高中数学_集合讲义

第一课时含义与表示

集合与元素

1、元素--研究对象，用小写字母表示；2、集合--元素组成的总体，用大写字母表示3、集合特点：确定性、互异性、无序性4、集合分类：空集、有限集合、无限集合5、集合相等：不同集合的元素相同6、a是A的元素：a∈A；a不是A的元素：a∉A常用数集

1、非负整数2、正整数3、整数4、有理数5、实数6、复数N{0,1,2,3,4,5,......}N+,N*{1,2,3,4,5,......}Z{......,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,......}pQ{x|x=，p、q∈Z}qR{x|数轴上点的坐标}C{x|x=a+bi，a、b∈R}集合的表示

1、列举法：{1,2,3,4,5,6,7}，{1,1,3,5,8,13,21,29,......}2、描述法：{x|x是飞机}，{x|x=2n+1，n∈Z}例：A={-2,-1,0}，B={y|y=|x|,x∉A}，求Bb例：a、b∉R，{1，a+b，a}={0，，b}，求b﹣aabb解析：根据知a≠0，则a+b=0；=﹣1=a；b=1aa例：{a-d，a，a+d}={1，q，q2}，求q解析：由互异性知d≠0，q≠0或±1a﹣d=qa﹣d=q2

a=1：得q2﹢q﹣2=0，即q=-2→d=±32或a﹢d=qa﹢d=qa=qa=q2a﹣d=1：a﹢d=q2或a﹢d=qa﹣d=qa﹣d=q2

a﹢d=1：或a=q2a=q例：A={x|x=m2-n2，m、n∈Z}，①证明：3∈A；②4k-2是否属于A解析：x=m2﹣n2=(m﹣n)(m﹢n)=3=1×3m﹣n=1m=2=>；n=1m﹢n=3m﹣n=3m=2=>n=﹣1即∃m、n∈Zm﹢n=1∴x=3成立x=m2﹣n2=(m﹣n)(m﹢n)=1×(4k-2)=2×(2k-1)[讨论m﹣n、m﹢n奇偶性]思考：红帽3顶、黄帽2顶，老师给三个小孩戴上帽子(小孩不知道自己戴的颜色)，要求根据其他小孩帽子的颜色说出自己帽子的颜色。老师问了两次，大家没说话，问第三次时其中一小孩说出了自己帽子的颜色，请问这个孩子带得是什么颜色的帽子。第二课时集合的关系与运算

子集

1、概念：集合A中任何元素都是集合B的元素，A是B的子集或A包含于B(A⸦B)2、A⸦B且B⸧A=>A=B；A⸦B且A≠B=>A⸦≠B(真子集)A⸦B<=>A=B∪A⸦≠B3、任何集合都是自身的子集：A⸦A4、空集∅：不包含任何元素的集合为空集，包含于任何集合5、n个元素的集合，子集的个数：2n(真子集个数2n-1)例：A={x|a≤x≤b}，B={x|c≤x≤d}，A⸦B，a、b、c、d的关系解析：空集、非空子集①A为∅：a﹥b②A为非空集：c≦a≦b≦d例：P={x|x2-2x-3=0}，S={x|ax+2=0}，S⸦P，求a解析：S为空集、非空子集，而P{x|x=3或x=-1}①S为∅：a=02②S为非空集：a=2或a=﹣3例：A={-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，B⸦A，求m范围解析：B为空集、非空子集①B为∅：m+1﹥2m-1，m﹤2②B为非空集：m+1≧2且2m-1≦5，1≦m≦3综上：m≦3交集

所有属于A且B的元素构成的新集合为A、B的交集(1)A∩B={x|x∈A且x∈B}(2)A∩B⸦A、B并集

所有属于A或B的元素构成的新集合为A、B的并集(1)A∪B={x|x∈A或x∈B}(2)A、B⸦A∪B(3)S集合中元素的个数：Card(S)Card(A∪B)=Card(A)﹢Card(B)﹣Card(A∩B)思考：例：A={x||x-a|＜1}，B={x|x2-5x+4≥0}，A∩B=∅，a的范围解析：B={x|x≧4或x≦1}，A={x|a﹣1﹤x﹤a﹢1}①A为∅：a﹣1≧a﹢1不成立②A为非空集：a﹣1≧1且a﹢1≦4，2≦a≦3补集

(1)全集：包含所有元素的集合，U或I表示(2)在全集中不属于A的元素构成的集合为A在U中的补集或A的补集CUA(3)A∩CUA=∅，A∪CUA=U思考：集合A、B、C关系如右示：，则以下图示阴影部分如何表示例：闰年①能被4整除且不能被100整除；②能被400整除；A={能被4整除}，B={能被100整除}，C={能被400整除}例：A={a,b}，B={x|x⸦A}，M={A}，则CBM解析：M={{a,b}}，B={∅,{a},{b},{a,b}}，则CBM={∅,{a},{b}}例：S={1,3,x3+3x2+2x}，A={1,|2x-1|}，CSA={0}，求x解析：x3+3x2+2x=0，|2x-1|=3例：A={x|-2≤x≤a}，B={y|y=2x+3，x∈A}，C={z|z=x2，x∈A}，C⸦B，则a的范围解析：B={y|-1≦y≦2a+3}，讨论a：界点0、2公式

(1)A∪BA﹢B(2)A∩B<=>A×B(3)CUA<=>－A(4)A﹢A=A；A×A=A(5)A×(B+C)=A×B﹢A×C(6)A﹢(B×C)=(A﹢B)×(A﹢C)A﹢B=－A×－B(7)－－－A×B=－A﹢－B(8)－－<=>A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)<=>A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)<=>CU(A∪B)=CUA∩CUB<=>CU(A∩B)=CUA∪CUB(9)交小并大：A∩B=A<=>A⸦B；A∪B=A<=>B⸦A例：A={-1,1}，B={x|mx=1}，A∪B=A，求m解析：A∪B=A=>B⸦A例：A∪B=B∩C，A、B、C的关系解析：A∪B=B∩C有A、B⸦A∪B，B∩C⸦B、C，则A⸦B⸦C例：A={1,2,3,4,5,......,n}的子集中含有元素1的集合有多少个？解析：A的子集中对于任何一个元素，要么选要么不选。即含元素1的子集个数：2n-1例：U={(x,y)|x,y∈R}，M={(x,y)|y+2=1}，N={(x,y)|y≠x-4}则CUM∩CUNx-2－∩－N=－－－M∪N解析：CUM∩CUN=M例：(2007·北京模拟)已知集合A={a1，a2，…，ak}(k≥2)，其中ai∈Z(i=1，2，…，k)，由A中的元素构成两个相应的集合：S={(a,b)∣a∈A,b∈A,a+b∈A}；T={(a,b)∣a∈A,b∈A,a-b∈A}，其中(a,b)是有序数对。若对于任意的a∈A，总有-a∉A，则称集合A具有性质P。试检验集合{0，1，2，3}与{-1，2，3}是否具有性质P，并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T。