数学（文）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．[2020·唐山市高三年级摸底考试]已知集合A＝{0,1,2,3}，B＝{x|x2－2x<0}，则A∩B＝( ) A．{0,1,2} B．{0,1} C．{3} D．{1}
1＋i2，则z的共轭复数为( )
2．[2020·大同市高三学情调研测试]设z＝
1－i
A．－1 B．1 C．i D．－i 3．[2020·合肥市高三调研性检测]已知m，n为直线，α为平面，且m⊂α，则“n⊥m”是“n⊥α”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．[2020·开封市高三模拟]在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y
1
轴对称．若sin α＝，则cos(α－β)＝( )
37427
A．－1 B．－ C. D.
999
5．[2020·甘肃兰州一中期中]我国古代数学名著《九章算术》记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也；甍，屋盖也．”翻译为：“刍甍的底面为矩形，顶部只有长没有宽，为一条棱．刍甍的字面意思为茅草屋顶．”如图为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则它的体积为( )
160256
A. B．160 C. D．64 336．[2020·开封市高三第一次模拟考试]某省普通高中学业水平考试成绩由高分到低分按人数所占比例依次分为A，B，C，D，E五个等级，A等级15%，B等级30%，C等级30%，D，E等级共25%.其中E等级为不合格，原则上比例不超过5%.该省某校高二年级学生都参加学业水平考试，先从中随机抽取了部分学生的考试成绩进行统计，统计结果如图所示．若该校高二年级共有1 000名学生，则估计该年级拿到C等级及以上级别的学生人数为( )
A．45 B．660 C．880 D．900 7．[2020·河南省豫北名校高三质量测评]已知直三棱柱ABC - A1B1C1的底面为正三角形，且AA1＝AB，E为A1B1上一点，A1E＝2EB1，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为( )
13521312A. B. C. D. 13131313
8．[2020·河北省九校高三联考试题]设a＝412，b＝log121，c＝log32，则a，b，c的大小关系是( ) 3A．a A．10 B．25 C．10或15 D．15或25 11．[2020·合肥市高三调研性检测]某公司一种型号的产品近期销售情况如下表： 月份x 2 3 4 5 6 销售额y/万元 15.1 16.3 17.0 17.2 18.4 ^^根据上表可得到回归直线方程y＝0.75x＋a，据此估计，该公司7月份这种型号产品的销售额为( ) A．19.5万元 B．19.25万元 C．19.15万元 D．19.05万元 1 12．[2020·河北省九校高三联考]设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导数，当x>0时，f′(x)ln x<－f(x)， x 2 则使得(x－1)f(x)>0成立的x的取值范围是( ) A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1) 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中的横线上．) x－y＋2≥0 13．[2020·安徽省部分重点校高三联考]已知变量x，y满足约束条件x＋y－1≥0 x≤0 ，则z＝x＋3y的最 小值为________． 14．[2020·石家庄市重点高中高三毕业班摸底考试]已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，λ)，c＝(λ，－2)．若(a＋b)⊥c，则λ＝________. 15．[2020·惠州市高三第一次调研考试]等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＋a5＝25，S6＝57，则{an}的公差为________． x2y2 16．[2020·广东省七校联合体高三第一次联考]已知椭圆C的方程为2＋2＝1(a>b>0)，焦距为2c，直 ab 2 线l：y＝x与椭圆C相交于A，B两点，若|AB|＝2c，则椭圆C的离心率为________． 4 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(12分)[2020·安徽省示范高中名校高三联考]在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C对应的边， 2已知10bcos B＝6abcos C＋3(b2＋c2－a2)． (1)求cos B； 5π (2)若AB＝2，D为BC边上的点，且BD＝2DC，∠ADC＝，求△ADC的面积． 6 18.(12分) [2020·长沙市四校高三年级模拟考试]如图，四棱锥E - ABCD的侧棱DE与四棱锥F - ABCD的侧棱BF都与底面ABCD垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝3，AD ＝4，AE＝5，AF＝32. (1)证明：DF∥平面BCE； (2)求A到平面BEDF的距离，并求四棱锥A -BEDF的体积． 19．(12分)[2020·河北张家口阶段测试]已知函数f(x)＝ln x＋ax2－bx. 1 (1)若函数f(x)在x＝2处取得极值ln 2－，求a，b的值； 2 1 (2)当a＝－时，函数g(x)＝f(x)＋bx＋b在区间[1,3]上的最小值为1，求g(x)在该区间上的最大值． 8 20．(12分)[2020·唐山市高三年级摸底考试]某音乐院校举行“校园之星”评选活动，评委由本校全体学生组成，随机调查了20个学生对A，B两位选手的评分，得到下面的茎叶图： (1)通过茎叶图比较A，B两位选手所得分数的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，得出结论即可)； (2)举办方将会根据评分结果对选手进行三向分流： 所得分数 低于60分 60分到79分 不低于80分 分流方向 淘汰出局 复赛待选 直接晋级 根据所得分数，估计A，B两位选手中哪位选手直接晋级的概率更大，并说明理由． x2y2 21．(12分)[2020·山西省六校高三第一次阶段性测试]已知椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为e，点 ab 3 (1，e)在椭圆E上，点A(a,0)，B(0，b)，三角形OAB的面积为，O为坐标原点． 2 (1)求椭圆E的标准方程； 1 (2)若直线l交椭圆E于M，N两点，直线OM的斜率为k1，直线ON的斜率为k2，且k1k2＝－，证明9 三角形OMN的面积是定值，并求此定值． 选考题(请考生在第22、23题中任选一题作答，多答、不答按本选考题的首题进行评分．) 22．(10分)[2020·大同市高三学情调研测试试题]在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2acos θ(a>0)，过点P(－2，－4)的直 x＝－2＋22t 线l的参数方程为 2 y＝－4＋t2 (t为参数)，直线l与曲线C交于M，N两点． (1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； (2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值． 23．(10分)[2020·河南省豫北名校高三质量考评]已知函数f(x)＝|x－3|＋|x＋m|，g(x)＝x2－8x＋9. (1)当m＝－1时，求不等式f(log2x)<4的解集； (2)若存在x0∈[－m,3](m>－3)，使不等式f(x0)≤g(x0)成立，求实数m的取值范围． 仿真模拟专练(一) 1．答案：D 2．答案：A 3．答案：B 4．答案：B 5．答案：A 6．答案：D 7．答案：A 8．答案：B 9．答案：B 10．答案：C 11．答案：D 12．答案：D 13．答案：3 14．答案：－2 15．答案：3 3 16．答案： 2 17．解析：(1)由10b2cos B＝6abcos C＋3(b2＋c2－a2)， 得10cb2cos B＝6abccos C＋3c(b2＋c2－a2)， 3cb2＋c2－a2 即5bcos B＝3acos C＋， 2bc 所以5bcos B＝3acos C＋3ccos A. 所以5sin Bcos B＝3sin Acos C＋3sin Ccos A. 所以5sin Bcos B＝3sin(A＋C)＝3sin B. 3 又sin B≠0，所以cos B＝. 5 4 (2)由(1)得sin B＝， 5 ADABAD216所以＝，即＝，得AD＝. sin Bsin∠ADB415 52π3＋43B＋＝又sin∠BAD＝sin， 610 24＋3231 所以S△ABD＝AB·AD· sin∠BAD＝. 225 12＋1631 所以S△ADC＝S△ABD＝. 225 18．解析：(1)∵DE⊥平面ABCD，∴DE⊥AD. ∵AD＝4，AE＝5∴DE＝3. 同理可得BF＝3. 又DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD， ∴BF∥DE. 又BF＝DE，∴四边形BEDF为平行四边形，∴DF∥BE. ∵BE⊂平面BCE，DF⊄平面BCE，∴DF∥平面BCE. (2)如图，连接BD，过A作AH⊥BD，垂足为H， ∵DE⊥平面ABCD，∴DE⊥AH，又DE∩BD＝D， ∴AH⊥平面BEDF. 1212 ∵AD⊥AB，∴BD＝5，∴AH＝，即点A到平面BEDF的距离为. 55 由(1)知BF＝3.∵BF⊥平面ABCD，∴BD⊥BF，∴四边形BEDF的面积为3×5＝15， 112 故V四棱锥A -＝12. BEDF＝×15×35 19．解析：(1)依题意知，f(x)的定义域为(0，＋∞)， 1 对f(x)求导，得f′(x)＝＋2ax－b. x11 由已知，得f′2＝2＋4a－b＝0，f2＝ln 2＋4a－2b＝ln 2－2， 1 解得a＝－8，b＝0， 1x4－x22－x2＋x 所以f′(x)＝－＝＝(x>0)， x44x4x 可知f(x)在(0,2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，满足f(x)在x＝2处取得极值， 1 所以a＝－，b＝0. 811 (2)当a＝－时，g(x)＝ln x－x2＋b. 88 1x4－x22－x2＋x 对g(x)求导，得g′(x)＝－＝＝. x44x4x 当x∈[1,2)时，g′(x)>0，当x∈(2,3]时，g′(x)<0， 所以g(x)在[1,2]上单调递增，在[2,3]上单调递减， 1 在区间[1,3]上，g(x)max＝g(2)＝ln 2－＋b. 2 19 又g(1)＝－＋b，g(3)＝ln 3－＋b，g(3)－g(1)＝ln 3－1>0， 88 195 所以g(x)min＝g(1)＝－＋b＝1，解得b＝，所以g(2)＝ln 2＋. 888 5 于是函数g(x)在区间[1,3]上的最大值为g(2)＝ln 2＋. 8 20．解析：(1)通过茎叶图可以看出，A选手所得分数的平均值高于B选手所得分数的平均值；A选手所得分数比较集中，B选手所得分数比较分散． (2)A选手直接晋级的概率更大． 用CA表示事件“A选手直接晋级”，CB表示事件“B选手直接晋级”．由茎叶图得P(CA)的估计值为 82 (5＋3)÷20＝＝， 205 7 P(CB)的估计值为(5＋2)÷20＝， 20 所以，A选手直接晋级的概率更大． c 21．解析：(1)根据点(1，e)在椭圆E上以及e＝，c2＝a2－b2， a 1e21c21a2－b2111 得2＋2＝1，2＋22＝1，2＋22＝1，2＋2－2＝1， abaabaababa所以b2＝1，b＝1. 3 因为A(a,0)，B(0，b)，三角形OAB的面积为， 2 13 所以ab＝，所以a＝3， 22 x22 因此椭圆E的标准方程为＋y＝1. 9 x22t2 2(2)当直线l的斜率不存在时，设直线l：x＝t(－3＜t＜3且t≠0)，代入＋y＝1，得y＝1－，则k1k2 99 t2t2t21－－1－1－ 99919 ＝×＝－2＝－，所以t2＝， ttt92 1t23 则三角形OMN的面积S△OMN＝×21－×|t|＝. 292 x22 当直线l的斜率存在时，设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线l：y＝kx＋m(m≠0)，代入＋y＝1，得(9k2 9 ＋1)x2＋18kmx＋9m2－9＝0， Δ＝(18km)2－4(9k2＋1)(9m2－9)＝36(9k2－m2＋1)＞0， 9m2－918km 则x1＋x2＝－2，x1x2＝2， 9k＋19k＋1 y1y2kx1＋mkx2＋m－9k2＋m21k1k2＝·＝＝＝－， x1x2x1x299m2－9所以9k2＋1＝2m2，满足Δ＞0， 61＋k29k2－m2＋12 |MN|＝1＋k|x1－x2|＝， 9k2＋1|m| 又原点O到直线l的距离d＝2， k＋13|m|2m2－m231161＋k29k2－m2＋1|m| 所以三角形OMN的面积S△OMN＝×|MN|×d＝××2＝＝， 222m229k2＋1k＋1 即△OMN的面积为定值． 3 综上，三角形OMN的面积为定值，定值为. 222 ty＝－4＋t消去参数t得， 22 y＝－4＋x＋2，即y＝x－2为直线l的普通方程． 由ρsin2θ＝2acos θ，两边同时乘以ρ，得ρ2sin2θ＝2aρcos θ，∵ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，∴y2＝2ax(a>0)为曲线C的直角坐标方程． 22．解析：(1)由直线l的参数方程x＝－2＋(2)将x＝－2＋ 22 ty＝－4＋t代入抛物线y2＝2ax得t2－22(a＋4)t＋32＋8a＝0， 22 ∴Δ＝[22(a＋4)]2－4(32＋8a)>0. 设M，N对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝22(a＋4)>0，t1t2＝32＋8a>0，∴t1>0，t2>0. ∵|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，∴|MN|2＝|PM|·|PN|， 即|t1－t2|2＝|t1|·|t2|，(t1＋t2)2－4t1t2＝t1t2，(t1＋t2)2＝5t1t2， [22(a＋4)]2＝5(32＋8a)，整理得a2＋3a－4＝0，解得a＝－4(舍去)或a＝1. ∴a的值为1. 23．解析：(1)当m＝－1时，不等式f(x)<4即|x－3|＋|x－1|<4， 可化为{x≤1－x－3－x－1<4 或{1 于是原问题可化为存在x0∈[－m,3](m>－3)，使m＋3≤g(x0)， 即m≤x20－8x0＋6成立． 设h(x)＝x2－8x＋6，x∈[－m,3]，则m≤h(x)max. 因为函数y＝x2－8x＋6的图象为开口向上的抛物线，图象的对称轴为直线x＝4， 所以h(x)在x∈[－m,3](m>－3)上单调递减， h(x)max＝h(－m)＝m2＋8m＋6， 所以m≤m2＋8m＋6，解得m≤－6或m≥－1. 又m>－3， 所以实数m的取值范围是{m|m≥－1}． 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容