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等差数列知识总结

来源：好走旅游网

数列概念及等差数列(原版)

一、（1）数列与函数关系(可用函数思想研究数列) （2）通项公式（3）递推公式 (使用递推公式时关注起点) （4）

ans1 nsnsn1 n12

二、等差数列

1.定义：an1and,d0递增，d0递减；证等差①an1and,②2an1an+an2

2.通项公式

ana2ana1n1d或anamnmd;damanmn 若第二项开始等差，则

a1 n(n2)d n12

若

mn2p,则aman2ap3若

m,n,s,pN若mnsp,则amanasap注意等式两边个数相同

4.andna1d从函数上理解是关于n的一次函数，n的系数为d；若a,b,c等差，

2bac

则b称为a与c的等差中项'd5.从等差中抽出间隔相同的项，按原顺序排列，仍等差，2d,3d,

'26.把一等差数列截成项数相等的若干段后，每段内各项之和组成新的等差，dmd（m为每段

的项数）即Sm,S2mSm,S3mS2m等差

7.在等差中，若

ap0,有SmS2p1m成立

8.am,bn均等差，则an,an,anb,1an2bn也等差，其公差分别为 d,d.,d,1d12d2，

1an2,anbn,,an,bn而anan不一定等差，除非常数列，可理解一次函数。

Snna1annn1ddna1dn2a1n或SnAn2Bn(A可为0)2222，其公式来源用倒序相加

d法，可看成不含常数项的二次函数，d>0,开口向上，d<0，开口向下，恒过（0,0）二次项系数2，

若有常数项，则一定不是等差，但从第二项开始是等差，可根据图象做题，常见两种形式：（1）

a10,d0 （2）a10,d0

10.在有正有负的等差数列中，会求an的前n项之和。

SmnSSnmmn （说明Smn,Sm,Sn之间关系） 11.mn12.由

Snna1nn1d2Snndn2a1Sd,说明n等差 d/2nd2

13.（1）项数为偶数（2n），则

S偶-S奇nd

（2）若项数为奇数（2n-1）,则①间项，此外还有间项。

S奇-S偶an;S奇S偶S奇nan,②

S偶（n1)an,③S2n1(2n1)an可理解成项数乘以中

n(项数相除)n1特别注意

anS2n12n1 反映a与S的变换，此类中an为中

14.以上结论都不适用，则可把题中条件都变为a1与d进行组合。

三．数列的几个通用规律.

1. 带省略号的式子，若现有公式无法运算，一般比照原式再写一个，把两式相减或相除，把无限项变为有限项（n2），即使不带省略号，也常用到再写一个，进行组合。

2. 已知等式中含有和项及通项，要么全变为和项，要么全变为通项，用公式anSnSn1 或

an+1Sn+1Sn，此方法只适用n2。

3. 真数等比则对数等差即an等比，则logman等差，且dnn1-1,14. 已知等式中含的一般分奇偶讨论。

logmq。

5. 常见几种数字排法：(1)按规律分段(2)呈“金字塔”型排列

6. 隔项相减得常数an2anm,an1an1m,anan2m或化为此种形式的，如

an1an3n1,一般分为奇偶讨论，说明a1,a3,a5;a2,a4,a6均为d=m的等差数列，但

am不一定等差，当且仅当a2a1mm时，am为d的等差；an3an1an2an也说明隔22项等差，例：已知a11,a24,a39,且anan1an2an3,则a20138049

练习

an2n3n4从an中抽取偶数项按原顺序排列组成bn,求bn1. 已知通项公式

aa,x,b,2xx0，则--------b2. 一个等差数列的前4项分别为

1112A: B: C: D:4233

1且a1an3. （1）已知a11,anan110则S2006 （2）

2an112,求a2006

4. 已知a4n31,a4n10且a2nan则a2009_______a2014_______

5. 已知an1a1an1,a1a,a2b则S100 _______

an等差，且S412S391,则d=-------------

0,S1525,则nSn的最小值----------7. 等差数列an的前n项和为Sn,已知S10

nn为奇数数列an的递推公式an8.

第八个5是该数列的第-----------项ann为偶数2，这个数列每一项为奇数，a24a25。

S3的-------------9. an等差，则S120是S9

A：充分不必要 B：必要不充分 C：充要 D：既不充分也不必要

10.

A:S7an等差，a70,a80,则下列正确的是-----------

S8 B:S15S16 C:S130 D:S140

b15,a1,b1N,设Cnabn11.

an,bn都是d1的等差，其首项分别为a1、b1,且a1，则

Cn前10项和为 _______

12. 等差数列an的前n项和Sn,若Sm12,Sm0,Sm13,则m

13.

ann22n且满足a1a2，当n2时an1an则范围_______

14.

等差数列an的首项为a,公差为1，令bn1an,若对任意nanN都有bnb8,则实数a的

范围--------------提示a8a900

1an,求通项公式an1an15. 数列

an中，a1tan且an1_______

16. 已知

an1an12an1且a13,求an

17.

已知a1b11,anbn1an1bn2bn1bn0,若bn3n1,求an

提示：两个一组求通项-4n

18. 已知an=n,求a1a2a2a3a3a4a4a5a2n1a2na2na2n1的值19. 文科：

an0且a11,2Snan1,求an

20.

an等差，若a11,a23,a35是公比为q的等比，则q等差等差=等差，又等比为常数列14安徽

21. 等差数列D: a1d<0

an的公差d,若数列

2a1an为递减数列，则-----------D A：d>0 B:d<0 C:a1d>0

22.

提示：设Snan、bn均等差，Sn,Tn为其前n项和，且kn(7n1);也可当连续性用公式SnTna7n1,则2n3b8a5b10a17b12a22b16315

0,则满足Sn0的最小n23.

an等差，若a10,a6a70,a6a7_______

24.

方程x2xa0和x2xb0a1b的4个根，可组成首项为的等差数列，4 则aa3n1,求94n2b9b_______

25.

an,bn均等差，前n项和Sn,Tn,且snTn

求a4最大值26. (1)an等差，S20100,则a7a14最大值 (2)an等差，S410,S515，

27.

fa27已知fxsinxtanx,项数27的等差an满足an,且d220，若

fa1fa2

0,则k____时，fak0

1321-12528.

已知an0,a11,an21,若a121an11a10a14,则a13a2014

提示：递推求a1313,由a1221a1411a12a10a12所以偶数项都相等

29.

fx2xcosx,数列an是公差为，fa142 ）fa2fa5=5,f(a3)2a1a5

（提示由cosx的值关于y轴成正负对称猜a330.

等差数列an的公差dsin2a3sin2a70,1,且sina3a71,当S10最小时求a1的范围---------

提示降幂和差化积sin2a5sin(a7a3)10,sin4d1,d8,再有a100;a110求之

31.

已知f(x)cos2x,g(x)sinx,是否存在x06,4使得f(x0),g(x0),f(x0)g(x0)按某种顺序成等差数列，若存在，求x0的个数，若不存在说理由。

提示112sinx22;0cos2x2,sinxcos2x最小2cos2xsinxsinxcos2x在6，4上有解，构造函数用求导的方法单调增g(6)<0;g(4)>0唯一解

32. ①

ann11,a22且an2an11,则S100—————— ；②

an1n2,求Sn

133.

an0且S1n2ana,则ann_______

34. 已知a11,且2anan1an1an0,求an。

35.

A1、A2An;B1、B2Bn分别在O的两边上，AnBn相互平行，四边形AnBnBn1An1的面积相等，设线段OAnan,a11,a22,求an

a提示设SnOA1B1m,则SAnBnBn1An13maOAnm(n1)3m3m3n23n5再用累乘法an3n2n1OAn1m(n2)

36. 已知

an的通项an2nnncos23sin23,则S30_______ 37. an等差且S5S6150,求d范围。

38. 39.

满足a1a12,a21且an1an1ananan11an则a10_______

fmfn,fx定义域R,对任意实数m,n有fmn1,求an2an当x<0时，

fx1,数列an

f0且fan1f

40.

f(2n)f(2n)f(x)定义域R,a、bR,f(ab)af(b)bf(a),f(2)2,an,bn,n2n

(1)f(0)f(1),(2)f(x)偶函数(3)an等比(4)bn等差，以上正确的序号--------

41. 设A11,A24,7,10,A313,16,19,22,25按此规律构成集合系列中，

A10中所有元素的和_______

aij满足a1j2j1,ai1i,42. (1).如图表：第一行 1 2 4 8 … 第i行第j列的数记为

第二行 2 3 5 9 …

ai1,j1aijai1,j,记第三行的数3,5,8,13为an,

第三行 3 5 8 13… 则an

… …

(2).观察下列等式12=1；12-22=-3；12-22+33=6；12-22+33-42=-10·，照此规律，第n个等式可以为----------------------

43.

a15,且an2an12n1，

若an2n等差，则=_______

44. 请写一个d0的等差数列，使Sn:S2n是与n无关的常数。

45.

an等差，(a51)32011(a51)1;(a20071)32011(a20071)1,则这个数列是递增数列还是递减数列？并求S2011=————

46.

bna12a23a3nanan等差,若bn等差，证明123n。

47.

等差数列an的首项为a,公差d,(d0),记bnnSn,(1)若cn2c0且b1、b2、b4成等比，

证明Snkn2Sk;(2)若bn等差，则c0

n1,求证an等差ana1。

48.

若1a1a21a2a31a3a41an1an49.

an等差，dxn0,an0且akx21,12ak1x,,1xnak20求证①当k取不同值时方程有公共根②方程

不同根依次x1,x2,x3，求证x11x211是等差数列。

50.

an等差，a15,前11项平均值5，若从中抽取1项后平均值为5，则抽取的第＿项。

51.

an等差且an0,a11949,an2009,则nd最小值_______

52.

an等差且S150,S160,则S1S2,,a1a2S15最大的是a15_______

53.

矩形AnBnCnDn的一边AnBn在x轴上，CnDn在yx1(xx0)上，若Bn的坐标(n,0)(n2,nN),9

记矩形的周长为an,则a2a3a10an4n 216

54. 在1,2,3，·17中随机抽三个数，能构成递增等差数列的概率_______

55.

an0,a23且Snan22an4p,则p_______

ana1256. 数列an中，a1=1,a2n1250a100而a100=50a50nan,a2n25a2511,则a1a229a100a330a131原式=2632a6

57. Sn是d0的等差前n项和,下列错误_______

A．若d<0,则Sn有最大项 B. 若Sn有最大项，则d<0 C.若Sn是，则Sn>0 D. 对n∈N+有Sn>0，则Sn是

58. 已知an2n7,求所有正整数m，使

amam1为an中的项am2。

59.

S2011S2011an等差，a51a532011a511,a2007132011a20071a51，则下列正确的是（） A

2011 a2011a52011 a20112011 a2011 B S2011

1,则S1n22011 a2011 C S2011 D

a560. 已知

sn(1)nanS2S10011321001

61.

12an0,SnSn1tan2 (n2,t0)，a11,(1)求an,(2)设的前n项和为Tn,若Tn2anan1对所有N都成立，证明0t1

62.

1b数列an满足p1Snp2an(p0且p1)，bn满足bn2logpan,(1)若p,n的2an前n项和Tn,证明0an2(n为奇)已知an前4项成等差数列，且满足an2(1)求an的通项公式；(2)求满足2an(n为偶)63.

n,n为奇Sn2012的Sn的最大值。 (提示an=n（2）分奇偶讨论，当n为偶S18<2012,S20>2012;22,n为偶当n为奇S19=1122<2012,S21=2167>2012)。

1f(x)对任意xR,且x0恒有f()x成立，an、bn满足a11,b11且对nN都有x64.

af(an)1an1n,bn1bn,(1)求f(x)的解析式；(2)求an与bn通项公式。(3)0,1,是否存在f(an)2ankN使得当nk时bn(1)f(an)恒成立？若存在求k的最小值，若不存在说理由

数列概念及等差数列(985高校专用)

一、（1）数列与函数关系(可用函数思想研究数列) （2）通项公式（3）递推公式 (使用递推公式时关注起点) （4）

ans1 nsnsn1 n12

二、等差数列

1.定义：an1and,d0递增，d0递减；证等差①anananan11and,②2an1an+an2

例：

a12,a21且an1an11an则a10_______

例：

bna12a23a3nanan等差,若bn等差，证明123n。

例：

a15,且an2an121n，

若an2n等差，则=_______

2.通项公式

ana2ana1n1d或anamnmd;damanmn 若第二项开始等差，则

a1 n(n2)d n12

若

mn2p,则aman2ap3若

m,n,s,pN若mnsp,则amanasap注意等式两边个数相同

4.andna1d从函数上理解是关于n的一次函数，n的系数为d；若a,b,c等差，

2bac

则b称为a与c的等差中项'd5.从等差中抽出间隔相同的项，按原顺序排列，仍等差，2d,3d,

'2dmd（m为每段6.把一等差数列截成项数相等的若干段后，每段内各项之和组成新的等差，

的项数）即Sm,S2mSm,S3mS2m等差

7.在等差中，若

ap0,有SmS2p1m成立

8.am,bn均等差，则an,an,anb,1an2bn也等差，其公差分别为 d,d.,d,1d12d2，

1an2,anbn,,an,bn而anan不一定等差，除非常数列，可理解一次函数。

Snna1annn1ddna1dn2a1n或SnAn2Bn(A可为0)2222，其公式来源用倒序相加

d法，可看成不含常数项的二次函数，d>0,开口向上，d<0，开口向下，恒过（0,0）二次项系数2，

若有常数项，则一定不是等差，但从第二项开始是等差，可根据图象做题，常见两种形式：（1）

a10,d0 （2）a10,d0

例：an等差，若a10,a6a70,a6a70,则满足Sn0的最小n_______

10.在有正有负的等差数列中，会求an的前n项之和。

SmnSSnmmn （说明Smn,Sm,Sn之间关系） 11.mn12.由

Snna1nn1d2Snndn2a1Sd,说明n等差 d/2nd2

例：

an等差，且S412S391,则d=-------------

13.（1）项数为偶数（2n），则

S偶-S奇nd

（2）若项数为奇数（2n-1）,则①间项，此外还有间项。

S奇-S偶an;S奇S偶S奇nan,②

S偶（n1)an,③S2n1(2n1)an可理解成项数乘以中

n(项数相除)n1特别注意

anS2n12n1 反映a与S的变换，此类中an为中

例：

an,bn均等差，前n项和Sn,Tn,且snTna3n1,求94n2b9

例：an、bn均等差，Sn,Tn为其前n项和，且提示：设Snkn(7n1);也可当连续性用公式SnTna7n1,则2n3b8a5b10a17b12a22b16315

14.以上结论都不适用，则可把题中条件都变为a1与d进行组合。

三．数列的几个通用规律.

1a1a21a2a31a3a41an1ann1,求证an等差ana1。

例：

若2. 已知等式中含有和项及通项，要么全变为和项，要么全变为通项，用公式anSnSn1 或

an+1Sn+1Sn，此方法只适用n2。

例：

an0且Sn1an21,则anan_______

3. 真数等比则对数等差即

an等比，则logman等差，且dlogmq。

nn1-1,14. 已知等式中含的一般分奇偶讨论。

nn例：①

a11,a22且an2an11,则S100—————— ；②

an1n2,求Sn

5. 常见几种数字排法(数列群)：(1)按规律分段(2)呈“金字塔”型排列

例：设A11,A24,7,10,A313,16,19,22,25按此规律构成集合系列中，

A10中所有元素的和_______

6. 隔项相减得常数an2anm,an1an1m,anan2m或化为此种形式的，如

an1an3n1,一般分为奇偶讨论，说明a1,a3,a5;a2,a4,a6均为d=m的等差数列，但

7.从函数上理解，如函数的奇偶、单调(导数)、图像、基本不等式、线性规划等

例：

ann22n且满足a1a2，当n2时an1an则范围_______

例：等差数列an的前n项和为Sn,已知S100,S1525,则nSn的最小值----------

求a4最大值例：(1)an等差，S20100,则a7a14最大值 (2)an等差，S410,S515，

例：an等差，(a51)32011(a51)1;(a20071)32011(a20071)1,则这个数列单调性是----------；并

求S2011=----------------

练习

1. 已知an2n3n4从an中抽取偶数项按原顺序排列组成bn,求bn通项公式

2. 已知a4n31,a4n10且a2nan则a2009_______a2014_______

nn为奇数数列an的递推公式an3.

4. an等差，则S120是S9ann为偶数2，第八个5是该数列的第-----------项

S3的-------------

A：充分不必要 B：必要不充分 C：充要 D：既不充分也不必要

，则Cn前10项和为

5. an,bn都是d1的等差，其首项分别为a1、b1,且a1b1_______

5,a1,b1N,设Cnabn6. 等差数列an的前n项和Sn,若Sm12,Sm0,Sm13,则m

等差数列an的首项为a,公差为1，令bn1an,若对任意nanN都有bnb8,则实数a的

范围--------------提示a8a900

1an,求通项公式an1an8. 数列

an中，a1tan且an1_______

9. 已知

an1an12an1且a13,求an

10.

已知a1b11,anbn1an1bn2bn1bn0,若bn3n1,求an

提示：两个一组求通项-4n

11. 已知an=n,求a1a2a2a3a3a4a4a5a2n1a2na2na2n1的值12.

an等差，若a11,a23,a35是公比为q的等比，则q等差等差=等差，又等比为常数列14安徽

13. 等差数列D: a1d<0

an的公差d,若数列

2a1an为递减数列，则-----------D A：d>0 B:d<0 C:a1d>0

14.

方程x2xa0和x2xb0a1b的4个根，可组成首项为的等差数列，4 则ab_______

15.

fa27已知fxsinxtanx,项数27的等差an满足an,且d220，若

fa1fa2

0,则k____时，fak0

1321-12516.

已知an0,a11,an21,若a121an11a10a14,则a13a2014

提示：递推求a1313,由a1221a1411a12a10a12所以偶数项都相等

17.

fx2xcosx,数列an是公差为，fa14）2

fa2fa5=5,f(a3)2a1a5

（提示由cosx的值关于y轴成正负对称猜a318.

等差数列an的公差dsin2a3sin2a70,1,且sina3a71,当S10最小时求a1的范围---------

提示降幂和差化积sin2a5sin(a7a3)10,sin4d1,d8,再有a100;a110求之

19.

已知f(x)cos2x,g(x)sinx,是否存在x0,使得f(x0),g(x0),f(x0)g(x0)按某种64顺序成等差数列，若存在，求x0的个数，若不存在说理由。

提示12sinx2;02cos2x1,sinxcos2x最小2cos2x2sinxsinxcos2x在，上64有解，构造函数用求导的方法单调增g()<0;g()>0唯一解64

nnn2cos2sin2,则S30_______ 3320. 已知

an的通项an21. an等差且S5S6150,求d范围。

22.

满足a1fx定义域R,对任意实数m,n有fmn1,求an2anfmfn,当x<0时，

fx1,数列an

f0且fan1f

23. 观察下列等式12=1；12-22=-3；12-22+33=6；12-22+33-42=-10·，照此规律，第n个等式可以为----------------------

24. 请写一个d0的等差数列，使Sn:S2n是与n无关的常数。

nSn,(1)若cn2c25.

等差数列an的首项为a,公差d,(d0),记bn0且b1、b2、b4成等比，

证明Snk

n2Sk;(2)若bn等差，则c0

26.

an等差，d0,an0且akx22ak1xak20求证①当k取不同值时方程有公共根②方程

1不同根依次x1,x2,x3x，求证x,1x,,1n1121xn1是等差数列。

27.

an等差且an0,a11949,an2009,则nd最小值_______

S1528.

aS1Sn等差且S150,S160,则a,2,1a2a最大的是15_______

29.

矩形AnBnCnDn的一边AnBn在x轴上，CnDn在yx1x(x0)上，若Bn的坐标(n,0)(n2,nN),记矩形的周长为an,则a2a3a10an4n 216

30. 在1,2,3，·17中随机抽三个数，能构成递增等差数列的概率_______

231.

an0,a23且San2anpn4,则p_______

32. 数列an中，a1=1,a2nnan,a2n1an1,则a1a2a100原式=1250a100而a100=50a5025a2526a1232a629a330a131

33. Sn是d0的等差前n项和,下列错误_______

A．若d<0,则Sn有最大项 B. 若Sn有最大项，则d<0 ，则Sn>0 D. 对n∈N+有Sn>0，则

Sn是

amam134. 已知an2n7,求所有正整数m，使

a为an中的项m2。

C.若Sn是19

提示am24am22aam2m268am2am2是奇am2=2m31m1,2检验m2

35. 已知

sn(1)nan1,则S12nS2S10011321001

36.

1an0,SnSn1ta2 (n2,t0)，a11,(1)求an,(2)设的前n项和为Tn,若Tn2aann12n对所有N都成立，证明0t1

37.

1b数列an满足p1Snp2an(p0且p1)，bn满足bn2logpan,(1)若p,n的2an前n项和Tn,证明0an2(n为奇)已知an前4项成等差数列，且满足an2(1)求an的通项公式；(2)求满足2an(n为偶)38.

n,n为奇Sn2012的Sn的最大值。 (提示an=n（2）分奇偶讨论，当n为偶S18<2012,S20>2012;22,n为偶当n为奇S19=1122<2012,S21=2167>2012)。

1f(x)对任意xR,且x0恒有f()x成立，an、bn满足a11,b11且对nN都有x39.

数列概念及等差数列(文科及理科基础用)

一、（1）数列与函数关系(可用函数思想研究数列) （2）通项公式（3）递推公式 (使用递推

公式时关注起点) （4）

ans1 nsnsn1 n12

二、等差数列

1.定义：an1and,d0递增，d0递减；证等差①an1and,②2an1an+an2

2.通项公式

ana2ana1n1d或anamnmd;damanmn 若第二项开始等差，则

a1 n(n2)d n12

若

mn2p,则aman2ap3若

m,n,s,pN若mnsp,则amanasap注意等式两边个数相同

4.andna1d从函数上理解是关于n的一次函数，n的系数为d；若a,b,c等差，

2bac

则b称为a与c的等差中项'd5.从等差中抽出间隔相同的项，按原顺序排列，仍等差，2d,3d,

'26.把一等差数列截成项数相等的若干段后，每段内各项之和组成新的等差，dmd（m为每段

的项数）即Sm,S2mSm,S3mS2m等差

7.在等差中，若

ap0,有SmS2p1m成立

8.am,bn均等差，则an,an,anb,1an2bn也等差，其公差分别为 d,d.,d,1d12d2，

1an2,anbn,,an,bn而an

an不一定等差，除非常数列，可理解一次函数。

例：an等差，若a11,a23,a35是公比为q的等比，则q等差等差=等差，又等比为常数列14安徽

Snna1annn1ddna1dn2a1n或SnAn2Bn(A可为0)2222，其公式来源用倒序相加

d法，可看成不含常数项的二次函数，d>0,开口向上，d<0，开口向下，恒过（0,0）二次项系数2，

若有常数项，则一定不是等差，但从第二项开始是等差，可根据图象做题，常见两种形式：（1）

a10,d0 （2）a10,d0

例：an等差，若a10,a6a70,a6a70,则满足Sn0的最小n_______

10.在有正有负的等差数列中，会求an的前n项之和。

SmnSSnmmn （说明Smn,Sm,Sn之间关系） 11.mn12.由

Snna1nn1d2Snndn2a1Sd,说明n等差 d/2nd2

例：

an等差，且S412S391,则d=-------------

13.（1）项数为偶数（2n），则

S偶-S奇nd

（2）若项数为奇数（2n-1）,则①间项，此外还有间项。

S奇nan,②

S偶（n1)an,③S2n1(2n1)an可理解成项数乘以中

S奇-S偶an;S奇S偶n(项数相除)n1特别注意

anS2n12n1 反映a与S的变换，此类中an为中

例：

an,bn均等差，前n项和Sn,Tn,且snTna3n1,求94n2b9

例：an、bn均等差，Sn,Tn为其前n项和，且提示：设Snkn(7n1);也可当连续性用公式SnTna7n1,则2n3b8a5b10a17b12a22b16315

14.以上结论都不适用，则可把题中条件都变为a1与d进行组合。

三．数列的几个通用规律.

a12a23a3nanan等差,若bn等差，证明123n。

例：

bn例：

若1a1a21a2a31a3a41an1ann1,求证an等差ana1。

2. 已知等式中含有和项及通项，要么全变为和项，要么全变为通项，用公式anSnSn1 或

an+1Sn+1Sn，此方法只适用n2。

3. 真数等比则对数等差即

an等比，则logman等差，且dlogmq。

nn1-1,14. 已知等式中含的一般分奇偶讨论。

5. 常见几种数字排法(数列群)：(1)按规律分段(2)呈“金字塔”型排列

例：设A11,A24,7,10,A313,16,19,22,25按此规律构成集合系列中，

A10中所有元素的和_______

6. 隔项相减得常数an2anm,an1an1m,anan2m或化为此种形式的，an1an3n1,一般分为奇偶讨论，说明a1,a3,a5;a2,a4,a6均为d=m的等差数列，am不一定等差，当且仅当a2a1m2时，admm为2的等差；an3an1an2an也说明隔项等差，例：已知a11,a24,a39,且anan1an2an3,则a20138049

7.从函数上理解，如函数的奇偶、单调(导数)、图像、基本不等式、线性规划等

例：

ann22n且满足a1a2，当n2时an1an则范围_______

例：等差数列an的前n项和为Sn,已知S100,S1525,则nSn的最小值----------

例：(1)an等差，S20100,则a7a14最大值 (2)an等差，S410,S515，求a4最大值

例：an等差，(a51)32011(a51)1;(a20071)32011(a20071)1,则这个数列是递增数列还是递减数列？并求S2011=————

练习

1. 已知an2n3n4从an中抽取偶数项按原顺序排列组成bn,求bn通项公式

如

但

aa,x,b,2xx0，则--------b2. 一个等差数列的前4项分别为

1112A: B: C: D:4233

1且a1an3. （1）已知a11,anan110则S2006 （2）

2an112,求a2006

4. 已知a4n31,a4n10且a2nan则a2009_______a2014_______

5. 已知an1a1an1,a1a,a2b则S100 _______

nn为奇数数列an的递推公式an6.

第八个5是该数列的第-----------项ann为偶数2，这个数列每一项为奇数，a24a25。

S3的-------------7. an等差，则S120是S9

A：充分不必要 B：必要不充分 C：充要 D：既不充分也不必要

8. an等差，a7A:S7S8 B:S150,a80,则下列正确的是-----------

0S16 C:S130 D:S14

5,a1,b1N,设Cnabn9. an,bn都是d1的等差，其首项分别为a1、b1,且a1b1_______

，则Cn前10项和为

10. 等差数列an的前n项和Sn,若Sm12,Sm0,Sm13,则m

11.

等差数列an的首项为a,公差为1，令bn1an,若对任意nanN都有bnb8,则实数a的

范围--------------提示a8a900

1an,求通项公式an1an12. 数列

an中，a1tan且an1_______

13. 已知

an1an12an1且a13,求an

14.

已知a1b11,anbn1an1bn2bn1bn0,若bn3n1,求an

提示：两个一组求通项-4n

15. 已知an=n,求a1a2a2a3a3a4a4a5a2n1a2na2na2n1的值16.

an0且a11,2Snan1,求an

2a1an17. 等差数列D: a1d<0

an的公差d,若数列为递减数列，则-----------D A：d>0 B:d<0 C:a1d>0

18.

方程x2xa0和x2xb0a1b的4个根，可组成首项为的等差数列，4 则ab_______

19.

已知an0,a11,an21,若a121ana14,则a13a20141321-125

提示：递推求a1313,由a1221a1411a1011a12a10a12所以偶数项都相等

n20. ①

a11,a22且an2an11,则S100n—————— ；②

an1n2,求Sn

21.

an0且Sn1an21,则anan_______

0,求an22. 已知a11,且2anan1an1an。

23. an等差且S5S6150,求d范围。

ananan124. 25.

满足a1a12,a21且an1an11an则a10_______

fmfn,fx定义域R,对任意实数m,n有fmn1,求an2an当x<0时，

fx1,数列an

f0且fan1f

26. 观察下列等式12=1；12-22=-3；12-22+33=6；12-22+33-42=-10·，照此规律，第n个等式可以为----------------------

27.

a15,且an2an12n1，

若an2n等差，则=_______

28. 请写一个d0的等差数列，使Sn:S2n是与n无关的常数。

29.

an等差，d0,an0且akx22ak1xak20求证①当k取不同值时方程有公共根②方程

1不同根依次x1,x2,x3xn，求证x11x21,1,,1xn1是等差数列。

30.

an等差，a15,前11项平均值5，若从中抽取1项后平均值为5，则抽取的第＿项。

31.

an等差且an0,a11949,an2009,则nd最小值_______

S1S1532.

an等差且S150,S160,则a,S2,1a2a最大的是15_______

33.

矩形AnBnCnDn的一边AnBn在x轴上，CnDn在yx1x(x0)上，若Bn的坐标(n,0)(n2,nN),记矩形的周长为an,则a2a3a10an4n 216

34. 在1,2,3，·17中随机抽三个数，能构成递增等差数列的概率_______

2anp35.

an0,a23且Sa2nn4,则p_______

36. 数列an中，a1=1,a2nnan,a2n1an1,则a1a2a100原式=1250a100而a100=50a5025a2526a1232a629a330a131

37. Sn是d0的等差前n项和,下列错误_______

A．若d<0,则

Sn有最大项 B. 若

Sn有最大项，则d<0 ，则Sn>0 D. 对n∈N+有Sn>0，则

Sn是

amam138. 已知an2n7,求所有正整数m，使

a为an中的项m2。

C.若

Sn是

提示am24am22aam268am2是奇am2=2m31m1,2检验m2m2am2

39. 已知

snn(1)a1n2n,则S1S2S11100321001

已知前4项成等差数列，且满足a40.

anan2(n为奇)n2(1)求a2an的通项公式n(n为偶)n,n提示：an=为奇n22,n为偶29

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