2020届河北衡水中学高三文科数学试卷及答案

数学（文科）试卷

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、

选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确

答案的序号填涂在答题卡上） 1.复数z2ii3（i为虚数单位）的共轭复数为（ ） i1A．12i B．12i C．i1 D．1i 2.已知集合A0,1，Bzzxy,xA,yA，则B的子集个数为（ ） A．8 B．3 C．4 D．7

vvv3.已知平面直角坐标系内的两个向量a(1,2),b(m,3m2)，且平面内的任一向量c都

vvv可以唯一的表示成cab（,为实数），则m的取值范围是（ ）

A．(,2) B．(2,) C．(,) D．(,2)U(2,)

4.将函数fx3sinxcosx的图象向左平移m个单位(m0)，若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是（ ） A．

25 B． C． D． 33865.已知等比数列an中，a32,a4a616，则

a10a12的值为（ ）

a6a8A．2 B．4 C．8 D．16

6.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A．2733 B．18 22C．273 D．183

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7.如图，偶函数f(x)的图象如字母M，奇函数g(x)的图象如字母N，若方程

f(g(x))0， g(f(x))0的实根个数分别为m、n，则mn（ ）

A．12 B．18 C．16 D．14 8.函数f(x)ax12(a0,a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mxny10上，其中m0,n0，则

12的最小值为（ ） mnA．4 B．5 C．6 D．322

9.三棱锥PABC中，PA平面ABC,ACBC,ACBC1,PA3，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）

A．5 B．2 C．20 D．4 10.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（ ） A．3024 B．1007 C．2015 D．2016

11.已知函数f(x)x3xx的极大值为m，极小值为n，则 m+n=( )

A.0 B.2 C.-4 D.-2

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12.某实验室至少需要某种化学药品10kg，现在市场上出售的该药品有两种包装，一种是每袋3kg，价格为12元；另一种是每袋2kg，价格为10元.但由于保质期的限制，每一种包装购买的数量都不能超过5袋，则在满足需要的条件下，花费最少为（ ）元 A．56 B．42 C．44 D．54

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分） 13.与直线x3y10垂直的直线的倾斜角为 14.若函数f(x)x(2a1)x11为奇函数，则a________．

x2215．已知p:x12,q:x2x1a0,(a0)，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ．

BCDCABAD2，BD2，16．如图，在三棱锥ABCD中，平面ABD平面BCD，

O为BD中点，点P,Q分别为线段AO,BC上的动点（不含端点），且APCQ，则三棱

锥PQCO体积的最大值为________．

三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 17.(本小题满分12分）如图，在ABC中，B300，AC25，D是边AB上一点． （I）求ABC的面积的最大值；

（Ⅱ）若CD2,ACD的面积为4，ACD为锐角，求BC的长．

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18．(本小题满分12分）已知数列{an}中，a11，anan1()n，记T2n为{an}的前2n项的和，bna2na2n1，nN．

（1）判断数列{bn}是否为等比数列，并求出bn； （2）求T2n.

19. (本小题满分12分）

如图所示，在多面体EFABC中，ABC是边长为2的等边三角形，O为BC的中点，

12EF//AO,EAECEF3．

（1）求证：ACBE； （2）若BE

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5,EO3，求点B到平面AFO的距离．

20．(本小题满分12分）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为矩形，AB22，

BC2，点P在底面上的射影在AC上，E，F分别是AB,BC的中点.

（I）证明：DE平面PAC；

（II）在PC边上是否存在点M，使得FM∥平面PDE？若存在，求出存在，请说明理由.

21.（本小题满分12分） 设函数f(x)PM的值；若不PCxax. lnx（1）若函数f(x)在(1,)上为减函数，求实数a的最小值；

（2）若存在x1,x2e,e，使f(x1)f(x2)a成立，求实数a的取值范围.

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2

请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．请在答题卡上将所做的题号后面的方框涂黑. 22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，已知直线l:x1t（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴

y2t2正半轴为极坐标建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sin2cos,直线l和曲

线C的交点为A,B．

（Ⅰ）求直线l和曲线C的普通方程； （Ⅱ）求|PA||PB|．

23．已知函数fxx，gxx4m （Ⅰ）解关于x的不等式gfx2m0；

（Ⅱ）若函数fx的图像恒在函数gx图像的上方，求实数m的取值范围．

高三期中考试文科数学参考答案

1-5.BADAB 6-10.BADA B 11. D 12. C 13.

2 14.-1 15.(0,2] 16.

483017. （1）因为在ABC中，B30,AC25,D是边AB上一点，

所以由余弦定理得：

AC220AB2BC22ABBCcosABCAB2BC23ABBC23ABBC

第 6 页 共 11 页

所以ABBC202023

23所以SVABC1ABBCsinB5232

所以ABC的面积的最大值为5(23) （2）设ACD，在ACD中，

因为CD2,ACD的面积为4，ACD为锐角， 所以SVABC所以sin11ACCDsin252sin4 22255， ,cos55222由余弦定理，得，ADACCD2ACCDcos20485所以AD4， 由正弦定理，得

516 5ADCD425，所以，所以sinA， 5sinsinAsinsinABCACACsinA，所以BC4．所以BC的长为4

sinAsinBsinB1118. （1）Qanan1()n，an1an2()n1，

22此时

an211，即an2an 2分 an22Qbna2na2n1，

bn1a2n2a2n1bna2na2n111a2na2n1122

a2na2n121的等比数列. 5分 2 113Qa11，a1a2，a2b1a1a2

222313bn()n1n 6分

22211（2）由（1）可知an2an，所以a1, a3, a5, L是以a11为首项，以为公比的等比

22所以{bn}是公比为

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数列；a2, a4, a6, L是以a211为首项，以为公比的等比数列 10分 22T2n(a1a3La2n1)(a2a4La2n)

1111()n[1()n]22233 12分 n1121122 19.

（1）取AC的中点H，连接EH,BH，因为EAEC，所以EHAC， 因为ABC为等边三角形，所以BABC,BHAC， 因为BHIEHH，所以AC平面BEH， 因为BE平面BEH，所以ACBE

（2）

因为在EAC中，EAEC所以EH31

3,AC2，

2，

因为ABC为等边三角形，所以BH3，

222因为BE5，所以EHHBBE，所以EHHB，

因为ACIHBH，所以EH平面ABC，

又因为

SABC31643VEBCA32433， ，所以VFBCAVEBCA63,

因为EF//AO，所以因为EO3，四边形AOFE为平行四边形，EAEF3，

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所以

AOF1200,SAOF133333224，

设点B到平面AFO的距离为d，

1613622VBAFOVFBCAd3d26，得346，解得3 由

20. （I）在矩形ABCD中，AB:BC∴tan∠ADE=tan∠CAB∴∠ADE=∠CAB,

oo∵∠CAB∠DAC90,∴∠ADE∠DAC90,即AC⊥DE.

2:1，且E是AB的中点，

1, 2由题可知面PAC面ABCD，且交线为AC，∴DE面PAC.

PMDGHF

（II）作DC的中点G， GC的中点H，连结GB、HF.

∵DG∥EB，且DGEB ∴四边形EBGD为平行四边形，∴DE∥GB ∵F是BC的中点，H是GC的中点，∴HF∥GB，∴HF∥DE. 作H作HM∥PD交PC于M，连结FM，

∵HF∥DE,HM∥PD，∴平面HMF∥平面PDE，∴FM∥平面PDE. 由HM∥PD可知：∴

CAEBPMDH3 MCHC21. （1）函数定义域为：xx0,且x1，对函数f(x)求导：f(x)若函数f(x)在(1,)上为减函数，则f(x)lnx1a， ln2xlnx1a0在(1,)恒成立 ln2x(x)0 ………2分 所以：fmax第 9 页 共 11 页

由f(x)lnx1112111，故当，即xe2时，a()a2lnx24lnx2lnx1a0 411所以： a，所以a的最小值是………………5分

44(x)fmax（2）若存在x1,x2e,e，使f(x1)f(x2)a成立，则问题等价为：

2(x)a 当x1,x2e,e时，fmin(x)fmax由（1）知：f(x)在xe,e所以问题转化为：fmin(x)（ⅰ）当a

22的最大值为1a，所以f4max(x)a1 41………………7分 412时，由（1）知：f(x)在e,e是减函数， 4

e2111ae2，解得：a2 所以f(x)的最小值是f(e)2424e2（ⅱ）当a11111时，f(x)()2a在e,e2的值域是a,a

44lnx24①当a0，即a0时， f(x)在e,e是增函数，于是：

2fmin(x)f(e)eaee②当a0，即0a1，矛盾 412时，由f(x)的单调性和值域知：存在唯一的x0e.e，使得4f(x0)0

2且当xe,x0时，f(x)0，f(x)为减函数；当xx0,e时，f(x)0，f(x)为

增函数

所以：f(x)的最小值为f(x0)x01ax0， lnx04即：a1111111，矛盾 lnx04x0lne24e24e4综上有：a

112 24e第 10 页 共 11 页

22．解：（1）直线l的普通方程是：xy30，曲线C的普通方程是：y22x……4分

2x1t22（2）将直线l的标准参数方程是：（t为参数）代入曲线y2x可

y22t2得

t262t40，所以|PA||PB||t1||t2|t1t262………………10分

23.（Ⅰ）6,2U2,6；（Ⅱ）m4．

解：（Ⅰ）由gfx2m0得x42，2x42,2x6， 故不等式的解集为6,2U2,6 （5分） （Ⅱ）∵函数fx的图象恒在函数gx图象的上方 ∴fxgx恒成立，即mx4x恒成立 ∵x4xx4x4， ∴m的取值范围为m4． （10分）

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