数列通项与求和 一、数列的通项
方法总结:
对于数列的通项的变形, 除了常见的求通项的方法,还有一些是需要找规律的,算周期或者根 据图形进行推理。其余形式我们一般遵循以下几个原则:
①对于同时出现 an ,n , Sn 的式子,首先要对等式进行化简。 同除一个式子,同加,同减,取倒数等,
②利用 an 项方法求出通项;
③根据问题在等式中构造相应的形式,使其变为我们熟悉的等差数列或等比数列;
④对于出现
2 n
2 n
常用的化简方法是因式分解,或者
如果出现分式,将分式化简成整式;
Sn Sn 1关系消掉 Sn (或者 an ),得到关于 an 和 n的等式,然后用传统的求通
a 或 S (或更高次时)应考虑因式分解,最常见的为二次函数十字相乘法,提
时还会两边同除 an
取公因式法;遇到 an a
an 1 .
n 1
1. 规律性形式求通项
1-1.数列 { an} 满足an+1= ,若 a1= ,则a2016 的值是(
)
A. B. C. D.
?B ?曼德尔布罗特( Benoit B .Mandelbrot )在 20 世纪70 年
1-2.分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦
代创立的一门新学科,它的创立,为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.下图照 按
的分形规律生长成一个树形图,则第 12 行的实心圆点的个数是( )
A. 55 B. C.144 D.233
第 n 行有 n 个数
,
,
1-3.如图所示的三角形数阵叫 “莱布尼兹调和三角形 ”,它们是由整数的倒数组成的, 且两端的数均为
(n≥ 2),每个数是它下一行左右相邻两数的和,如
1
专业资料分享
WORD格式
,⋯ ,则第 10 行第 4 个数(从左往右数)为( )
A. B. C. D .
2.出现an , n, Sn 的式子
2
( n
2
1) s
n
n
( n
2
) 0
1-4.正项数列 {an} 的前项和{an} 满足: s
n
n
(1)求数列 {an} 的通项公式 an;
n 1
(2)令
2
2
*
n
5
.
b
n
,数列 {b n}的前 n项和为 Tn .证明:对于任意的
n N ,都有 T
n 2 a
n
1-5.设数列
(1)
an 的前 n项和为 Sn .已知 a1 1,
2S n
1
2
n
*
2 ,
n N .
; 求 a2 的值
a
n 1
n 3
n
3
(2) 求数列
an 的通项公式 .
专业资料分享
WORD格式
2
专业资料分享
WORD格式
*
1-6.已知首项都是 1 的两个数列 an , bn (bn
(1)令
0,n N ) 满足 anbn 1 an 1bn 2bn 1bn 0 .
a
n
c
n
,求数列 cn 的通项公式;
b
(2)若
n
n 1
b
n
3 ,求数列 an 的前 n 项和 Sn .
牛刀小试:
3.已知数列 { an } 的前 n 项和为 Sn,a1=1,且 2nSn 足 b
n 2
1
2(n 1) Sn n( n 1)( n N*) ,数列 { bn } 满
2b
n
1
b
n
0(n N*) ,b3 5 ,其前 9 项和为 63.
(1)求数列数列 { an } 和{ bn } 的通项公式;
4.已知数列
an 的前 n 项和为 Sn ,且
1
a
1
, a
n
n 1
1
. a
n
2
(1)求
2n
an 的通项公式 ;
*
*
(2)设
b
n
n 2 S ,n N ,若集合M
n
n b
n
,n N 恰有 4个元素 ,求实数 的取值范
围.
专业资料分享
WORD格式
3
专业资料分享
WORD格式
5.需构造的(证明题) 1-7.已知数列
an 的前 n 项和为 Sn ,且满足an 2Sn Sn 1 0 n 2 ,
1
.
1
a
(1) 求证 :
1 是等差数列 ;
S
n
(2)求 an 表达式;
n
1-8.设数列 { an} 的前 n 项和为 Sn,且首项 a1≠3,an+1=Sn+3
*
).
(n∈N
n
(1)求证: { Sn﹣3 } 是等比数列;
(2)若 { an} 为递增数列,求 a1 的取值范围.
牛刀小试
1.已知数列 { an } 中, a 2 ,
2a
1
3
n
.
a
(n N ) n 1
a
1
n
1
1)证明:数列
1 是等比数列;
(2)求数列
n
(a
a
的前 n 项和为n
n
专业资料分享
2
Sn .
WORD格式
4
专业资料分享
WORD格式
1
6.数列 { an } 中, a1
1, an
1
2
,b
n
1
4a
n
( ) n N .
2an 1
(1)求证:数列 { bn } 是等差数列;
二、数列求和与放缩
数列求和的考察无外乎错位相减、裂项相消或者是分组求和等,但有一些通项公式需要化简才 可以应用传统的方法进行求和。对于通项公式是分式形式的一般我们尝试把“大”分式分解成次数 (分母的次数)相等的“小”分式,然后应用裂项相消的方法进项求和。 一般我们不可求和的放缩为可求和的,分式形式,分母是主要化简对象。
n 1
放缩,怎么去放缩是重点,
2 a
n
2-1.
a 数列 an 满足
1
(
2,a
n 1
)
n N
.
1
n
n
2
(1)设
n n
a
n
2
,求数列
bn 的通项公式 .
b
n
2 a
a
的前 n 项和为 S ,不等式 ,数列 c n n
1 2 1 对一切 n N 成立,
m 4 m S n 4
(2)设
1
n
c
n n
1
n 1
求 m 的范围 .
专业资料分享
WORD格式
2-2.设数列
an 满足 a1
0 且
1
1
1 1 a n
1 a n
1.
(1)求 a
n
的通项公式;
(2)设
1
n
a
n
n 1
b
,记S
n
b ,证明:S
k
n
1.
n
k 1
专业资料分享
5
WORD格式
2-3
2-4
2-5
牛刀小试:
6
专业资料分享
WORD格式
7.已知等差数列 { an}的公差为 2,前 n 项和为 Sn,且 S1,S2,S4 成等比数列. (1)求数列 { an}的通项公式;
n-1
4n
,求数列 { bn} 的前 n 项和 Tn.
+
(2)令 bn=(-1)
anan
1
三、数列与不等式问题
在这类题目中一般是要证明
a
n
f n 或者一个常数
,一般思路有两种: 1.若{ an} 可求和 Sn ,
则可直接求出其和,再转化为
S
n
f n
,而后一般转化为函数,或单调性来比较大小;
1 的过程。
2.若{ an}
不可求和,则利用放缩法转化为可求和数列,再重复
2.应用放缩法证明,将不规则的数列变成规则的数列,将其放大或是缩小。但如果出界了怎么
办(放的太大或缩的太小),一般情况下,我们从第二项开始再放缩,如果还大则在尝试从第三项 开始放缩。
3.应用数列单调性求数列中的最大或最小项。我们一般将数列中的 n 看做自变量, an 看做因变
an 量
f (n)n N ,用函数部分求最值方法来求数列的最值;或者可以利用做商比较大小(一般
出现幂时采取这个方法);也可相减做差求单调性。
3-1.设各项均为正数的数列
an 的前 n
项和为 Sn ,且 Sn 满足
2 n
2
3 n
S
n
2
S n
3 n n 0,
n N .
(1)求 a 的值;
1
(2)求数列
an 的通项公式;
n ,有
1
1
2
(3)证明:对一切正整数
1 a a
2
1
1
an an 1
1 3
a a 1
1
.
专业资料分享
WORD格式
7
专业资料分享
WORD格式
3-2.记公差不为 0 的等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn , S
3
9 , a3, a5,a8 成等比数列.
(1) 求数列 { an} 的通项公式an 及 Sn ; (2) 若 c
n
2 n
2 (
a
n
) ,n=1,2,3,⋯ ,问是否存在实数 ,使得数列 {cn} 为单调递减数列?若存
在,请求出的取值范围;若不存在,请说明理由.
牛刀小试:
1
8.数列
an
的前 n项和为
Sn ,已知
1
S
,
n
2
n a
n
* ( 1)
n n ( n N ).
a
2
(1) 求 a2, a3 ; (2)
求数列
an 的通项;
b
n
(3)设
1
n n+1
S S
,数列 bn
: T 的前 n项和为 Tn ,证明
(
n
5 *
n N ). 2
专业资料分享
9.设数列
an 的前 n(1) 求 a2 的值 ;
专业资料分享
项和为
S .已知 a1 n
,
2S
n
n
a
n 1
8
WORD格式
1
2 n n
3
2 ,
*
n N .
3
1WORD格式
(2)
求数列
an 的通项公式 ;
n,有 a
(3) 证明:对一切正整数
1
1
1
a
2
1 a
n
7 . 4
10.
数列作业
2
4.设数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且
S
n
n 4 4
,
n
(1)求数列 an 的通项;
(2)设 b
n
a n
n
1
T
n
,数列 bn 的前 n项和为 Tn ,求证: 2 1 .
4
5.已知 {an} 是各项均为正数的等比数列,且
(I) 求数列 { an} 的通项公式;
a1 a2 2, a3 a4 32.
b
1
b
2
b
3
b
n
a
n 1
n N
*
,求数列 bn 的前 n 项和。
(II) 设数列 bn 满足
专业资料分享
1( )
WORD格式
1 2 3 2n 1
9
专业资料分享
WORD格式
*
11.已知数列
an 的各项均为正数,其前 n
项和为 Sn ,且满足
a1 1,an 1 2 Sn 1, n N
.
(1)求 a2 的值;
(2)求数列 a 的通项公式;
n
(3)是否存在正整数 k , 使ak , S2k 1 , a4k 成等比数列 ? 若存在 , 求 k 的值; 若不存在 , 请说明理 由.
12.已知 Sn 为数列 (1)求 a1 的值; (2)求数列 a
n
an
n 项和, Sn 的前 nan 3n( n 1) (
*
n N ),且 a2 11.
n 项和 Sn ; 的前
(3)设数列 { b } 满足 b
n
n
n
n
S
,求证:
2
1
2
b b b
n
3n 2 . 3
13.设数列
an n项和为 Sn ,且 an 的前 Sn 1.
(1)求数列 a 的通项公式;
n
1
(2)设数列 bn 满足: b
n
1
,且数列 cn
1,又 c a
n
n
n项和为 Tn ,求证: 的前
a b b
n 1 n n 1
2
专业资料分享
WORD格式
T
n
.
3
10
专业资料分享
WORD格式
14.已知数列 { bn} 满足3(n+1)bn=nbn1,且 b1=3.
+
(1)求数列 { bn}的通项公式; 5 1 an n+1
,求证:≤ + (2)已知 =
6 a1
bn 2n+3
1
+⋯ +
1
<1. an
-
a2
15.已知数列 { an} 的前 n 项和为 Sn,且 Sbn1-bn=bnbn n=2an- 1;数列 { bn} 满足
-
* ),b
1=
1(n≥ 2, n∈N
6.
(1)求数列 { an}, { bn} 的通项公式; an
Tn. (2)求数列 b 的前 n 项和
n
8.设等差数列 (1)求数列 (2)设数列
an 的前 n 项和为 Sn ,且 S4 4S2 , a2n 2an 1.
an 的通项公式 ; bn 前 n 项和为 Tn ,且
a
n
n
n
1
( 为常数 ).令 cn
T
2
b2n
(n N ) .求数列 cn 的前 n
*
项和Rn .
专业资料分享
WORD格式
11
专业资料分享
因篇幅问题不能全部显示,请点此查看更多更全内容
Copyright © 2019- haog.cn 版权所有 赣ICP备2024042798号-2
违法及侵权请联系:TEL:199 1889 7713 E-MAIL:2724546146@qq.com
本站由北京市万商天勤律师事务所王兴未律师提供法律服务