7．线性规划问题中的典例赏析
众所周知，线性规划问题是指在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值与最小值问题，然而随着数学教育教学的不断发展，在线性约束条件下求目标函数(不一定是线性的)的最值问题或其它问题成为了高考的热点，解决此类问题稍不注意就会出现错误，在这里，我们以必修5第91页练习T1(2)为例，说说线性规划问题中的高考热点问题．
问题展示
5x＋3y≤15，
求z＝3x＋5y的最大值和最小值，使x，y满足约束条件y≤x＋1，
x－5y≤3.5x＋3y≤15
[解] 线性约束条件y≤x＋1
x－5y≤3
，表示的区域如图所示(阴影部分，含边界)．
当直线3x＋5y＝z过点A时，z取得最大值，过点B时，z取得最小值， y＝x＋135由，解得A(，)，
225x＋3y＝15
y＝x＋1
由，解得B(－2，－1)； x－5y＝3
35
∴zmax＝3×＋5×＝17，zmin＝3×(－2)＋5×(－1)＝－11.
22
问题与解答渗透了数形结合、转化与化归思想，利用了直线在x轴(或y轴)上的截距的最值问题，求解目标函数的最值问题，堪称数学问题中的重要思想和方法．根据问题和解答展示，欣赏下列问题．
问题欣赏
1．问题“解答”的欣赏
5x＋3y≤15.
若将原题以选择题或填空题的形式出现，即若x，y满足约束条件y≤x＋1，
x－5y≤3.
则z
＝3x＋5y的最大值为( )
A．－11 B．9 C．15 D．17
虽然按照原问题解析过程无疑选D答案，然而很多同学用了如下的解法：分别由5x＋3y＝155x＋3y＝15y＝x＋135，解得交点(，).，解得交点(3,0)，，解得交点(－2，
22y＝x＋1x－5y＝3x－5y＝3
－1)．
分别代入目标函数得z＝17，z＝9，z＝－11，故选D.得出了正确的答案(确实是正确的)．若
5x＋3y≤15，
线性约束条件变为y≤x＋1，
x－5y≥3.
(即将第三个二元一次不等式的不等号方向改变)，按照
上述思路得出了zmax＝17这个答案就错误了，这正是同学们犯了“经验主义”错误，事实上
zmax＝9，应选B.
其解答过程如下：
5x＋3y≤15，
[解] 线性约束条件y≤x＋1，
x－5y≥3.
表示的区域如图所示(阴影部分，含边界)．
当直线3x＋5y＝z过点C时， 5x＋3y＝15
z取得最大值，由，解得C(3,0)，
x－5y＝3
∴zmax＝3×3＋5×0＝9，故选B.
当然此时z＝3x＋5y没有最小值，也就是说，若四个选项为( ) A．zmin＝－11，zmax＝9 B．zmin＝－11，zmax＝17 C．z无最小值，zmax＝9 D．z无最小值，zmax＝17 不慎重就得出选A的错误结论，事实上应选C. 2．线性规划中的线性表示方法
下面我们可以用线性表示方法来解决本文原问题． [解] 分别令3x＋5y＝λ1(x－y)＋μ1(x－5y)， 3x＋5y＝λ2(x－y)＋μ2(5x＋3y)， 3x＋5y＝λ3(x－5y)＋μ3(5x＋3y)．
4λ＝－3
7λ1＝5λ2＝－2可解得，，.
5μ1＝－2μ2＝1
μ3＝7
①当z＝5(x－y)－2(x－5y)时， ∵x－y≥－1，x－5y≤3， ∴z≥5×(－1)－2×3＝－11.
x－y＝－1x＝－2当且仅当，即，时，zmin＝－11. x－5y＝3y＝－1
②当z＝－2(x－y)＋(5x＋3y)时， ∵x－y≥－1,5x＋3y≤15， ∴z≤－2×(－1)＋15＝17.
3x＝2x－y＝－1
当且仅当，即时，zmax＝17.
55x＋3y＝15
y＝2
45
③当z＝－(x－5y)＋(5x＋3y)时，
77
∵x－5y≤3,5x＋3y≤15.
412575∴－(x－5y)≥－，(5x＋3y)≤. 7777不能确定z的取值．
综上所述zmax＝17，zmin＝－11. 这与数形结合的原解答一致，用此线性表示方法也可正确得出上文中的线性约束条件变化后，目标函数的最值问题．
线性约束条件下的三种线性规划问题
最优解指在线性约束条件表示的可行域中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解，根据这一概念，除原问题解决的最值外，有下列三类线性规划问题．
1．最优解问题
5x＋3y≤15
设x，y满足约束条件y≤x＋1
x－5y≤3
，
若z＝ax＋5y(a>0)取得最大值时的最优解有无数多个，求a的值及此时z的最大值．
[解] 约束条件表示的区域如图所示(阴影部分，含边界)．
∵a>0，
∴使z＝ax＋5y(a>0)取得最大值的最优解有无数多个时，直线l：ax＋5y＝z与直线5x
a5z
＋3y＝15重合，则＝，＝5，
535
25
∴a＝，z＝25.
325
即当a＝时，z＝ax＋5y有无数个最优解(线段AC上的点都是最优解)，且zmax＝25.
3
2．整点问题
5x＋3y≤15
设x，y满足约束条件y≤x＋1
x－5y≤3
，求使z＝3x＋5y取得最大值时的最优整点，并求
出此时的最大值．
[解] 线性约束条件表示的区域如图所示(阴影部分，含边界)．
35
由原问题解析知，虽然z＝3x＋5y取最大值z＝17时的最优解为A(，)，但不是整点．
22
3z
直线l：3x＋5y＝z，即为y＝－x＋. 55
z
使截距最大的点，且使x，y均为整数的点是与A“紧相邻”的D点，其坐标为(1,2)，
5
此时，zmax＝3×1＋5×2＝13.
95
且l的方程为3x＋5y＝13与直线5x＋3y＝15的交点E(，)．在区域△ADE(含边界)无
44
整点，故z＝3x＋5y取得最大值时的最优整点为(1,2)，且zmax＝13.
3．已知最值求参数问题
5x＋3y≤15
设x，y满足约束条件y≤x＋1
x－5y≤3
21
求＋的最小值及此时a，b的值． ab
[解] ∵a>0，b>0，由原问题解析知，当直线l：ax＋by＝z经过点B(－2，－1)时，z取得最小值．
即－2a－b＝－2 017， ∴2a＋b＝2 017.
212b2a2b2a因为(＋)(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2×
ababab
21
＝9，即2 017(＋)≥9，
ab
219∴＋≥. ab2 017
2b2a2 017
当且仅当＝，即a＝b＝时，
ab3
219＋取得最小值. ab2 017 线性约束条件下的非线性规划问题
除线性目标函数是一次型外，常见的非线性目标函数有下列两种情况：①斜率型；②距离型．
y－y0即斜率型k＝的最值，距离型d＝(x－x0)2＋(y－y0)2的最值．
x－x0
5x＋3y≤15
设x，y满足约束条件y≤x＋1
x－5y≤3
，当a>0，b>0，z＝ax＋by取得最小值－2 017时，
.
y
(1)求z＝的范围；
x－4
(2)求z＝x2＋y2＋2x－2y的最大值与最小值．
[解] 线性约束条件表示的区域如图所示(阴影部分，含边界)．
y
(1)z＝表示可行域内的点P(x，y)与点D(4,0)所在直线的斜率．
x－4
52－1351
由上文知A(，)，B(－2，－1)．kAD＝＝－1.kBD＝＝.
223－2－46
－42
11
则－1≤z≤，即z的范围为z∈[－1，]．
662222
(2)z＝x＋y＋2x－2y＝(x＋1)＋(y－1)－2.
其中d＝(x＋1)2＋(y－1)2表示可行域内的点P(x，y)与点E(－1,1)的距离的平方，由图知，当P(x，y)取C(3,0)时，dmax＝17，当P为E在直线y＝x＋1上的投影点时，d最小．
－11dmin＝2＝. 22
13
∴zmax＝dmax－2＝15.zmin＝dmin－2＝－2＝－.
223
即z的最大值为15.最小值为－. 2 赏后反思
求解线性规划问题，就是按目标函数的特点，利用数形结合及其几何意义，寻求最优解的过程．因此准确画出线性约束条件下的可行域是正确解决线性规划问题的先决条件，其次迅速正确的计算能力和转化与化归能力是正确解决本类问题的关键.
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