2022年中考数学模拟试卷
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）小明测量身高后，用四舍五入法得知其身高约为1.71米，则他的身高测量值不可能是（ ） A．1.705
B．1.709
C．1.713
D．1.718
【分析】先利用近似数的精确度得到他的身高的范围，然后对各选项进行判断． 【解答】解：设它的身高为xm，则1.705m≤x＜1.715m． 故选：D．
2．（4分）下列语句写成数学式子正确的是（ ） A．9是81的算术平方根：±
＝9
＝5
B．5是（﹣5）2的算术平方根：±C．±6是36的平方根：
＝±6
D．﹣2是4的负的平方根：﹣＝﹣2
【分析】根据算术平方根和平方根的定义确定正确的答案即可． 【解答】解：A、9是81的算术平方根记作B、5是（﹣5）2的算术平方根记作C、±6是36的平方根：±
＝9，故本选项错误； ＝5，故本选项错误；
＝±6，故本选项错误；
＝﹣2，故本选项正确．
D、﹣2是4的负平方根记作：﹣故选：D．
3．（4分）下列定理中，逆命题是假命题的是（ ） A．在一个三角形中，等角对等边 B．全等三角形对应角相等
C．有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形 D．等腰三角形两个底角相等
【分析】分别写出原命题的逆命题，然后判断真假即可．
【解答】解：A、逆命题为：在一个三角形中等角对等边，正确，是真命题； 逆命题为两直线平行，同位角相等，正确，为真命题；
B、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题； C、逆命题为：三条边对应相等的三角形全等，正确，是真命题；
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D、逆命题为：两个角相等的三角形是等腰三角形，正确，是真命题； 故选：B．
4．（4分）在一次数学竞赛中，竞赛题共有25道，每道题都给出4个答案，其中只有一个答案是正确的，选对得4分，不选或选错扣2分．规定得分不低于60分得奖，那么得奖者至少应选对（ ） A．18道题
B．19道题
C．20道题
D．21道题
【分析】设得奖者选对x道题，则不选或选错（25﹣x）道题，根据得分不低于60分得奖，可得出不等式，解出即可．
【解答】解：设得奖者选对x道题，则不选或选错（25﹣x）道题， 由题意得，4x﹣2（25﹣x）≥60， 解得：x≥18， ∵x取整数， ∴x＝19．
故得奖者至少答对19道题． 故选：B．
5．（4分）已知一个函数图象经过（1，﹣4），（2，﹣2）两点，在自变量x的某个取值范围内，都有函数值y随x的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是（ ） A．正比例函数
B．一次函数
C．反比例函数
D．二次函数
【分析】求出一次函数和反比例函数的解析式，根据其性质进行判断． 【解答】解：设一次函数解析式为：y＝kx+b， 由题意得，解得，∵k＞0，
∴y随x的增大而增大， ∴A、B错误，
设反比例函数解析式为：y＝， 由题意得，k＝﹣4， k＜0，
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，
，
∴在每个象限，y随x的增大而增大， ∴C错误，
当抛物线开口向上，x＞1时，y随x的增大而减小． 故选：D．
6．（4分）当k取不同的值时，y关于x的函数y＝kx+2（k≠0）的图象为总是经过点（0，2）的直线，我们把所有这样的直线合起来，称为经过点（0，2）的“直线束”．那么，下面经过点（﹣1，2）的直线束的函数式是（ ）
A．y＝kx﹣2（k≠0） B．y＝kx+k+2（k≠0） C．y＝kx﹣k+2（k≠0）
D．y＝kx+k﹣2（k≠0）
【分析】把已知点（﹣1，2）代入选项所给解析式进行判断即可． 【解答】解：
在y＝kx﹣2中，当x＝﹣1时，y＝﹣k﹣2≠2，故A选项不合题意， 在y＝kx+k+2中，当x＝﹣1时，y＝﹣k+k+2＝2，故B选项符合题意，
在y＝kx﹣k+2中，当x＝﹣1时，y＝﹣k﹣k﹣2＝﹣2k﹣2≠2，故C选项不合题意，在y＝kx+k﹣2中，当x＝﹣1时，y＝﹣k+k﹣2＝﹣2≠2，故D选项不合题意， 故选：B．
7．（4分）在同一平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+1与y＝（k≠0）的图象可能是（ A． B．
C．
D．
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）
【分析】分k＞0和k＜0两种情况讨论即可．
【解答】解：当k＞0时，函数y＝kx+1的图象经过一、二、三象限，反比例函数y＝的图象分布在一、三象限，没有正确的选项；
当k＜0时，函数y＝kx+1的图象经过一、二、四象限，反比例函数y＝的图象分布在二、四象限，D选项正确， 故选：D．
8．（4分）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝12，则下列关于S1、S2、S3的说法正确的是（ ）
A．S1＝2
B．S2＝3
C．S3＝6
D．S1+S3＝8
【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，得出CG＝NG，CF＝DG＝NF，再根据三个正方形面积公式列式相加：S1+S2+S3＝12，求出GF2的值，从而可以计算结论即可．
【解答】解：∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，
∴CG＝NG，CF＝DG＝NF， ∴S1＝（CG+DG）2， ＝CG2+DG2+2CG•DG，
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＝GF2+2CG•DG， S2＝GF2，
S3＝（NG﹣NF）2＝NG2+NF2﹣2NG•NF，
∴S1+S2+S3＝GF2+2CG•DG+GF2+NG2+NF2﹣2NG•NF＝3GF2＝12， ∴GF2＝4， ∴S2＝4， ∵S1+S2+S3＝12， ∴S1+S3＝8， 故选：D．
9．（4分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于O，∠ABC≠90°，则图中全等的三角形共有（ ）
A．4对
B．6对
C．8对
D．12对
【分析】根据菱形的性质可得OA＝OC，OB＝OD再利用全等三角形的判定求解． 【解答】解：根据菱形的性质及已知条件全等的三角形有：△AOD≌△AOB≌△COB≌△COD，共有6对；
又△ABD≌△CBD，△ABC≌△ADC共2对，所以共8对． 故选：C．
10．（4分）如图，已知AB＝DC，AD＝BC，E、F在DB上两点且BF＝DE，若∠AED＝80°，∠ADB＝30°，则∠BFC＝（ ）
A．150°
B．40°
C．80°
D．90°
【分析】由AB＝DC，AD＝BC可知四边形ABCD为平行四边形，根据BF＝DE，可证△ADE≌△CBF，由全等三角形的性质即可得到∠AED＝∠BFC，问题得解． 【解答】解：∵AB＝DC，AD＝BC，
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∴四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADE＝∠CBF， 在△ADE与△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF， ∴∠AED＝∠BFC＝80°， 故选：C．
二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）
11．（5分）分解因式：4mx2﹣my2＝ m（2x+y）（2x﹣y） ． 【分析】首先提公因式m，再利用平方差公式进行二次分解． 【解答】解：原式＝m（4x2﹣y2）＝m（2x+y）（2x﹣y）， 故答案为：m（2x+y）（2x﹣y）．
12．（5分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则等腰三角形顶角的度数是 50或130 °．
【分析】首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为50°．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为130°．
【解答】解：①如图1，等腰三角形为锐角三角形， ∵BD⊥AC，∠ABD＝40°， ∴∠A＝50°， 即顶角的度数为50°．
②如图2，等腰三角形为钝角三角形， ∵BD⊥AC，∠DBA＝40°， ∴∠BAD＝50°， ∴∠BAC＝130°． 故答案为：50或130．
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13．（5分）若一次函数的图象与直线y＝﹣2x平行，且经过点（1，3），则一次函数的表达式为 y＝﹣2x+5 ．
【分析】设一次函数的表达式为：y＝kx+b，根据两直线平行求出k，利用待定系数法计算即可．
【解答】解：设一次函数的表达式为：y＝kx+b， ∵一次函数的图象与直线y＝﹣2x平行， ∴k＝﹣2，
∵一次函数经过点（1，3）， ∴﹣2+b＝3， 解得，b＝5，
则一次函数的表达式为y＝﹣2x+5， 故答案为：y＝﹣2x+5．
14．（5分）如图，在锐角△ABC中，AB＝5
，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于
点D，M，N分别是AD，AB上的动点，则BM+MN的最小值是 5 ．
【分析】作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知MH＝MN，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【解答】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN为所求的最小值． ∵AD是∠BAC的平分线，
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∴M′H＝MN，
∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短）， ∵AB＝5
，∠BAC＝45°，
×
＝5．
∴BH＝AB•sin45°＝5
∵BM+MN的最小值是BM+MN＝BM+MH＝BH＝5． 故答案为：5．
15．（5分）如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下部分如图拼成一个长方形，计算这两幅图阴影部分的面积，可以验证的乘法公式是 （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ．
【分析】分别表示出两种情况下的阴影部分的面积，而面积是相等的，故可得到结果． 【解答】解：在左图中，大正方形面积为a2，小正方形面积为b2，所以阴影部分的面积为a2﹣b2，
在右图中，阴影部分为一长方形，长为a+b，宽为a﹣b，则面积为（a+b）（a﹣b）， 由于两个阴影部分面积相等，所以有（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2成立． 故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
16．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且四边形CDEF为正方形，若AE＝3，BE＝5，则S△AEF+S△EDB＝
．
【分析】设正方形CDEF的边长为x，则RF＝DE＝x，证明△AEF∽△EBD，利用相似
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比得到AF＝x，BD＝x，在Rt△BDE中利用勾股定理得到x2+（x）2＝52，则x2＝
，然后根据三角形面积公式计算S△AEF+S△EDB． 【解答】解：设正方形CDEF的边长为x，则RF＝DE＝x， ∵EF∥BC， ∴∠AEF＝∠B，
∵∠AFE＝∠EDB＝90°， ∴△AEF∽△EBD， ∴
＝
＝
，即
＝
＝，
∴AF＝x，BD＝x，
在Rt△BDE中，x2+（x）2＝52， ∴x2＝
，
x2＝
×
＝
．
∴S△AEF+S△EDB＝•x•x+•x•x＝故答案为
．
三．解答题（共3小题，满分30分） 17．（8分）（1）解不等式组整数集． （2）化简：（代入求值．
【分析】（1）分别解不等式①和不等式②，根据不等式组解集的取法，得出其解集及最小整数解，再在数轴上表示出来即可．
（2）先将所给的式子因式分解及按照分式乘除法的法则化简，再根据a应该取使得分式有意义的值，代入计算即可． 【解答】解：（1）解不等式①得：x＞﹣4③
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，将解集在数轴是表示出来，并写出其最小
），并从2，3，4中取一个合适的数作为a的值
解不等式②得：x≤2④
∴不等式组的解集为：﹣4＜x≤2 ∴其最小整数解为：﹣3 在数轴上表示如下：
（2）（
）
＝[＝＝2+a
×
﹣]×
当a＝4时，原式有意义，故取a＝4，代入得： 原式＝2+4＝6
18．（10分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值； （2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；
（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．
【分析】（1）设存在点P，使得PA＝PB，此时PA＝PB＝2t，PC＝4﹣2t，根据勾股定理列方程即可得到结论；
（2）当点P在∠CAB的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，此时BP＝7﹣2t，PE＝PC＝2t﹣4，BE＝5﹣4＝1，根据勾股定理列方程即可得到结论；
（3）在Rt△ABC中，根据勾股定理得到AC＝4cm，根据题意得：AP＝2t，当P在AC上时，△BCP为等腰三角形，得到PC＝BC，即4﹣2t＝3，求得t＝，当P在AB上时，
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△BCP为等腰三角形，若CP＝PB，点P在BC的垂直平分线上，如图2，过P作PE⊥BC于E，求得t＝
，若PB＝BC，即2t﹣3﹣4＝3，解得t＝5，③PC＝BC，如图3，
×5，即可得
过C作CF⊥AB于F，由射影定理得；BC2＝BF•AB，列方程32＝到结论．
【解答】解：（1）设存在点P，使得PA＝PB， 此时PA＝PB＝2t，PC＝4﹣2t， 在Rt△PCB中，PC2+CB2＝PB2， 即：（4﹣2t）2+32＝（2t）2， 解得：t＝∴当t＝
（2）当点P在∠BAC的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E， 此时BP＝7﹣2t，PE＝PC＝2t﹣4，BE＝5﹣4＝1， 在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2， 即：（2t﹣4）2+12＝（7﹣2t）2， 解得：t＝，
当t＝6时，点P与A重合，也符合条件， ∴当
（3）在Rt△ABC中，∵AB＝5cm，BC＝3cm， ∴AC＝4cm，
根据题意得：AP＝2t，
当P在AC上时，△BCP为等腰三角形， ∴PC＝BC，即4﹣2t＝3， ∴t＝，
当P在AB上时，△BCP为等腰三角形， ①CP＝PB，点P在BC的垂直平分线上，
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，
时，PA＝PB；
或6时，P在△ABC的角平分线上；
如图2，过P作PE⊥BC于E， ∴BE＝BC＝，
∴PB＝AB，即2t﹣3﹣4＝，解得：t＝②PB＝BC，即2t﹣3﹣4＝3， 解得：t＝5，
③PC＝BC，如图3，过C作CF⊥AB于F， ∴BF＝BP， ∵∠ACB＝90°，
由射影定理得；BC2＝BF•AB， 即32＝解得：t＝∴当
×5， ，
时，△BCP为等腰三角形．
，
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19．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（0，﹣3）、B（﹣1，0）、C（2，﹣3），抛物线与x轴的另一交点为点E，点P为抛物线上一动点，设点P的横坐标为t． （1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在第一象限，点M为抛物线对称轴上一点，当四边形MBEP恰好是平行四边形时，求点P的坐标；
（3）若点P在第四象限，连结PA、PE及AE，当t为何值时，△PAE的面积最大？最大面积是多少？
（4）是否存在点P，使△PAE为以AE为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（0，﹣3）、C（2，﹣3），则函数的对称轴为：x＝1，故点E（3，0），即可求解；
（2）四边形MBEP恰好是平行四边形时，则MP＝BE＝3，故t＝4，则点P（4，5）； （3）△PAE的面积S＝
PH×OE＝（t﹣3﹣t2+2t+3）＝（﹣t2+3t），即可求解；
（4）分∠PEA＝90°、∠PAE＝90°两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（0，﹣3）、C（2，﹣3），则函数的对称轴为：x＝1， 故点E（3，0），
抛物线表达式为：y＝a（x﹣3）（x+1）＝a（x2﹣2x﹣3）， 故﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；
（2）四边形MBEP恰好是平行四边形时，则MP＝BE＝4，则点P（5，12）；
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（3）过点C作y轴的平行线交AE于点H， 由点A、E的坐标得直线AE的表达式为：y＝x﹣3，
设点P（t，t2﹣2t﹣3），则点H（t，t﹣3）， △PAE的面积S＝
PH×OE＝（t﹣3﹣t2+2t+3）＝（﹣t2+3t），
；
当t＝时，S有最大值
（4）直线AE表达式中的k值为1，则与之垂直的直线表达式中的k为﹣1． ①当∠PEA＝90°时，
直线PE的表达式为：y＝﹣x+b，经点E的坐标代入并解得： 直线PE的表达式为：y＝﹣x+3…②， 联立①②并解得：x＝﹣2或3（舍去3）， 故点P（﹣2，5）； ②当∠PAE＝90°时， 同理可得：点P（1，﹣4）；
综上，点P的坐标为：（﹣2，5）或（1，﹣4）．
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