信号与系统题库(完整版)

[1]题图中，若h′（0）=1，且该系统为稳定的因果系统，则该系统的冲激响应h(t)为。

A、h(t)=

12t−3t(3e+e)ε(−t)5

−2tB、h(t)=(e+e−3t)ε(t)

32t2−3teε(t)

5532t2−3tD、−eε(t)+eε(−t)

55

C、−eε(t)+

[2]已知信号x[n]如下图所示，则x[n]的偶分量xe[n]是。

[3]波形如图示，通过一截止角频率为50πrad滤波器，则输出的频率分量为（）A、C0+C1cos20πt+C2cos40πtB、C0+C1sin20πt+C2sin40πtC、C0+C1cos20πtD、C0+C1sin20πt[4]已知周期性冲激序列δT(t)=

s，通带内传输值为1，相移为零的理想低通

k=−∞

∑δ(t−kT)的傅里叶变换为ΩδΩ(ω)，其中Ω=

⎛⎝

+∞

2π；T又知f1(t)=2δT(t),f(t)=f1(t)+f1⎜t+

T⎞

⎟；则f(t)的傅里叶变换为________。2⎠

A、2ΩδΩ(ω)B、4Ωδ2Ω(ω)C、Ωδ2Ω(ω)D、2Ωδ2Ω(ω)

[5]某线性时不变离散时间系统的单位函数响应为h(k)=3kε(−k−1)+2−kε(k)，则该系统是________系统。A、因果稳定B、因果不稳定[6]一线性系统的零输入响应为（2

−kC、非因果稳定D、非因果不稳定

+3−k）u(k),零状态响应为(1+k)2−ku(k),则该系统

的阶数

A、肯定是二阶B、肯定是三阶C、至少是二阶D、至少是三阶[7]已知某系统的冲激响应如图所示则当系统的阶跃响应为。A、(1−2.72e−t)ε(t)B、(1+2.72e−t)ε(t)C、(1−e−t)ε(t)D、(e−t−1)ε(t)

二、填空题(6小题,共0.0分)

[1]书籍离散系统的差分方程为y(k)−y(k−1)+响应h(k)=__________。

[2]已知周期矩形信号f1(t)及f2(t)如图所示。

1

y(k−2)=f(k−1)，则系统的单位序列2

（1）f1(t)的参数为τ=0.5µs,T=1µs,A=1V，则谱线间隔为____________kHz,带宽为____________KHZ。

(2)f2(t)的参数为τ=0.5µs,T=3µs,A=3V，则谱线间隔为____________kHz,带宽为____________kHz。

(3)f1(t)与f2(t)的基波幅度之比为____________。(4)f1(t)基波幅度与f2(t)的三次谐波幅度之比为

。

[3]已知信号f(t)=ε(sinπt)，其傅里叶变换F(jω)=________________。

e−(s−2)

[4]单边拉普拉斯变换F(s)=，则其原函数f(t)=__________。

s+2

[5]已知f(t)=(t2+4)u(t)，则f′′(t)=________________d2y(t)dy(t)df(t)

[6]系统的数学模型为+3+2y(t)=+f(t)，则系统的自然频率为2

dtdtdt_____________。

三、判断正(8小题,共0.0分)[1]x[n]=cos(

ππn)+sin(n)不是周期信号。（42

）

）

[2]已知TI系统的单位冲激响应h(t)=etu(t)不是因果。（[3]非周期信号一定是能量信号；

[4]若f[n]是周期序列，则f[2n]也是周期序列。

(

)）()

[5]LI系统的单位冲激响应h(t)=δ(t+α0)是不稳定的。（[6]若f(t)和h(t)均为奇函数．则f(t)*h(t)为偶函数。[7]y(n)=(n+1)x[n+1]是时不变的。

[8]若y(t)=f(t)*h(t)，则y(2t)=2f(2t)*h(2t)。

四、解答题(172小题,共0.0分)[1]写出图所示电路的状态方程。

()

[2]求下列函数的拉普拉斯变换（注意阶跃函数的跳变时间）。（1）f(t)=eU(t−2)（3）f(t)=e−(t−2)U(t)

−t（2）f(t)=e−(t−2)

U(t−2)

（4）f(t)=sin2tiU(t−1)

（5）f(t)=(t−1)[U(t−1)−U(t−2)]（6）f(t)=t[U(t−1)−U(t−2)]

[3]利用信号的频域表示式（取各信号的傅里叶变换）分析题图系统码分复用的工作原理。

[4]求

ìï1ïf(x)=íïïî-1

xa的傅立叶变换。

[5]求图所示a、b、c、d四种波形的拉普拉斯变换。

[6]已知随机二元信号的l和0分别用+A和-A表示，它的自相关函数为

ìït2ïA(1-)ï

RX(t)=ïTí

ïï0ïïî

t£Tt>T求:信号的频谱密度SX(f)。

[7]已知网络函数的零、极点分布如题所示，此外H(∞)=5写出网络函数表示式H(s)。

[8]若反馈系统的开环系统函数表达式如下（都满足K>0），分别画出奈奎斯特图，并求为使系统稳定的K值范围。

(1)A(s)F(s)=

K；s+1

(2)A(s)F(s)=

K;

(s+1)2

[9]绘出下列各信号的波形(1)[1+

1

sin(ωt)]sin(8ωt)；(2)[1+sin(ωt)]sin(8ωt)．2

[10]如图(a)所示零状态系统，h1(t)=δ(t−1),h2(t)=U(t)−U(t−3)，

f(t)=U(t)−U(t−1)。求响应y(t)，并画出其波形。

[11]sint⋅δ′(t)[12]试画出差分方程

y(k+2)+3y(k+1)+2y(k)=5e(k+1)−2e(e)

描述的离散时间系统的模拟框图。

[13]解差分方程y(n)−y(n−1)=n3，已知y(−1)=0。(1)用迭代法逐次求数值解，归纳一个闭式解答(n≥0)。

[14]已知(1)

[f(t)]=F(s)=

1

，求下列信号的拉氏变换

s2+2s+5

∫

t0

1

f(τ)dτ(2)f(t)cosω0t（3）f(2t−4)（4）f(t)（5）tf'(t)。

t4-w[15]一个信号由频谱密度为S(w)=10e的噪声和希望得到的信号coswt所组成。求出这

个合成信号的自相关函数并绘图，讨论如何用自相关函数从噪声中检测信号。

[16]给定系统的状态方程和初始条件为

̇(t)⎤⎡1−2⎤⎡λ1(t)⎤⎡λ1

⎢̇⎥=⎢⎥⎢λ(t)⎥,14⎦⎣2⎦⎣λ2(t)⎦⎣

用两种方法求解该系统。

[17]用拉氏变换分析法，求下列系统的响应。

⎡λ1(0−)⎤⎡3⎤⎢λ(0)⎥=⎢2⎥⎣2−⎦⎣⎦

d2r(t)dr(t)(1)+3+2r(t)=0,r(0−)=1,r′(0−)=2

dt2dt(2)

dr(t)

+2r(t)=−e(t),r(0−)=2,e(t)=e−tU(t)dt-

ìïïcost[18]已知f1(t)=ïí

ïïïî0

pp£t£22的频谱其它

F1(jw)=

pwppwpp[Sa(+)+Sa(-)]22222

-

ìïïsint(1)求出f1(t)=ïí

ïïïî0

(2)是否f1(t)等于

pp£t£22的频僻F2(jw)其它

df2(t)df(t)

？求f3(t)=2的频谱F3(jw)dtdt[19]给定系统微分方程、0−状态，以及激励信号分别为以下三种情况：(1)

dr(t)+2r(t)=e(t),r(0−)=0,e(t)=U(t)dt(2)

ddr(t)+2r(t)=3e(t),r(0−)=0,e(t)=U(t)dtdtd2dd(3)2r(t)+3r(t)+2r(t)=e(t)+3e(t),r(0−)=1,r′(0−)=2,e(t)=e−3tU(t)试判断

dtdtdt在起始点是否发生跳变，并求0+状态之值。[20]某电路如图所示，其中c=2F．L=

1

H，R=1Ω，电流源i(t)=δ(t)，已电容上的初2

始电压uc(0)=1V，电感上的初始电流iL(0)=0A试求电阻R两端电压的全响应。

[21]某离散系统的差分方程为y(k+2)−5y(k+1)+6y(k)=e(k)已知e(k)=U(k)，初始

条件yzi(0)=2,yzi(1)=1，求系统响应y(k)。

[22]若匹配滤波器输入信号为f(t)单位冲激响应为h(t)=s(T−t)求（1）给出描述输出信号r(t)的表达式；（2）求t=T时刻的输出r(t)=r(T)（3）由以上结果证明，可利用题图的框图来实现匹配滤波器之功能。

[23]已知离散系统的差分方程为

y(k+2)−3y(k+1)+2y(k)=e(k+1)−2e(k)

输入信号e(k)=(2)kU(k)，起始条件yzi(0)=0,yzi(1)=1，求系统的完全响应y(k)。

z2−(2acosω0)z+a2[24]已知系统函数H(z)=2(a>1)。(1)画出H(z)在z平面的零极

z−(2a−1cosω0)z+a−2

点图；(2)借助s~z平面的映射规律，利用H(s)的零极点分布特性说明此系统具有全通特

性。

[25]已知系统的差分方程为

y(k)−

求系统的单位响应h(k)。

51

y(k−1)+y(k−2)=f(k)−f(k−2)66

[26]要求通过模推推拟滤波器设计数字低通滤波器，给定指标；−3dB截止角频率ωc=

π，2

通带内ωp=0.4π处超伏不超过−1dB，阻带内ωs=0.8π处衰减不大于−20dB，用巴特沃斯滤波器实现。(1)用冲激响应不变法需要多少阶？(2)用双线性变换法，最小需要多少阶？[27]对于下图所示的一阶离散系统(0ejnω激励的响应，瞬态响应及稳态响应。

[28]离散时间系统的差分方程为

2y(k)−y(k−1)=4e(k)+2e(k−1)

试求此系统的单位函数响应h(k)和阶跃响应g(k)。

[29]如图所示，周期矩形信号x(t)作用于RL电路，求响应y(t)的傅立叶级数（只计算前四个频率分量）。

[30]一频率为60MHZ的高频信号被5kHZ的正弦波调频。已调波的最大频偏为15kHZ，求调频指数和近似带宽。若调制信号的振幅加倍，已调波的近似带宽是多少？若调制信号的频率也加倍，其近似带宽又是多少？

[31]说明下列对称条件对f(t)的傅立叶系数的影响（f(t)的周期为2p)。(1)f(t)=f(p-t)

(2)f(t)=-f(p-t)

(3)f(t)=f(

p-t)2

(4)f(t)=f(

p+t)2

[32]一离散系统的单位函数响应为h(k)=[(0.5)k−(0.4)k]U(k)试画出该系统的模拟框图。[33]求下列函数的拉普拉斯变换。（1）sint+2cost（2）te−2t（3）esin2t−t[34]利用微分定理求下图所示梯形脉冲的傅里叶变换，并大致画出τ=2τ1情况下该脉冲的频谱图。

̇(t)=Ax(t)：[35]线性非时变系统的状态方程为x⎡et⎤⎡1⎤

若初始状态x(0)=⎢⎥，则x(t)=⎢t⎥

⎣−1⎦⎣−e⎦⎡5et−3e−2t⎤⎡2⎤

若初始状态x(0)=⎢⎥，则x(t)=⎢t−2t⎥1⎣⎦⎣−5e+6e⎦

试求状态转移矩阵φ(t)和系数矩阵A。[36]求下列信号的自相关函数

（1）f(t)=e−atu(t)

(a>0)；（2）f(t)=Ecos(ω0t)u(t)

[37]反馈系统的开环系统函数表达式如下，分别画出其根轨迹图。(1)A(S)F(s)=(2)A(s)F(s)=

K(K>0)s+2

K(K>0)

(s+1)(s+3)

[38]已知单输入——单输出系统如图所示。(1)列写系统的状态方程与输出方程；(2)求

⎡1⎤⎢⎥−

H(s)和h(t)；（3）若已知x(0)=1，求零输入响应yx(t)。

⎢⎥⎢⎣1⎥⎦

[39]求f(t)的傅立叶变换。

[40]已知f(t)的频谱F(w)=ItSa2(

wt)2

(1)求i(t)的频谱函数；

(2)当T=8时，求i(t)的平均值、方均根值和平均值的平方；(3)若此电流通过R=1W的电阻，计算消耗在电阻上的平均功率、直流功率和变流功率；(4)用帕色伐尔定理核对(3)的结果。

[41]如图(a)所示系统，已知h1(t)=δ(t−1),h2(t)=−2δ(t−1),f(t)=sintU(t)，yf(t)的图形如图(b)所示。求h3(t)。

[42]求序列的卷积和：

⎧n,0≤n≤7⎪

（2）x1(n)=⎨7,n=8

⎪0,其它⎩

⎧2,0≤n≤5

x2(n)=⎨

⎩0,其它

[43]给定线性时不变系统的状态方程和输出方程

̇(t)=Aλ(t)+Be(t),r(t)=Cλ(t)λ⎡−22−1⎤⎡0⎤

⎥,B=⎢1⎥,C=100A=⎢0−20[]⎢⎥⎢⎥

⎢⎢⎣1−40⎥⎦⎣1⎥⎦

其中

(1)求系统的转移函数H(s)；(2)求系统的微分方程表达式；

(3)检查该系统的可控性和可观性。[44]求下列脉冲信号的傅立叶变换。

ìït1ïï(1-)

（1）f(t)=ïaíaïï0ïïî1-a（2）f(t)=eU(t)

a（3）f(t)=

tt£at>a1tsin()pta-

t22

（4）f(t)=

1a2pe2a[45]设已知[f(t)]=F(s)，求下列函数的拉氏变换。（1）1−e；（2）sint+2cost（3）te[46](1)求h[

-1

αt−2t1]，jw-1

(2)已知f(t)=h-1[F(jw)]且F1(jw)=F[j(w-w0)]+F[j(w+w0)]求h[F1(jw)]岁1[P，(细)]。

[47]求f(t)的频谱(包络为三角脉冲，载波为对称方波)。

d2f(t)

[48]利用微分定理，求图1.60所示半波正弦脉冲f(t)及二阶导数的频谱。2

dt[49]已知系统函数H(z)=

z(K为常数)，求系统的频率响应，并画出K=0，0.5两种z−K情况下系统的幅度响应和相位响应。

[50]绘出下列各时间函数的波形图，注意它们的区别：(1)f1(t)=sin(ωt)⋅u(t)(2)f2(t)=sin[ω(t−t0)]⋅u(t)(3)f3(t)=sin(ωt)⋅u(t−t0)(4)f4(t)=sin[ω(t−t0)]⋅u(t−t0)[51]求x(t)=t，y(t)=e的互相关函数。[52]已知图(a)所示网络的入端阻抗Z(s)表示式为

−tZ(s)=

K(s−z1)(s−p1)(s−p2)

(1)写出以元件参数R，L，C表示的零、极点z1，p1，p2的位置。

(2)若Z(s)零、极点分布如图(b)所示，此外，Z(j0)=1，求R，L，C值。

[53]绘出下列各时间函数的波形图（1）u(t)−2u(t−1)+u(t−2)

（2）

sin[a(t−t0)]a(t−t0)

（3）

d−t[esintu(t)]dt11

H，C=1F，R=Ω，23

网络的输出取自电容电压uc(t)，试

[]如图所示网络，已知L=求其阶跃响应和冲激响应。

[55]求图示各信号的频谱F（jω）

[56]解差分方程y(n)+2y(n−1)+y(n−2)=3n，已知y(−1)=0,y(0)=0。[57]下图(a)所示电路，理想变压器的变比为n1:n2:n3=2:1:1，响应取v0(t)。

(1)写出电压转移函数H(s)=

V0(s)V(jω)

、H(jω)=0；E(s)E(jω)

(2)画出零、极点分布图，指出是否为全通网络；(3)求激励e(t)=cos(2t)V(−∞[59]已知题图中两矩形脉冲f1(t)与f2(t)，且

⎛ωτ⎞

[f1(t)]=E1τ1Sa⎜1⎟,

⎝2⎠⎛ωτ⎞

[f2(t)]=E2τ2Sa⎜2⎟,

⎝2⎠

（1）画出f1(t)⋅f2(t)的图形；（2）求f1(t)⋅f2(t)的频谱。

[60]已知题图（a）所示网络的入端阴抗Z(s)表示式为Z(s)=

K(s−z1)

(s−p1)(s−p2)

（1）写出以元件参数R，E，C表示的零、极点z1,p1,p2的位置。

（2）若Z(s)零、极点分布如题图(b)，此外，Z(j0)=1，求R，L，C值。

[61]试求下图所示互感电路的输出信号υR(t)。假设输入信号e(t)分别为以下两种情况：

(1)冲激信号e(t)=δ(t)；(2)阶跃信号e(t)=u(t)。

[62]已知线性非时变系统的状态转移矩阵为

⎡e−at（1）Φ(t)=⎢

⎣0⎡e−t⎢

（2）Φ(t)=⎢0

⎢0⎣

te−at⎤

⎥e−at⎦

0(1−2t)e−2t−te−2t⎤⎥

4te−2t⎥(1+2t)e−t2⎥⎦0

试求相应的系数矩阵A。

[63]判断下列函数是周期性的还是非周期性的，若是周期函数，求其周期T。

(1)asin20ptiU(t)(2)asint-bsin2t(3)asint+bcost-csint(4)asinpt+bsin3pt(5)asin3t+bcospt(6)(a2sin2t+bsin5t)2(7)(asin2t)2

526517

(8)(asin2t)3(9)ae-5tcos2pt(10)acosm1t+bsinm2t[]已知线性非时变系统的状态转移矩阵为

⎡e−at（1）Φ(t)=⎢

⎣0⎡e−t⎢

（2）Φ(t)=⎢0

⎢0⎣

te−at⎤

⎥e−at⎦0(1−2t)e−2t−te−2t⎤0

⎥

4te−2t⎥(1+2t)e−2t⎥⎦

3s+2

，试分别用冲激响应不变法和双线2

2s+3s+1

试求相应的系数矩阵A。

[65]已知一模拟滤波器的传输数为Ha(s)=

性换法将它转换成数字滤波器的系统函数H(z)，设T=0.5。[66]如图所示系统，h1(t)=

sin2tsintsin2t,h2(t)=2π⋅。求系统的冲激响应h(t)。πtπtπt[67]求下列函数的拉普拉斯逆变换。（1）

1

s(s2+5)

（2）

3

(s+4)(s+2)

（3）

3s(s+4)(s+2)

[68]求以下序列的傅里叶变换。(1)x1(n)=δ(n)

(2)x2(n)=U(n+2)−U(n−3)

(3)x3(n)=0.5U(n)

n[69]求图所示锯齿脉冲的傅立叶变换。

[70]用消元法把下列各联立方程写成只有一个变量的微分方程。

⎧(p+2)x1−x2=f(t)(1)⎨

⎩−x1+(p+2)x2=0

⎧(p+2)x1−(p+1)x2=0(2)⎨

⎩−(p+1)x1+(2p+1)x2=0⎧(p−3)x1−6x2=(p+1)f(t)(3)⎨

px1+(p−3)x2=0⎩

⎧px+(3p+1)x2=0(4)⎨1

⎩−x1+(p−1)x2=f(t)1⎧

cosπtt<⎪⎪2[71]已知半余弦脉冲f(t)=⎨

1⎪0t>

⎪⎩2

(1)将f(t)看作是门函数与周期函数cosπt的乘积，求频谱函数；

(2)将f(t)与周期为2的周期性冲激序列σT(t)卷积，得到半波整流波形，求半波整流信号的频谱函数。

[72]如图所示，t=O时开关k1闭合接通电源，t=3s时开关k2闭合。若uc(0)=0，求

-

uc(t)及ic(t)

[73]设有白噪声电压x(t)，其自相关函数为Rx(τ)=(N0/2)δ(τ)，将它加在如图所示的积分电路，求电路输出电压y(t)的自相关函数和功率谱密度。

[74]离散时间系统如图所示，其初始状态

⎡1⎤

x(0)=⎢⎥，试用时域法求其零输入响应x1(k)和x2(k)。

⎣1⎦

[75]一个平稳随机过程的相关函数为Rx(t)=Ae-aticosw0t求该随机过程的频谱密度。

[76]图所示RC电路，t=0时开关K闭合，输入信号分别为以下几种情况，求输出信号

UR(t)。

（1）e(t)=EU(t)（2）e(t)=(1=e−st)U(t)

（阶跃信号）（指数充电信号）

⎧E⎪t（3）e(t)=⎨τ⎪⎩E（4）e(t)=⎨

(0≤t≤τ)(t>τ)(0≤t≤τ)

(τ>t,t<0)

（斜升边沿）

⎧E⎩0

（矩形脉冲）

（5）e(t)sinωtiU(t)（6）e(t)=

（正弦输入）（锯齿脉冲）

t[U(t)−U(t−T)]T[77]若转移函数分母多项式

B(s)=s4+3s3+2s2+s+K[78]化简下列两式：

(1)δ⎜2t−

⎛⎝

2

1⎞⎟2⎠

(2)δ(sint)

−2t[79]线性系统的零状态单位阶跃响应为ru(t)=(2e(1)求斜波激励e(t)=tU(t)的响应，(2)求图所示激励响应。

−1)U(t)

[80]求单位阶跃信号的频谱函数。

[81]求题图所示锯齿脉冲与单周正弦脉冲的傅里叶变换。

[82]已知一离散系统的组成框图如图所示，输入信号f(n)=()u(n)，试求（1）该系统的差分方程

（2）该系统的单位函数响应h(n)(3)系统响应y(n)

T2

n[83]在下图所示系统中，理想低通滤波器的频率特性

H(jω)=[U(ω+2Ω)−U(ω−2Ω)]e−jωt0，ω0>>Ω。（1）求系统的冲激响应h(t)；（2）

2f(t)=[Sa(Ωt)]2cosω0t，求y(t)；（3）f(t)=[Sa(Ωt)]sinω0t，求y(t)。

[84]通带允许起伏为3dB的切比雪夫滤波器：(1)求N=2时低通原型滤波器系统函数

Hal(s);(2)若归一化负载电阻R1′=0.15，求低通原型电路实现。

[85]一因果性的LT1系统，其输入、输出用下列微分--积分方程表示：

∞dr(t)+5r(t)=∫e(τ)f(t−τ)dτ−e(t)其中f(t)=e−tu(t)+3δ(t)求该系统的单位冲激

−∞dt响应h(t)。

[86]已知

−

f(t)=F(s)，求下列信号的拉氏变换：

t−tt−at−ata(1)ef()(2)ef()(3)ef(at)(4)ef(at)。

aata[87]某低通滤波器具有升余弦幅度传输特性和理想线性和相频特性，系统函数为

11πH(jω)=Hi(jω)(+cosω)

22ωc−jωt0

⎧⎪e其中Hi(jω)⎨

⎪⎩0

ω<ωcω>ωc求该系统的冲激响应，并与理想低通滤波器比较。[88]求下列各项函数所变换f(t)的初值和终值

s2+2s+1

（1）F(s)=

(s−1)(s+2)(s+3)2s+1

（3）F(s)=

s(s+1)(s+2)1−e−2s（5）F(s)=

s(s2+4)

s3+s2+2s+1

（2）F(s)=

(s+1)(s+2)(s+3)s2+2s+3

（4）F(s)=3

s+s2+4s+4

[]求信号f(t)=Sa(100t)的频宽（只计正频率部分）；若对f(t)进行均匀冲激抽样，求奈奎斯特频率fN与奈奎斯特周期TN。

[90]画出N=16的库利一图基FFT流程图，输入序列按码位倒读顺序排列，输出为自然顺序排列。

[91]已知单个梯形脉冲和单个余弦脉冲的傅里叶变换，示题图所示周期梯形信号和周期全波余弦

信号的傅里叶变换和傅里叶级数。

[92]图为一“信号采样及恢复”的原理线路，f(t)、y(t)为模拟信号，F1,F2为滤波器，K为理想冲激采样器。采样时间间隔为1毫秒。今要在下面提供的5种滤波器中选用两只，分别作为F1,F2(每种滤渡器只准用一次)，使输出端尽量恢复原信号。该如何选择？申述理由。

(1)高通滤波器

fc=2kHz；(2)低通滤波器fc^=2kHz；(4)低通滤波器fc=0。5kHz；

(3)低通滤波器fc=lkHz；

(5)低通滤渡器fc=0.2kHz，这里fc为截止频率。

[93]对于差分方程y(n)+y(n−1)=x(n)所表示的离散系统：(1)求系统函数H(z)及单位样值响应h(n)，并说明系统的稳定性；(2)若系统的起始状态为零，如果x(n)=10u(n)，求系统的响应。

[94]下图所示反馈电路，其中kv2(t)是受控源。

(1)求电压转移函数H(s)=

V0(s)V1(s)

(2)k满足什么条件时系统稳定？[95]已知系统的状态方程为

x(t)=Ax(t)

⎡e−2t⎤⎡1⎤

当x(0)=⎢⎥时，x(t)=⎢−2t⎥

⎣−1⎦⎣−e⎦

−

⋅

⎡2e−2t⎤⎡2⎤

当x(0)=⎢⎥时，x(t)=⎢−2t⎥

⎣−1⎦⎣−e⎦

−

试求矩阵指数e和A。

[96]如下图所示周期序列xp(n)，周期N=4，求DFS[xp(n)]=Xp(k)

At⎧

1⎪⎪

[97]已知理想低通的系统函数表示式为H(jω)=⎨

⎪0⎪⎩⎛ωτE(jω)=τSa⎜

⎝2

[98]设S(w)=e-wω<

2πτ，而激励信号的傅氏变换2πω>

τ⎞

⎟，利用时域卷积定理求响应时间函数的表示式r(t)。⎠

为一个随机过程的频谱密度。求它的自相关函数。

⎧⎪1

[99]已知f(t)的频谱函数F(jω)=⎨

⎪⎩0

奎斯特抽样间隔。

ω<2rad/sω>2rad/s,求对f(3t)和f2(t)理想抽样的奈

[100]已知x(n)=n[U(n)−U(n−7)]，试分别求下列信号并画出各信号的图形。

(1)y1(n)=x(−n)(3)y3(n)=x(n−1)(5)y5(n)=x(n+1)x(n−1)

(2)y2(n)=x(n+1)(4)y4(n)=x(n+1)+x(n−1)(6)y6(n)=x(3n)(8)y8(n)=

⎛n⎞

(7)y7(n)=x⎜⎟

⎝3⎠

(9)∇x(n)=x(n)−x(n−1)

k=−∞

∑x(k)

n(10)∆x(n)=x(n+1)−x(n)

[101]写出图所示离散系统的差分方程，并求系统转移函数H(z)及单位函数响应h(k)。

[102]求下面序列的单边Z变换。(1)f(k)=k(k−1)(2)f(k)=k(k−1)(k−2)(3)f(k)=(k+1)

2

−3z−1

[103]已知F(z)=，其收敛域为

2−5z−1+2z−2

（1）z>2

（2）z<0.5

（3）0.5试求序列f(k)，并指出是左边序列，右边序列还是双边序列。

[104]求图所示电路中，流过电阻R中的稳态电流i(t)恒为零时激励电压sinωt0U(t)中的

ω值。

[105]求下列函数的拉普拉斯变换。（1）

sinatt（2）tesint−t（3）t2U(t−1)

[106]对于线性非时变系统，已知其对单位函数序列δ(k)的响应为

111

[δ(k)−(2)h+(3)h]U(k)，试求此系统的单位阶跃序列的响应。623

[107]已知系统的转移函数及初始条件，试求系统的零输入响应。

sy(0)=1,y′(0)=02

s+1s+2

（2）H(s)=2y(0)=1,y′(0)=0

s+4s+4s+2

（3）H(s)=2y(0)=2,y′(0)=1

s+2s（1）H(s)=

[108]求题图所示各网络的策动点阻抗函数，在s平面示出其零、极点分布。若激励电压为冲激函数δ(t)，求其响应电流的波形。

[109]已知某LTI系统，当输入为f(t)=u(t)时，其输出为y(t)=e−tiu(t)+u(−1−t)；试画出该系统对图(a)所示f(t)输人信号的响应y(t)。

[110]指数脉冲电流i(t)=12e−tU(t)作用于RC电路（如图所示），求电容两端电压υ(t)。

[111]求x(t)=t，y(t)=e-t的互相关函数。

[112]求图a、b所示电路的系统函数，并说明它们各为何种具体的网络函数，电路中es(t)、

is(t)表示激励源，u(t)、i(t)表示电路的响应。

[113]对时间信号f(t)=5cos1000ticos22000πt每秒抽样4500次，使抽样信号通过带宽为2600Hz的理想低通滤波器来重建f(t)这，并假定滤波器在通带内有零相移和单位增益。

(1)确定输出信号；

(2)计算输出信号的均方误差；

(3)允许信号唯一重建的最小抽样速率是多少？[114]写出图示电路的频率响应H(jω)=

U(jω)

，欲使该系统成为无失真传输系统，试确定

I(jω)

R1和R2

[115]电路如图所示,求R1,R2的值,以使输出电压u0(t)与输入电流i(t)的波形一样(无失真),并分析此时在信号的传输中有无延时.

[116]已知某系统的转移算子

H(p)=

p+4

，

p(p2+3p+2)

起始条件为

r(0)=0,r′(0)=1,r′′(0)=0，试求其零输入响应。

[117]考虑可控且可观的两个单输入—单输出系统S1和S2，它们的状态方程和输出方程分别为S1:λ1(t)=Aλ1(t)+B1e1(t)其中

r1(t)=C1λ1(t)

⎡01⎤A1=⎢,⎥

⎣−3−4⎦⎡0⎤

B=⎢⎥,C1=[2,1]

⎣1⎦

S2:λ2(t)=A2λ2(t)+B2e2(t)r2(t)=C2λ2(t)

其中

A2=−2,B2=1,C2=1

现在考虑串联系统如下图所示

(1)求串联系统的状态方程和输出方程，令

⎡λ1(t)⎤λ(t)=⎢⎥(2)检查串联系统的可控性和可观性；

⎣λ2(t)⎦

(3)求系统S1和S2各别的转移函数及串联系统的转移函数；串联函数转移

函数有无零极点相消现象？(2)的结果说明什么？

⎛2⎞

[118]已知离散时间系统的单位函数响应h(k)=⎜⎟U(k)，输入信号

⎝3⎠

ke(k)=5[U(k)−U(k−6)]，试用卷积法求系统的输出响应y(k)。

[119]已知一线性时不变系统在零输入条件下有

⎡e−2t⎤⎡2e−2t⎤⎡1⎤⎡2⎤

当λ(0−)=⎢⎥时，λ(t)=⎢−2t⎥；当λ(0−)=⎢⎥时，λ(t)=⎢−t⎥

⎣−1⎦⎣−1⎦⎣−e⎦⎣−e⎦

求状态转移矩阵Φ(t)。

[120]判断以下各序列是否周期性的，如果是周期性的，试确定其周期。

π⎞⎛3π(1)x(n)=Acos⎜n−⎟

8⎠⎝7

(2)x(n)=enj(−π)8

[121]图(a)所示零状态电路，求响应u3(t)，并指出瞬态响应、稳态响应、自由响应、强迫响应。已知激励u1(t)=10sintU(t)V。

[122]若在题图电路中，接入e(t)=40sint⋅u(t)，求υ2(t)，指出其中的自由响应与强迫响应。

[123]利用f(t)的对称性，定性地判断下图中各周

期信号的傅立叫级数中所含有的频率分量。[124]已知系统函数H(z)=

z（k为常数）。(1)写出对应的差分方程;(2)画出该系统的结z−k构图;(3)求系统的频率响应，并画出k=0,0.5,1三种情况下系统幅度响应和相位响应。[125]系统函数

H(z)=

9.5z(z−0.5)(10−z)

求在以下两种收敛域z>10和0.5[126]已知X(t)=Acos(wt+j)是一个随机相位的正弦信号，其中j是一个随机相位的

c正弦信号，且是一个在O至2p的范围内均匀分布的随机变量，其自相关函数为

A2

R(t)=cos(wt)求：随机过程X(t)的频谱密度两数SX(f)。Xc2

[127]如图所示，系统是由几个子系统组合而成，各子系统的冲激响应分别为

(1)

h1(t)=U(t)(2)h2(t)=d(t-1)(3)h3(t)=-d(t)

试求总的系统冲激响应h(t)。

[128]有一系统对激励为e1(t)=u(t)时的完全响应为r1(t)=2eu(t)，对激励为

−te2(t)=δ(t)时的完全响应为r2(2)=δ(t)。

(1)求该系统的零输入响应rzi(t)；

(2)系统的起始状态保持不变，求其对于激励为e3(t)=eu(t)的完全响应r3(t)。

[129]在信号处理技术中应用的“短时傅里叶变换”有两种定义方式，假定信号源为x(t)，时域窗函数为g(t)，第一种定义方式x1(τ,ω)=

∞

−t∫

∞

−∞

x(t)g(t−τ)e−jωtdt;第二种定义方式为

x2(τ,ω)=∫x(t+τ)g(t)e−jωtdt试从物理概念说明参变量τ的含义，并比较两种结果有何

−∞

联系与区别

[130]列写下图所示网络的状态方程和输出方程。

[131]列写下图(a)所示格状网络的电压转移函数H(s)=讨论它是否为全通系统。

V2(s)

，画出s平面零、极点分布图，V1(s)

[132]试根据图，写出系统的状态方程。

[133]求下列差分方程所描述系统的传输算子H(E)及单位样值响应h(n)。(1)y(n)−0.6y(n−1)−0.16y(n−2)=x(n)(2)y(n+2)−y(n+1)+0.25y(n)=x(n)

(3)y(n)+2y(n−1)+2y(n−2)=x(n−1)+2x(n−2)

[134]求题图所示电路的系统函数H(s)和冲击响应h(t)，设激励信号为电压e(t)、响应信号为电压r(t)。

[135]一个随机过程的自相关函数为RX(τ)=5e−τ+9cos2τ求存在于X(t)中的周期分量。

[136]下图所示系统，已知激励f(t)=U(t)V，初始状态x1(0)=1V,x2(0)=1A。以

−

−

2

x1(t),x2(t)为状态变量，以y1(t),y2(t)为响应。（1）写出系统的状态方程和输出方程；（2）

求系统的矩阵指数函数eA(t)

；（3）求电容电压x1(t)和电感电流x2(t)；（4）求电感电压

y1(t)和电容电流y2(2)；（5）求电路的固有频率。

[137]解差分方程y(n)−y(n−1)=n，已知y(−1)=0(1)用迭代法逐次求出数值解，归纳一个闭式解答（对于n≥0）；(2)分别求齐次解与特解，讨论此题应该如何假设特解函数式。[138]求f1(t)、f2(t)的自相关函数。

f1(t)=e−atU(t)

，f2(t)=Ecosω0tiU(t)

−3z−1[139]画出x(z)=的零极点图，在下列三种收敛域下，哪种情况对应左边序−1−2

2−5z+2z列、右边序列、双边序列？并求各对应序列。

(1)z>2；(2)z<0.5；(3)0.5[140]描述离散的零阶积分器的差分方程为

y(k)=y(k−1)+Te(k−1)

式中T为常数。

（1）试写出系统的转移函数；（2）当e(k)=e−kaT时，求系统的零状态响应。

[141]设f(t)⇔F(jω)，试证：（1）F(0)=

∫

∞

−∞

1

f(t)dt；（2）f(0)=

2π∫

∞

−∞

F(jω)dω。

[142]系统的输入输出关系可由二阶常系数线性差分方程描述，如果相对于输入为

x(n)=u(n)的响应为y(n)=[2n+3×5n+10]u(n)。(1)若系统起始为静止的，试决定此二

阶差分方程。(2)若激励为x(n)=2[u(n)−u(n−10)]求响应y(n)。[143]写出图(a)所示系统的系统函数H(s)=

Y(s)

。以持续时间为τ的矩形脉冲作激励X(s)

x(t)，求τ≫T、τ≪T和τ=T三种情况下的输出信号y(t)的波形。

[144]已知系统的转移函数及初始条件,试求系统的零输入响应.

sy(0)=1,y'(0)=0

s2+1s+2

(2)H(s)=2y(0)=1,y'(0)=0

s+4s+4s+2

(3)H(s)=2y(0)=2,y'(0)=1

s+2ss[145](1)用双线性变换法把Ha(s)=(a>0)变换成数字滤波器的系统函数H(z)，并

s+a(1)

H(s)=

求数字滤波器的单位样值响应h(n)。(设T=2)；(2)对(1)中给出的Ha(s)能否用冲激不变法转换成数字滤波器H(z)？为什么？[146]已知描述系统的差分方程表示式为

y(n)=∑brx(n−r)

r=0

7

试绘出此离散系统的方框图。如果y(−1)=0,x(n)=δ(n)，试求y(n)，指出此时y(n)有何特点，这种特点与系统的结构有何关系。[147]已知系统阶跃响应为g(t)=1−e−2t，为使其响应为r(t)=1−e−2t−te−2t，求激励信号

e(t)。

[148]分别求下列函数的逆变换的初值与终值。（1）

(s+6)(s+2)(s+5)

（2）

(s+3)(s+1)2(s+5)�

[149]一离散系统如题图所示

(1)当输入x(n)=δ(n)时，求λ1(n)和y(n)=h(n)；(2)列出系统的差分方程。

ìï1w>0

[150]设信号g(t)的傅立叶变换G(w)如下，G(w)=ï确定g(t)í

ïïî-1w<0

[151]利用罗斯判据判断图所示连续时间系统的稳定性。

[152]已知x(n)如图(a)所示,画出

k=−∞

∑x(k)的序列图。

n[153]一个滤波器的传递函数为H(jω)=

1

求它的等效噪声带宽。ω2

1+()

ω0

[1]如果是第n个月初向银行存款x(n)元，月息为a,每月利息不取出，试用差分方程写出第n月初的本利和y(n)。设x(n)=10元，a=0.003,y(0)=20元，求y(n)。若

n=12,y(12)多少？

[155]写出图所示电路的状态方程。

[156]若系统的差分方程

y(k+1)+0.5y(k)=−s(k+1)+2e(k)

初始条件yzi(0)=5，输入激励e(k)=U(k−1)，求系统响应，并判别该系统是否稳定。[157]在图(a)所示系统中，已知f(t)=2cosωmt,−∞−∞>ωm，理想低通滤波器的H(jω)=G2ω0(ω)，如图(b)所示。求

y(t)。

[158]利用幂级数展开法求X(z)=e(z<∞)所对应的序列x(n)。[159]写出题图所示网络的电压转移函数H(s)=型。

zV2(s)

，讨论其幅频响应特性可能为何种类V1(s)

[160]某地质勘探测试设备给出的发射信号x(n)=δ(n)+

n1

δ(n−1)，接收回波信号2

⎛1⎞

y(n)=⎜⎟U(n)，若地层反射特性的系统函数以h(n)表示，且满足y(n)=h(n)*x(n)。

⎝2⎠

(1)求h(n)；

(2)以延时、相加、倍乘运算为基本单元，试画出系统方框图。[161]系统的微分方程为

ay(t)+by(t)+cy(t)+dy(t)=0

⋅⋅

⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

若选取状态变量为

输出取为r(t)=

x1(t)=ay(t)，x2(t)=ay'(t)+by(t)，x3(t)=ay(t)+by(t)+cy(t)y(t)，试写出系统的状态方程和输出方程。

[162]已知系数矩阵A为

⋅

⎡−1

（1）A=⎢

⎣0

（3）A=⎢

0⎤−2⎥⎦−3⎤0⎥⎦

⎡0

（2）A=⎢

⎣−12⎤−2⎥⎦

⎡−4

⎣1

试求矩阵A的特征根和状态转移矩阵φ(t)。

[163]一个随机过程具有周期性样本函数，如下图所示，图中A是常数，t0是0与T之间均匀分布的随机变量。

求:

(1)频谱密度SX(w)和图形;

(2)若样本函数为Y(t)=A+X(t)，重复(2)过程。

[1]已知网络函数H(s)的极点位于s=−3处，零点在s=−a，且H(∞)=1。此网络的阶跃响应中，包含一项为K1e−3t。若a从0变到5，讨论相应的K1如何随之改变。

[165]已知系统函数H(s)的极点位于p=−3处，零点位于z=−a处，且H(∞)=1，此系统的单位阶跃响应中，包含一项为k1e−3t，考虑当a从0变到5，k1应如何改变。

[166]已知横向数字滤波器的结构如下图所示，以M=8为例。(1)写出差方程;(2)求系统函数

H(z);(3)求单位样值响应h(n)；(4)画出H(z)的零极点图;(5)精略画出系统的幅频响应。

[167]用部分分式展开法，求下列象函数F（s）的原函数（1）

{F(s)}。

42

(s+7)(s+4)(s+2)16(s−1)

s(s+2)(s2+2s+4)

（2）

[168]已知离散时间系统的状态方程和输出方程为

⎧x1(k+1)=x1(k)−x2(k)⎨

⎩x2(k+1)=−x1(k)−x2(k)

y(k)=x1(k)x2(k)+e(k)

初始条件x1(0)=2,x2(0)=2，试求：（1）状态方程的零输入解；

（2）当e(k)=2kU(k)时的输出响应y(k)。

[169]求下列函数的拉氏变换，考虑能否借助于延时定理。

⎧

⎪sin(ωt)

(1)f(t)=⎨

⎪⎩0

(当0T)2

(t为其他值)

T=

2πω（2）f(t)=sin(ωt+ϕ)

[170]一频谱包含有直流至100Hz分量的连续时间信号持续2分钟，为便于计算机处理，对其抽样以构成离散信号，求最小的理想抽样点数。[171]已知

(1)H(p)=

−(3p+8)

起始条件r(0)=1,r′(0)=0,r′′(0)=0

p(p2+4p+8)

3p+1

，起始条件r(0)=r′(0)=0,r′′(0)=1。求各系统的零输入响应。2

p(p+1)

(2)H(p)=

[172]系统矩阵方程参数如下，求系统函数矩阵H(s)及单位冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。

⎡−11⎤⎡0⎤⎡2⎤A=⎢⎥,B=⎢1⎥,C=[11],D=[1],e(t)=U(t),λ(0)=⎢1⎥。

−1−1⎣⎦⎣⎦⎣⎦

五、证明(7小题,共0.0分)

[1]证明下表中除第1行以外的其余几条性质

表DFT的奇偶虚实性

x(n)

实函数实偶函数实奇函数

X(k)_

实部为偶、虚部为奇

实偶函数虚奇函数

x(n)

虚函数虚偶函数虚奇函数

X(k)

实部为奇、虚部为偶

虚偶函数实奇函数

[2]试证明题图所示系统可以产生单边带信号。图中信号g(t)之频谱G(ω)受限于

−ωm~+ωm之间，ω0≫ωm;H(jω)=−jsgn(ω).设υ(t)之频谱为V(ω)，写出V(ω)表示

式，并画出图形。

[3]证明cost,cos(2t),⋯cos(nt)（n为整数）不是区间(0,2π)上的完备正交函数集。[4](1)证明：如果AB矩阵可交换时，即AB=BA，则有e(2)设矩阵Hk被定义为如下的k×k方阵

(A+B)t=eAt⋅eBt。

⎡0⎢0⎢Hk=⎢⋮

⎢⎢0⎢⎣0

证明

1

0⋮0001⋮00

⋯0⎤⋯0⎥⎥

⋮⎥⎥⋯1⎥⋯0⎥⎦

eHk⎡t2tk−1⎤

⎢1t2!⋯(k−1)!⎥⎢⎥

k−2⎢⎥t=⎢01t⋯⎥

(k−2)!⎢⎥

⎢⋮⋮⎥⎢⎥0⋯1⎢⎥⎣⎦

(3)利用J=αI+Hk证明

⎡t2tk−1⎤⎢1t2!⋯(k−1)!⎥⎢⎥

k−2⎢⎥αttejk=⎢01t⋯⎥e(k−2)!⎥⎢

⎢⋮⋮⎥⎢⎥0⋯1⎢⎥⎣⎦

⎡α1⎢0

(4)设A=⎢

⎢0⎢⎣0100⎤α100⎥⎥,求eAt0α21⎥

⎥

00α2⎦

[5]试证明cost,cos(2t)⋯,cos(nt)（n为整数）是在区间(0,2π)中的正交函数集。[6]证明：sal(i,t)sal(j,t)=cal[(i−1)⊕(j−1),t]

sal(i,t)cal(j,t)=sal{[(i−1)⊕j]+1,t}

[7]试证明：sal(i,t)⋅sal(j,t)=cal[(i−1)⊕(j−1),t]

sal(i,t)⋅cal(j,t)=sal{[(i−1)⊕j]+1,r}