n

(3)设

1

n n+1

S S

,数列 bn

: T 的前 n项和为 Tn ,证明

(

n

5 *

n N ). 2

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9.设数列

an 的前 n(1) 求 a2 的值 ;

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项和为

S .已知 a1 n

,

2S

n

n

a

n 1

8

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1

2 n n

3

2 ,

*

n N .

3

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(2)

求数列

an 的通项公式 ;

n,有 a

(3) 证明:对一切正整数

1

1

1

a

2

1 a

n

7 . 4

10.

数列作业

2

4.设数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且

S

n

n 4 4

，

n

（1）求数列 an 的通项；

（2）设 b

n

a n

n

1

T

n

，数列 bn 的前 n项和为 Tn ,求证： 2 1 .

4

5.已知 {an} 是各项均为正数的等比数列，且

(I) 求数列 { an} 的通项公式；

a1 a2 2, a3 a4 32.

b

1

b

2

b

3

b

n

a

n 1

n N

*

，求数列 bn 的前 n 项和。

(II) 设数列 bn 满足

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1( )

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1 2 3 2n 1

9

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*

11.已知数列

an 的各项均为正数，其前 n

项和为 Sn ，且满足

a1 1,an 1 2 Sn 1， n N

.

（1）求 a2 的值；

（2）求数列 a 的通项公式；

n

（3）是否存在正整数 k , 使ak , S2k 1 , a4k 成等比数列 ? 若存在 , 求 k 的值； 若不存在 , 请说明理 由.

12.已知 Sn 为数列 （1）求 a1 的值； （2）求数列 a

n

an

n 项和， Sn 的前 nan 3n( n 1) （

*

n N ），且 a2 11．

n 项和 Sn ； 的前

（3）设数列 { b } 满足 b

n

n

n

n

S

，求证：

2

1

2

b b b

n

3n 2 . 3

13.设数列

an n项和为 Sn ，且 an 的前 Sn 1.

（1）求数列 a 的通项公式；

n

1

（2）设数列 bn 满足： b

n

1

，且数列 cn

1，又 c a

n

n

n项和为 Tn ，求证： 的前

a b b

n 1 n n 1

2

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T

n

.

3

10

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14.已知数列 { bn} 满足3(n＋1)bn＝nbn1，且 b1＝3.

＋

(1)求数列 { bn}的通项公式； 5 1 an n＋1

，求证：≤ ＋ (2)已知 ＝

6 a1

bn 2n＋3

1

＋⋯ ＋

1

<1. an

－

a2

15.已知数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，且 Sbn1－bn＝bnbn n＝2an－ 1；数列 { bn} 满足

－

* )，b

1＝

1(n≥ 2， n∈N

6.

(1)求数列 { an}， { bn} 的通项公式； an

Tn. (2)求数列 b 的前 n 项和

n

8.设等差数列 (1)求数列 (2)设数列

an 的前 n 项和为 Sn ,且 S4 4S2 , a2n 2an 1.

an 的通项公式 ; bn 前 n 项和为 Tn ,且

a

n

n

n

1

( 为常数 ).令 cn

T

2

b2n

(n N ) .求数列 cn 的前 n

*

项和Rn .

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11

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