南开大学2007级线性代数试题和答案 A卷

一、填空题（每小题4分、本题共28分）

1．设A*是n阶方阵A的伴随矩阵，行列式A2，则2A* . 解 应填22n-1因为行列式

|2A*|=2n|A*|=2n|A|n-12n2n122n-12．设4阶方阵A和B的伴随矩阵为A和B，且它们的秩分别为r(A)3，

r(B)4，则秩r(A*B*) .

解 应填1.由题设可知rA*1，rB*4，B*的可逆矩阵，故 rA*B*rA*1.3．设n维向量(x,0,,0,x)T，其中x0；又设矩阵AET，且

1A1ET，则x = . x解 应填-1　　因为T2x2，而111　　AA-1E-TET E-TT-TTxxx111 　　 E-TT-TTE-TT-2xTxxx1 　　 E-1-2xT

x由AA-1E及T0可知111　　　　　1-2x2x2x-12x-1x10xxx1故x或x-1，又由x0可得x-12,n是A的列向量组，行列式A0，伴随4．已知n阶方阵Aaij，1,2，nn矩阵A*O，则齐次线性方程组A*x0的通解为.

解 应填 =k1i1k2i2...kn1in1 ,其中 i1i2in1 是向量组 12n的极大线性无关组， k1k2kn1 是任意常数。

因为|A|=0，A*≠0 所以秩r(A)=n-1，因此，向量组12n的秩r(12n)=n-1，由此又可知线性方程组A*x=0的基础解系含n-1个解，12n的极大线性无关组含n-1个向量，而

A*A= A*(12n)=|A|E=0

即A*=0(j=1 n) ，亦即12n 都是A*x=0 的解，故12n的极大线性无关组可作为A*x=0 的基础解系。

5．设A为n阶可相似对角化的矩阵，且rAErn，则A必有特征值，且其重数为，其对应的线性无关的特征向量有个. 解 应分别填1，n-r, n-r

由r(A-E)= r6．设A为n阶实矩阵，且ATA1,|A|0,则行列式|AE| . 解 应填0.因为矩阵A可逆,且AEAAA1A(EA1)A(EAT）=A(E+A)T,而A+E=A(E+A)T=A(E+AT) =AE+AAAE.又由A-1AT,AATAA1E,AATE,得A=1,而A<0,故A=-1.因此A+E=-A+E.227．已知实二次型fx1,x2,x3x124x22x32ax1x22x2x3为正定二次型，则

2T

实常数a的取值范围为 .

7解 应填|a| 二次型f(x1,x2,x3)的矩阵21 a 0的顺序主子式Aa 4 10 1 21 a 01 a|A1|1,|A2|4a2,|A3|a 4 172a2,a 40 1 2由4a2>0,72a2>0可解得-77a22本题也可以利用配方法，化f(x1,x2,x3)为标准型712f(x1,x2,x3)(x1ax2)2(-a2)x2(x22x3)2,227772由x2的系数(-a2)，可得-a222

二、单项选择题（每小题4分、本题共28分）

a121的秩r(A)2，则a的值为（ ） 01a21．若矩阵A0121

（A）0； （B）0或；1； （C）1； （D）1或者1.

解 应选A.

利用矩阵的初等变换，得

1a12A01a2.

200a2a可见a = 0时，r (A)=2；a1时,r(A)=3.故选A.

2．设A为正交矩阵，且A1，则伴随矩阵A*=（ ） （A）AT；

解 应选B. 因为AAT1（B）AT； （C）A；

1AA,所以AAT. A （D）A.



3．设,是n维列向量，T0，n阶方阵AET03，则在A的n个特征值中，必然（ ） （A）有n个特征值等于1； （C）有1个特征值等于1；

解 应选B.

因为矩阵EAE(Ea)a,r(EA)1,所以1至少是A的n1重特征值，而AE的主对角线上元素的和nan,故A至少有一个特征值不是1，因此A有n1个特征值为1.

TTTT （B）有n1个特征值等于1； （D）没有1个特征值等于1.

4．设A，B为n阶方阵，且秩相等，即rArB，则（ ） （A）r(AB)0；

解 应选D设 1，2，，n和1,2,,n分别是矩阵A，B的列向量组，他们的极大线形无关组分别为

（B）r(AB)2rA （D）r(A,B)rArB

（C）r(A,B)2rA；

i1，i2，，ir和j1，j2，，jr,则r1=r(A),r2=r(B).因为向量组1，2，，n，1,2,,n可由121212向量组i，i，，ir，j1，j2，，jr线性表示，所以r(1，2，，n，1,2,,n)r(i，，ir，j1，j2，，jr)r1+r2i，1212因此r(A,B)r1+r2=r(A)+r(B)又若取B=-A，则r(A-B)=r(2A)=r(A) ，若取B=A，则 r(A+B)=r(2A)=r(A) ，r(A,B)=r(A,A)=r(A) 因此选项A，B，C都不一定成立

5．设A为n阶矩阵，且A23A2E0，则矩阵2EA与EA一定（ ）

（A）同时为可逆矩阵； （C）至少有一个为零矩阵； 解 应选D （B）同时为不可逆矩阵； （D）最多有一个为可逆矩阵.

因为，(2E-A)(E-A)=2E-3A+A2=0,由行列式|2E-A||E-A|=|2E-3A+A|=|0|=02

可知|2E-A|与|E-A|至少有一个为零，故2E-A与E-A最多有一个为可逆矩阵6．设向量组(I)是向量组（II）的线性无关的部分向量组，则（ ） （A）向量组(I)是向量组（II）的极大线性无关组； （B）向量组(I)与向量组（II）的秩相等；

（C）当向量组(I)可由向量组（II）线性表示时，向量组(I)与向量组（II）等价； （D）当向量组（II）可由向量组 (I)线性表示时，向量组(I)与向量组（II）等价. 解：应选D

7．设A和B为n阶实对称矩阵，若存在正交矩阵Q，使Q1AQB，那么称A正交相似于B，则A正交相似于B的充分必要条件为（ ） （A）A和B都有n个线性无关的特征向量； （B）r(A) = r(B)；

（C）A和B的主对角线上的元素的和相等； （D）A和B有相同的特征值. 解：应选D

三、计算题（每小题8分、本题共32分）

1．试求行列式A,B,C,其中A,B,C分别为n,m,nm阶方阵：

1···1··011x0·11x·0···1··20， B=,C=OA. A=BO1···1x··001m·解 在A中将第j列乘以1加到第1列（j=2，3，…n），并提取公因式

nx|A|1111x1111x(nx)xn1 (nx)11111xnx1xnx1|A|(nx)111x11

然后将第1列乘以（-1）加到第j列（j=2,3…,n）:

11x11而

001m(m1)|B|02000(1)2m!

m00m(2nm1)|C|(1)nm|A||B|(1)2(nx)xn1m!

2．设4阶方阵A,X满足方程AXA1XA13E，已知矩阵A的伴随矩阵

1000A=01001010 求矩阵X. 0308解：先求矩阵A。因为

A8A3,A2,

所以

000120200A1AA1AA2020.

310404由题设可知AXA1XA13E,在方程两端同时左乘A1，右乘A，XA1X3E，即EA1X3E，故

X3EA11。

因为

0001001220EA1101200020012012020， 0320320010136000所以 X3EA1106006060。 0301

得

x1x2x33x40,2xx3x5x1,343．设线性方程组 12

3x12x2ax37x41,x1x23x3x4b,（1）问：a,b取何值时，线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？ （2）当线性方程组有无穷多解时，求出其通解.

解 设题中线性方程组为Axb.用消元法，对线性方程组Axb的增广矩阵

A施以行初等变换，化为阶梯形矩阵：

1121A3211010351行0a7131b013110110011. 102b230a4由此可知：

（1）当a≠4时，秩r(A)r(A)4,线性方程组Axb有唯一解； 当a=4,且b=2时，秩r(A)r(A)34,线性方程组Axb有无穷多解； 当a=4,且b≠2时，秩r(A)3r(A)4,线性方程组Axb无解； （2）当a=4,且b=2时，继续对A施以行初等变换，使之化为规范的阶梯形矩阵：

10行A00011101, 0010000020由此可知线性方程组Axb对应的齐次线性方程组Ax0的解为

x12x3,x2x3,x3x3,x40,

取x31,得Ax0的基础解系0(2,1,1,0)T.因此Ax0的通解

21cc0c，c为任意常数.

10线性方程组Axb的解为 x112x3,x21x3,x3x3,x40 取x30得Axb的一个特解11，1，0,0,

由线性方程组Axb解的结构，得Axb的通解

T12111cc， 其中c为任意常数.

0100

4．已知实二次型

22fx1,x2,x32x123x23x32x2x30,

225y3经过正交变换xQy，化为标准形y122y2，求实参数以及正交矩阵Q.

解 二次型f的矩阵

200，A03

03２２２2y２5y３,得矩阵A的特征值由f经正交变换所得的标准形为y１11,22,35.利用特征值的性质，行列式

2002A032(9)12310, 03可得2,由题设已知0,故2.

对于11,求解线性方程组(EA)x0,得特征向量

a1(0,1,1)T;

对于22,求解线性方程组(2EA)x0,得特征向量

a2(1,0,0)T;

对于35,求解线性方程组(5EA)x0,得特征向量

a3(0,1,1)T.

特征向量a1,a2,a3已是正交向量，将其单位化，得

01010，11, 11,2322101作正交矩阵

01Q(1,2,3)1212001, 01225y3. 则经正交变换xQy,f可化为标准形y122y2

四、证明题（每题8分，共16分）

1．已知A为m×n实矩阵，证明：矩阵B=ATA是正定矩阵的充分必要条件为矩阵A的秩r(A) = n.

证明：必要性：由B为正定矩阵可得rBrATAn，又A为实矩阵， ，因此rAn。 充分性：由BAATTTATATATAB可知B为实对称矩阵，又有rAn可

T知齐次线性方程组Ax0只有零解。因此实二次型

fxTBxxTATAxAxTTAxAx

2TT仅当x0是，有fxBx0，即fxBx是正定二次型，故BAA是正定矩阵

2.设A和B为n阶矩阵，且满足A2 = A,B2 = B, r(A+B-E) = n,证明：r(A) = r(B). 证 由题设可得

A（A+B-E）=A+AB-A=AB， （A+B-E）B=AB+B-B=AB。

又知（A+B-E）是可逆矩阵，所以

r(A（A+B-E）)=r(A), r(（A+B-E）B)=r(B). 因此

r(A)= r(A（A+B-E）)= r(AB)= r(（A+B-E）B)= r(B)

22