三角函数型应用题(高一)

1． 如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池ABCD的池底水平铺设污水净化管道(RtFHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口H是AB的中点，E,F分别落在线段

BC,AD上.已知AB20米，AD103米，记BHE.（1）试将污水净化管道的长度L表示为的函数,

并写出定义域；（2）若sincos并求出此时管道的长度.

2，求此时管道的长度L；（3）问：当取何值时，污水净化效果最好？

EH解：（1）

1010FHcos，sin

EF1010AF103BE10tan103tansincos 由于， 3101010tan3[,]L[,]363cossinsincos ， 63. ，

sincos12,L20(21);

(2) sincos2时，

L（3）

101010sincos110()cossinsincos=sincos

t21sincos[,]2由于63， 设sincost 则

tsincos2sin()[4所以

31,2]2

L3120[,2]t1在2内单调递减， t31,2时63时 ，L的最大值20(31)米.

于是当

答：当

6或

3时所铺设的管道最短，为20(31)米.

2．某居民小区内建有一块矩形草坪ABCD，AB=50米，BC=253米，为了便于居民平时休闲散步， 该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路OE、EF和OF，考虑到小区整体规划，

要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=90°，如图所示． （1）设∠BOE=，试将OEF的周长l表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； （2）经核算，三条路每米铺设费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？ 并求出最低总费用．

D 1

C E

解：(1)∵在Rt△BOE中，OB=25, ∠B=90°，∠BOE=，∴OE=在Rt△AOF中，OA=25, ∠A=90°，∠AFO=，∴OF=

25

.…………2分 cos25.……………………4分 sin又∠EOF=90°，∴EF=OE2OF2(25225225, )()=cossincossin252525 cossincossin25(sincos1)即l． …………………………………………6分

cossinπ当点F在点D时，这时角最小，求得此时=；

6π当点E在C点时，这时角最大，求得此时=．

3ππ故此函数的定义域为[,].……………………………………………………………8分

63(2)由题意知，要求铺路总费用最低，只要求OEF的周长l的最小值即可.

25(sincos1)ππ由（1）得，l，[,]

63cossint21设sincost，则sincos，

225(sincos1)25(t1)50∴l……………………………………………12分 2t1cossint1231315ππ7π由，，得t2，∴t121， 22124121从而2131，……………………………………………………………15分

t1π当，即BE=25时，lmin25(21),

4∴lOEOFEF所以当BE=AE=25米时，铺路总费用最低，最低总费用为10000(21)元.…………16分

3. 如图，ABCD是块边长为100m的正方形地皮，其中AST是一半径为90m的扇形小山，其余部分都是平地，一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在弧ST上，相邻两边CQ、CR落在正方形的边BC、CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值。

D R C

T S

解：设PAB(090),延长RT交AB于M

P Q

t21tsincos(1B t2),sincos令 A

22

S矩形PQRC故当tt2110100009000t81004050(t)2950-10

291022时，S的最小值为950m,当t2 时 S 的(1405090002)m 94．如图，在半径为3、圆心角为60的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点N,M在OB上，设矩形PNMQ的面积为y,按下列要求写出函数的关系式：（1）①设PNx，将y表示成x的函数关系式；②设POB，将y表示成的函数关系式；请你选用（1）中的一个函数关系式，求出y的最大值．

解：（1）①因为ON3x2 ， OMA

3x， 所以3，

所

以

B P Q

MN3x23x3，… 2分

33yx(3xx),x(0,).…………… 4分

322N M

O ②因为PN3sin，ON3cos，OM33sinsin， 3所以MNONOM3cossin……………………… 6分

2所以y3sin(3cossin)，即y3sincos3sin，((0,3))… 8分

（2）选择y3sincos3sin3sin(226)3，…………… 12分 235(0,) 2(,)………………… 13分所以ymax.……… 14分

366625． 如下图，某小区准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，ABC的内接正方形PQRS为一水池，ABC外的地方种草,其余地方种花. 若BC=a, ABC=，设ABC的面积为S1，正方形PQRS的面积为S2，将比值

S1称为“规划合理度”. S2（1）试用a,表示S1和S2；

（2）若a为定值，当为何值时,“规划合理度”最小？并求出这个最小值． （1）在RtABC中，ABacos,ACasin，

11S1ABACa2sincos……………3分

22x,APxcos， 设正方形的边长为x 则BPsinx由BPAPAB，得xcosacos，

sin3

asincos

1sincosasincos22所以S2x()……………6分

1sincos1(1sin2)22S1(1sincos)112sin21，…… 8分 （2）1S22sincossin2sin24故x令tsin2，因为02所以02，则tsin2(0,1]……………10分

S1111所以1t1g(t)，g(t)20，

S2t4t4所以函数g(t)在(0,1]上递减，……………12分

9因此当t1时g(t)有最小值g(t)ming(1)，

4此时sin21,所以当，

4……………14分

4时，“规划合理度”最小，最小值为

9．……………15分 42m N E D Q B

(用车，其平板N，过墙角

6． 如图所示，一条直角走廊宽为2米。现有一转动灵活的平板面为矩形ABEF，它的宽为1米。直线EF分别交直线AC、BC于M、D作DP⊥AC于P，DQ⊥BC于Q；

⑴若平板车卡在直角走廊内，且∠CAB，试求平板面的长 示)；

⑵若平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不能超过多少米?

表

F 2122m 解：（1）DM=，DN=，MF=，EN=tan， l sincostanM 212A P EF=DM+DN-MF-EN=+－－tan

sincostan2(sincos)1= （0）

sincos2（2）“平板车要想顺利通过直角走廊”即对任意角（0C 2），平板车的长度不能通过，即平板车的长度

t21lmin；记sincost, 1t2，有sincos=，

2=

2(sincos)14t2=2

sincost1m2）或直接求导，以确定函数在[1,2]4此后研究函数的最小值，方法很多；如换元（记4t2m，则t上的单调性；当t2时取得最小值422

7．（本小题满分15分） 一铁棒欲通过如图所示的直角走廊，试回答下列问题：

（1）求棒长L关于的函数关系式：L； （2）求能通过直角走廊的铁棒的长度的最大值．

4

解：（1）如图，AB2222 LACABBC,BC0

cossincossin2（2）L2cossin

sincos令tcossin2sin，因为0，所以t1,2，

442sincos1t21则sincos

C 22L22t221t1,2，当时，随着t的增大而增大，t21t1tttA

B 所以t0,1t2所以L4, 2所以能够通过这个直角走廊的铁棒的最大长度为4 ………15分

8． 如图，A，B，C是三个汽车站，AC，BE是直线型公路．已知AB＝120 km，∠BAC＝75°，∠ABC＝45°．有一辆车（称甲车）以每小时96（km）的速度往返于车站A，C之间，到达车站后停留10分钟；另有一辆车（称乙车）以每小时120（km）的速度从车站B开往另一个城市E，途经车站C，并在车站C也停留10分钟．已知早上8点时甲车从车站A、乙车从车站B同时开出．（1）计算A，C两站距离，及B，C两站距离；（2）若甲、乙两车上各有一名旅客需要交换到对方汽车上，问能否在车站C处利用停留时间交换．（3）求10点时甲、乙两车的距离．（参考数据：21.4，31.7，62.4，11110.5） （1）在△ABC中，∠ACB＝60°．∵

12032ABBCAC， sin60sin75sin45∴AC120sin45sin602240696(km)，

BC120sin75sin60120624602206132(km)． 32（2）甲车从车站A开到车站C约用时间为车从车站B开到车站C约用时间为

96，即9点到C站，至9点零10分开出．乙1（小时）＝60（分钟）

96132，即9点零6分到站，9点零16分开出．则两1.1（小时）＝66（分钟）

120名旅客可在9点零6分到10分这段时间内交换到对方汽车上． （3）10点时甲车离开C站的距离为于

5

50449680(km)，乙车离开C站的距离为12088(km)，两车的距离等606080288228088cos608100121110 ＝8111810.584(km)．

9． 如图所示，某动物园要为刚入园的小老虎建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，已知已有两面墙的夹角为60°（即C60），现有可供建造第三面围墙的材料6米（两面墙的长均大于6米），为了使得小老虎能健康成长，要求所建造的三角形露天活动室尽可能大，记ABC，问当为多少时，所建造的三角形露天活动室的面积最大？

解：在ABC中，由正弦定理：

ACABBC ··························· 3分 sinsinsin()33化简得：AC43sin BC43sin(所以SABC3)

1ACBCsin 2313123sinsin()123sin(sincos) ··························· 8分

3222即SABC63sin(2)33(0········································· 12分 ) ·

63所以当2623答：当60时，所建造的三角形露天活动室的面积最大。 ··························· 15分

1另解：SABCACBCsin123sinsin()63[cos(2)cos]

23333263cos(2)33(0)（下同）

3310． 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小船沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由． 解：（1）设相遇时小艇航行的距离为s海里，则

s＝900t2＋400－2×30t×cos(90°－30°) ＝900t2－600t＋400 1

故当t＝时，smin＝103，此时v＝303．

3

,即时，(SABC)max=93 ······································· 14分

A

C D

30°

θ O

即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．

（2）如图，由（1）得OC＝103，AC＝10，故OC＞AC，

且对于线段AC上任意点P，有OP≥OC＞AC．而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇．

π103

设∠COD＝θ（0＜θ＜），则在Rt△COD中，CD＝103tanθ，OD＝，

2 cosθ

6

10＋103tanθ103由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t＝和t＝，

30 v cosθ

10＋103tanθ103153π3ππ

所以＝ ，解得v＝．又v≤30，故sin(θ＋)≥，从而≤θ≤．

30 v cosθπ6262

sin(θ＋)

6

10＋103tanθπ3π2

由于θ＝时，tanθ取得最小值，于是当θ＝时，t＝取得最小值.

636303

此时，在△AOB中，OA＝OD＝AD＝20，故可设计航行方案如下：

π

航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇．

6

7