厦门大学嘉庚学院2012《微积分II》期末模拟考题(解答)

《微积分II》期末模拟考题（2011级）

一、填空题：（每小题3分，共30分） 1、若D1：则解：D1：22 。或Dy9，则dxdy d2：1xDDx2y24y44x2(y2)222面积4π.

222D2：1xy3

2、交换积分次序

面积9ππ.

dy011yf(x,y)dx 。

cosxdx 。 x或

11y60dy6y解：

dy0f(x,y)dx0y1;yx1作图（右下）0x1;0xydx01x

0f(x,y)dy.60cosxdx0y;yx作图（右下）yx66xcosx1/20x;0xy6dxdy6cosxdxsinx|.00006x2dy6 3、若级数un的前n项和snn1nnn11，unsnsn1 ， n1n1nn(n1)n1. 。

nn1un1nlimsnlimn1nx的收敛域为 4、级数nn2n1annn+1n22n1. x=±1 时，级数为 解：收敛半径R=an1n1n2(n1)21un11n2n1n(1),1,nn1u2n2(n1)2n1n1(1)n绝对收敛.原级数收敛域为[-1,1].nn1n2通项0 5、级数 (un1) 收敛， 则 lim(un1)0n1n收敛级数limun1.

n 1

xn11123 。 或 11e1. 。6、级数 

n!n!n!312/3n1n0n1n0x1n7、方程ycotxy4 满足条件y(0)2的特解是 。

解： ycotxy422dysinx1ydxarctanln|cosx|C. y24cosx228.得特解1yarctanln|cosx|.228

令x0,y2代入上式得C=8、微分方程y12y35y0的通解为 。 解：r212r3503xr15,r27.原方程通解为yC1e5xC2e7x.

9、方程y6y9yxe的一个特解形式为 y 。 解：r26r90r1,23.3为重根,取k2.可设特解为y*Ax2e3x,A待定. 10、若微分方程y6yay0的通解为yC1e

二、计算下列二重积分（每小题6分，共12分） 1、求I2222D(x,y)xy4。 ，其中(xy)dxdy2xC2e4x，则a 8 。

D解：I(xy)dxdyDyrsintD22xrcost20242drdrr8.

004232、求Ixydxdy，其中D由x2,yx,y2x所围。

22xD0x解：Ixydxdydx1212314222xxydyxydxxdxx2.

x022080

三、判断下列级数的敛散性若收敛，指出是绝对收敛，还是条件收敛？（10分）

nun1(n1)3n1n1,1、n 解： n,n1un3n3n13n13n(正项级数)收敛. nn132、

(1)nn1111|un1|0，是莱氏级数,收敛. 解：|un|nln(n1)ln(n2)ln(n1)111|u|，而发散，故原级数条件收敛. 又 nln(n1)nn0n

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四、解下列各方程（每小题6分，共30分） 1、求微分方程

dy2y8满足初始条件y(0)5的特解。 dxdydy1xln|y4|C1y4Ce2x.

82y82y2

解：原式dx令x0,y5代入上式得C=1.得特解y4e2x.x*

x2、设函数f(x)可导，且满足f(x)0f(t)dte，求f(x)。

解:(i)原式两边求导得f(x)f(x)ex.令yf(x)得微分方程dyyex.dxP(x)dxP(x)dxdxC.取P(x)1,Q(x)ex.代公式得(ii)应用公式yeQ(x)eexedxdxCex1dxC=ex(xC)(C为任意常数).(iii)将x0代入原式得y|x0f(0)1.代入上式得C1.最后得f(x)yedxf(x)=ex(x1).【注】用常数变易法解题如下：将x0代入原式得y|x0f(0)1.解方程ln|y|xC1y=Cex.令CC(x)，得C(x)eeC(x)1C(x)xCy=(x+C)e.由y|x01得C1.得原方程解y=(x1)ex.xxxdyy得dx

3、二阶常系数微分方程y2y3y0满足y(0)1,y(0)1的特解。

解:特征方程r22r30r13,r21.yC1e3xC2ex.则y3C1e3xC2ex.由y(0)1、y(0)1得C1C2=1且3C1e3xC2=1. C1=0、C2=1于是所求特解为yex.

4、求微分方程y2y4x2的通解。

解:特征方程r22r0r12,r20.对应齐次方程通解为YC1e2xC2.又0是特征根，取k1.于是可设特解为y*x(axb).则y*2axb,y*2a,代入原方程得4ax2a+2b4x2,对比x的各项系数得a1的、b2.特解为y*x(x2).原方程通解为yYy*C1e2xC2x(x2).5、设某曲线过点(0,1)，且其上每一点的切线斜率都比该点的纵坐标大2,求该曲线方程。

3

解:由条件得dydyy2，解得dx,得ln|y2|xC1y2=Cex.dxy2y=23e.n1

由y|x01得C3.得原方程解五、（12分） 1、求级数(1)n1x1x2n1的和函数s(x)，并求(1)n1的和。 2n12n1n1x2n11n12n2解:s(x)(1),则s(x)(1)x(x2)n(|x|1),22n11xn1n1n0xx1s(x)s(t)dtdtarctanx(|x|1).001t2 111n当x1时原级数为(1)，满足条件|un||un1|0，n2n12n12n3n1n1是莱氏级数,收敛.故得s(x)(1)n1n1x2n1arctanx(|x|1).2n1 2、将函数f(x)1展开为x的幂级数。 2x2(|x|1).

2n1111x2nn1x解:()(1)22x221+x2/22n02n1n0六、设 ancnbn(nN)，级数

an1n与

bn1n都收敛，证明：级数

cn1n也收敛。

证：根据条件，0cnanbnan(n1,2,3,).因级数an与bn都收敛，故

n1n1级数(bk1kak)收敛.根据比较判别法，级数(ck1kak)收敛.最后由ak1k的收敛性即得ck=(ckak)+ak是收敛的.k1k1k1 【例题】 讨论

aan11 的敛散性，其中 a1>0; an 是公差为 d>0 的等差数列.

nn1解：因ana1(n1)d, 且nn1111=,故原级数的n次部分和为anan1danan1111n11111111111Sn,aadaadaaaaaadaak1kk1k1nn1223n1n1n11111111且得limSnlim.所以原级数收敛,且.nda1nan1a1daaadn1nn11

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