习题6解答

6.1 用高斯消去法求解线性方程组 2X1- X2+3X3 = 1 4X1+2X2+5X3 = 4 -3X1+4X2-3X3 = 17

解:x1=-10.4117；x2=2.5294；x3=8.1176。

6.2 用列主元素消元法求解线性方程组 2X1- X2+3X3 = 1 4X1+2X2+5X3 = 4 -3X1+4X2-3X3 = 17

解: x1=-10.4117；x2=2.5294；x3=8.1176。

6.3 用全主元素消元法求解线性方程组 X1+2X2+3X3 = 5 2X1– X2+9X3 = 3 -3X1+ X2–3X3 = 17

解:x1=-6.96；x2=2.71；x3=2.18。

6.4 比较1,2,、3题的消元过程，三种消元的不同点和优点是什么？能消元的条件是什么？

解：高斯消去法：只要对角线上的元素非零就可以进行消元，否则需对换行。

列主元素消元法 ：对角线上的元素非零且其绝对值在本列对角线以下元素中最大时就可以进行消元，否则需对换行。

全主元素消元法：对角线上的元素非零且其绝对值在本列（行）对角线以下（后）的所有元素中最大时就可以进行消元，否则需对换行（列）。

用计算机实现解方程组时，列主元素消元法和全主元素消元法可减少计算过程中的舍入误差。

6.5 用矩阵的三角分解算法求解线性方程组 X1+2X2+3X3 = 0 2X1+2X2+8X3 = -4 -3X1-10X2-2X3 = -11

解：分解矩阵ALR有：

231001231210022

28 23102321003解方程组Lyb：

100y100 210y24得y4 321y3113解方程组Rxy：

123x10 022x24得方程组的解x003x33

11 110021210，求A，A。 6.6 对矩阵A101210012解：A为实对称矩阵，行范数A4，列范数A14。

6.7 利用矩阵范数的性质证明：I1，A11（I为单位矩阵） A证明：由于||A||||AI||||A||||I||，等式两边同除以||A||可得I1；又因为

1||I||||A1A||||A1||||A||，不等式1|||A1||||A||两边同除以||A||可得A11。 A

6.8 对于线性方程组 KX1+X2 = 1

X1+KX2+X3 = 2

X2+2X3= 3 K≠0

写出Jacobi迭代公式, K取何值时Jacobi迭代法收敛？说明理由。选择一个合适的参数K，

（0）T

选择初始向量X =（0，0，0），迭代三步。

解： Jacobi迭代公式xBxg为：

0x11 x2kx30由于迭代矩阵B的特征方程为： (21k12010x1k12x2 kkx3302112)0 2kk所以使迭代收敛的k应满足条件：

1121 2kk（0）

因此，当k=2时，迭代收敛。选择初始向量X

=（0，0，0），三步迭代的结果如下：

T

x(1)112021(2)(3)1 x0 x

3213226.9 对于线性方程组

KX1+ X2 = 1

X1+ KX2+ X3 = 2 K≠0 X2+ KX3 = 3

（1） 写出Jacobi迭代法和Seidel迭代法矩阵形式的迭代公式。

（0）（1）（２）

（2）选择一个合适的K的值，使Seidel迭代法收敛，选择初始向量X ，计算出XX（３） X。

解： Jacobi迭代公式xBxg为：

0x11 x2kx30Seidel迭代公式为:

1k1k010x1k12x2 kkx330k00010x11/k001x2/k1/k2 0221/k000x33/k2/kx11/k2 x21/kx30 (1/k1/k2由于Seidel迭代矩阵B的特征方程为：

12)0 2k所以使迭代收敛的k应满足条件： |k|1

因此，当k=2时，迭代收敛。选择初始向量X如下：

（0）

=（0，0，0），三步Seidel迭代的结果

T

x(1)11178322173(2)(3) x x 4165214161

6.10 已知方程组Axb，其中A121，b 0.312(1) 试讨论用雅Jacobi迭代法和Seidel迭代法求解此方程组的收敛性。

(2) 若有迭代公式x(k1)x(k)(Ax(k)b)，试确定使该迭代公式收敛的的取值范围。 解：Jacobi迭代式为

02(k)1x(k1)x 00.32IBJ其(BJ)20.320.6

0.61，故Jacobi迭代收敛。

Seidel迭代式为

0x(k1)02(k)1x 0.61.7IBG2(0.6) 00.6其(BG)0.61，故Seidel迭代收敛。 对于以下迭代式

x(k1)x(k)(Ax(k)b)(IA)x(k)b

IA2(10.6)(10.6)

0.311故IA的特征值为1(10.6)，1(10.6)。 当5(10.6)0时，有(IA)1，从而迭代收敛。