§1.3 函数的基本性质(习题)

§1.3 函数的基本性质

知识要点：

1．增函数与减函数

一般地，设函数f(x)的定义域为I：

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当_________时，都有_______________，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数(increasing function)．反映在图象上，由左至右，图象连续________；

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当________时，都有______________，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数(decreasing function)．反映在图象上，由左至右，图象连续_________．

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当________时，都有______________，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数(decreasing function)．反映在图象上，由左至右，图象连续_________． 2、函数最大值与最小值

(1)一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于______x∈I，都有________； ②存在______，使得________.那么，我们称__是函数y＝f(x)的最大值．

(2)一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于_______x∈I，都有_______； ②存在_______，使得_________.那么，我们称__是函数y＝f(x)的最小值．

3．函数的最值与图象的关系，函数的最大(小)值反映在图象上，是函数图象__________的纵坐标． 4．函数奇偶性的定义

(1)一般地，如果对于函数f(x)的定义域内____一个x，都有__________，那么函数f(x)就叫做_______． (2)一般地，如果对于函数f(x)的_______内任意一个x，都有_____________，那么函数f(x)就叫做_______． 5．函数奇偶性的图象特征

(1)如果一个函数是______，则它的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以____为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．

(2)如果一个函数是______，则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于____对称，则这个函数是偶函数．

6．奇函数在[a，b]和[－b，－a]上具有____的单调性． 7．偶函数在[a，b]和[－b，－a]上具有____的单调性． 典例精讲：

题型1、用定义证明(判断)函数的单调性

依据函数单调性的定义证明函数单调性的步骤有：(1)取值；(2)作差变形；(3)定号；(4)判断． 9

例：证明：函数y＝x＋在(0,3]上递减．

x

【思路点拨】 取值→作差→变形→判断符号→得结论

【名师点拨】 在证明函数单调性时，x1，x2是从相应区间上任取的两个值，它可以代表区间中的每一个数，所以在证明时，不能用特殊值来代替．在“作差变形”的过程中，尽量化成几个最简因式的乘积，也可以把其中的因式化成几个完全平方式的和的形式，以方便判断因式的正负号．

互动探究1 本例中的函数在[3，＋∞)上单调性怎样？画出在(0，＋∞)上的大致图象． 题型2、根据函数的单调性确定参数

函数y＝f(x)在某个区间[a，b]上递增(减)就等价于[a，b]是增区间(减区间)的一个子集，从而可待定函数中的参数．

例：已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围．

1

【思路点拨】 对fx配方→

确定fx构造关于a解出a

→→

的减区间的不等式的范围

互动探究2 本例中，若将“函数在区间(－∞，4]上是减函数”改为“函数的单调递减区间为(－∞，4]”，则a为何值？

题型3、利用函数单调性求函数最值

先判断或证明出函数的单调性，再结合区间端点对应的函数值大小得出最值． 4

例：求函数f(x)＝x＋在x∈[1,3]上的最大值与最小值．

x【思路点拨】 定义法判断函数单调性→求最小值→求最大值

【名师点拨】 对于定义域内的函数的单调性，要正确分开其单调区间再比较各区间端点的函数值． 互动探究1 如果本例中的x∈[1,3]改为x∈(1,3)，此函数的最值怎样？ 题型4、简单函数的奇偶性

直接根据函数奇偶性的定义或其图象的对称性来判定． 例：判断下列函数的奇偶性：

2

3x2x＋2x(1)f(x)＝2； (2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|； (3)f(x)＝.

x＋3x＋1

【思路点拨】 先判断函数定义域是否关于原点对称，再由f(－x)与f(x)的关系判断函数奇偶性．

【名师点拨】 函数的定义域不能依据化简后的解析式来求，要从原函数解析式求定义域．(3)中易错为x∈R. 题型5、分段函数的奇偶性

分别讨论每一个区间与其对称区间上的对称性，是否符合奇偶性的定义．

x－3x＋1

例：判断函数f(x)＝3

2

x＋3x－1

3

2

x＞0x＜0

的奇偶性．

【思路点拨】 分x＞0或x＜0两种情况计算f(－x)，然后再判断f(－x)与f(x)的关系．

【名师点拨】 分段函数的奇偶性应分段证明f(－x)与f(x)的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．也可根据图象判定．

x－3x＋1 x＞0

互动探究1 如果函数改为f(x)＝32

－x－3x＋1 x＜0

3

2

，其奇偶性怎样？

题型6、利用函数奇偶性求函数值

2

若函数y＝f(x)为偶函数，f(x0)＝M，则f(－x0)＝M. 若函数y＝f(x)为奇函数，f(x0)＝M，则f(－x0)＝－M.

例：已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，那么f(2)等于________． 【思路点拨】 利用奇函数f(x)＋f(－x)＝0.

【名师点拨】 可设F(x)＝f(x)＋8为奇函数，即本题利用了F(2)＋F(－2)＝0. 互动探究1 在本例中，若f(m)＝10，则f(－m)＝________. 题型7、利用函数奇偶性求函数解析式

奇偶函数的图象有对称性，根据对称性，可求另一部分的解析式．

例：若f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x(2－x)，求函数f(x)的解析式． 【思路点拨】 解答本题可将x>0的解析式转化到x<0上求解．

【名师点拨】 此类问题的一般做法是：

①“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内． ②要利用已知区间的解析式进行代入．

③利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．

互动探究2 若将题设中的“f(x)是奇函数”改为“f(x)是偶函数，f(0)＝0”，其他条件不变，则f(x)的解析式又是什么？

题型8、函数的奇偶性与单调性的综合应用

函数的奇偶性是函数定义域内的整体性质，函数的单调性是定义域内的局部性质，可根据函数的奇偶性判断对称区间的单调性．

例：设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)＞0，求实数m的取值范围． 【思路点拨】 fm＋fm－1＞0→f1－m＜fm→列不等式组→解得m的范围

【名师点拨】 本题易丢掉函数的定义域[－2,2]而出错．

自我挑战3 设定义在[－2,2]上的偶函数g(x)，当x≥0时，g(x)单调递减，若g(1－m)＜g(m)成立，求m的取值范围．

3

1．函数y＝－x的单调减区间是( )

A．[0，＋∞) B．(－∞，0] C．(－∞，0) D．(－∞，＋∞)

2．若函数f(x)定义在[－1,3]上，且满足f(0)3．已知函数y＝f(x)，x∈A，若对任意a，b∈A，当aA．f(a)＞f(2a) B．f(a2)＜f(a) C．f(a2＋a)＜f(a) D．f(a2＋1)＜f(a) 5．下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是( )

|x|x2x

①y＝|x|；②y＝；③y＝－；④y＝x＋.

x|x||x|

A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 6．函数f(x)＝x2在[0,1]上的最小值是( )

1

A．1 B．0 C. D．不存在

4

2x＋6，x∈[1，2]

7．函数f(x)＝，则f(x)的最大值、最小值分别为( )

x＋7，x∈[－1，1]

A．10,6 B．10,8 C．8,6 D．以上都不对 8．函数y＝－x2＋2x在[1,2]上的最大值为( ) A．1 B．2 C．－1 D．不存在

1

9．函数y＝在[2,3]上的最小值为( )

x－1111

A．2 B. C. D．－ 232

10．函数f(x)＝x的奇偶性为( )

A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 11．下列函数为偶函数的是( )

1|x|

A．f(x)＝|x|＋x B．f(x)＝x2＋ C．f(x)＝x2＋x D．f(x)＝2

xx

12．设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是( ) A．f(x)f(－x)是奇函数 B．f(x)|f(－x)|是奇函数 C．f(x)－f(－x)是偶函数 D．f(x)＋f(－x)是偶函数

13．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，那么g(x)＝ax3＋bx2＋cx( )

A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．是非奇非偶函数 14．已知f(x)＝ax3＋bx－4，其中a，b为常数，若f(－2)＝2，则f(2)的值等于( ) A．－2 B．－4 C．－6 D．－10

35

15．若f(x)是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则f(－)与f(a2＋2a＋)的大小关

22

系是( )

3535

A．f(－)＞f(a2＋2a＋) B．f(－)＜f(a2＋2a＋) 22223535

C．f(－)≥f(a2＋2a＋) D．f(－)≤f(a2＋2a＋) 2222

16．若ρ(x)，g(x)都是奇函数，f(x)＝aρ(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值5，则f(x)在(－∞，0)上有( ) A．最小值－5 B．最大值－5 C．最小值－1 D．最大值－3

17．若函数f(x)是定义在[－6,6]上的偶函数，且在[－6,0]上单调递减，则( )

A．f(3)＋f(4)＞0 B．f(－3)－f(－2)＜0 C．f(－2)＋f(－5)＜5 D．f(4)－f(－1)＞0

2

4